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- 2021-05-13 发布
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几何问题
初中几何常见模型解析
模型一:手拉手模型-全等
(1)等边三角形
➢ 条件: 均为等边三角形
➢ 结论:① ;② ;③ 平分 。
(2)等腰
➢ 条件: 均为等腰直角三角形
➢ 结论:① ;② ;③ 平分 。
(3)任意等腰三角形
➢ 条件: 均为等腰三角形
➢ 结论:① ;② ;③ 平分 。
➢
模型二:手拉手模型-相似
(1)一般情况
➢ 条件: ,将 旋转至右图位置
➢ 结论:右图中① ;②延长 AC 交 BD 于点 E,必有
(2)特殊情况
➢ 条件: , ,将 旋转至右图位置
➢ 结论:右图中① ;②延长 AC 交 BD 于点 E,必有 ;
③ ; ④ ; ⑤ 连 接 AD 、 BC , 必 有
;
⑥ (对角线互相垂直的四边形)
➢
模型三:对角互补模型
(1)全等型-90°
➢ 条件:① ;②OC 平分
➢ 结论:①CD=CE; ② ;③
➢ 证明提示:
①作垂直,如图,证明 ;
②过点 C 作 ,如上图(右),证明 ;
➢ 当 的一边交 AO 的延长线于点 D 时:
以上三个结论:①CD=CE(不变);② ;③
此结论证明方法与前一种情况一致,可自行尝试。
(2)全等型-120°
➢ 条件:① ;② 平分 ;
➢ 结论:① ;② ;③
➢ 证明提示:①可参考“全等型-90°”证法一;
②如图:在 OB 上取一点 F,使 OF=OC,证明 为等边三角形。
➢ 当 的一边交 AO 的延长线于点 D 时(如上图右):
原结论变成:① ;
② ;
③ ;
可参考上述第②种方法进行证明。
(3)全等型-任意角
➢ 条件:① ;② ;
➢ 结 论 : ① 平 分 ; ② ; ③
.
➢ 当 的一边交 AO 的延长线于点 D 时(如右上图):
原结论变成:① ;
② ;
③ ;
可参考上述第②种方法进行证明。
◇ 请思考初始条件的变化对模型的影响。
➢
如图所示,若将条件“ 平分 ”去掉,条件①不变, 平分 ,结论变化如下:
结论:① ;② ;③ .
➢ 对角互补模型总结:
①常见初始条件:四边形对角互补;
注意两点:四点共圆及直角三角形斜边中线;
②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别;
③两种常见的辅助线作法;
④注意下图中 平分 时, 相等是如何推导的?
模型四:角含半角模型 90°
(1)角含半角模型 90°-1
➢ 条件:①正方形 ;② ;
➢ 结论:① ;② 的周长为正方形 周长的一半;
也可以这样:
➢ 条件:①正方形 ;②
➢ 结论:
(2)角含半角模型 90°-2
➢ 条件:①正方形 ;② ;
➢ 结论:
➢ 辅助线如下图所示:
(3)角含半角模型 90°-3
➢ 条件:① ;② ;
➢ 结论:
若 旋转到 外部时,结论 仍然成立。
(4)角含半角模型 90°变形
➢ 条件:①正方形 ;② ;
➢ 结论: 为等腰直角三角形。
➢
模型五:倍长中线类模型
(1)倍长中线类模型-1
➢ 条件:①矩形 ;② ;③ ;
➢ 结论:
模型提取:①有平行线 ;②平行线间线段有中点 ;
可以构造“8”字全等 。
(2)倍长中线类模型-2
➢ 条件:①平行四边形 ;② ;③ ;④ .
➢ 结论:
➢
模型六:相似三角形 360°旋转模型
(1)相似三角形(等腰直角)360°旋转模型-倍长中线法
➢ 条件:① 、 均为等腰直角三角形;②
➢ 结论:① ;②
(1)相似三角形(等腰直角)360°旋转模型-补全法
➢ 条件:① 、 均为等腰直角三角形;② ;
➢ 结论:① ;②
(2)任意相似直角三角形 360°旋转模型-补全法
➢ 条件:① ;② ;③ 。
➢ 结论:① ;②
(2)任意相似直角三角形 360°旋转模型-倍长法
➢ 条件:① ;② ;③ 。
➢ 结论:① ;②
➢
模型七:最短路程模型
(1)最短路程模型一(将军饮马类)
(2)最短路程模型二(点到直线类 1)
➢ 条件:① 平分 ;② 为 上一定点;③ 为 上一动点;④ 为 上一动点;
➢ 求: 最小时, 的位置?
(3)最短路程模型二(点到直线类 2)
(4)最短路程模型二(点到直线类 3)
➢ 条件:
➢ 问题: 为何值时, 最小
➢ 求解方法:① 轴上取 ,使 ;②过 作 ,交 轴于点 ,即为所求;
③ ,即 .
(5)最短路程模型三(旋转类最值模型)
(6)最短路程模型三(动点在圆上)
➢
模型八:二倍角模型
➢
模型九:相似三角形模型
(1)相似三角形模型-基本型
(2)相似三角形模型-斜交型
(3)相似三角形模型-一线三角型
(4)相似三角形模型-圆幂定理型
➢