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- 2021-05-13 发布
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2018年山东省烟台市中考数学试卷
一、选择题(本题共12个小题,每小题3分,满分36分)每小题都给出标号为A,B,C,D四个备选答案,其中有且只有一个是正确的。
1.(3.00分)﹣的倒数是( )
A.3 B.﹣3 C. D.﹣
2.(3.00分)在学习《图形变化的简单应用》这一节时,老师要求同学们利用图形变化设计图案.下列设计的图案中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.(3.00分)2018年政府工作报告指出,过去五年来,我国经济实力跃上新台阶.国内生产总值从54万亿元增加到82.7万亿元,稳居世界第二,82.7万亿用科学记数法表示为( )
A.0.827×1014 B.82.7×1012 C.8.27×1013 D.8.27×1014
4.(3.00分)由5个棱长为1的小正方体组成的几何体如图放置,一面着地,两面靠墙.如果要将露出来的部分涂色,则涂色部分的面积为( )
A.9 B.11 C.14 D.18
5.(3.00分)甲、乙、丙、丁4支仪仗队队员身高的平均数及方差如下表所示:
甲
乙
丙
丁
平均数(cm)
177
178
178
179
方差
0.9
1.6
1.1
0.6
哪支仪仗队的身高更为整齐?( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
6.(3.00分)下列说法正确的是( )
A.367人中至少有2人生日相同
B.任意掷一枚均匀的骰子,掷出的点数是偶数的概率是
C.天气预报说明天的降水概率为90%,则明天一定会下雨
D.某种彩票中奖的概率是1%,则买100张彩票一定有1张中奖
7.(3.00分)利用计算器求值时,小明将按键顺序为显示结果记为a,的显示结果记为b.则a,b的大小关系为( )
A.a<b B.a>b C.a=b D.不能比较
8.(3.00分)如图所示,下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的,按此规律摆下去,第n个图形中有120朵玫瑰花,则n的值为( )
A.28 B.29 C.30 D.31
9.(3.00分)对角线长分别为6和8的菱形ABCD如图所示,点O为对角线的交点,过点O折叠菱形,使B,B′两点重合,MN是折痕.若B'M=1,则CN的长为( )
A.7 B.6 C.5 D.4
10.(3.00分)如图,四边形ABCD内接于⊙O,点I是△ABC的内心,∠AIC=124°,点E在AD的延长线上,则∠CDE的度数为( )
A.56° B.62° C.68° D.78°
11.(3.00分)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(﹣1,0),B(3,0).下列结论:①2a﹣b=0;②(a+c)2<b2;③当﹣1<x<3时,y<0;④当a=1时,将抛物线先向上平移2个单位,再向右平移1个单位,得到抛物线y=(x﹣2)2﹣2.其中正确的是( )
A.①③ B.②③ C.②④ D.③④
12.(3.00分)如图,矩形ABCD中,AB=8cm,BC=6cm,点P从点A出发,以lcm/s的速度沿A→D→C方向匀速运动,同时点Q从点A出发,以2cm/s的速度沿A→B→C方向匀速运动,当一个点到达点C时,另一个点也随之停止.设运动时间为t(s),△APQ的面积为S(cm2),下列能大致反映S与t之间函数关系的图象是( )
A. B.
C. D.
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,满分18分)
13.(3.00分)(π﹣3.14)0+tan60°= .
14.(3.00分)与最简二次根式5是同类二次根式,则a= .
15.(3.00分)如图,反比例函数y=的图象经过▱ABCD对角线的交点P,已知点A,C,D在坐标轴上,BD⊥DC,▱ABCD的面积为6,则k= .
16.(3.00分)如图,方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度,点O,A,B,C在格点(两条网格线的交点叫格点)上,以点O为原点建立直角坐标系,则过A,B,C三点的圆的圆心坐标为 .
17.(3.00分)已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0的实数根x1,x2,满足3x1x2﹣x1﹣x2>2,则m的取值范围是 .
18.(3.00分)如图,点O为正六边形ABCDEF的中心,点M为AF中点,以点O为圆心,以OM的长为半径画弧得到扇形MON,点N在BC上;以点E为圆心,以DE的长为半径画弧得到扇形DEF,把扇形MON的两条半径OM,ON重合,围成圆锥,将此圆锥的底面半径记为r1;将扇形DEF以同样方法围成的圆锥的底面半径记为r2,则r1:r2= .
