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中考专题复习之三：数学的转化思想 一、数学的转化思想的特性 将未知解法或难以解决的问题，通过观察、分析、类比、联想等思想的过程，选择运用的数学方法进行交换，化归为在已知知识范围内已经解决或容易解决的问题思想叫做转化与化归的思想。转化与化归思想的实质是揭示联系，实现转化。‎ 数学转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想，要求我们居高临下，抓住问题的实质，能够辩证地分析问题，通过一定的策略和手段，使复杂的问题简单化，陌生的问题熟悉化，抽象的问题具体化。也就是说，在研究数学问题时，我们通常是将未知的问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题等。‎ 二、数学转化思想的方法 转化就是把隐含的数量关系转化这明显的数量关系，把从这一个角度提供的信息转化为从另一个角度提供的信息。转化的内容非常丰富，已知与未知、数量与图形、图形与图形、概念与概念之间都可以进行转化，也常常在不同的数学问题之间互相转化，以获得解决问题的转机，可以说，在解决数学问题时，转化思想几乎是无处不在的。‎ 除简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的，化归与转化思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程，数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，函数与方程的转化，无限向有限的转化等，都是转化思想的体现。‎ ‎  熟练，扎实的掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础；丰富的联想，机敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁；培养训练自己自觉的化归与转化意识需要对定理、公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼，要积极主动有意识的去发现事物之间的本质联系。“抓基础，重转化”是学好中学数学的金钥匙。‎ 三、例题精讲：‎ ‎【例1】已知实数x满足x2++x+=0,那么x+的值是( )‎ A.1或-2； B. -1或2； C. 1 ； D.-2‎ 解：设x+=y，则原式可以转化为关于y的一元二次方程y2+y-2=0，‎ 解关于y的一元二次方程，得y=1或-2，故答案为A。‎ ‎【例2】（1）若813×274=x24，则x=________（2）你能比较813与274的大小吗？‎ ‎  （3）比较3555、4444、5333的大小。‎ 解：（1）∵813×274=（34）3×（33）4=312×312=324=x24，∴x=3.‎ ‎   （2）能比较813与274的大小。∵813=312   274= 312   ∴813=274‎ ‎   （3）3555=（35）111=243111、4444=（44）111=256111、5333=（53）111=125111。‎ ‎∵125＜243＜256 ，  ∴5333 ＜3555＜4444‎ ‎【例3】如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，则不难证明S1+S2=S3。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎        ①                    ②                      ③‎ ‎（1）分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系（不求证明）？‎ ‎(2)如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别为S1，S2，S3表示，请你确定S1，S2，S3之间的关系，并加以证明。‎ ‎(3)若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，为使S1，S2，S3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件？证明你的结论；‎ ‎(4)类比（1）（2）（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论。‎ 解：（1）S1+S2=S3。