中考数学直线与圆的位置关系押轴题专练 31页

‎ 直线与圆的位置关系 一、选择题 ‎1．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则∠PCA=（ ）‎ A．30° B．45° C．60° D．67.5°‎ C D A O P B ‎ 第13题图 ‎【答案】D ‎【思路分析】如图：∵PD切⊙O于点C，∴OC⊥PD，又∵OC=CD，∴∠COD=45°，连接AC，∵AO=CO，∴∠ACO=22.5°，∴∠PCA=90°-22.5°=67.5°．故选D．‎ ‎【答案】D ‎【点评】本题考查的是切线的性质，利用切线的性质得到OC⊥PD，然后进行计算求出∠PCA的度数．‎ ‎1.如图(六)，为圆O的直径，直线ED为圆O的切线，A、C两点在 圆上，平分∠BAD且交于F点。若∠ADE＝，则∠AFB的度数为何？‎ ‎(A) 97‎ ‎(B) 104‎ ‎(C) 116‎ ‎(D) 142‎ ‎【分析】：利用弦切角定理可得∠ABD=∠ADE，BD是圆的直径，所以∠BAD=，∠BAF=，‎ 利用内角和定理可得∠AFB值。‎ ‎【答案】：C ‎【点评】：本题考查了三角形内角和定理、直径所对的圆周角等于直角、弦切角等知识点。‎ 难度中等 ‎3.图(十四)中，、分别切圆O1于A、D两点，、分别切 圆O2于B、E两点。若∠1=60∘，∠2=65∘，判断、、的长度，下列关系何者正确？‎ ‎(A)＞＞ (B)＝＞‎ ‎(C)＞＞ (D)＝＝‎ ‎【分析】：∵∠1=60∘，∠2=65∘，∴∠ABC= ∴AB>BC>AC 由切线长定理可知 AC=CD BC=CE ‎ ‎【答案】：A ‎【点评】：本题考察了三角形内角和定理、切线长定理，大边对大角。难度中等 D C P ‎ 第13题图 A B O ‎4.如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则∠PCA=（ ）‎ A．30° B．45° C．60° D．67.5°‎ ‎【解题思路】PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD得∠COD=45°、∠PCO=90°。再由OA=OC，及外角知识得∠ACO=22.5°；又∠PCA+∠ACO=90°，所以∠PCA=90°-∠ACO=67.5°。另外也可考虑直径条件连结BC求解。‎ ‎【答案】D ‎【点评】本题切线的性质和等边对等角及外角、余角等边角之间的关系。只要充分挖掘条件和图形中边角的内在联系就可顺利求解。难度较小。‎ ‎1.如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）(a＞2)，半径为2，函数y=x的图象被⊙P的弦AB的长为，则a的值是 A． B． C． D． ‎ ‎(第6题)‎ A B B P x y y=x ‎【解题思路】由图形易知半径为2，再根据垂径定理可求出a.‎ ‎【答案】B ‎【点评】本题在直角坐标系中考查了直线和圆的位置关系及圆的有关性质，是一道好题.‎ ‎11．如图，PA、PB是⊙O的切线，AC是⊙O的直径，∠P=50°，则∠BOC的度数为 A．50° B．25° ‎ C．40° D．60°‎ ‎【解题思路】由PA、PB是⊙O的切线，根据切线的性质得到∠OAP=∠OBP=90°，再根据四边形的内角和为360°可得到∠AOB，而AC是⊙O的直径，根据互补即可得到∠BOC的度数．‎ ‎【答案】∵PA、PB是⊙O的切线，‎ ‎∴∠OAP=∠OBP=90°，‎ 而∠P=50°，‎ ‎∴∠AOB=360°-90°-90°-50°=130°，‎ 又∵AC是⊙O的直径，‎ ‎∴∠BOC=180°-130°=50°．‎ 故选A ‎【点评】本题考查了圆的切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径；也考查了四边形的内角和为360°．难度中等．‎ ‎2.如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A=25°，则∠D等于（　　　）‎ A. 20° B. 30° C. 40° D. 50°‎ A B D O C ‎【解题思路】连结OC，因为∠A=25°则∠DOC=2∠A =50°，又因为DC切⊙O于点C，知∠DCO=90°，所以∠D=90°-50°=40°，故选项C正确，其余选项不正确.‎ ‎【答案】C．‎ ‎【点评】本题考查了圆的切线的性质，解此类问题常见辅助线的作法是作过切点的半径．难度较小．‎ 二、填空题 如图，从⊙O外一点A引圆的切线AB，切点为B，连接AO并延长交圆于点C，连接BC．