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  • 2021-05-13 发布

中考数学常见几何模型简介

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几何问题 初中几何常见模型解析 模型一:手拉手模型-全等 (1)等边三角形 ➢ 条件: 均为等边三角形 ➢ 结论:① ;② ;③ 平分 。 (2)等腰 ➢ 条件: 均为等腰直角三角形 ➢ 结论:① ;② ;③ 平分 。 (3)任意等腰三角形 ➢ 条件: 均为等腰三角形 ➢ 结论:① ;② ;③ 平分 。 ➢ 模型二:手拉手模型-相似 (1)一般情况 ➢ 条件: ,将 旋转至右图位置 ➢ 结论:右图中① ;②延长 AC 交 BD 于点 E,必有 (2)特殊情况 ➢ 条件: , ,将 旋转至右图位置 ➢ 结论:右图中① ;②延长 AC 交 BD 于点 E,必有 ; ③ ; ④ ; ⑤ 连 接 AD 、 BC , 必 有 ; ⑥ (对角线互相垂直的四边形) ➢ 模型三:对角互补模型 (1)全等型-90° ➢ 条件:① ;②OC 平分 ➢ 结论:①CD=CE; ② ;③ ➢ 证明提示: ①作垂直,如图,证明 ; ②过点 C 作 ,如上图(右),证明 ; ➢ 当 的一边交 AO 的延长线于点 D 时: 以上三个结论:①CD=CE(不变);② ;③ 此结论证明方法与前一种情况一致,可自行尝试。 (2)全等型-120° ➢ 条件:① ;② 平分 ; ➢ 结论:① ;② ;③ ➢ 证明提示:①可参考“全等型-90°”证法一; ②如图:在 OB 上取一点 F,使 OF=OC,证明 为等边三角形。 ➢ 当 的一边交 AO 的延长线于点 D 时(如上图右): 原结论变成:① ; ② ; ③ ; 可参考上述第②种方法进行证明。 (3)全等型-任意角 ➢ 条件:① ;② ; ➢ 结 论 : ① 平 分 ; ② ; ③ . ➢ 当 的一边交 AO 的延长线于点 D 时(如右上图): 原结论变成:① ; ② ; ③ ; 可参考上述第②种方法进行证明。 ◇ 请思考初始条件的变化对模型的影响。 ➢ 如图所示,若将条件“ 平分 ”去掉,条件①不变, 平分 ,结论变化如下: 结论:① ;② ;③ . ➢ 对角互补模型总结: ①常见初始条件:四边形对角互补; 注意两点:四点共圆及直角三角形斜边中线; ②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别; ③两种常见的辅助线作法; ④注意下图中 平分 时, 相等是如何推导的? 模型四:角含半角模型 90° (1)角含半角模型 90°-1 ➢ 条件:①正方形 ;② ; ➢ 结论:① ;② 的周长为正方形 周长的一半; 也可以这样: ➢ 条件:①正方形 ;② ➢ 结论: (2)角含半角模型 90°-2 ➢ 条件:①正方形 ;② ; ➢ 结论: ➢ 辅助线如下图所示: (3)角含半角模型 90°-3 ➢ 条件:① ;② ; ➢ 结论: 若 旋转到 外部时,结论 仍然成立。 (4)角含半角模型 90°变形 ➢ 条件:①正方形 ;② ; ➢ 结论: 为等腰直角三角形。 ➢ 模型五:倍长中线类模型 (1)倍长中线类模型-1 ➢ 条件:①矩形 ;② ;③ ; ➢ 结论: 模型提取:①有平行线 ;②平行线间线段有中点 ; 可以构造“8”字全等 。 (2)倍长中线类模型-2 ➢ 条件:①平行四边形 ;② ;③ ;④ . ➢ 结论: ➢ 模型六:相似三角形 360°旋转模型 (1)相似三角形(等腰直角)360°旋转模型-倍长中线法 ➢ 条件:① 、 均为等腰直角三角形;② ➢ 结论:① ;② (1)相似三角形(等腰直角)360°旋转模型-补全法 ➢ 条件:① 、 均为等腰直角三角形;② ; ➢ 结论:① ;② (2)任意相似直角三角形 360°旋转模型-补全法 ➢ 条件:① ;② ;③ 。 ➢ 结论:① ;② (2)任意相似直角三角形 360°旋转模型-倍长法 ➢ 条件:① ;② ;③ 。 ➢ 结论:① ;② ➢ 模型七:最短路程模型 (1)最短路程模型一(将军饮马类) (2)最短路程模型二(点到直线类 1) ➢ 条件:① 平分 ;② 为 上一定点;③ 为 上一动点;④ 为 上一动点; ➢ 求: 最小时, 的位置? (3)最短路程模型二(点到直线类 2) (4)最短路程模型二(点到直线类 3) ➢ 条件: ➢ 问题: 为何值时, 最小 ➢ 求解方法:① 轴上取 ,使 ;②过 作 ,交 轴于点 ,即为所求; ③ ,即 . (5)最短路程模型三(旋转类最值模型) (6)最短路程模型三(动点在圆上) ➢ 模型八:二倍角模型 ➢ 模型九:相似三角形模型 (1)相似三角形模型-基本型 (2)相似三角形模型-斜交型 (3)相似三角形模型-一线三角型 (4)相似三角形模型-圆幂定理型 ➢