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- 2021-05-13 发布
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2013年梧州市中考数学试卷
一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的,每小题选对得3分,选错、不选或多选均的零分)
1. ( )
A.6 B.7 C.8 D.10
2.化简:a+a=( )
A.2 B.a2 C.2a2 D.2a
3. sin300=( )
A.0 B.1 C. D.
4.如图1,直线AB∥CD,AB、CD与直线BE分别交与点B、E,∠B=70°,∠BED=( )
A.1100 B.500 C.600 D.700
5.如图2,⊿ABC以点O为旋转中心,旋转1800后得到⊿A’B’C’.ED是⊿ABC的中位线,经旋转后为线段E’D’.已知BC=4,则E’D’=( )
A.2 B. 3 C.4 D.1.5
6.如图3,由四个正方体组成的图形,观察这个图形,不能得到的平面图形是( )
7.如图4,在菱形ABCD 中,已知∠A=600,AB=5,则⊿ABD的周长是( )
A.10 B.12 C.15 D.20
8.以下列各组线段的长为边,能组成三角形的是( )
A.2cm,3cm,4cm B. 2cm,3cm,5cm
C. 2cm,5cm,10cm D. 8cm,4cm,4cm
9.如图5,把矩形ABCD沿直线EF折叠,若∠1=200,则∠2=( )
A. 800 B. 700 C. 400 D. 200
10.小李是9人队伍中的一员,他们随机排成一列队伍,从1开始按顺序报数,小李报到偶数的概率是( )
A. B. C. D.
11.如图6,AB是⊙O的直径,AB垂直于弦CD,∠BOC=700,则∠ABD=( )
A. 200 B. 460 C. 550 D. 700
12.父子两人沿周长为a的圆周骑自行车匀速行驶.同向行驶时父亲不时超过儿子,而反向行驶时相遇的频率增大为11倍.已知儿子的速度为v,则父亲的速度为( )
A.1.1v B.1.2v C.1.3v D.1.4v
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
13.计算:0-7= .
14.若反比例函数的图象经过点(2,4),则k的值为 .
15.若一个三角形的各边长扩大为原来的5倍,则此三角形的周长扩大为原来的 倍.
16.因式分解:ax2-9a= .
17.若一条直线经过点(-1,1)和点(1,5),则这条直线与x轴的交点坐标为 .
18.如图7,AC⊥BC,AC=BC=4,以AC为直径作半圆,圆心为点O;以点C为圆心,BC为半径作.过点O作BC的平行线交两弧于点D、E,则阴影部分的面积是 .
三、解答题(本大题共8分,满分66分.)
19.解方程:.
20.如图,已知:AB∥CD,BE⊥AD,垂足为点E,CF⊥AD,垂足为点F,并且AE=DF.
求证:四边形BECF是平行四边形
21.某校为了招聘一名优秀教师,对入选的三名候选人进行教学技能与专业知识两种考核,现将甲、乙、丙三人的考核成绩统计如下:
(1)如果校方认为教师的教学技能水平与专业知识水平同等重要,则候选人 将被录取.
(2)如果校方认为教师的教学技能水平比专业知识水平重要,因此分别赋予它们6和4的权.计算他们赋权后各自的平均成绩,并说明谁将被录取.
22.某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器,现在生产600台机器所需的时间与原计划生产450台机器所需的时间相同,现在每天生产多少台机器?
23.海上有一小岛,为了测量小岛两端A、B的距离,测量人员设计了一种测量方法,如图所示,已知B点是CD的中点,E是BA延长线上的一点,测得AE=8.3海里,DE=30海里,且DE⊥EC,cos∠D=.
(1)求小岛两端A、B的距离;
(2)过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F,求sin∠BCF的值.
24.我市某商场有甲、乙两种商品,甲种每件进价15元,售价20元;乙种每件进价35元,售价45元.
(1)若商家同时购进甲、乙两种商品100件,设甲商品购进x件,售完此两种商品总利润为y 元.写出y与x的函数关系式.
(2)该商家计划最多投入3000元用于购进此两种商品共100件,则至少要购进多少件甲种商品?若售完这些商品,商家可获得的最大利润是多少元?
(3)“五·一”期间,商家对甲、乙两种商品进行表中的优惠活动,小王到该商场一次性付款324元购买此类商品,商家可获得的最小利润和最大利润各是多少?
25.已知,点C在以AB为直径的半圆上,∠CAB的平分线AD交BC于点D,⊙O经过A、D两点,且圆心O在AB上.
(1)求证:BD是⊙O的切线.
(2)若,,求⊙O的面积.
26.如图,抛物线y=a(x-h)2+k经过点A(0,1),且顶点坐标为B(1,2),它的对称轴与x轴交于点C.
(1)求此抛物线的解析式.
(2)在第一象限内的抛物线上求点P,使得⊿ACP是以AC为底的等腰三角形,请求出此时点P的坐标.