若∠A＝26°，则∠ACB的度数为 ▲ ．‎ ‎（第17题）‎ ‎【解题思路】连接OB，因为AB是⊙O的切线，点B是切点，所以∠ABO＝90°．∠A＝26°，所以∠AOB＝64°．因为OB=OC，所以∠OCB＝∠OBC＝∠AOB＝32°，即∠ACB＝32°．‎ ‎【答案】32°．‎ ‎【点评】本题主要考查了圆的切线的性质和三角形的角的有关计算．解答此类几何知识的综合运用问题，要熟练掌握几何知识．难度中等偏上．‎ 如图，已知AB是⊙O的一条直径，延长AB至C点，使得AC=3BC，CD与⊙O相切，切点为D，若CD=，则线段BC的长度等于 . ‎ ‎【解题思路】连接OD,设圆的半径为r, 因为CD与⊙O相切, AC=3BC，根据三角形知识解得答案.‎ ‎【答案】1．‎ ‎【点评】这是圆与三角形相结合的题目，理清它们之间的关系是解题的关键.‎ ‎1.如图，已知PA、PB分别切⊙O于点A、B，点C在⊙O上，∠BCA＝，则∠P＝ 。‎ B C P O ‎·‎ A ‎【解题思路】连结OA、OB, PA、PB是⊙O的切线，∠OAP=∠OBP=,则∠P=,∠BCA＝,,所以。‎ ‎【答案】‎ ‎【点评】本题考查了圆的切线的性质和圆周角与圆心角关系等知识点，通过连结过切点的半径，建起圆周角与圆心角联系的桥梁，从而达到解题的目的。难度中等。‎ ‎3.如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C．若∠A=40º，则∠C=_____．‎ 题9图 B C O A ‎【解题思路】连接OB，由AB与⊙O相切知：OB⊥AB，所以∠AOB=90º-∠A=50º，再根据圆半径相等可得∠C=∠OBC，利用外角性质得：∠AOB=∠OBC+∠C，即∠C=25º.‎ ‎【答案】25º ‎【点评】过切点连半径是在直线与圆相切中常见的辅助线．通过作出辅助线，构造直角三角形，从而解决问题．难度中等 O D C B A ‎（第18题）‎ P ‎1.如图，P是⊙O的直径AB延长线上的一点，PC与⊙O相切于点C，若∠P=20°，则∠A=_____°.‎ ‎【解题思路】根据圆的切线性质可知，PC⊥OC，于是由直角三角形两锐角互余，∠COA=90°-20°=70°.因为△AOC为等腰三角形，据三角形外角可求出∠A=35°.‎ ‎【答案】35°‎ ‎【点评】本题涉及到圆的切线性质，三角形内角和与外角等知识考查.本题运用圆的切线性质是关键，圆的切线是圆的重点内容之一，也是中考考点内容之一，该题难度较小.‎ ‎2.如图，直径分别为CD、CE的两个半圆相切于点C，大半圆M的弦AB与小半圆N相切于点F，且AB∥CD，AB=4，设、的长分别为x、y，线段ED的长为Z，则Z（x+y）的值为______.‎ ‎ ‎ ‎【解题思路】联系课本中 的解题思路,可过点M作MQ⊥AB于点Q,则有22+()2=()2,即x+y=,而Z=ED=-=,所以Z（x+y）的值为·=8.‎ ‎【答案】8π ‎【点评】本题以课本原题为母题进行变式，巧妙地考查了垂径定理，勾股定理和圆的周长公式等．其中，恒等变形是解题的关键.难度较小．‎ ‎13．如图，PA,PB是⊙O是切线，A,B为切点， AC是⊙O的直径，若∠BAC=250，则∠P= __________度。‎ ‎【解题思路】连结OP，由切线长定理，切线性质，及三角形性质可得：‎ ‎【答案】50‎ ‎【点评】利用切线的性质时，常连结圆心与切点。从圆外一点引圆的两条切线时应考虑到圆切线长定理。‎ ‎10．如图，CB切⊙O于点B，CA交⊙O于点D且AB为⊙O的直径，点E是 上异于点A、D的一点．若∠C＝40°，则∠E的度数为 .‎ ‎ 【解题思路】连接BD，则∠ADB＝90°，∠ABD＝∠E.因为CB切⊙O于点B，所以∠ABC=90°.因为∠C＝40°，所以∠BAC＝50°.所以∠ABD＝∠E＝40°．‎ ‎【答案】40‎ ‎【点评】本题考查了圆周角性质:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角等于90°以及切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．‎ 三、解答题 如图，在△ABC中，∠C= 90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F．‎ ‎（1）若AC=6，AB= 10，求⊙O的半径；‎ ‎（2）连接OE、ED、DF、EF．若四边形BDEF是平行四边形，试判断四边形OFDE的形状，并说明理由．‎ ‎【解题思路】第（1）题连结OD，证△OBD∽△ABC，根据对应线段成比例列出方程即可求解；第（2）题先证四边形OFDE是平行四边形，在利用邻边相等可知其为菱形。