中考数学综合专题训练动点专题专题解析 54页

中考数学综合专题训练【动点专题】精品专题解析 ‎ ‎ 专题一：建立动点问题的函数解析式 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.‎ 一、应用勾股定理建立函数解析式 例1如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上,有一个动点P,PH⊥OA,垂足为H,△OPH的重心为G.‎ ‎(1)当点P在弧AB上运动时,线段GO、GP、GH中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.‎ ‎(2)设PH,GP,求关于的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量的取值范围).‎ H M N G P O A B 图1‎ ‎(3)如果△PGH是等腰三角形,试求出线段PH的长.‎ 解:(1)当点P在弧AB上运动时,OP保持不变,于是线段GO、GP、GH中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=NH=OP=2.‎ ‎(2)在Rt△POH中, , ∴.‎ 在Rt△MPH中,‎ ‎.‎ ‎∴=GP=MP= (0<<6).‎ ‎(3)△PGH是等腰三角形有三种可能情况:‎ ‎①GP=PH时,,解得. 经检验, 是原方程的根,且符合题意.‎ ‎②GP=GH时, ,解得. 经检验, 是原方程的根,但不符合题意.‎ ‎③PH=GH时,.‎ 综上所述,如果△PGH是等腰三角形,那么线段PH的长为或2.‎ 二、应用比例式建立函数解析式 ‎ 例2如图2,在△ABC中,AB=AC=1,点D,E在直线BC上运动.设BD=CE=.‎ ‎ (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定与之间的函数解析式； ‎ A E D C B 图2‎ ‎ (2)如果∠BAC的度数为,∠DAE的度数为,当,满足怎样的关系式时,(1)中与之间的函数解析式还成立?试说明理由.‎ 解:(1)在△ABC中,∵AB=AC,∠BAC=30°, ‎ ‎∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°.‎ ‎∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°, ‎ 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°,‎ ‎ ∴∠CAE=∠ADB, ‎ ‎∴△ADB∽△EAC, ∴,‎ O ‎●‎ F P D E A C B ‎3(1)‎ ‎ ∴, ∴.‎ ‎(2)由于∠DAB+∠CAE=,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=,且函数关系式成立,‎ ‎∴=, 整理得.‎ 当时,函数解析式成立.‎ 例3如图3(1),在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点O是边AC上的一个动点,以点O为圆心作半圆,与边AB相切于点D,交线段OC于点E.作EP⊥ED,交射线AB于点P,交射线CB于点F.‎ ‎●‎ P D E A C B ‎3(2)‎ O F ‎(1)求证: △ADE∽△AEP.‎ ‎(2)设OA=,AP=,求关于的函数解析式,并写出它的定义域.‎ ‎ (3)当BF=1时,求线段AP的长.‎ 解:(1)连结OD.‎ 根据题意,得OD⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP.‎ 又由OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP, ∴△ADE∽△AEP.‎ ‎(2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3, ∴AC=5. ∵∠ABC=∠ADO=90°, ∴‎ OD∥BC, ∴,,‎ ‎∴OD=,AD=. ∴AE==. ‎ ‎∵△ADE∽△AEP, ∴, ∴. ∴ ().‎ ‎(3)当BF=1时，‎ ‎ ①若EP交线段CB的延长线于点F,如图3(1)，则CF=4.