‎ ‎（2）证明：以Rt△ABC三边a、b、c为边的等边三角形面积分别为S1=√3/4a2，S2=√3/4 b 2，S3=√3/4c2，∵Rt△ABC中，a2+b2=c2，∴S1+S2=S3。‎ ‎（3）以Rt△ABC三边a、b、c为边向外所作的三个一般三角形，如果分别以a、b、c为底，它们的高与底边的比相同，那么一定满足S1+S2=S3。证明：假设以a为底，高为h1,则S1=1/2ah1，S2=1/2bh2，S3=1/2ch3，若h1=ka，h2=kb，h3=kc，∴S1=1/2ka2，S2=1/2kb2，S3=1/2kc2，Rt△ABC中，∵a2+b2=c2，∴S1+S2=S3。 ‎ ‎（4）只要使S1，S2，S3分别是a2、b2、c2的相同倍数，并可得到（1）（2）（3）的结论。‎ ‎【例4】如图，平行四边形ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，‎ 垂足分别为E、F，AB∶BC=6∶5，平行四边形ABCD的周 长为110，面积为600。求：cos∠EDF的值。‎ 解：平行四边形ABCD中，由题意得：AB+BC=55，AB∶BC=6∶5，∴AB=30，BC=25，又∵S=600，即BC·DF=600，∴DF=24。∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠EDF=∠C，Rt△CDF中，DF2+CF2=DC2，∴CF=18，cos∠EDF=cos∠C=18/24=3/4。‎ ‎【例5】已知：ab≠1，且5a2+2008a+8=0，8b2+2008b+5=0。求的值。‎ 解：∵ab≠0，由8b2+2008b+5=0，得5（）2+2008 +8=0，‎ 又∵5a2+2008a+8=0，∴a、是一元二次方程5x2+2008x+8=0的两根，‎ ‎∴由根与系数关系得=。‎ ‎【例6】一个边数是奇数的凸多边形中，除两个内角外，其余内角和为2390°，求这个多边形的边数。‎ 分析：此题如用方程解，却难于下手，如根据多边形内角和定理及内角的取值范围，将问题进行转化，求边数的取值范围，可迎刃而解。‎ 解：设这个多边形的边数为n，由于多边形每个内角大于0°且小于180°，根据多边形内角和定理得：‎ ‎，解这个不等式得：‎ 又∵n是奇数，故n＝17，这个多边形是17边形。‎ ‎【例7】如图，在宽为20m，长32m  的矩形地面上修筑同 样宽的道路（如图阴影部分），余下的部分种上草，要使草 坪的面积为536m2.求道路的宽。‎ 解：设小路宽为xm，将小路平移，则有32×20－32x－20x=536，‎ 解之得；x=2，经检验x=2符合题意。答：道路的宽为2m。‎ ‎【例8】已知方程组 kx 2－x－y+=0‎ ‎ y=k(2x－1) (x、y为未知数)‎ 有两个不同的实数解 x=x 1 或 x=x 2 ‎ ‎ y=y1 y=y2‎ ‎⑴求实数k的取值范围；⑵如果y1y2+ +=3，求实数k的值。‎ 解：（1）将②代入①整理得：kx 2－（2k＋1）x＋（k＋）=0 ③，由题意得方程有两个不同的实数根，∴△＞0，且k≠0，解之得：k＞－ 且k≠0。‎ ‎（2）∵x 1 ，x 2满足方程③，∴ x 1 +x 2=（2k＋1）/k，x 1 x 2=（k＋ ）/k；当x=x 1时，y=y1 即 y1 = k(2 x 1－1) ，同理， y2= k(2 x 2－1)，‎ ‎∴y1 y2 =k2【4x 1 x 2－2（x 1 ＋x 2）＋1】, ∵, y1y2+ +=3‎ ‎∴代入并整理得k3＋ k2－k－ =0，即k2（k＋）－（k＋）=0，‎ ‎（k2－1）·（k＋）=0，∴k=－、－1、1，由k＞－ 且k≠0得k=1。‎ ‎【例9】如图，AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，‎ PA交⊙O于点C，∠APB的平分线分别交BC、AB 于点D、E，交⊙O于点F，∠A=60°，并且线段AE、‎ BD的长是一元二次方程x2－kx+2 =0的两个根（k为 正的常数）。⑴求证：PA·BD=PB·AE；‎ ‎⑵求证：⊙O的直径为常数k；⑶求tan∠FPA的值。‎ 证明；（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=Rt∠，‎ ‎∵∠A=60°，PB是⊙O的切线，‎ ‎∴∠PBC=∠A=60°，∠BPC=30°。‎ 又∵PF平分∠APB，∴∠FPB=∠FPA=15°，x2-3xy+y2‎ 则∠BDE=∠FPB＋∠PBD=75°，同时可得，∠BED=∠BDE =75°，∴BD=BE。