证其为平行四边形时可以利用“同弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半”得∠ODE=∠DOB=60°，可得△ODE是等边三角形，所以DE=OF，所以四边形OFDE是平行四边形．也可证Rt△AEF≌Rt△ODB，所以ED=FB= OF，所以四边形OFDE是平行四边形．难度中等．‎ ‎【答案】解：（1）连接OD. 设⊙O的半径为r. ‎ ‎∵BC切⊙O于点D，∴OD⊥BC. ‎ ‎∵∠C=90°，∴OD∥AC，∴△OBD∽△ABC. ‎ ‎∴ = ，即 = . 解得r = ，‎ ‎∴⊙O的半径为. ‎ ‎（2）四边形OFDE是菱形. ‎ ‎∵四边形BDEF是平行四边形，∴∠DEF=∠B.‎ ‎∵∠DEF=∠DOB，∴∠B=∠DOB.‎ ‎∵∠ODB=90°，∴∠DOB+∠B=90°，∴∠DOB=60°. ‎ ‎∵DE∥AB，∴∠ODE=60°.∵OD=OE，∴△ODE是等边三角形. ‎ ‎∴OD=DE.∵OD=OF，∴DE=OF.∴四边形OFDE是平行四边形. ‎ ‎∵OE=OF，∴平行四边形OFDE是菱形.‎ ‎【点评】本题综合考查了圆的切线的性质、全等三角形、相似三角形与方程、平行四边形以及菱形的相关知识。圆中已知切线，作切点所在的半径是常见的做辅助线的方法。第（2）中求解时要充分利用平行四边形与圆的基本性质，仔细分析图形，找出其中相等的线段求解．‎ 已知∠AOB＝60°，半径为‎3cm的⊙P沿边OA从右向左平行移动，与边OA相切的切点记为点C．‎ ‎（1）⊙P移动到与边OB相切时（如图），切点为D，求劣弧的长；‎ ‎（2）⊙P移动到与边OB相交于点E，F，若EF＝‎4cm，求OC的长；‎ ‎【解题思路】对于（1），连接PC，PD，则可求出∠CPD＝120°，用弧长公式，可求得劣弧的长；对于（2），用垂径定理及勾股定理可求出点P到OB的距离，以OC为直角边构造直接三角形，利用三角函数可以求出OC的长。‎ ‎【答案】解：（1）连接PC，PD（如图）‎ ‎ ∵OA，OB与⊙P分别相切于点C，D ‎ ∴∠PDO＝∠PCO＝90°，‎ C O D B P A ‎ 又∵∠PDO＋∠PCO＋∠CPD＋∠AOB＝360°．‎ ‎∠AOB＝60°‎ ‎∴∠CPD＝120°‎ l＝＝2 π．‎ ‎（2）可分两种情况．‎ ‎① 如答图2，连接PE，PC，过点P作PM⊥EF于点M，延长CP交OB于点N ‎∵EF＝4，∴EM＝‎2cm．‎ 在Rt△EPM中，PM＝＝1．‎ ‎∵∠AOB＝60°，∴∠PNM＝30°．‎ ‎∴PN＝2PM＝2．∴NC＝PN＋PC＝5．‎ 在Rt△OCN中，OC＝NC·tan30°＝5×＝(cm)．‎ ‎② 如答图3，连接PE，PC，PC交EF于点N，过点P作PM⊥EF于点M．由上一种情况可知，PN＝2，∴NC＝PC－PN＝1．‎ 在Rt△OCN中，OC＝NC·tan30°＝1×＝(cm)．‎ ‎ 综上所述，OC的长为cm或cm．‎ ‎【点评】本题考查了切线的性质、弧长公式、三角函数、垂径定理及勾股定理等综合应用能力，考察运动观点及分类思想方法。是一道有较好区分度的综合题目。难度中等。‎ ‎ (本题满分10分)‎ ‎ 如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O，交⊙O于点C．∠DAB=∠B=30°．‎ ‎(1)直线BD是否与⊙O相切?为什么?‎ ‎(2)连接CD，若CD=5,求AB的长．‎ ‎【解题思路】（1）由题意，直线BD与⊙O有公共点D，故连接OD，通过判断OD与BD是否垂直来判断BD是否圆的切线。∵∠DAB=30°，由“同弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的2倍”得∠DOB=60°．又∠B=30°．∴∠ODB=90°，即OD⊥BD，故BD是⊙O的切线；‎ ‎（2）由于直径所对的圆周角是直角，又∠DAB=30°，得AC=2CD=10，则OA=OD=5，又∠B=30°，所以BO=2OD=10，故AB=15。‎ ‎【答案】（1）连接OD，∵∠DAB=30°，∴∠DOB=60°，又∠B=30°．∴∠ODB=90°，即OD⊥BD，故BD是⊙O的切线；‎ ‎（2）连CD，则∠ADC=90°，又∠DAB=30°，得AC=2CD=10，则OA=OD=5，又∠B=30°，所以BO=2OD=10，故AB=15。‎ ‎【点评】本例考查圆的有关性质的应用和切线的判定方法，解题的关键是熟练掌握切线的判定方法。难度中等。‎ ‎1. ‎ 如图，已知直线交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径,点C为⊙O上一点，且AC 平分∠PAE，过C作，垂足为D.