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- 2021-05-13 发布
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2014年湖北省随州市中考数学试卷
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.(3分)(2014年湖北随州)2的相反数是( )
A. B. ﹣2 C. 2 D.
考点: 相反数.
分析: 根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号,求解即可.
解答: 解:2的相反数是﹣2.
故选B.
点评: 本题考查了相反数的意义,一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号:一个正数的相反数是负数,一个负数的相反数是正数,0的相反数是0.不要把相反数的意义与倒数的意义混淆.
2.(3分)(2014年湖北随州)如图所示的物体的俯视图是( )
A. B. C. D.
考点: 简单组合体的三视图.
分析: 找到从上面看所得到的图形即可,注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中.
解答: 解:从上面向下看,易得到横排有3个正方形.
故选D.
点评: 本题考查了三视图的知识,俯视图是从物体的上面向下看得到的视图.
3.(3分)(2014年湖北随州)2013年,我市以保障和改善民生为重点的“十件实事”全面完成,财政保障民生支出达74亿元,占公共财政预算支出的75%,数据74亿元用科学记数法表示为( )
A. 74×108元 B. 7.4×108元 C. 7.4×109元 D. 0.74×1010元
考点: 科学记数法—表示较大的数.
分析: 科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
解答: 解:74亿=74 0000 0000=7.4×109,
故选:C.
点评: 此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
4.(3分)(2014年湖北随州)如图,在△ABC中,两条中线BE、CD相交于点O,则S△DOE:S△COB=( )
A. 1:4 B. 2:3 C. 1:3 D. 1:2
考点: 相似三角形的判定与性质;三角形中位线定理.
分析: 根据三角形的中位线得出DE∥BC,DE=BC,根据平行线的性质得出相似,根据相似三角形的性质求出即可.
解答: 解:∵BE和CD是△ABC的中线,
∴DE=BC,DE∥BC,
∴=,△DOE∞△COB,
∴=()2=()2=,
故选A.
点评: 本题考查了相似三角形的性质和判定,三角形的中位线的应用,注意:相似三角形的面积比等于相似比的平方,三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.
5.(3分)(2014年湖北随州)计算(﹣xy2)3,结果正确的是( )
A. x2y4 B. ﹣x3y6 C. x3y6 D. ﹣x3y5
考点: 幂的乘方与积的乘方.
分析: 根据积的乘方的性质进行计算,然后再选取答案.
解答: 解:原式=﹣()3x3y6=﹣x3y6.
故选B.
点评: 本题考查了积的乘方的性质:等于把每个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.
6.(3分)(2014年湖北随州)在2014年的体育中考中,某校6名学生的体育成绩统计如图,则这组数据的众数、中位数、方差依次是( )
A. 18,18,1 B. 18,17.5,3 C. 18,18,3 D. 18,17.5,1
考点: 方差;折线统计图;中位数;众数.
分析: 根据众数、中位数的定义和方差公式分别进行解答即可.
解答: 解:这组数据18出现的次数最多,出现了3次,则这组数据的众数是18;
把这组数据从小到大排列,最中间两个数的平均数是(18+18)÷2=18,则中位数是18;
这组数据的平均数是:(17×2+18×3+20)÷6=18,
则方差是:[2×(17﹣18)2+3×(18﹣18)2+(20﹣18)2]=1;
故选A.
点评: 本题考查了众数、中位数和方差,众数是一组数据中出现次数最多的数;中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(或最中间两个数的平均数);一般地设n个数据,x1,x2,…xn的平均数为,则方差S2=[(x1﹣)2+(x2﹣)2+…+(xn﹣)2].
7.(3分)(2014年湖北随州)如图,要测量B点到河岸AD的距离,在A点测得∠BAD=30°,在C点测得∠BCD=60°,又测得AC=100米,则B点到河岸AD的距离为( )
A. 100米 B. 50米 C. 米 D. 50米
考点: 解直角三角形的应用.
分析: 过B作BM⊥AD,根据三角形内角与外角的关系可得∠ABC=30°,再根据等角对等边可得BC=AC,然后再计算出∠CBM的度数,进而得到CM长,最后利用勾股定理可得答案.