在△PAB中，由三角形角平分线定理得：BE︰AE=PB︰PA，‎ 即PA·BE=PB·AE，∵BD=BE，∴PA·BD=PB·AE。‎ ‎（2）∵线段AE、BD的长是一元二次方程x2－kx+2 =0的两个根（k为正的常数），∴AE＋BD=k，AE·BD=2 ，由（1）知BD=BE，即AE＋BE=k，∴AB=k，即⊙O的直径为常数k。‎ ‎（3）由PA·BE=PB·AE ‎【例10】25、已知 ‎ 解：由题意得 （x2+8x+16）+（y2+6y+9）=0，即 ‎(x+4)2+(y+3)2=0 ∴x=-4 y=-3 代入代数式得：‎ 原式=-‎ ‎【例11】如图（１）、（２）、（３）中，点Ｅ、Ｄ分别是正△ＡＢＣ、正四边形ＡＢＣＭ、正五边形ＡＢＣＭＮ中以Ｃ点为顶点的相邻两边上的点，且ＢＥ＝ＣＤ，ＤＢ交ＡＥ于Ｐ点。‎ ‎（１）求图（１）中，∠ＡＰＤ的度数；‎ ‎（２）图（２）中，∠ＡＰＤ的度数为＿ ，图（３）中，∠ＡＰＤ的度数＿＿；‎ ‎（３）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况．若能，写出推广问题的结论；若不能，请说明理由．‎ 解：（１）∵△ＡＢＣ是等边三角形　‎ ‎∴ＡＢ＝ＢＣ，∠ＡＢＥ＝∠ＢＣＤ＝６００‎ ‎∵ＢＥ＝ＣＤ　∴△ＡＢＥ≌△ＢＣＤ ∴∠ＢＡＥ＝∠ＣＢＤ ‎∴∠ＡＰＤ＝∠ＡＢＰ＋∠ＢＡＥ＝∠ＡＢＰ＋∠ＣＢＤ＝∠ＡＢＥ＝６００‎ ‎（２）９００，１０８０‎ ‎【例12】（2010达州中考）已知：如图12，在锐角∠MAN的边AN上取一点B，以AB为直径的半圆O交AM于C，交∠MAN的角平分线于E，过点E作ED⊥AM，垂足为D，反向延长ED交AN于F.‎ ‎(1)猜想ED与⊙O的位置关系，并说明理由；‎ ‎(2)若cos∠MAN=，AE=，求阴影部分的面积.‎ 证明：（1）DE与⊙O相切. ‎ 连结OE.，∵AE平分∠MAN,，∴∠1=∠2.‎ ‎∵OA=OE，∴∠2=∠3.，∴∠1=∠3,，∴OE∥AD.‎ ‎∴∠OEF=∠ADF=90°, 即OE⊥DE，垂足为E.‎ 又∵点E在半圆O上， ∴ED与⊙O相切. ‎ ‎（2）∵cos∠MAN=, ∴∠MAN=60°. ∴∠2=∠MAN=×60°=30°,‎ ‎∠AFD=90°，∠MAN=90°-60°=30°. ∴∠2=∠AFD，‎ ‎∴EF=AE=.‎ 在Rt△OEF中，tan∠OFE=， ∴tan30°=， ∴OE=1.‎ ‎∵∠4=∠MAN=60°，‎ ‎∴S阴==‎ ‎【例13】如图所示，E是正方形ABCD的CD边上一点， BAE的平分线交BC于F，则BF+DE=AE，‎ 证明：作CB的延长线CG，使BG=DE，如上图，连接AG AG ‎【例14】△ABC中，AD是高，AD与AB的夹角为锐角α，Rt△ABC的面积和周长都为 ‎“代数式”作为方程的系数）‎ ‎ 解：（1）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ （2）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【例15】（2010湖北十堰中考）已知关于x的方程mx2-(3m－1)x+2m－2=0‎ ‎（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根.‎ ‎（2）若关于x的二次函数y= mx2-(‎3m－1)x+‎2m－2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式.[来源:Zxxk.Com]‎ ‎（3）在直角坐标系xoy中，画出（2）中的函数图象，结合图象回答问题：当直线y=x+b与（2）中的函数图象只有两个交点时，求b的取值范围.‎ 解：（1）分两种情况讨论：‎ ‎①当m=0 时，方程为x－2=0，∴x=2 方程有实数根 ‎②当m≠0时，则一元二次方程的根的判别式 ‎△=[－（3m－1）]2－4m（2m－2）=m2+2m+1=（m+1）2≥0‎ 不论m为何实数，△≥0成立，∴方程恒有实数根 综合①②，可知m取任何实数，方程mx2-(‎3m－1)x+‎2m－2=0恒有实数根.‎ ‎（2）设x1，x2为抛物线y= mx2-(‎3m－1)x+‎2m－2与x轴交点的横坐标.‎ 则有x1+x2=，x1·x2=‎ 由| x1－x2|====，‎ 由| x1－x2|=2得=2，∴=2或=－2‎ ‎∴m=1或m=‎ ‎∴所求抛物线的解析式为：y1=x2－2x或y2=x2+2x－ 即y1= x（x－2）或y2=（x－2）（x－4）其图象如右图所示.‎ ‎（3）在（2）的条件下，直线y=x+b与抛物线y1，y2组成的图象只有两个交点，结合图象，求b的取值范围.