‎ ‎(1) 求证：CD为⊙O的切线；‎ ‎(2) 若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度.‎ ‎【解题思路】(1)连接OC，只要证明OC⊥CD，根据切线的判定定理即可得：CD为⊙O的切线. (2)在(1)的求解基础上，观察图形，过点O作弦AB的垂线段OF，即可得到矩形，还可以用垂径定理，同时又能构造出求AB长的直角三角形，因此这条辅助线的作出解题的关键.‎ ‎【答案】（1）证明：连接OC，‎ 因为点C在⊙O上，OA=OC，所以 因为，所以，有.因为AC平分∠PAE，所以 所以 又因为点C在⊙O上，OC为⊙O的半径，所以CD为⊙O的切线.‎ ‎（2）解:过O作，垂足为F，所以，‎ 所以四边形OCDF为矩形，所以 ‎ 因为DC+DA=6，设,则 因为⊙O的直径为10，所以，所以.‎ 在中，由勾股定理知 即化简得，‎ 解得或x=9. ‎ 由，知，故.‎ 从而AD=2，‎ 因为，由垂径定理知F为AB的中点，所以.‎ ‎【点评】本题主要考查圆的切线的判定定理、垂径定理等知识，是一道集推理和计算为一体的平面几何题，解题策略的选择和方程思想的运用也是考查的重点.难度较大.‎ ‎5. （2011清远，22，8分）如图7，AB是的直径，AC与相切，切点为A，D为上一点，AD与OC相交于点E，且 ‎（1）求证：; ‎ ‎（2）若AO=5，AD=8，求线段CE的长。‎ ‎【解题思路】已知AC与相切可得：,则,‎ 又有，则, AB是的直径得：。‎ 则，所以。‎ 由（1）中，得△AOE∽△ABD，得 ‎,在Rt△ABD中，,则得OE=3‎ 由题易证：△ABD∽△COA,得得CO= ,即得CE长 ‎【答案】（1）证明：AC与相切 ，则 ‎ ，，‎ ‎ AB是的直径，，‎ ‎，‎ ‎ （2）解：由（1）中，得△AOE∽△ABD，得 在Rt△ABD中，,则得 ‎,,‎ ‎△ABD∽△COA，即，得CO= ‎ ‎ ‎ ‎【点评】本题综合考查了平行线性质、切线的性质、圆周角定理推论、勾股定理、相似三角形等内容。第（1）小题属于常规经典题型，第（2）小题综合运用了两次相似三角形的判定和性质。综合性较强，难度较大。‎ ‎6.如图，已知⊙O的半径为2，弦BC的长为，点A为弦BC所对优弧上任意一点（B，C两点除外）．‎ ‎⑴求∠BAC的度数；‎ ‎⑵求△ABC面积的最大值．‎ ‎（参考数据：sin60°=，cos30°=，tan30°=．）‎ ‎【解题思路】（1）∠BAC是一个圆周，要求∠BAC的度数，可利用圆周角定理，先求出圆心角∠BOC的度数， 结合已知条件，可以过点O作OD垂直于BC，由垂径定理以及边角之间的关系，得∠DOC=60°，所以∠BAC=60°，（2）点A是个动点，但△ABC的边BC不变，要求面积的最大值，只有当点A到BC的距离最大时，即当点A在优弧BC的中点时，，由（1）可知此时△ABC是等边三角形．‎ ‎【答案】（1）过点O作OD⊥BC于点D, 连接OA.‎ 因为BC=，所以CD==.‎ 又OC=2，所以=，即=，‎ 所以∠DOC=60°.‎ 又OD⊥BC，所以∠BAC=∠DOC=60°.‎ ‎（2）因为△ABC中的边BC的长不变，所以底边上的高最大时，△ABC面积的最大值,即点A是的中点时，△ABC面积的最大值.‎ 因为∠BAC=60°，所以△ABC是等边三角形，‎ 在Rt△ADC中，AC=，DC=,‎ 所以AD===3.‎ 所以△ABC面积的最大值为×3×=3.‎ ‎【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理、特殊角的三角函数值以及运动中的最值问题，有关弦的问题常作弦心距转化为直角三角形解决，在解题过程中要注意点的坐标与线段的长之间互相转化．难度中等，‎ ‎2.如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C.‎ ‎（1）请完成如下操作：‎ ‎①以点O为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；②用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连结AD、CD.‎ ‎(2)请在（1）的基础上，完成下列问题：‎ ‎①写出点的坐标：C 、D ；‎ ‎②⊙D的半径= （结果保留根号）；‎ ‎③若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的地面面积为 （结果保留π）；‎ ‎④若E（7,0），试判断直线EC与⊙D的位置关系并说明你的理由.