解答: 解:过B作BM⊥AD,
∵∠BAD=30°,∠BCD=60°,
∴∠ABC=30°,
∴AC=CB=100米,
∵BM⊥AD,
∴∠BMC=90°,
∴∠CBM=30°,
∴CM=BC=50米,
∴BD==50米,
故选:B.
点评: 此题主要考查了解直角三角形的应用,关键是证明AC=BC,掌握直角三角形的性质:30°角所对直角边等于斜边的一半.
8.(3分)(2014年湖北随州)关于反比例函数y=的图象,下列说法正确的是( )
A. 图象经过点(1,1) B. 两个分支分布在第二、四象限
C. 两个分支关于x轴成轴对称 D. 当x<0时,y随x的增大而减小
考点: 反比例函数的性质.
分析: 根据反比例函数的性质,k=2>0,函数位于一、三象限,在每一象限y随x的增大而减小.
解答: 解:A、把点(1,1)代入反比例函数y=得2≠1不成立,故选项错误;
B、∵k=2>0,∴它的图象在第一、三象限,故选项错误;
C、图象的两个分支关于y=﹣x对称,故错误.
D、当x>0时,y随x的增大而减小,故选项正确.
故选D.
点评: 本题考查了反比例函数y=(k≠0)的性质:
①当k>0时,图象分别位于第一、三象限;当k<0时,图象分别位于第二、四象限.
②当k>0时,在同一个象限内,y随x的增大而减小;当k<0时,在同一个象限,y随x的增大而增大.
9.(3分)(2014年湖北随州)在等边△ABC中,D是边AC上一点,连接BD,将△BCD绕点B逆时针旋转60°,得到
△BAE,连接ED,若BC=5,BD=4.则下列结论错误的是( )
A. AE∥BC B. ∠ADE=∠BDC
C. △BDE是等边三角形 D. △ADE的周长是9
考点: 旋转的性质;等边三角形的性质.
分析: 首先由旋转的性质可知∠AED=∠ABC=60°,所以看得AE∥BC,先由△ABC是等边三角形得出AC=AB=BC=5,根据图形旋转的性质得出AE=CD,BD=BE,故可得出AE+AD=AD+CD=AC=5,由∠EBD=60°,BE=BD即可判断出△BDE是等边三角形,故DE=BD=4,故△AED的周长=AE+AD+DE=AC+BD=9,问题得解.
解答: 解:∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠C=60°,
∵将△BCD绕点B逆时针旋转60°,得到△BAE,
∴∠AEB=∠C=60°,
∴AE∥BC,故选项A正确;
:∵△ABC是等边三角形,
∴AC=AB=BC=5,
∵△BAE△BCD逆时针旋旋转60°得出,
∴AE=CD,BD=BE,∠EBD=60°,
∴AE+AD=AD+CD=AC=5,
∵∠EBD=60°,BE=BD,
∴△BDE是等边三角形,故选项C正确;
∴DE=BD=4,
∴△AED的周长=AE+AD+DE=AC+BD=9,故选项D正确;
而选项B没有条件证明∠ADE=∠BDC,
∴结论错误的是B,
故选B.
点评: 本题考查的是图形旋转的性质及等边三角形的判定与性质,平行线的判定,熟知旋转前、后的图形全等是解答此题的关键.
10.(3分)(2014年湖北随州)某通讯公司提供了两种移动电话收费方式:方式1,收月基本费20元,再以每分钟0.1元的价格按通话时间计费;方式2,收月基本费20元,送80分钟通话时间,超过80分钟的部分,以每分钟0.15元的价格计费.
下列结论:
①如图描述的是方式1的收费方法;
②若月通话时间少于240分钟,选择方式2省钱;
③若月通讯费为50元,则方式1比方式2的通话时间多;
④若方式1比方式2的通讯费多10元,则方式1比方式2的通话时间多100分钟.
其中正确的是( )
A. 只有①② B. 只有③④ C. 只有①②③ D. ①②③④
考点: 一次函数的应用.
分析: 根据收费标准,可得相应的函数解析式,根据函数解析式的比较,可得答案.