三、解答题(本大题共7个小题,满分66分)
19.(6.00分)先化简,再求值:(1+)÷,其中x满足x2﹣2x﹣5=0.
20.(8.00分)随着信息技术的迅猛发展,人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷.某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷,要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式.现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图,请结合图中所给的信息解答下列问题:
(1)这次活动共调查了 人;在扇形统计图中,表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为 ;
(2)将条形统计图补充完整.观察此图,支付方式的“众数”是“ ”;
(3)在一次购物中,小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付,请用画树状图或列表格的方法,求出两人恰好选择同一种支付方式的概率.
21.(8.00分)汽车超速行驶是交通安全的重大隐患,为了有效降低交通事故的发生,许多道路在事故易发路段设置了区间测速如图,学校附近有一条笔直的公路l,其间设有区间测速,所有车辆限速40千米/小时数学实践活动小组设计了如下活动:在l上确定A,B两点,并在AB路段进行区间测速.在l外取一点P,作PC⊥l,垂足为点C.测得PC=30米,∠APC=71°,∠BPC=35°.上午9时测得一汽车从点A到点B用时6秒,请你用所学的数学知识说明该车是否超速.(参考数据:sin35°≈0.57,cos35°≈0.82,tan35°≈0.70,sin71°≈0.95,cos71°≈0.33,tan71°≈2.90)
22.(9.00分)为提高市民的环保意识,倡导“节能减排,绿色出行”,某市计划在城区投放一批“共享单车”这批单车分为A,B两种不同款型,其中A型车单价400元,B型车单价320元.
(1)今年年初,“共享单车”试点投放在某市中心城区正式启动.投放A,B两种款型的单车共100辆,总价值36800元.试问本次试点投放的A型车与B型车各多少辆?
(2)试点投放活动得到了广大市民的认可,该市决定将此项公益活动在整个城区全面铺开.按照试点投放中A,B两车型的数量比进行投放,且投资总价值不低于184万元.请问城区10万人口平均每100人至少享有A型车与B型车各多少辆?
23.(10.00分)如图,已知D,E分别为△ABC的边AB,BC上两点,点A,C,E在⊙D上,点B,D在⊙E上.F为上一点,连接FE并延长交AC的延长线于点N,交AB于点M.
(1)若∠EBD为α,请将∠CAD用含α的代数式表示;
(2)若EM=MB,请说明当∠CAD为多少度时,直线EF为⊙D的切线;
(3)在(2)的条件下,若AD=,求的值.
24.(11.00分)【问题解决】
一节数学课上,老师提出了这样一个问题:如图1,点P是正方形ABCD内一点,PA=1,PB=2,PC=3.你能求出∠APB的度数吗?
小明通过观察、分析、思考,形成了如下思路:
思路一:将△BPC绕点B逆时针旋转90°,得到△BP′A,连接PP′,求出∠APB的度数;
思路二:将△APB绕点B顺时针旋转90°,得到△CP'B,连接PP′,求出∠APB的度数.
请参考小明的思路,任选一种写出完整的解答过程.
【类比探究】
如图2,若点P是正方形ABCD外一点,PA=3,PB=1,PC=,求∠APB的度数.
25.(14.00分)如图1,抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A(﹣4,0),B(1,0)两点,过点B的直线y=kx+分别与y轴及抛物线交于点C,D.
(1)求直线和抛物线的表达式;
(2)动点P从点O出发,在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动,设运动时间为t秒,当t为何值时,△PDC为直角三角形?请直接写出所有满足条件的t的值;
(3)如图2,将直线BD沿y轴向下平移4个单位后,与x轴,y轴分别交于E,F两点,在抛物线的对称轴上是否存在点M,在直线EF上是否存在点N,使DM+MN的值最小?若存在,求出其最小值及点M,N的坐标;若不存在,请说明理由.
2018年山东省烟台市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本题共12个小题,每小题3分,满分36分)每小题都给出标号为A,B,C,D四个备选答案,其中有且只有一个是正确的。
1.(3.00分)﹣的倒数是( )
A.3 B.﹣3 C. D.﹣
【解答】解:﹣的倒数是﹣3,
故选:B.
2.(3.00分)在学习《图形变化的简单应用》这一节时,老师要求同学们利用图形变化设计图案.下列设计的图案中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
【解答】解:A、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误;
B、是轴对称图形,也是中心对称图形,故此选项错误;
C、不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项正确;
D、是轴对称图形,也是中心对称图形,故此选项错误.
故选:C.
