广西各市中考数学分类解析专题9三角形 11页

广西各市2012年中考数学试题分类解析汇编 专题9：三角形 一、 选择题 ‎1. （2012广西北海3分）如图，等边△ABC的周长为6π，半径是1的⊙O从与AB相切于点D的位置 出发，在△ABC外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，则⊙O自转了：【 】‎ A．2周 B．3周 C．4周 D．5周 ‎【答案】C。‎ ‎【考点】等边三角形的性质，直线与圆的位置关系。‎ ‎【分析】该圆运动可分为两部分：在三角形的三边运动以及绕过三角形的三个角，分别计算即可得到圆的自传周数：‎ ‎⊙O在三边运动时自转周数：6π÷2π =3：‎ ‎⊙O绕过三角形外角时，共自转了三角形外角和的度数：360°，即一周。‎ ‎∴⊙O自转了3+1=4周。故选C。‎ ‎2. （2012广西贵港3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，1）和点B（3，0），则sin∠AOB的值等于【　　】‎ A． B． C． D． ‎【答案】A。‎ ‎【考点】锐角三角函数的定义，点的坐标，勾股定理。‎ ‎【分析】如图，过A作AC⊥x轴于C，‎ ‎∵A点坐标为（2，1），‎ ‎∴OC＝2，AC＝1。∴OA＝＝。‎ ‎∴sin∠AOB＝＝＝。故选A。‎ ‎3. （2012广西河池3分）如图，在△ABC中，∠B=300，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D.若ED=5，‎ 则CE的长为【 】‎ A．10 B．‎8 ‎‎ C．5 D．2.5‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质。‎ ‎【分析】根据线段垂直平分线性质得出BE=CE，根据含30度角的直角三角形性质求出BE的长，即可求出CE长：‎ ‎∵DE是线段BC的垂直平分线，∴BE=CE，∠BDE=90°。‎ ‎∵∠B=30°，∴BE=2DE=2×5=10。∴CE=BE=10。故选A。‎ ‎4. （2012广西来宾3分）如图，在△ABC中，已知∠A=80°，∠B=60°，DE∥BC，那么∠CED的大小是【 】‎ A．40° B．60° C．120° D．140°‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】三角形内角和定理，平行线的性质。‎ ‎【分析】∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理），∠A=80°，∠B=60°，‎ ‎∴∠C=180°－∠A－∠B=180°－80°－60°=40°，‎ 又∵DE∥BC，∴∠CED＋∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）。‎ ‎∴∠CED=180°－40°=140°。故选D。‎ ‎5. （2012广西来宾3分）已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，，2．分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有【 】‎ A．② B．①② C．①③ D．②③‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】勾股定理的逆定理。‎ ‎【分析】根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角形，因此，对各选项逐一计算即可判断：‎ ‎ ①∵22+32=13≠42，∴以2，3，4为长度的线段不能构成直角三角形，故不符合题意；‎ ‎②∵32+42=52 ，∴以3，4，5为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意；‎ ‎③∵12+（）2=22，∴以1，，2为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意。‎ 故构成直角三角形的有②③。故选D。‎ ‎6. （2012广西柳州3分）如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果 ‎△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是【 】‎ A．PO 　　　　　B．PQ C．MO 　　　　　D．MQ ‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】全等三角形的应用。