解答: 解:根据题意得:方式一的函数解析式为y=0.1x+20,方式二的函数解析式为y=0.15x+8,
①当x=80时,方式一的收费是28元,故①说法正确;
②0.1x+20>0.15x+8,解得x<240,故②的说法正确;
③当y=50元时,方式一0.1x+20=50,解得x=300分钟,方式二0.15x+8=50,解得x=280分钟,故③说法正确;
④0.1x+20﹣0.15x﹣8=10,解得x=40,故④说法错误;
故选:C.
点评: 本题考查了一次函数的应用,根据题意得出函数解析式是解题关键.
二、填空题(每小题3分,共18分)
11.(3分)(2014年湖北随州)计算:|﹣3|++(﹣1)0= 2 .
考点: 实数的运算;零指数幂.
专题: 计算题.
分析: 原式第一项利用绝对值的代数意义化简,第二项利用立方根定义化简,最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果.
解答: 解:原式=3﹣2+1
=2.
故答案为:2.
点评: 此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
12.(3分)(2014年湖北随州)不等式组的解集是 ﹣1<x≤2 .
考点: 解一元一次不等式组.
分析: 分别求出各不等式的解集,再求出其公共解集即可.
解答: 解:,
由①得x≤1,
由②得x>﹣1,
故此不等式的解集为:﹣1<x≤2.
故答案为:﹣1<x≤2.
点评: 本题考查的是解一元一次不等式组,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.
13.(3分)(2014年湖北随州)将一副直角三角板如图放置,使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合,则∠1的度数为 75 度.
考点: 三角形内角和定理;平行线的性质.
专题: 计算题;压轴题.
分析: 根据三角形三内角之和等于180°求解.
解答: 解:如图.
∵∠3=60°,∠4=45°,
∴∠1=∠5=180°﹣∠3﹣∠4=75°.
故答案为:75.
点评: 考查三角形内角之和等于180°.
14.(3分)(2014年湖北随州)某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米,计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米.如果每年屋顶绿化面积的增长率相同,那么这个增长率是 20% .
考点: 一元二次方程的应用.
专题: 增长率问题.
分析: 本题需先设出这个增长率是x,再根据已知条件找出等量关系列出方程,求出x的值,即可得出答案.
解答: 解:设这个增长率是x,根据题意得:
2000×(1+x)2=2880
解得:x1=20%,x2=﹣220%(舍去)
故答案为:20%.
点评: 本题主要考查了一元二次方程的应用,在解题时要根据已知条件找出等量关系,列出方程是本题的关键.
15.(3分)(2014年湖北随州)圆锥的底面半径是2cm,母线长6cm,则这个圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数为 120 度.
考点: 圆锥的计算.
分析: 根据展开图的扇形的弧长等于圆锥底面周长计算.
解答: 解:∵圆锥的底面半径是2cm,
∴圆锥的底面周长为4π,
设圆心角为n°,根据题意得:=4π,
解得n=120.
故答案为:120.
点评: 考查了圆锥的计算,圆锥的侧面展开图是一个扇形,此扇形的弧长等于圆锥底面周长,扇形的半径等于圆锥的母线长.本题就是把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系,列方程求解.
16.(3分)(2014年湖北随州)如图1,正方形纸片ABCD的边长为2,翻折∠B、∠D,使两个直角的顶点重合于对角线BD上一点P、EF、GH分别是折痕(如图2).设AE=x(0<x<2),给出下列判断:
①当x=1时,点P是正方形ABCD的中心;
②当x=时,EF+GH>AC;
③当0<x<2时,六边形AEFCHG面积的最大值是;
④当0<x<2时,六边形AEFCHG周长的值不变.
其中正确的是 ①④ (写出所有正确判断的序号).
考点: 翻折变换(折叠问题);正方形的性质.
分析: (1)由正方形纸片ABCD,翻折∠B、∠D,使两个直角的顶点重合于对角线BD上一点P,得出△BEF和△三DGH是等腰直角三角形,所以当AE=1时,重合点P是BD的中点,即点P是正方形ABCD的中心;
(2)由△BEF∽△BAC,得出EF=AC,同理得出GH=AC,从而得出结论.
(3)由六边形AEFCHG面积=正方形ABCD的面积﹣△EBF的面积﹣△GDH的面积.得出函数关系式,进而求出最大值.