‎ ‎∵∠ADE=∠AEP, ∴∠PDE=∠PEC. ∵∠FBP=∠DEP=90°, ∠FPB=∠DPE,‎ ‎∴∠F=∠PDE, ∴∠F=∠FEC, ∴CF=CE.‎ ‎ ∴5-=4,得.可求得,即AP=2.‎ ‎②若EP交线段CB于点F,如图3(2), 则CF=2.‎ 类似①,可得CF=CE.‎ ‎∴5-=2,得.‎ 可求得,即AP=6.‎ 综上所述, 当BF=1时,线段AP的长为2或6.‎ 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式 A B C O 图8‎ H 例4如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=,⊙A的半径为1.若点O在BC边上运动(与点B、C不重合),设BO=,△AOC的面积为.‎ ‎(1)求关于的函数解析式,并写出函数的定义域.‎ ‎(2)以点O为圆心,BO长为半径作圆O,求当⊙O与⊙A相切时,‎ ‎△AOC的面积.‎ 解:(1)过点A作AH⊥BC,垂足为H.‎ ‎∵∠BAC=90°,AB=AC=, ∴BC=4,AH=BC=2. ∴OC=4-.‎ ‎∵, ∴ ().‎ ‎(2)①当⊙O与⊙A外切时,‎ 在Rt△AOH中,OA=,OH=, ∴. 解得.‎ 此时,△AOC的面积=.‎ ‎②当⊙O与⊙A内切时,‎ 在Rt△AOH中,OA=,OH=, ∴. 解得.‎ 此时,△AOC的面积=.‎ 综上所述,当⊙O与⊙A相切时,△AOC的面积为或.‎ 专题二：动态几何型压轴题 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。‎ 一、以动态几何为主线的压轴题 ‎ ‎（一）点动问题．‎ ‎1．（09年徐汇区）如图，中，，，点在边上，且，以点为顶点作，分别交边于点，交射线于点．‎ ‎（1）当时，求的长； ‎ ‎（2）当以点为圆心长为半径的⊙和以点为圆心长为半径的⊙相切时，‎ 求的长； ‎ ‎（3）当以边为直径的⊙与线段相切时，求的长． ‎ ‎[题型背景和区分度测量点]‎ 例六,典型的一线三角(三等角)问题,试题在原题的基础上改编出第一小题,当E点在AB边上运动时，渗透入圆与圆的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了第二小题,加入直线与圆的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了第三小题．区分度测量点在直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系,从而利用方程思想来求解．‎ ‎[区分度性小题处理手法]‎ ‎1．直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用d=r建立方程．‎ ‎2．圆与圆的位置关系的存在性(相切问题)的处理方法：利用d=R±r()建立方程．‎ ‎3．解题的关键是用含的代数式表示出相关的线段.‎ ‎ [ 略解]‎ 解：（1） 证明∽∴ ，代入数据得，∴AF=2‎ ‎（2）　设BE=,则利用（1）的方法，‎ ‎ 相切时分外切和内切两种情况考虑： 外切，，；‎ 内切，，．‎ ‎∴当⊙和⊙相切时，的长为或．‎ ‎（3）当以边为直径的⊙与线段相切时，．‎ 类题 ⑴一个动点：09杨浦25题（四月、五月）、09静安25题、‎ ‎ ⑵两个动点：09闸北25题、09松江25题、09卢湾25题、09青浦25题．‎ ‎（二）线动问题 在矩形ABCD中，AB＝3，点O在对角线AC上，直线l过点O，且与AC垂直交AD于点E.(1)若直线l过点B，把△ABE沿直线l翻折，点A与矩形ABCD的对称中心A＇重合，求BC的长；‎ A B C D E O l A′‎ ‎(2)若直线l与AB相交于点F，且AO＝AC，设AD的长为，五边形BCDEF的面积为S.①求S关于的函数关系式，并指出的取值范围；‎ ‎②探索：是否存在这样的，以A为圆心，以长为半径的圆与直线l相切，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎[题型背景和区分度测量点]‎ A B C D E O l F 本题以矩形为背景,结合轴对称、相似、三角等相关知识编制得到．第一小题考核了学生轴对称、矩形、勾股定理三小块知识内容；当直线沿AB边向上平移时，探求面积函数解析式为区分测量点一、加入直线与圆的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了区分度测量点二．