‎ ‎【分析】根据全等三角形对应边相等可知要想求得MN的长，只需求得其对应边PQ的长。故选B。‎ 二、填空题 ‎1. （2012广西来宾3分）如图，在直角△OAB中，∠AOB=30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB= ▲ 0．‎ ‎【答案】70。‎ ‎【考点】旋转的性质。‎ ‎【分析】∵将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1， ∴∠A1OA=100°。‎ 又∵∠AOB=30°，∴∠A1OB=∠A1OA－∠AOB=70°。‎ ‎2. （2012广西来宾3分）已知等腰三角形的一个内角是80°，则它的底角是 ▲ 0．‎ ‎【答案】50或80。‎ ‎【考点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理。‎ ‎【分析】分两种情况：‎ ‎①当80°的角为等腰三角形的顶角时，底角的度数=（180°-80°）÷2=50°；‎ ‎②当80°的角为等腰三角形的底角时，其底角为80°。‎ 故它的底角度数是500或800。‎ ‎3. （2012广西来宾3分）如图，为测量旗杆AB的高度，在与B距离为‎8米的C处测得旗杆顶端A的仰角为56°，那么旗杆的高度约是 ▲ 米（结果保留整数）．（参考数据：sin56°≈0.829，cos56°≈0.559，tan56°≈1.483）‎ ‎【答案】12。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（仰角仰角问题），锐角三角函数定义。‎ ‎【分析】直接根据正切函数定义求解：AB=BC·tan∠ACB=8·tan56°≈8×1.483≈12（米）。‎ ‎4. （2012广西柳州3分）如图，在△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，已知∠ABC=80°，则∠DBC=‎ ‎ ▲ °．‎ ‎【答案】40。‎ ‎【考点】三角形的角平分线定义。‎ ‎【分析】∵BD是∠ABC的角平分线，∠ABC=80°，∴∠DBC=∠ABD=∠ABC=×80°=40°。‎ ‎5. （2012广西柳州3分）一个圆锥形的漏斗，小李用三角板测得其高度的尺寸如图所示，那么漏斗的斜 壁AB的长度为 ▲ cm．‎ ‎【答案】5。‎ ‎【考点】勾股定理。‎ ‎【分析】因为圆锥的底面半径、高及圆锥的母线构成直角三角形，所以根据题意知：圆锥的底面半径为‎3cm，‎ 高为‎4cm，故圆锥的母线长（cm）。‎ ‎6. （2012广西柳州3分）已知：在△ABC中，AC=a，AB与BC所在直线成45°角，AC与BC所在直线 形成的夹角的余弦值为 （即cosC=），则AC边上的中线长是 ▲ ．‎ ‎【答案】或a。‎ ‎【考点】解直角三角形，锐角三角函数定义，三角形中位线定理，勾股定理。‎ ‎【分析】分两种情况：‎ ‎①△ABC为锐角三角形时，如图1，BE为AC边的中线。‎ 作△ABC的高AD，过点E作EF⊥BC于点F。‎ ‎∵在Rt△ACD中，AC=a，cosC=，‎ ‎∴CD=a，AD=a。‎ ‎∵在Rt△ABD中，∠ABD=45°，∴BD=AD=a。。∴BC=BD+CD=a。‎ ‎∵点E是AC的中点，EF∥AD，∴EF是△ACD的中位线。∴FC=DC=a，EF=AD=a。‎ ‎∴BF=a。‎ 在Rt△BEF中，由勾股定理，得。‎ ‎②△ABC为钝角三角形时，如图2，BE为AC边的中线。‎ 作△ABC的高AD。‎ ‎∵在Rt△ACD中，AC=a，cosC=，‎ ‎∴CD=a，AD=a。‎ ‎∵在Rt△ABD中，∠ABD=45°，∴BD=AD=a。∴BC= BD=a。‎ ‎∵点E是AC的中点，∴BE是△ACD的中位线。∴BE=AD=a。‎ 综上所述，AC边上的中线长是或a。‎ ‎7. （2012广西钦州3分）已知等腰三角形的顶角为80°，那么它的一个底角为　 ▲ 　．‎ ‎【答案】50°。‎ ‎【考点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理。‎ ‎【分析】∵等腰三角形的顶角等于80°，‎ 又∵等腰三角形的底角相等，∴底角等于（180°﹣80°）÷2=50°。‎ 三、解答题 ‎1. （2012广西桂林8分）某市正在进行商业街改造，商业街起点在古民居P的南偏西60°方向上的A处，‎ 现已改造至古民居P南偏西30°方向上的B处，A与B相距‎150m，且B在A的正东方向．为不破坏古民 居的风貌，按照有关规定，在古民居周围‎100m以内不得修建现代化商业街．若工程队继续向正东方向修 建‎200m商业街到C处，则对于从B到C的商业街改造是否违反有关规定？‎ ‎【答案】解：过点P作PD⊥BC，垂足为D。