3.(3.00分)2018年政府工作报告指出,过去五年来,我国经济实力跃上新台阶.国内生产总值从54万亿元增加到82.7万亿元,稳居世界第二,82.7万亿用科学记数法表示为( )
A.0.827×1014 B.82.7×1012 C.8.27×1013 D.8.27×1014
【解答】解:82.7万亿=8.27×1013,
故选:C.
4.(3.00分)由5个棱长为1的小正方体组成的几何体如图放置,一面着地,两面靠墙.如果要将露出来的部分涂色,则涂色部分的面积为( )
A.9 B.11 C.14 D.18
【解答】解:由图可知涂色部分是从上、前、右三个方向所涂面积相加,即涂色部分面积为4+4+3=11,
故选:B.
5.(3.00分)甲、乙、丙、丁4支仪仗队队员身高的平均数及方差如下表所示:
甲
乙
丙
丁
平均数(cm)
177
178
178
179
方差
0.9
1.6
1.1
0.6
哪支仪仗队的身高更为整齐?( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
【解答】解:∵甲、乙、丙、丁4支仪仗队队员身高的方差中丁的方差最小,
∴丁仪仗队的身高更为整齐,
故选:D.
6.(3.00分)下列说法正确的是( )
A.367人中至少有2人生日相同
B.任意掷一枚均匀的骰子,掷出的点数是偶数的概率是
C.天气预报说明天的降水概率为90%,则明天一定会下雨
D.某种彩票中奖的概率是1%,则买100张彩票一定有1张中奖
【解答】解:A、367人中至少有2人生日相同,正确;
B、任意掷一枚均匀的骰子,掷出的点数是偶数的概率是,错误;
C、天气预报说明天的降水概率为90%,则明天不一定会下雨,错误;
D、某种彩票中奖的概率是1%,则买100张彩票不一定有1张中奖,错误;
故选:A.
7.(3.00分)利用计算器求值时,小明将按键顺序为显示结果记为a,的显示结果记为b.则a,b的大小关系为( )
A.a<b B.a>b C.a=b D.不能比较
【解答】解:由计算器知a=(sin30°)﹣4=16、b==12,
∴a>b,
故选:B.
8.(3.00分)如图所示,下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的,按此规律摆下去,第n个图形中有120朵玫瑰花,则n的值为( )
A.28 B.29 C.30 D.31
【解答】解:由图可得,
第n个图形有玫瑰花:4n,
令4n=120,得n=30,
故选:C.
9.(3.00分)对角线长分别为6和8的菱形ABCD如图所示,点O为对角线的交点,过点O折叠菱形,使B,B′两点重合,MN是折痕.若B'M=1,则CN的长为( )
A.7 B.6 C.5 D.4
【解答】解:连接AC、BD,如图,
∵点O为菱形ABCD的对角线的交点,
∴OC=AC=3,OD=BD=4,∠COD=90°,
在Rt△COD中,CD==5,
∵AB∥CD,
∴∠MBO=∠NDO,
在△OBM和△ODN中
,
∴△OBM≌△ODN,
∴DN=BM,
∵过点O折叠菱形,使B,B′两点重合,MN是折痕,
∴BM=B'M=1,
∴DN=1,
∴CN=CD﹣DN=5﹣1=4.
故选:D.
10.(3.00分)如图,四边形ABCD内接于⊙O,点I是△ABC的内心,∠
AIC=124°,点E在AD的延长线上,则∠CDE的度数为( )
A.56° B.62° C.68° D.78°
【解答】解:∵点I是△ABC的内心,
∴∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA,
∵∠AIC=124°,
∴∠B=180°﹣(∠BAC+∠ACB)
=180°﹣2(∠IAC+∠ICA)
=180°﹣2(180°﹣∠AIC)
=68°,
又四边形ABCD内接于⊙O,
∴∠CDE=∠B=68°,
故选:C.
11.(3.00分)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(﹣1,0),B(3,0).下列结论:①2a﹣b=0;②(a+c)2<b2;③当﹣1<x<3时,y<0;④当a=1时,将抛物线先向上平移2个单位,再向右平移1个单位,得到抛物线y=(x﹣2)2﹣2.其中正确的是( )
A.①③ B.②③ C.②④ D.③④
【解答】解:①图象与x轴交于点A(﹣1,0),B(3,0),
∴二次函数的图象的对称轴为x==1
∴=1
∴2a+b=0,故①错误;
②令x=﹣1,
∴y=a﹣b+c=0,
∴a+c=b,
∴(a+c)2=b2,故②错误;
③由图可知:当﹣1<x<3时,y<0,故③正确;
④当a=1时,
∴y=(x+1)(x﹣3)=(x﹣1)2﹣4
将抛物线先向上平移2个单位,再向右平移1个单位,
得到抛物线y=(x﹣1﹣1)2﹣4+2=(x﹣2)2﹣2,故④正确;
故选:D.