(3)上述点是否是第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点,若是,请说明理由;若不是,请求出第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点的坐标.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
D
C
D
A
D
C
A
B
B
C
B
13. -7
14. 8
15. 5
16. a(x+3)(x-3)
17. (-1.5,3)
18.
19. 解:
∴
20. 证明:∵BE⊥AD,BE⊥AD,∴∠AEB=∠DFC=900,
∵AB∥CD,∴∠A=∠D,
又∵AE=DF,∴⊿AEB≌⊿DFC,∴BE=CF.
∵BE⊥AD,BE⊥AD,
∴BE∥CF. ∴四边形BECF是平行四边形.
21. 解:(1)甲;
(2)甲的平均成绩为:(85×6+92×4)÷10=87.8(分)
乙的平均成绩为:(91×6+85×4)÷10=88.6(分)
丙的平均成绩为:(80×6+90×4)÷10=84(分)
显然,乙的平均分数最高,所以乙将被录取.
22. 解:设现在每天生产x台机器,则原计划每天生产(x-50)台机器.依题意,得:
解之,得:x=200
经检验:x=200是所列方程的解.
答:现在每天生产200台机器.
23. 解:(1)在Rt⊿CED中,∠CED=900,DE=30海里,
∴cos∠D=,∴CE=40(海里),CD=50(海里).
∵B点是CD的中点,∴BE=CD=25(海里)
∴AB=BE-AE=25-8.3=16.7(海里).
答:小岛两端A、B的距离为16.7海里.
(2)设BF=x海里.
在Rt⊿CFB中,∠CFB=900,∴CF2=CB2-BF2=252-x2=625-x2.
在Rt⊿CFE中,∠CFE=900,∴CF2+EF2=CE2,即625-x2+(25+x)2=1600.
解之,得x=7. ∴sin∠BCF=.
24. 解:(1)y=(20-15)x+(45-35)(100-x)=-5x+1000
(2)15x+35(100-x)≤3000,解之,得x≥25.
对y=-5x+1000,∵k=-5<0,∴y随x的增大而减小.
∴当x最小=25时,y最大=-5×25+1000=875(元)
∴至少要购进25件甲种商品;若售完这些商品,商家可获得的最大利润是875元.
(3)设购买甲种商品m件,购买乙种商品n件.
①当打折前一次性购物总金额不超过400时,购物总金额为324÷0.9=360(元).
则20m+45n=360,,∴.∵n是4的倍数,∴n=4.∴m=9.
此时的利润为:324-(15×9+35×4)=49(元).
②当打折前一次性购物总金额超过400时,购物总金额为324÷0.8=405(元).
则20m+45n=405,,∴.∵m、n均是正整数,∴m=9, n=5或m=18,
n=1.
当m=9, n=5的利润为:324-(9×15+5×35)= 14(元);
当m=18, n=1的利润为:324-(18×15+1×35)= 19(元).
综上所述,商家可获得的最小利润是14元,最大利润各是49元.
25. 解:(1)连接OD.
∵AB为直径,∴∠ACB=900,
∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD,
∵AD平分∠CAB,∴∠OAD=∠CAD,
∴∠ODA=∠CAD,∴OD∥AC,∴∠ODB=∠ACB=900,∴BD是⊙O的切线.
(2)∵,∴AB=4AC,
∵BC2=AB2-AC2,∴15AC2=80,∴AC=,∴AB=4.
设⊙O的半径为r,∵OD∥AC,∴△BOD∽△BAC,∴
∴,解得:r=
∴πr2==,∴⊙O的面积为.
26. 解:(1)∵抛物线y=a(x-h)2+k顶点坐标为B(1,2),∴y=a(x-1)2+2,
∵抛物线经过点A(0,1),∴a(0-1)2+2=1,∴a=-1,∴y=- (x-1)2+2=-x2+2x+1.
(2)∵A(0,1),C的坐标为(1,0)
∴OA=OC,∴△OAC是等腰直角三角形
过点O作AC的垂线l,
根据等腰三角形的“三线合一”知:l是AC的中垂线,
∴l与抛物线的交点即为点P.如图,
直线l的解析式为y=x,
解方程组得得,(舍)
当时,.∴点P的坐标为(,).
(3)点P不是第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点.
由(1)知,点C的坐标为(1,0).
设直线AC为y=kx+b,则,解之,得,∴直线AC为y=-x+1.
设与AC平行的直线的解析式为y=-x+m.
解方程组代入消元,得-x2+2x+1=-x+m,
∵此点与AC距离最远,∴直线y=-x+m与抛物线有且只有一个交点,
即方程-x2+2x+1=-x+m有两个相等的实数根.
整理方程得:x2-3x+ m- 1=0
⊿=9-4(m- 1)=0,解之得m=.
则x2-3x+- 1=0,解之得,此时y=.
∴第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点的坐标为(,).