‎ ‎【解题思路】（1）C（6，2），弦AB，BC的垂直平分线的交点得出D（2，0）；（2）OA，OD 长已知，△OAD中勾股定理求出⊙D的半径=2 ；（3）求出∠ADC的度数，得弧ADC的周长，求出圆锥的底面半径，再求圆锥的底面的面积；（4）△CDE中根据勾股定理的逆定理得∠DCE=90°，直线EC与⊙D相切．‎ ‎【答案】（1）解：C（6，2）；D（2，0）；.‎ ‎（2）解：⊙D的半径= = =2；‎ ‎（3）解：AC= =2 ，CD=2 ，，∴∠ADC=90°．‎ 扇形ADC的弧长= = π，圆锥的底面的半径= ，‎ 圆锥的底面的面积为π（ ）2= ；‎ ‎（4）直线EC与⊙D相切．‎ 证明：∵=25，∴∠DCE=90°．∴直线EC与⊙D相切．‎ ‎【点评】本题综合考查了图形的性质和坐标的确定，综合性较强，圆的圆心D的确定是关键．难度中等.‎ ‎3.已知：如图，在△ABC中，BC=AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．‎ ‎⑴求证：点D是AB的中点；‎ ‎⑵判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；‎ ‎⑶若⊙O的直径为18，cosB =，求DE的长．‎ ‎【解题思路】（1）连接CD,则CD，由等腰三角形三线合一可知点D是AB的中点。（2）D是圆上一点“连半径，证垂直”，连接OD，则DO是△ABC的中位线，DO∥AC，所以DE 即DE是⊙O的切线。（3）由cosB =，可得BD=6，cosA=，则AD=6，在中利用边角关系可求出DE。‎ ‎【答案】（1）证明：连接CD,则CD， 又∵AC = BC， CD = CD， ∴≌‎ ‎∴AD = BD ， 即点D是AB的中点．‎ ‎（2）DE是⊙O的切线 ． ‎ 理由是：连接OD, 则DO是△ABC的中位线，∴DO∥AC ， 又∵DE；‎ ‎∴DE 即DE是⊙O的切线；‎ ‎（3）∵AC = BC， ∴∠B =∠A ， ∴cos∠B = cos∠A =， ∵ cos∠B =， BC = 18，‎ ‎∴BD = 6 ， ∴AD = 6 ， ∵ cos∠A = ， ∴AE = 2，‎ 在中，DE=．‎ ‎【点评】本题主要考查与圆有关的证明与计算，涉及到等腰三角形三线合一、中位线定理、锐角三角函数等知识，关键在于结合图形分析问题，同时要根据题的特征作出适当的辅助线，如本题要判定DE与⊙O的位置关系，我们由图初步判定相切，进而想到连接OD的辅助线。难度中等。‎ 图9‎ ‎22．（2011辽宁大连，22，9分）如图9，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为C，BE⊥CD，垂足为E，连接AC、BC．‎ ‎⑴△ABC的形状是______________，理由是_________________；‎ ‎⑵求证：BC平分∠ABE；‎ ‎⑶若∠A＝60°，OA＝2，求CE的长．‎ ‎【解题思路】（1）直径所对圆周角是直角；‎ ‎（2）欲证∠1=∠2，只需证∠1、∠2都和∠3相等即可 ‎（3）根据条件在Rt△ABC求出BC的长度，再在Rt△BEC中求出CE的长度即可。‎ ‎【答案】（1）直角三角形，直径所对圆周角是直角；‎ ‎（2）∵BE⊥CD，∴∠CEB=90°，∵CD为切线，∴OC⊥DE，∴∠OCD=90°∴∠CEB=∠OCD ‎∴OC∥BE，∴∠2=∠3，∵OC=OB，∴∠1=∠3，∴∠1=∠2，即BC平分∠ABE ‎（3）在Rt△ABC中∠A=60°，OA＝2，∴AB=2OA=4，∠1=90°－60°=30°，∴BC=ABsin60°=．‎ 由（2）可知：∠2=∠1=30°，在Rt△BCE中，CE=BEsin30°=．‎ ‎【点评】本题是圆的一个综合题，涉及到两个重要的规律，一是遇到直径想直径所对圆周角，二是遇到切线，想连接过切点的半径，再有做题过程中，遇到平行线、角平分线、等腰三角形中的两个，一定有第三个；本题还是圆与直角三角形结合点，涉及到了解直角三角形．难度中等．‎ ‎21．如图，在 Rt△ABC中,∠ACB＝90D是AB 边上的一点，以BD为直径的 ⊙0与边 AC 相切于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点 F . ‎ ‎( 1 ）求证： BD = BF ;‎ ‎( 2 ）若 BC = 12 , AD = 8 ，求 BF 的长．‎ ‎ ‎ ‎【解题思路】(1)连接OE.