12.(3.00分)如图,矩形ABCD中,AB=8cm,BC=6cm,点P从点A出发,以lcm/s的速度沿A→D→C方向匀速运动,同时点Q从点A出发,以2cm/s的速度沿A→B→C方向匀速运动,当一个点到达点C时,另一个点也随之停止.设运动时间为t(s),△APQ的面积为S(cm2),下列能大致反映S与t之间函数关系的图象是( )
A. B. C. D.
【解答】解:由题意得:AP=t,AQ=2t,
①当0≤t≤4时,Q在边AB上,P在边AD上,如图1,
S△APQ=AP•AQ==t2,
故选项C、D不正确;
②当4<t≤6时,Q在边BC上,P在边AD上,如图2,
S△APQ=AP•AB==4t,
故选项B不正确;
故选:A.
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,满分18分)
13.(3.00分)(π﹣3.14)0+tan60°= 1+ .
【解答】解:原式=1+.
故答案为:1+.
14.(3.00分)与最简二次根式5是同类二次根式,则a= 2 .
【解答】解:∵与最简二次根式是同类二次根式,且,
∴a+1=3,解得:a=2.
故答案为2.
15.(3.00分)如图,反比例函数y=的图象经过▱ABCD对角线的交点P,已知点A,C,D在坐标轴上,BD⊥DC,▱ABCD的面积为6,则k= ﹣3 .
【解答】解:过点P做PE⊥y轴于点E
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB=CD
又∵BD⊥x轴
∴ABDO为矩形
∴AB=DO
∴S矩形ABDO=S▱ABCD=6
∵P为对角线交点,PE⊥y轴
∴四边形PDOE为矩形面积为3
即DO•EO=3
∴设P点坐标为(x,y)
k=xy=﹣3
故答案为:﹣3
16.(3.00分)如图,方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度,点O,A,B,C在格点(两条网格线的交点叫格点)上,以点O为原点建立直角坐标系,则过A,B,C三点的圆的圆心坐标为 (﹣1,﹣2) .
【解答】解:连接CB,作CB的垂直平分线,如图所示:
在CB的垂直平分线上找到一点D,
CD═DB=DA=,
所以D是过A,B,C三点的圆的圆心,
即D的坐标为(﹣1,﹣2),
故答案为:(﹣1,﹣2),
17.(3.00分)已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0的实数根x1,x2
,满足3x1x2﹣x1﹣x2>2,则m的取值范围是 3<m≤5 .
【解答】解:依题意得:,
解得3<m≤5.
故答案是:3<m≤5.
18.(3.00分)如图,点O为正六边形ABCDEF的中心,点M为AF中点,以点O为圆心,以OM的长为半径画弧得到扇形MON,点N在BC上;以点E为圆心,以DE的长为半径画弧得到扇形DEF,把扇形MON的两条半径OM,ON重合,围成圆锥,将此圆锥的底面半径记为r1;将扇形DEF以同样方法围成的圆锥的底面半径记为r2,则r1:r2= :2 .
【解答】解:连OA
由已知,M为AF中点,则OM⊥AF
∵六边形ABCDEF为正六边形
∴∠AOM=30°
设AM=a
∴AB=AO=2a,OM=
∵正六边形中心角为60°
∴∠MON=120°
∴扇形MON的弧长为:a
则r1=a
同理:扇形DEF的弧长为:
则r2=
r1:r2=
故答案为::2
三、解答题(本大题共7个小题,满分66分)
19.(6.00分)先化简,再求值:(1+)÷,其中x满足x2﹣2x﹣5=0.
【解答】解:原式=•=•=x(x﹣2)=x2﹣2x,
由x2﹣2x﹣5=0,得到x2﹣2x=5,
则原式=5.
20.(8.00分)随着信息技术的迅猛发展,人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷.某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷,要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式.现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图,请结合图中所给的信息解答下列问题:
(1)这次活动共调查了 200 人;在扇形统计图中,表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为 81° ;
(2)将条形统计图补充完整.观察此图,支付方式的“众数”是“ 微信 ”;
(3)在一次购物中,小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付,请用画树状图或列表格的方法,求出两人恰好选择同一种支付方式的概率.