‎ ‎[区分度性小题处理手法]‎ ‎1．找面积关系的函数解析式，规则图形套用公式或用割补法，不规则图形用割补法．‎ ‎2．直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用d=r建立方程．‎ ‎3．解题的关键是用含的代数式表示出相关的线段.‎ ‎ [ 略解]‎ ‎(1)∵A’是矩形ABCD的对称中心∴A’B＝AA’＝AC ‎∵AB＝A’B，AB＝3∴AC＝6 ‎ ‎ (2)①，，，‎ ‎∴，‎ ‎ ()‎ ‎②若圆A与直线l相切，则，(舍去)，∵∴不存在这样的，使圆A与直线l相切．‎ ‎（三）面动问题 ‎ 如图，在中，，、分别是边、上的两个动点（不与、重合），且保持，以为边，在点的异侧作正方形.‎ ‎（1）试求的面积；‎ ‎（2）当边与重合时，求正方形的边长；‎ ‎（3）设，与正方形重叠部分的面积为，试求关于的函数关系式，并写出定义域；‎ ‎（4）当是等腰三角形时，请直接写出的长． ‎ ‎[题型背景和区分度测量点]典型的共角相似三角形问题,试题为了形成坡度，在原题的基础上改编出求等腰三角形面积的第一小题,当D点在AB边上运动时，正方形 整体动起来，GF边落在BC边上时，恰好和教材中的例题对应，可以说是相似三角形对应的小高比大高=对应的小边比大边，探寻正方形和三角形的重叠部分的面积与线段AD的关系的函数解析式形成了第三小题，仍然属于面积类习题来设置区分测量点一，用等腰三角形的存在性来设置区分测量点二．‎ ‎ [区分度性小题处理手法]‎ ‎1．找到三角形与正方形的重叠部分是解决本题的关键，如上图3-1、3-2重叠部分分别为正方形和矩形包括两种情况．‎ ‎2．正确的抓住等腰三角形的腰与底的分类，如上图3-3、3-4、3-5用方程思想解决．‎ ‎3．解题的关键是用含的代数式表示出相关的线段.‎ ‎[ 略解]‎ 解：（1）.‎ ‎（2）令此时正方形的边长为，则，解得.‎ ‎（3）当时， ，‎ 当时， .‎ ‎ （4）.‎ ‎[类题] 改编自09奉贤3月考25题，将条件（2）“当点M、N分别在边BA、CA上时”,去掉，同时加到第（3）题中.‎ A B F D E M N C 已知：在△ABC中，AB=AC，∠B=30º，BC=6，点D在边BC上，点E在线段DC上，DE=3，△DEF是等边三角形，边DF、EF与边BA、CA分别相交于点M、N．‎ ‎ 　 （1）求证：△BDM∽△CEN；‎ ‎ 　　　　　　（2）设BD=，△ABC与△DEF重叠部分的面积为，求关于的函数解析式，并写出定义域．‎ ‎（3）当点M、N分别在边BA、CA上时,是否存在点D，使以M为圆心, BM为半径的圆与直线EF相切, 如果存在，请求出x的值；如不存在，请说明理由．‎ 例1：已知⊙O的弦AB的长等于⊙O的半径，点C在⊙O上变化（不与A、B）重合，求∠ACB的大小 .‎ 分析：点C的变化是否影响∠‎ ACB的大小的变化呢?我们不妨将点C改变一下,如何变化呢？可能在优弧AB上，也可能在劣弧AB上变化，显然这两者的结果不一样。那么，当点C在优弧AB上变化时，∠ACB所对的弧是劣弧AB，它的大小为劣弧AB的一半，因此很自然地想到它的圆心角，连结AO、BO，则由于AB=OA=OB，即三角形ABC为等边三角形，则∠AOB=600，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：∠ACB=∠AOB=300，‎ 当点C在劣弧AB上变化时，∠ACB所对的弧是优弧AB，它的大小为优弧AB的一半，由∠AOB=600得，优弧AB的度数为3600-600=3000，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：∠ACB=1500，‎ 因此，本题的答案有两个，分别为300或1500.‎ 反思：本题通过点C在圆上运动的不确定性而引起结果的不唯一性。从而需要分类讨论。这样由点C的运动变化性而引起的分类讨论在解题中经常出现。‎ 变式1：已知△ABC是半径为2的圆内接三角形，若，求∠C的大小.