‎ ‎∵AC切⊙0于点E ‎∴OE⊥AC 则∠AEO=‎ ‎∵∠ACB＝90‎ ‎∴∠AEO=∠ACB ‎∴OE∥BF ‎∴∠OED=∠F ‎∵OE=OD ‎∴∠ODE=∠OED ‎∴∠F=∠ODE ‎∴BD = BF ‎(2)由（1）得：设BF = BD等于2‎ ‎ ∵OE∥BF ‎ ‎ ∴△AOE∽△ABC ‎ ∴即 ‎ 解得： ‎ ‎∴BF 的长为8.‎ ‎【答案】(2)8‎ ‎【点评】本题主要考查了切线的性质、等角对等边、三角形相似的判定及其性质的运用，比较综合的运用了初中数学知识解决数学问题，难度中等.‎ ‎22．本题满分12分）如图，在梯形ABCD中，AB//CD，∠BAD＝90°，以AD为直径的半圆O与BC相切．‎ ‎(1)求证：OB丄OC；‎ ‎(2)若AD＝12，∠BCD＝60°，⊙O1与半⊙O外切，并与BC、CD相切，求⊙O1的面积．‎ ‎【解题思路】(1)设半圆O与直线BC的切点为F，连接切点与圆心，把∠BOC分成两个角∠FOB和∠FOC，然后由“HL”定理或“SSS”定理证明Rt△AOB≌Rt△FOB，Rt△COD≌Rt△COF，得出∠BOC＝90°．(2)由切线长定理得出∠DCO＝∠BCO＝30°，得出DC＝12．过点O1做O‎1G⊥DC，设O‎1G＝x，由直角三角形的性质得出O‎1C＝2O‎1G＝2x．由两圆的连心线经过切点，得出O‎1C＝6－x，由此构建方程2x＝6－x，解方程求出x的值，然后根据圆的面积公式计算出⊙O1的面积．‎ ‎【答案】（1）方法一：证明：设半圆O与BC切于F，连接OF．‎ ‎∵AD是半圆O的直径，∠BAD＝90°，‎ ‎∴AB与半圆O相切于点A．‎ ‎∵AB//CD，∠BAD＝90°，‎ ‎∴∠ADC＝90°，∴CD于半圆O切于D．‎ ‎∵半圆O与BC切于F，‎ ‎∴OF⊥BC，BA＝BF，FC＝CD．‎ 在Rt△AOB和Rt△FOB中，‎ ‎∴△AOB≌△FOB（HL）．‎ ‎∴∠FOB＝∠AOB．‎ 同理Rt△COD≌Rt△COF，‎ ‎∴∠FOC＝∠DOC．‎ ‎∴∠FOB+∠FOC＝∠AOB+∠DOC．‎ 又∵∠FOB+∠FOC+∠AOB+∠DOC＝180°，‎ ‎∴∠BOC＝∠FOB+∠FOC＝90°，即OB⊥OC．‎ 方法二：证明：设半圆O与BC切于F，连接OF．‎ ‎∵AD是半圆O的直径，∠BAD＝90°，‎ ‎∴AB与半圆O相切于点A．‎ ‎∵AB//CD，∠BAD＝90°，‎ ‎∴∠ADC＝90°，∴CD于半圆O切于D．‎ ‎∵半圆O与BC切于F，‎ ‎∴OF⊥BC，即∠OFB＝∠OFC＝90°．‎ 又∵OA＝OF＝OD，‎ 在Rt△AOB和Rt△FOB中 ‎∴Rt△AOB≌Rt△FOB（HL）‎ ‎∴∠FOB＝∠AOB．‎ 同理Rt△COD≌Rt△COF，‎ ‎∴∠FOC＝∠DOC．‎ ‎∴∠FOB+∠FOC＝∠AOB+∠DOC．‎ 又∵∠FOB+∠FOC+∠AOB+∠DOC＝180°，‎ ‎∴∠BOC＝∠FOB+∠FOC＝90°，即OB⊥OC．‎ ‎(2)过点O1做O‎1G⊥DC．∵CD与⊙O1相切，∴O‎1G是⊙O1的半径．∵∠DOB＝60°，∴∠DCO ‎＝∠BCO＝30°．∵AD＝12，∴OD＝6．∴OC＝12．设O‎1G＝x，∴O‎1C＝2x，又O‎1C＝6－x，∴2x＝6－x，解得x＝2，即⊙O1的半径为2．∴⊙O1的面积为π×22＝4π．‎ ‎【点评】本题主要考查了梯形、圆的有关知识的综合运用，①圆的切线经过半径的外端，且垂直于半径；②过圆心作切线的垂线段，则垂线段等于半径；证明垂直，可以把相交成的角分成两个角，证明这两个角的和等于平角的一半，即可得证．‎ ‎24．（2011年内蒙古呼和浩特，24，8）如图所示,AC为⊙O的直径,且PA⊥AC,BC是⊙O的一条弦,直线PB交直线AC于点D,.‎ A B C O D P ‎·‎ ‎(1)求证:直线PB是⊙O的切线；‎ ‎(2)求cos∠BCA的值.‎ ‎【解题思路】第(1)小题要证切线,须连半径,证垂直.连接、,证明≌即可；第(2)小题要利用平行线性质将所求问题转化为求的余弦值,在中,设出,根据已知条件用含的代数式表示边OA、OP的长,再利用三角函数求之.‎ ‎【答案】(1)证明:连接OB、OP ………………………………………………………(1分)‎ ‎∵ 且∠D=∠D A B C O D P ‎·‎ ‎∴△BDC∽△PDO ‎∴∠DBC=∠DPO ‎∴BC∥OP ‎∴∠BCO=∠POA ‎ ∠CBO=∠BOP ‎∵OB=OC ‎∴∠OCB=∠CBO ‎∴∠BOP=∠POA 又∵OB=OA OP=OP ‎∴△BOP≌△AOP ‎∴∠PBO=∠PAO 又∵PA⊥AC ‎∴∠PBO=90°‎ ‎∴直线PB是⊙O的切线 …………………………………(4分)‎ ‎(2)由(1)知∠BCO=∠POA 设PB,则 又∵‎ ‎∴‎ 又∵BC∥OP ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴cos∠BCA=cos∠POA= ……………………………………………(8分)‎ ‎(注:其他解法依据情况酌情给分)‎ ‎【点评】本题以基本图形:三角形与圆相结合为背景,综合考查了圆的切线的判定定理、平行线的判定与性质、三角形的相似与全等、等腰三角形性质、锐角三角函数、勾股定理等知识,知识点丰富；考查了学生综合运用知识以及转化思想来解决问题的能力.2个小题设问方式较常规,为学生熟知,能让学生正常发挥自己的思维水平.