【解答】解:(1)本次活动调查的总人数为(45+50+15)÷(1﹣15%﹣30%)=200人,
则表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为360°×=81°,
故答案为:200、81°;
(2)微信人数为200×30%=60人,银行卡人数为200×15%=30人,
补全图形如下:
由条形图知,支付方式的“众数”是“微信”,
故答案为:微信;
(3)将微信记为A、支付宝记为B、银行卡记为C,
画树状图如下:
画树状图得:
∵共有9种等可能的结果,其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种,
∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为=.
21.(8.00分)汽车超速行驶是交通安全的重大隐患,为了有效降低交通事故的发生,许多道路在事故易发路段设置了区间测速如图,学校附近有一条笔直的公路l,其间设有区间测速,所有车辆限速40千米/小时数学实践活动小组设计了如下活动:在l上确定A,B两点,并在AB路段进行区间测速.在l外取一点P,作PC⊥l,垂足为点C.测得PC=30米,∠APC=71°,∠BPC=35°.上午9时测得一汽车从点A到点B用时6秒,请你用所学的数学知识说明该车是否超速.(参考数据:sin35°≈0.57,cos35°≈0.82,tan35°≈0.70,sin71°≈0.95,cos71°≈0.33,tan71°≈2.90)
【解答】解:在Rt△APC中,AC=PCtan∠APC=30tan71°≈30×2.90=87,
在Rt△BPC中,BC=PCtan∠BPC=30tan35°≈30×0.70=21,
则AB=AC﹣BC=87﹣21=66,
∴该汽车的实际速度为=11m/s,
又∵40km/h≈11.1m/s,
∴该车没有超速.
22.(9.00分)为提高市民的环保意识,倡导“节能减排,绿色出行”,某市计划在城区投放一批“共享单车”这批单车分为A,B两种不同款型,其中A型车单价400元,B型车单价320元.
(1)今年年初,“共享单车”试点投放在某市中心城区正式启动.投放A,B两种款型的单车共100辆,总价值36800元.试问本次试点投放的A型车与B型车各多少辆?
(2)试点投放活动得到了广大市民的认可,该市决定将此项公益活动在整个城区全面铺开.按照试点投放中A,B两车型的数量比进行投放,且投资总价值不低于184万元.请问城区10万人口平均每100人至少享有A型车与B型车各多少辆?
【解答】解:(1)设本次试点投放的A型车x辆、B型车y辆,
根据题意,得:,
解得:,
答:本次试点投放的A型车60辆、B型车40辆;
(2)由(1)知A、B型车辆的数量比为3:2,
设整个城区全面铺开时投放的A型车3a辆、B型车2a辆,
根据题意,得:3a×400+2a×320≥1840000,
解得:a≥1000,
即整个城区全面铺开时投放的A型车至少3000辆、B型车至少2000辆,
则城区10万人口平均每100人至少享有A型车3000×=3辆、至少享有B型车2000×=2辆.
23.(10.00分)如图,已知D,E分别为△ABC的边AB,BC上两点,点A,C,E在⊙D上,点B,D在⊙E上.F为上一点,连接FE并延长交AC的延长线于点N,交AB于点M.
(1)若∠EBD为α,请将∠CAD用含α的代数式表示;
(2)若EM=MB,请说明当∠CAD为多少度时,直线EF为⊙D的切线;
(3)在(2)的条件下,若AD=,求的值.
【解答】解:(1)连接CD、DE,⊙E中,∵ED=EB,
∴∠EDB=∠EBD=α,
∴∠CED=∠EDB+∠EBD=2α,
⊙D中,∵DC=DE=AD,
∴∠CAD=∠ACD,∠DCE=∠DEC=2α,
△ACB中,∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD=180°,
∴∠CAD==;
(2)设∠MBE=x,
∵EM=MB,
∴∠EMB=∠MBE=x,
当EF为⊙D的切线时,∠DEF=90°,
∴∠CED+∠MEB=90°,
∴∠CED=∠DCE=90°﹣x,
△ACB中,同理得,∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD=180°,
∴2∠CAD=180°﹣90∴=90∴,
∴∠CAD=45°;
(3)由(2)得:∠CAD=45°;
由(1)得:∠CAD=;
∴∠MBE=30°,
∴∠CED=2∠MBE=60°,
∵CD=DE,
∴△CDE是等边三角形,
∴CD=CE=DE=EF=AD=,
Rt△DEM中,∠EDM=30°,DE=,
∴EM=1,MF=EF﹣EM=﹣1,
△ACB中,∠NCB=45°+30°=75°,
△CNE中,∠CEN=∠BEF=30°,
∴∠CNE=75°,
∴∠CNE=∠NCB=75°,
∴EN=CE=,
∴===2+.