(4)六边形AEFCHG周长=AE+EF+FC+CH++HG+AG=(AE+CF)+(FC+AG)+(EF+GH)求解.
解答: 解:(1)正方形纸片ABCD,翻折∠B、∠D,使两个直角的顶点重合于对角线BD上一点P,
∴△BEF和△三DGH是等腰直角三角形,
∴当AE=1时,重合点P是BD的中点,
∴点P是正方形ABCD的中心;
故①结论正确,
(2)正方形纸片ABCD,翻折∠B、∠D,使两个直角的顶点重合于对角线BD上一点P,
∴△BEF∽△BAC,
∵x=,
∴BE=2﹣=,
∴=,即=,
∴EF=AC,
同理,GH=AC,
∴EF+GH=AC,
故②结论错误,
(3)六边形AEFCHG面积=正方形ABCD的面积﹣△EBF的面积﹣△GDH的面积.
∵AE=x,
∴六边形AEFCHG面积=22﹣BE•BF﹣GD•HD=4﹣×(2﹣x)•(2﹣x)﹣x•x=﹣x2+2x+2=﹣(x﹣1)2+3,
∴六边形AEFCHG面积的最大值是3,
故③结论错误,
(4)当0<x<2时,
∵EF+GH=AC,
六边形AEFCHG周长=AE+EF+FC+CH++HG+AG=(AE+CF)+(FC+AG)+(EF+GH)=2+2+2=4+2
故六边形AEFCHG周长的值不变,
故④结论正确.
故答案为:①④.
点评: 考查了翻折变换(折叠问题),菱形的性质,本题关键是得到EF+GH=AC,综合性较强,有一定的难度.
三、解答题(共72分)
17.(6分)(2014年湖北随州)先简化,再求值:(﹣)+,其中a=+1.
考点: 分式的化简求值.
专题: 计算题.
分析: 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,同时利用除法法则变形,约分得到最简结果,将a的值代入计算即可求出值.
解答: 解:原式=•(a+1)(a﹣1)
=a2﹣3a,
当a=+1时,原式=3+2﹣3﹣3=﹣.
点评: 此题考查了分式的化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
18.(7分)(2014年湖北随州)已知:如图,在矩形ABCD中,M、N分别是边AD、BC的中点,E、F分别是线段BM、CM的中点.
(1)求证:△ABM≌△DCM;
(2)填空:当AB:AD= 1:2 时,四边形MENF是正方形.
考点: 矩形的性质;全等三角形的判定与性质;正方形的判定.
分析: (1)根据矩形性质得出AB=DC,∠A=∠D=90°,根据全等三角形的判定推出即可;
(2)求出四边形MENF是平行四边形,求出∠BMC=90°和ME=MF,根据正方形的判定推出即可.
解答: (1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=DC,∠A=∠D=90°,
∵M为AD的中点,
∴AM=DM,
在△ABM和△DCM中
∴△ABM≌△DCM(SAS).
(2)解:当AB:AD=1:2时,四边形MENF是正方形,
理由是:∵AB:AD=1:2,AM=DM,AB=CD,
∴AB=AM=DM=DC,
∵∠A=∠D=90°,
∴∠ABM=∠AMB=∠DMC=∠DCM=45°,
∴∠BMC=90°,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABC=∠DCB=90°,
∴∠MBC=∠MCB=45°,
∴BM=CM,
∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点,
∴BE=CF,ME=MF,NF∥BM,NE∥CM,
∴四边形MENF是平行四边形,
∵ME=MF,∠BMC=90°,
∴四边形MENF是正方形,
即当AB:AD=1:2时,四边形MENF是正方形,
故答案为:1:2.
点评: 本题考查了矩形的性质和判定,平行四边形的判定,正方形的判定,全等三角形的性质和判定,三角形的中位线的应用,主要考查学生运用定理进行推理的能力,题目比较好,难度适中.
19.(7分)(2014年湖北随州)近几年我市加大中职教育投入力度,取得了良好的社会效果.某校随机调查了九年级m名学生的升学意向,并根据调查结果绘制出如下不完整的统计图表:
升学意向 人数 百分比
省级示范高中 15 25%
市级示范高中 15 25%
一般高中 9 n
职业高中
其他 3 5%
m 100%
请你根据图表中提供的信息解答下列问题:
(1)表中m的值为 60 ,n的值为 15% ;
(2)补全条形统计图;
(3)若该校九年级有学生500名,估计该校大约有多少名毕业生的升学意向是职业高中?