‎ 本题与例1的区别只是AB与圆的半径的关系发生了一些变化,其解题方法与上面一致,在三角形AOB中,,则,即,‎ 从而当点C在优弧AB上变化时，∠C所对的弧是劣弧AB，它的大小为劣弧AB的一半，即,‎ 当点C在劣弧AB上变化时，∠C所对的弧是优弧AB，它的大小为优弧AB的一半，由∠AOB=1200得，优弧AB的度数为3600-1200=2400，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：∠C=1200，‎ 因此或∠C=1200.‎ 变式2: 如图,半经为1的半圆O上有两个动点A、B，若AB=1，‎ 判断∠AOB的大小是否会随点A、B的变化而变化，若变化，求出变化范围，若不变化，求出它的值。‎ 四边形ABCD的面积的最大值。‎ 解：（1）由于AB=OA=OB，所以三角形AOB为等边三角形，则∠AOB=600，即∠AOB的大小不会随点A、B的变化而变化。‎ ‎（2）四边形ABCD的面积由三个三角形组成，其中三角形AOB的面积为，而三角 形AOD与三角形BOC的面积之和为，又由梯形 的中位线定理得三角形AOD与三角形BOC的面积之和，要四边形 ABCD的面积最大，只需EH最大，显然EH≤OE=，当AB∥CD时，EH=OE，因此 四边形ABCD的面积最大值为+=.‎ 对于本题同学们还可以继续思考:四边形ABCD的周长的变化范围.‎ 变式3: 如图,有一块半圆形的木板,现要把它截成三角形板块.三角形的两个顶点分 别为A、B，另一个顶点C在半圆上，问怎样截取才能使截出的三角形的面积最大？要求说明理由（广州市2000年考题）‎ ‎ 分析：要使三角形ABC的面积最大，而三角形ABC的底边AB为圆的直径为常量，只需AB边上的高最大即可。过点C作CD⊥AB于点D，连结CO，‎ 由于CD≤CO，当O与D重合，CD=CO，因此，当CO与AB垂直时，即C为半圆弧 的中点时，其三角形ABC的面积最大。‎ 本题也可以先猜想，点C为半圆弧的中点时，三角形ABC的面积最大，故只需另选一个位置C1（不与C重合），，证明三角形ABC的面积大于三角形ABC1的面积即可。如图 显然三角形 ABC1的面积=AB×C1D，而C1D< C1O=CO,则三角形 ABC1的面积=AB×C1DAD+DB (D) AC+CB与AD+DB的大小关系不确定 分析:本题可以通过动手操作一下,度量AC、CB、AD、DB的长度，可以尝试换几个位置量一量，得出结论（C）‎ 例5：如图，过两同心圆的小圆上任一点C分别作小圆的直径CA和非直径的弦CD，延长CA和CD与大圆分别交于点B、E，则下列结论中正确的是（ * ）‎ ‎ （A） （B）‎ ‎ （C）（D）的大小不确定 分析：本题可以通过度量的方法进行，选（B）‎ 本题也可以可以证明得出结论，连结DO、EO，则在三角形OED中，由于两边之差小于第三边，则 OE—OD3).动点M，N同时从B点出发，分别沿B→A，B→C运动，速度是‎1厘米/秒.过M作直线垂直于AB，分别交AN，CD于P，Q.当点N到达终点C时，点M也随之停止运动.设运动时间为t秒. 　　(1)若a=‎4厘米，t=1秒，则PM=厘米； 　　(2)若a=‎5厘米，求时间t，使△PNB∽△PAD，并求出它们的相似比； 　　(3)若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求a的取值范围； ‎ ‎ 　　(4)是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN的面积都相等?若存在，求a的值；若不存在，请说明理由. 　 　　评析 本题是以双动点为载体，矩形为背景创设的存在性问题.试题由浅入深、层层递进，将几何与代数知识完美的综合为一题，侧重对相似和梯形面积等知识点的考查，本题的难点主要是题(3)，解决此题的关键是运用相似三角形的性质用t的代数式表示PM，进而利用梯形面积相等列等式求出t与a的函数关系式，再利用t的范围确定的a取值范围. 第(4)小题是题(3)结论的拓展应用，在解决此问题的过程中，要有全局观念以及对问题的整体把握. ‎ ‎　4 以双动点为载体，探求函数最值问题 　　 　　例4 (2007年吉林省)如图9，在边长为‎82cm的正方形ABCD中，E、F是对角线AC上的两个动点，它们分别从点A、C同时出发，沿对角线以‎1cm/s的相同速度运动，过E作EH垂直AC交Rt△ACD的直角边于H；过F作FG垂直AC交Rt△ACD的直角边于G，连结HG、EB.设HE、EF、FG、GH围成的图形面积为S1，AE、EB、BA围成的图形面积为S2(这里规定：线段的面积为0).E到达C，F到达A停止.若E的运动时间为x(s)，解答下列问题： 　　(1)当0