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- 2021-05-13 发布
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中考几何母题的一题多解(多变)
一、三角形一题多解
如图:已知AB=AC,E是AC延长线上一点,且有BF=CE,连接FE交BC于D。求证:FD=DE。
证法一
证明:过E点作EM ∥AB交DC延长线于M点,则∠M=∠B,又因为∠ACB=∠B
∠ACB=∠ECM=∠M,所以CE=EM, 又EC=BF 从而EM=BF,∠BFD=∠DEM
则△DBF≌△DME,故 FD=DE;
证法二
证明:过E点作EM ∥AB交DC延长线于M点,则∠M=∠B,又因为∠ACB=∠B
∠ACB=∠ECM=∠M,所以CE=EM, 又EC=BF 从而EM=BF,∠BFD=∠DEM
则△DBF≌△DME,故 FD=DE;
证法二
证明:过F点作FM∥AE,交BD于点M,
则∠1=∠2 = ∠B 所以BF=FM,
又 ∠4=∠3 ∠5=∠E
所以△DMF≌△DCE,故 FD=DE。
二、平行四边形一题多解
如图4,平行四边形 ABCD中AD=2AB,E、F在直线AB上,且AE=BF=AB,求证:DF⊥CE.
证法一、易知ΔADF、ΔBCE为等腰三角形,故∠1=∠F, ∠2=∠E,又CD∥AB,故∠3=∠F, ∠4=∠E,从而∠1=∠3,∠2=∠4,而∠1+∠2+∠3+∠4=1800,故∠3+∠4=900,表明∠COD=900,所以DF⊥CE。
证法二、如图5,连接MN,则CD=BF,且CD∥BF,故BFCD为平行四边形,则CN=BN=AB,同理,DM=MA=AB,故CN=DM且CN∥DM,得平行四边形CDMN,易见CD=DM,故CDMN也是菱形,根据菱形的对角线互相垂直,结论成立。
证法三、如图6,连接BM、AN, 可证ΔAFN中,BN=BF=BA,则ΔAFN为直角三角形,即DF⊥AN,利用中位线定理可知AN∥CE,故DF⊥CE。
证法四、如图7,作DG∥CE交AE延长线于G,则EG=CD=AB=AE,故AD=AG=AF,从而DF⊥DG,而DGCE,故DF⊥CE
四一题多解、多变《四边形面积》
1. 如图所示,一个长为a,宽为b的矩形,两个阴影都是长为c的矩形与平行四边形,则阴影部分面积是多少。
解法一
将大矩形进行平移将平行四边形
进行转换。
(a-c)(b-c)
解法二
重叠面积为c的平方,大矩形面积为ab,小矩形为ac,平行四边形为bc,阴影面积为ab-ac-bc+cc=(a-c)(b-c)
2如图所示一个长为500dm宽为300dm的花坛要修两条过道,两条过道一样宽,花坛面积1340平方米,求过道宽。
方法一:将大矩形进行平移将平行四边形进行转换。
解:1500-80x=1340
X=2
过道宽两米。
方法二:
解:(300-x)(500-x)=1340
X=2
过道宽两米
五正方形一题多变
1已知正方形ABCD , EOF=90`,O是对角线交点,点E F 在BC ,CD上 ,求证 EO=FO
证明四边形ABCD是正方形 BO=CF BOC=-90 OBE=COF 又EOF=90`
BOE=COF △BOE≌△COF EO=FO
变式一
已知正方形ABCD , EOF=90` ,O是对角线交点,点E F 在BC ,CD边延长线上 ,求证 EO=FO
证明四边形ABCD是正方形 BO=CF BOC=-90 OBE=COF 又EOF=90`
BOE=COF △BOE≌△COF EO=FO
变式二
已知正方形ABCD,O 是AC任意一点 BOF=90`点E 在BC边上 ,求证 BO=EO
过O作ON, OM AB,DC
四边形ABCD是正方形
OCM=45
又 ON, OM AB,DC
MO=CM=NB
ONB=OMC
MOE=NBO
△MOE≌△NBO
BO=EO
六 一题多解练习
B
F
D
A
E
C
如图:已知梯形ABCD,AD∥BC,,以AB、BD为边,作平行四边形ABDE,AD的延长线交CE于F。求证:EF=FC.
参考答案
证法一
∵AD∥BC
∴将AB平移到DC
由平行四边形ABDE
∴AB∥=DE
∵DG∥=AB
∴DG=ED
∵AD∥BC, 即DF∥BC
∴EF=FC
A
E
C
证法二
连接BE交AD于O
∵平行四边形ABDE
∴OB=OE
∵AD∥BC, 即OF∥BC 中位线
∴EF=CF
O
B
F
D
A
E
C
证法三
AD∥BC,即AF∥BC
将BD平移到CG的位置,
并交AF延长线于G。
可证△AEF≌△GCF
∴FE=FC
G
B
F
D
A
E
C