‎ 对于在几何图形的证明与求解中,辅助线的添加成为部分学生的一大难题,本题中的2条辅助线添法是关键,就这2条辅助线就可以将中下层面的学生拒之题外.难度较大.‎ ‎29．如图8所示．P是⊙O外一点．PA是⊙O的切线．A是切点．B是⊙O上一点．且PA=PB，连接AO、BO、AB，并延长BO与切线PA相交于点Q．‎ ‎ （1）求证：PB是⊙O的切线；‎ ‎ （2）求证： AQ·PQ= OQ·BQ； ‎ ‎ （3）设∠AOQ=．若cos=．OQ= 15．求AB的长 ‎ ‎‎_‎ Q ‎_‎ P ‎_‎ O ‎_‎ B ‎_‎ A 图8‎ ‎【解题思路】1）利用切线的定义证明切线 2） 利用相似三角形证明 3） 利用三角函数 ‎【答案】（1）证明：如图，连结OP ‎ ∵PA=PB，AO=BO，PO=PO ‎ ∴△APO≌△BPO ∴∠PBO=∠PAO=90°‎ ‎ ∴PB是⊙O的切线 ‎ （2）证明：∵∠OAQ=∠PBQ=90°‎ ‎ ∴△QPB∽QOA ‎∴ 即AQ·PQ= OQ·BQ ‎ （3）解：cos== ∴AO=12‎ ‎ ∵△QPB∽QOA ∠BPQ=∠AOQ=‎ ‎ ∴tan∠BPQ== ∴PB=36 PO=12‎ ‎ ∵AB·PO= OB·BP ∴AB=‎ ‎_‎ Q ‎_‎ P ‎_‎ O ‎_‎ B ‎_‎ A 图8‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形、切线的判定、锐角三角函数等相关知识．‎ ‎24.如图（13），D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD.‎ ‎(1)求证:CD是⊙O的切线;‎ ‎(2)过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E,若BC=6,tan∠CDA=,求BE的长 ‎【解题思路】：(1)连接OD，只要证明OD⊥CE，即可说明CD为切线；‎ ‎（2）根据已知条件可判断△CAD∽△CDB；连接OE，可得：∠CDA=∠BEO,设OB=2x,BE=3x,利用相似得出的比例关系，求出x的值。‎ ‎【答案】（1）证明：连接OD，∴∠CBD=∠BD0，∵线段AB是直径，∴∠ADB=900，∴∠ADO+∠ODB=900，又∵∠CDA=∠CBD，∠CBD=∠BD0，∴∠CDA+∠BD0=900，即∠CDO=900，∴CD是⊙O的切线;‎ ‎(2)∵∠CDA=∠CBD.∠C是公共角，∴△CAD∽△CDB,∴CD2=CA×CB,∴连接OE，BE是⊙O的切线，tan∠CDA=,设OB=2x,BE=3x,∴CD2=6(6-4x)=36-24x,又∵△COD∽△CEB,∴=,即16=36-24x,解得：x=,∴BE=2x=2.5.‎ ‎【点评】本题是一道圆与三角形的综合性题目，解题的关键是借助辅助线构建新的直角三角形，推出角的关系，利用三角形的相似，得出比例关系式，利用三角函数的边角关系，设出边的长度，代入比例式运算求值。本题难度较大。‎ ‎2.如图，PA为⊙O的切线，A为切点.过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B.延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E.‎ ‎（1）求证：PB为⊙O的切线；‎ ‎（2）若tan∠ABE=，求sinE的值.‎ ‎ ‎ 分析：判定切线的方法及锐角三角函数之间的关系。