24.(11.00分)【问题解决】
一节数学课上,老师提出了这样一个问题:如图1,点P是正方形ABCD内一点,PA=1,PB=2,PC=3.你能求出∠APB的度数吗?
小明通过观察、分析、思考,形成了如下思路:
思路一:将△BPC绕点B逆时针旋转90°,得到△BP′A,连接PP′,求出∠APB的度数;
思路二:将△APB绕点B顺时针旋转90°,得到△CP'B,连接PP′,求出∠APB的度数.
请参考小明的思路,任选一种写出完整的解答过程.
【类比探究】
如图2,若点P是正方形ABCD外一点,PA=3,PB=1,PC=,求∠APB的度数.
【解答】解:(1)思路一、如图1,
将△BPC绕点B逆时针旋转90°,得到△BP′A,连接PP′,
∴△ABP'≌△CBP,
∴∠PBP'=90°,BP'=BP=2,AP'=CP=3,
在Rt△PBP'中,BP=BP'=2,
∴∠BPP'=45°,根据勾股定理得,PP'=BP=2,
∵AP=1,
∴AP2+PP'2=1+8=9,
∵AP'2=32=9,
∴AP2+PP'2=AP'2,
∴△APP'是直角三角形,且∠APP'=90°,
∴∠APB=∠APP'+∠BPP'=90°+45°=135°;
思路二、同思路一的方法;
(2)如图2,
将△BPC绕点B逆时针旋转90°,得到△BP′A,连接PP′,
∴△ABP'≌△CBP,
∴∠PBP'=90°,BP'=BP=1,AP'=CP=,
在Rt△PBP'中,BP=BP'=1,
∴∠BPP'=45°,根据勾股定理得,PP'=BP=,
∵AP=3,
∴AP2+PP'2=9+2=11,
∵AP'2=()2=11,
∴AP2+PP'2=AP'2,
∴△APP'是直角三角形,且∠APP'=90°,
∴∠APB=∠APP'﹣∠BPP'=90°﹣45°=45°.
25.(14.00分)如图1,抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A(﹣4,0),B(1,0)两点,过点B的直线y=kx+分别与y轴及抛物线交于点C,D.
(1)求直线和抛物线的表达式;
(2)动点P从点O出发,在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动,设运动时间为t秒,当t为何值时,△PDC为直角三角形?请直接写出所有满足条件的t的值;
(3)如图2,将直线BD沿y轴向下平移4个单位后,与x轴,y轴分别交于E,F两点,在抛物线的对称轴上是否存在点M,在直线EF上是否存在点N,使DM+MN的值最小?若存在,求出其最小值及点M,N的坐标;若不存在,请说明理由.
【解答】解:(1)把A(﹣4,0),B(1,0)代入y=ax2+2x+c,得
,
解得:,
∴抛物线解析式为:y=,
∵过点B的直线y=kx+,
∴代入(1,0),得:k=﹣,
∴BD解析式为y=﹣;
(2)由得交点坐标为D(﹣5,4),
如图1,过D作DE⊥x轴于点E,作DF⊥y轴于点F,
当P1D⊥P1C时,△P1DC为直角三角形,
则△DEP1∽△P1OC,
∴=,即=,
解得t=,
当P2D⊥DC于点D时,△P2DC为直角三角形
由△P2DB∽△DEB得=,
即=,
解得:t=;
当P3C⊥DC时,△DFC∽△COP3,
∴=,即=,
解得:t=,
∴t的值为、、.
(3)由已知直线EF解析式为:y=﹣x﹣,
在抛物线上取点D的对称点D′,过点D′作D′N⊥EF于点N,交抛物线对称轴于点M
过点N作NH⊥DD′于点H,此时,DM+MN=D′N最小.
则△EOF∽△NHD′
设点N坐标为(a,﹣),
∴=,即=,
解得:a=﹣2,
则N点坐标为(﹣2,﹣2),
求得直线ND′的解析式为y=x+1,
当x=﹣时,y=﹣,
∴M点坐标为(﹣,﹣),
此时,DM+MN的值最小为==2.