考点: 条形统计图;用样本估计总体;统计表.
专题: 计算题.
分析: (1)由省级示范高中人数除以占的百分比得到总学生数,确定出m的值;进而确定出职业高中学生数,求出占的百分比,确定出n的值;
(2)补全条形统计图,如图所示;
(3)由职业高中的百分比乘以500即可得到结果.
解答: 解:(1)根据题意得:15÷25%=60(人),即m=60,
职业高中人数为60﹣(15+15+9+3)=18(人),占的百分比为18÷60×100%=30%,
则n=1﹣(25%+25%+30%+5%)=15%;
故答案为:60;15%;
(2)补全条形统计图,如图所示:
(3)根据题意得:500×30%=150(名),
则估计该校大约有150名毕业生的升学意向是职业高中.
点评: 此题考查了条形统计图,扇形统计图,以及用样本估计总体,弄清题意是解本题的关键.
20.(7分)(2014年湖北随州)某市区一条主要街道的改造工程有甲、乙两个工程队投标.经测算:若由两个工程队合做,12天恰好完成;若两个队合做9天后,剩下的由甲队单独完成,还需5天时间,现需从这两个工程队中选出一个队单独完成,从缩短工期角度考虑,你认为应该选择哪个队?为什么?
考点: 分式方程的应用.
专题: 应用题.
分析: 设甲队单独完成工程需x天,则甲队的工作效率为,等量关系:甲乙9天的工作量+甲5天的工作量=1,可得方程,解出即可.
解答: 解:设甲队单独完成工程需x天,
由题意,得:×9+×5=1,
解得:x=20,
经检验得:x=20是方程的解,
∵﹣=,
∴乙单独完成工程需30天,
∵20<30,
∴从缩短工期角度考虑,应该选择甲队.
点评: 本题考查了分式方程的应用,解答本题的关键是仔细审题,得到等量关系:甲乙9天的工作量+甲5天的工作量=1.
21.(7分)(2014年湖北随州)四张扑克牌的牌面如图1,将扑克牌洗匀后,如图2背面朝上放置在桌面上,小明和小亮设计了A、B两种游戏方案:
方案A:随机抽一张扑克牌,牌面数字为5时小明获胜;否则小亮获胜.
方案B:随机同时抽取两张扑克牌,两张牌面数字之和为偶数时,小明获胜;否则小亮获胜.
请你帮小亮选择其中一种方案,使他获胜的可能性较大,并说明理由.
考点: 列表法与树状图法.
分析: 由四张扑克牌的牌面是5的有2种情况,不是5的也有2种情况,可求得方案A中,小亮获胜的概率;
首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与小亮获胜的情况,再利用概率公式即可求得答案;比较其大小,即可求得答案.
解答: 解:小亮选择A方案,使他获胜的可能性较大.
方案A:∵四张扑克牌的牌面是5的有2种情况,不是5的也有2种情况,
∴P(小亮获胜)==;
方案B:画树状图得:
∵共有12种等可能的结果,两张牌面数字之和为偶数的有4种情况,不是偶数的有8种情况,
∴P(小亮获胜)==;
∴小亮选择A方案,使他获胜的可能性较大.
点评: 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,列表法适合于两步完成的事件,树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
22.(8分)(2014年湖北随州)如图,⊙O中,点C为的中点,∠ACB=120°,OC的延长线与AD交于点D,且∠D=∠B.
(1)求证:AD与⊙O相切;
(2)若点C到弦AB的距离为2,求弦AB的长.
考点: 切线的判定;解直角三角形.
分析: (1)连接OA,由=,得CA=CB,根据题意可得出∠O=60°,从而得出∠OAD=90°,则AD与⊙O相切;
(2)设OC交AB于点E,由题意得OC⊥AB,求得CE=2,Rt△BCE中,由三角函数得BE=2,即可得出AB的长.