‎ ‎，当y1=y时，得x2－3x－b=0，△=9+4b=0，解得b=－；‎ 同理，可得△=9－4（8+3b）=0，得b=－.‎ 观察函数图象可知当b<－或b>－时，直线y=x+b与（2）中的图象只有两个交点.‎ 由 当y1=y2时，有x=2或x=1‎ 当x=1时，y=－1‎ 所以过两抛物线交点（1，－1），（2，0）的直线y=x－2，‎ 综上所述可知：当b<－或b>－或b=－2时，直线y=x+b与（2）中的图象只有两个交点.‎ 四、闯关夺冠：‎ ‎1、 若a2n=3, 则a6n=___________.  ‎ ‎2、计算3×9×27×3m=__________.0.259×220×259×643_________.‎ ‎3、数N=212×58的整数位数有_________位.‎ ‎4、若(2/3)m=16/81,，则m=_________.‎ ‎5、若n边形的对角线只有90条，那么n=        。‎ ‎6、在△ABC 中, ,AB=AC=2,若以AB为直径的圆交BC于点D,则阴影部分的面积是         .‎ ‎7、如图，AD是ΔABC的中线，∠ADC=45°，把ΔADC沿AD 对 折，点C落在点C′的位置，则BC′与BC之间的数量关系是 .‎ ‎ ‎ ‎‎ ‎8、如图,已知∠1=∠2,若再增加一个条件就能使结论“AB·DE=AD·BC”成立,则这个条件可以是_________________.‎ ‎9、如图,在正方形ABCD中,F是AD的中点,BF与AC交于点G,则△‎ BGC与四边形CGFD的面积之比是________.‎ ‎10、在△ABC和△A′B′C′中,有下列条件:①；②；③∠A=∠A′；④∠B=∠B′；⑤∠C=∠C′.如果从中任取两个条件组成一组,那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有_______组.‎ ‎11、如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形，接着把面积为的矩形等分成两个面积为的正方形，再把面积为的正方 形等分成两个面积为的矩形，如此进行下去……试利用图形 揭示的规律计算：‎ ‎12、比较550与2425的大小，结果正确的是（    ）‎ ‎(A)550=2425    (B)550＞2425      (C)550＜2425     （D）无法确定 ‎13、把正方形ABCD沿着对角线AC的方向平移到正方形A′B′C′D′的位 置，它们的重叠部分(图中的阴影部分)的面积是正方形ABCD面积的一半，若 AC=，则正方形平移的距离AA′是（ ）. A.1 B. C. D.‎ ‎14、如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC、BD分别交中位线EF于点H、G,且EG:GH:HF=1:2:1,那么AD:BC等于( )‎ ‎ A.2:3 B.3:5 C.1:3 D.1:2‎ ‎15、同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的.如图是看到的万花筒的一个图案，图中所有小三角形均是全等的等边三角形，其中的菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A为中心（ ）‎ A.顺时针旋转60°得到 B.顺时针旋转120°得到 C.逆时针旋转60°得到 D.逆时针旋转120°得到 ‎16、已知∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成的三角形是（　　）‎ A．直角三角形 B．钝角三角形 ‎ C．等腰三角形 D．等边三角形 ‎9.点P是△ABC中AB边上的一点,过点P作直线(不与直线AB重合)截△ABC,使截得的三角形与原三角形相似.满足这样条件的直线最多有( )‎ ‎ A.2条 B.3条 C.4条 D.5条 ‎17、如图，菱形纸片ABCD的一内角为60°．边长为2， 将它绕对角线的交点O顺时针旋转90°后到A′B′C′D′‎ 位置，则旋转前后两菱形重叠部分多边形的周长为（ ）‎ A.8 B.4(－1) C.8(－1) D.4(＋1)‎ ‎18、将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD为折痕，则∠CBD的度数为（ ） A．600 B．‎750 C．900 D．950‎ ‎ ‎ ‎19、如图,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB＝65°，则∠AED′等于（ 　）‎ A．