‎ 在Rt△APD中，∠APD=60°，‎ ‎∴。∴AD=PD。‎ 在Rt△BPD中，∠BPD=30°‎ ‎∴。∴3BD=PD。‎ ‎∴AD=3BD。∴AB=2BD。∴2BD=‎150m。∴BD=‎75m。∴PD=‎75‎‎ m。‎ ‎∵75＞100，∴不违反有关规定。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】首先过点P作PD⊥BC，垂足为D，然后分别在Rt△APD与Rt△BPD，求得AD与PD，BD与PD的关系，又由AB=150，即可求得BD，PD的长，从而求得答案。‎ ‎2. （2012广西河池8分）如图，在10×10的正方形网格中，△ABC的顶点和线段EF的端点都在边长为 ‎1的小正方形的顶点上．‎ ‎（1）填空：　　　，AC　　　（结果保留根号）；‎ ‎（2）请你在图中找出一点D（仅一个点即可），连结DE、DF，使以D、E、F为顶点的三角形与△ABC 全等，并加以证明.‎ ‎【答案】解：（1）；。‎ ‎（2）如图，点D，连接DE、DF，则△ABC≌△EFD。‎ ‎ 证明：过点C作CG⊥AB的延长线于点G，过点D作DM⊥EF的延长线于点M，‎ 由（1）得AC=，‎ 在Rt△BCG中，BG=2，CG=2，根据勾股定理得BC=，‎ ‎∴△ABC的三边长为AB=2，BC=，AC=。‎ 在Rt△EMD中，EM=4，MD=2，根据勾股定理得ED=，‎ 在Rt△FDM中，FM=2，MD=2，根据勾股定理得：FD=，‎ ‎∴△ABC的三边长为EF=2，FD =，ED=。‎ 在△ABC和△EFD中，∵AB=EF=2， BC= FD=，AC=ED=，‎ ‎∴△ABC≌△EFD（SSS）。‎ ‎【考点】网格问题，开放型问题，勾股定理， 锐角三角函数定义，全等三角形的判定。‎ ‎【分析】（1）延长AB，过C作延长线的垂线CG，在直角三角形ACG中，由CG及AG的长，利用锐角三角函数定义求出tanA的值：tanA=；利用勾股定理求出AC的值即可。‎ ‎（2）图中找出一点D（点D不唯一），连接DE、DF，△ABC≌△EFD，如图所示，理由为：应 用勾股定理分别求出各边的长，利用SSS可得出△ABC≌△EFD。‎ ‎3. （2012广西南宁8分）如图所示，∠BAC=∠ABD=90°，AC=BD，点O是AD，BC的交点，点E是AB的中点．‎ ‎（1）图中有哪几对全等三角形？请写出来；‎ ‎（2）试判断OE和AB的位置关系，并给予证明．‎ ‎【答案】解：（1）△ABC≌△BAD，△AOE≌△BOE，△AOC≌△BOD。 （2）OE⊥AB。证明如下：‎ ‎∵在Rt△ABC和Rt△BAD中，AC=BD，∠BAC=∠ABD，AB=BA，‎ ‎∴△ABC≌△BAD（SAS）。∴∠DAB=∠CBA。∴OA=OB。‎ ‎∵点E是AB的中点，∴OE⊥AB。‎ ‎【考点】全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】（1）根据全等三角形的定义可以得到：△ABC≌△BAD，△AOE≌△BOE，△AOC≌△BOD；‎ ‎（2）首先证得：△ABC≌△BAD，则OA=OB，利用等腰三角形中由三线合一即可证得OE⊥AB。‎ ‎4. （2012广西南宁8分）如图，山坡上有一棵树AB，树底部B点到山脚C点的距离BC为米，山坡的坡角为30°．小宁在山脚的平地F处测量这棵树的高，点C到测角仪EF的水平距离CF=‎1米，从E处测得树顶部A的仰角为45°，树底部B的仰角为20°，求树AB的高度．（参考数值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）‎ ‎10. （2012广西钦州6分）如图，点E，F在BC上，BE=CF，∠A=∠D，∠B=∠C，求证：AB=DC．‎ ‎【答案】证明：∵点E，F在BC上，BE=CF，∴BE+EF=CFR+EF，即BF=CE。‎ 在△ABF和△DCE中，∵∠A=∠D，∠B=∠C，BF=CE，‎ ‎∴△ABF≌△DCE（AAS）。∴AB=CD（全等三角形的对应边相等）。‎ ‎【考点】全等三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】利用全等三角形的判定定理AAS证得△ABF≌△DCE；然后由全等三角形的对应边相等证得AB=CD。‎ ‎11. （2012广西钦州8分）如图所示，小明在自家楼顶上的点A处测量建在与小明家楼房同一水平线上邻居的电梯的高度，测得电梯楼顶部B处的仰角为45°，底部C处的俯角为26°，已知小明家楼房的高度AD=‎15米，求电梯楼的高度BC（结果精确到‎0.1米）（参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49）‎