解答: (1)证明:如图,连接OA,
∵=,
∴CA=CB,
又∵∠ACB=120°,
∴∠B=30°,
∴∠O=2∠B=60°,
∵∠D=∠B=30°,
∴∠OAD=180°﹣(∠O+∠D)=90°,
∴AD与⊙O相切;
(2)解:设OC交AB于点E,由题意得OC⊥AB,
∴CE=2,
在Rt△BCE中,BE==2×=2.
∴AB=2BE=4.
点评: 本题考查了切线的判定和解直角三角形,是中学阶段的中点,要熟练掌握.
23.(8分)(2014年湖北随州)楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车,当月该型号汽车的进价为30万元/辆,若当月销售量超过5辆时,每多售出1辆,所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆.根据市场调查,月销售量不会突破30台.
(1)设当月该型号汽车的销售量为x辆(x≤30,且x为正整数),实际进价为y万元/辆,求y与x的函数关系式;
(2)已知该型号汽车的销售价为32万元/辆,公司计划当月销售利润25万元,那么月需售出多少辆汽车?(注:销售利润=销售价﹣进价)
考点: 一元二次方程的应用;分段函数.
分析: (1)根据分段函数可以表示出当0<x≤5,5<x≤30时由销售数量与进价的关系就可以得出结论;
(2)由销售利润=销售价﹣进价,由(1)的解析式建立方程就可以求出结论.
解答: 解:(1)由题意,得
当0<x≤5时
y=30.
当5<x≤30时,
y=30﹣0.1(x﹣5)=﹣0.1x+30.5.
∴y=;
(2)当0<x≤5时,
(32﹣30)×5=10<25,不符合题意,
当5<x≤30时,
[32﹣(﹣0.1x+30.5)]x=25,
解得:x1=﹣25(舍去),x2=10.
答:该月需售出10辆汽车.
点评: 本题考查了分段函数的运用,一元二次方程的解法的运用,解答时求出分段函数的解析式是关键.
24.(10分)(2014年湖北随州)已知两条平行线l1、l2之间的距离为6,截线CD分别交l1、l2于C、D两点,一直角的顶点P在线段CD上运动(点P不与点C、D重合),直角的两边分别交l1、l2与A、B两点.
(1)操作发现
如图1,过点P作直线l3∥l1,作PE⊥l1,点E是垂足,过点B作BF⊥l3,点F是垂足.此时,小明认为△PEA∽△PFB,你同意吗?为什么?
(2)猜想论证
将直角∠APB从图1的位置开始,绕点P顺时针旋转,在这一过程中,试观察、猜想:当AE满足什么条件时,以点P、A、B为顶点的三角形是等腰三角形?在图2中画出图形,证明你的猜想.
(3)延伸探究
在(2)的条件下,当截线CD与直线l1所夹的钝角为150°时,设CP=x,试探究:是否存在实数x,使△PAB的边AB的长为4?请说明理由.
考点: 几何变换综合题.
分析: (1)根据题意得到:∠EPA+∠APF=90°,∠FPB+∠APF=90°,从而得到∠EPA=∠FPB,然后根据∠PEA=∠PFB=90°证得△PEA∽△PFB;
(2)根据∠APB=90°得到要使△PAB为等腰三角形,只能是PA=PB,然后根据当AE=BF时,PA=PB,从而得到△PEA≌△PFB,利用全等三角形的性质证得结论即可;
(3)在Rt△PEC中,CP=x,∠PCE=30°从而得到PE=x,然后利用PE+BF=6,BF=AE得到AE=6﹣x,然后利用勾股定理得到PE2+AE2=PA2,代入整理后得到一元二次方程x2﹣12x﹣8=0,求得x的值后大于12,从而得到矛盾说明不存在满足条件的x.