‎ 答案：（1）证明：连接OA ‎    ∵PA为⊙O的切线，‎ ‎    ∴∠PAO=90°‎ ‎    ∵OA＝OB，OP⊥AB于C ‎    ∴BC＝CA，PB＝PA ‎    ∴△PBO≌△PAO ‎    ∴∠PBO＝∠PAO＝90°‎ ‎    ∴PB为⊙O的切线 ‎（2）解法1：连接AD，∵BD是直径，∠BAD＝90°‎ ‎    由（1）知∠BCO＝90°‎ ‎    ∴AD∥OP ‎    ∴△ADE∽△POE ‎    ∴EA/EP＝AD/OP 由AD∥OC得AD＝2OC ∵tan∠ABE=1/2 ∴OC/BC=1/2，设OC＝t,则BC＝2t,AD=2t由△PBC∽△BOC，得PC＝2BC＝4t，OP＝5t ‎    ∴EA/EP=AD/OP=2/5，可设EA＝‎2m,EP=‎5m,则PA=‎‎3m ‎    ∵PA=PB∴PB=‎‎3m ‎    ∴sinE=PB/EP=3/5‎ ‎（2）解法2：连接AD，则∠BAD＝90°由（1）知∠BCO＝90°∵由AD∥OC，∴AD＝2OC ∵tan∠ABE=1/2,∴OC/BC=1/2,设OC＝t，BC＝2t，AB=4t由△PBC∽△BOC，得PC＝2BC＝4t，‎ ‎    ∴PA＝PB＝2t 过A作AF⊥PB于F，则AF·PB=AB·PC ‎    ∴AF=t 进而由勾股定理得PF＝t ‎    ∴sinE=sin∠FAP=PF/PA=3/5‎ 点评：本题难度中，是圆与直角三角形的综合题 。‎ ‎1．（本小题满分8分）如图12，△ABC内接于⊙O，CA=CB，CD∥AB且与OA的延长线交于点D．（1）CD与⊙O的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）若∠ACB=1200 ，OA=2，求CD的长．‎ ‎【解题思路】本题主要考查垂径定理、直线和圆的位置关系及三角函数．第（1）问，要证直线CD与⊙O相切，只需连结OC，说明OC⊥AB即可．第（2）问，由于CD在Rt△DOC中，且OC=OA=2，故只需再求此三角形的一边或一角，利用直角三角形边角关系便可求出CD的长． 由△OAC≌△OBC易得∠DOC=600，在Rt△DOC中，运用关系式tan∠DOC=便可得DC的长．‎ ‎【答案】解（1）CD与⊙O相切．‎ 理由：连结OC．∵CA=CB ∴，‎ ‎∴OC⊥AB，‎ ‎∵CD∥AB，‎ ‎∴OC⊥CD，‎ ‎∴CD是⊙O的切线．‎ ‎（2）连结OB，在△OAC和△OBC中，‎ ‎∵OA=OB，CA=CB，OC=OC，‎ ‎∴△OAC≌△OBC，‎ ‎∴∠OCA=∠OCB=∠ACB= 600，‎ ‎∵OA=OC ‎∴△OAC为等边三角形，故∠DOC=600，‎ 在Rt△DOC中，tan∠DOC= 且OC=OA=2,‎ ‎∴DC=2．‎ ‎【点评】证明直线是圆的切线，通常有的两种方法：一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．二、如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到这条直线的距离等于半径．本题第（1）问应用第一种方法．‎ ‎2．如图，为的直径，为的切线，交于点， 为上一点，．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，，求的长．‎ ‎【解题思路】（1）由于BC是圆的切线，BC是直径，由此可得到∠ABC＝90°，而∠AOD＝∠C，所以∠ADO＝90°.（2）由（1）可知OD⊥AE，于是由垂径定理得到AD＝DE，进而利用列式求解.‎ ‎【答案】（1）证明：是的切线，为的直径，又，，，.（2）解：，为圆心为中点. 又 ‎ ‎【点评】圆和锐角三角函数的知识都是初中数学的重点内容，也是中考出现频率较高的知识点，两者的结合也能增添试题的活力.难度中等．‎ ‎23．（2011湖南永州，23，10分）如图，AB是半圆O的直径，点C是⊙O上一点（不与A，B重合），连接AC，BC，过点O作OD∥AC交BC于点D，在OD的延长线上取一点E，连接EB，使∠OEB=∠ABC．‎ ‎⑴求证：BE是⊙O的切线；‎ ‎⑵若OA=10，BC=16，求BE的长．‎ ‎（第25题图）‎ ‎【解题思路】：（1）要证BE是⊙O的切线，需要证∠OBE=90°.根据AB是半圆O的直径，可得∠ACB=90°，推出∠CAB+∠ABC=90°，再由平行得∠CAB=∠EOB, ∠OEB=∠ABC，可得∴∠BOD+∠OEB=90°，所以∴∠OBE=90°；（2）要求BE的长，先根据勾股定理求出AB的长，再利用锐角三角函数或相似求出BE的长.‎ ‎【答案】证明：⑴∵AB是半圆O的直径 ∴∠ACB=90°‎ ‎∵OD∥AC ∴∠ODB=∠ACB=90° ∴∠BOD+∠ABC=90°‎ 又∵∠OEB=∠ABC ∴∠BOD+∠OEB=90° ∴∠OBE=90°‎ ‎∵AB是半圆O的直径 ∴BE是⊙O的切线 ‎⑵在中，AB=2OA=20，BC=16，∴‎ ‎∴ ∴‎ ‎∴．‎ ‎【点评】：本题考查了圆的相关知识，圆的切线是圆中的重点，也是考试常考的部分；求线段的长常用勾股定理或相似等知识解答.本题是中等题，也是常见题型.难度不大.‎