解答: 解:(1)如图(1),由题意,得:∠EPA+∠APF=90°,∠FPB+∠APF=90°,
∴∠EPA=∠FPB,
又∵∠PEA=∠PFB=90°,
∴△PEA∽△PFB;
(2)证明:如图2,∵∠APB=90°,
∴要使△PAB为等腰三角形,只能是PA=PB,
当AE=BF时,PA=PB,
∵∠EPA=∠FPB,∠PEA=∠PFB=90°,AE=BF,
∴△PEA≌△PFB,
∴PA=PB;
(3)如图2,在Rt△PEC中,CP=x,∠PCE=30°,
∴PE=x,
由题意,PE+BF=6,BF=AE,
∴AE=6﹣x,
当AB=4时,由题意得PA=2,
Rt△PEA中,PE2+AE2=PA2,
即()2+(6﹣x)2=40,
整理得:x2﹣12x﹣8=0,
解得:x=6﹣2<0(舍去)或x=6+2,
∵x=6+2>6+6=12,又CD=12,
∴点P在CD的延长线上,这与点P在线段CD上运动相矛盾,
∴不合题意,
综上,不存在满足条件的实数x.
点评: 本题是一道几何变换的综合题,题目中涉及到了全等三角形、勾股定理等知识,知识网络比较复杂,难度较大.
25.(12分)(2014年湖北随州)平面直角坐标系中,四边形ABCD是菱形,点C的坐标为(﹣3,4),点A在x轴的正半轴上,O为坐标原点,连接OB,抛物线y=ax2+bx+c经过C、O、A三点.
(1)直接写出这条抛物线的解析式;
(2)如图1,对于所求抛物线对称轴上的一点E,设△EBO的面积为S1,菱形ABCD的面积为S2,当S1≤S2时,求点E的纵坐标n的取值范围;
(3)如图2,D(0,﹣)为y轴上一点,连接AD,动点P从点O出发,以个单位/秒的速度沿OB方向运动,1秒后,动点Q从O出发,以2个单位/秒的速度沿折线O﹣A﹣B方向运动,设点P运动时间为t秒(0<t<6),是否存在实数t,使得以P、Q、B为顶点的三角形与△ADO相似?若存在,求出相应的t值;若不存在,请说明理由.
考点: 二次函数综合题.
分析: (1)求得菱形的边长,则A的坐标可以求得,然后利用待定系数法即可求得函数的解析式;
(2)首先求得菱形的面积,即可求得S1的范围,当S1取得最大值时即可求得直线的解析式,则n的值的范围即可求得;
(3)分当1<t<3.5时和3.5≤t≤6时两种情况进行讨论,依据相似三角形的对应边的比相等,即可列方程求解.
解答: 解:(1)根据题意得:,
解得:,
则抛物线的解析式是:y=x2﹣x;
(2)设BC与y轴相交于点G,则S2=OG•BC=20,
∴S1≤5,
又OB所在直线的解析式是y=2x,OB==2,
∴当S1=5时,△EBO的OB边上的高是.
如图1,设平行于OB的直线为y=2x+b,则它与y轴的交点为M(0,b),与抛物线对称轴x=交于点E(,n).
过点O作ON⊥ME,点N为垂足,若ON=,由△MNO∽△OGB,得OM=5,
∴y=2x﹣5,
由,
解得:y=0,
即E的坐标是(,0).
∵与OB平行且到OB的距离是的直线有两条.
∴由对称性可得另一条直线的解析式是:y=2x+5.
则E′的坐标是(,10).
由题意得得,n的取值范围是:0≤n≤10且n≠5.
(3)如图2,动点P、Q按题意运动时,
当1<t<3.5时,
OP=t,BP=2﹣t,OQ=2(t﹣1),
连接QP,当QP⊥OP时,有=,
∴PQ=(t﹣1),
若=,则有=,
又∵∠QPB=∠DOA=90°,
∴△BPQ∽△AOD,
此时,PB=2PQ,即2﹣t=(t﹣1),
10﹣t=8(t﹣1),
∴t=2;
当3.5≤t≤6时,QB=10﹣2(t﹣1)=12﹣2t,连接QP.
若QP⊥BP,
则有∠PBQ=∠ODA,
又∵∠QPB=∠AOD=90°,
∴△BPQ∽△DOA,
此时,PB=PB,即12﹣2t=(2﹣t),12﹣2t=10﹣t,
∴t=2(不合题意,舍去).
若QP⊥BQ,则△BPQ∽△DAO,
此时,PB=BQ,
即2﹣t=(12﹣2t),2﹣t=12﹣2t,
解得:t=.
则t的值为2或.
点评: 本题是二次函数的综合题型,其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法.在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果.