50° B．55°　　　C．60° D．65°‎ ‎20、如图，已知边长为5的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB A B C D E F 边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且，则CE的 长是（ ）‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎21、如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则与 ‎ 之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现 的规律是（ ）‎ ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎22、若a＜b＜0，则下列结论中正确的是（）。 　　（A）a＋b＜－a＋b＜a－b＜－a－b 　　（B）a＋b＜a－b＜－a＋b＜－a－b 　　（C）－a－b＜a－b＜－a＋b＜a＋b 　　（D）－a－b＜a＋b＜－a＋b＜a－b ‎23、如图 3－1－2，梯形 ABCD中，AD∥‎ BC，AB=CD，对角线AC、BD相交于O点，且AC⊥BD，AD=3,BC=5，求AC的长．‎ ‎24、已知：满足, 求的值。‎ ‎25、如图 3－1－2，梯形 ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD相交于O点，且AC⊥BD，AD=3,BC=5，求AC的长．‎ ‎26、若a2+a+1=0，试求a1000+a2001+a3002的值。‎ ‎27、已知：一元二次方程x2+x+m=0，x2－(m－1)x+ =0中至少有一个方程有实数根，求m的取值范围。‎ ‎28、已知：m, n是方程x 2－3x+1=0的两根，求代数式2m 2+4n 2－6n+1999的值。‎ ‎29、已知圆锥的底面半径为r＝20cm，高h= cm,现在有一只蚂蚁从底边上一点A出发。在侧面上爬行一周又回到A点，求蚂蚁爬行的最短距离。‎ ‎30、一次函数y=kx+b和反比例函数y=的图象交于点P(n－l,n＋l），点Q(0,a）‎ 在函数y=k1x+b的图象上，且m、n是关于x的方程的 两个不相等的整数根．其中a为整数，求一次函数和反比例函数的解析式．‎ ‎31、某影碟出租店开设两种租碟方式：一种是零星租碟，每张收费1元；另一种是会员卡租碟，办卡费每月12元，租碟费每张0.4元 . 小彬经常来该店租碟，若每月租碟数量为x张.‎ ‎（1）写出零星租碟方式应付金额y1(元)与租碟数量x（张）之间的函数关系式；‎ ‎（2）写出会员卡租碟方式应付金额y2(元 )与租碟数量x(张)之间的函数关系式；‎ ‎（3）小彬选取哪种租碟方式更合算？ ‎ ‎32、 如图：已知点A、B、C、D、E均在O上，且AC为O的直径，求+‎ A B C D E O ‎33、已知：如图3－1－11所示，现有一六边形铁板 ABCDEF，其中∠A＝∠D＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F=120°，AB=‎10cm，BC=‎70cm，CD=‎20cm，DE=4 ‎0cm，求A F和EF的长．‎ ‎34、已知A（8，0），B（0，6），C（0，－2）连接A D，过点C的直线l与AB 交于点P．‎ ‎（1）如图2－3－4⑴所示，当PB=PC时，求点P的坐标；‎ ‎（2）如图2－3－4⑵所示，设直线l与x轴所夹的锐角为α且tanα= ,连接AC，求直线l与x轴的交点E的坐标及△PAC的面积．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎35、已知一次函数y=kx+b(k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与 反比例函数y= (m≠0）的图象在第二象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为 D，若 OA＝OB=OD=1。（1）求点A、B的坐标；（2）求一次函数和反比例函数的解 析式．‎ ‎36、如图①所示，一张三角形纸片ABC，角ACB=90，AC=8，BC=6，沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成三角形AC1D1和三角形BC2D2两个三角形（如图②所示），将纸片三角形AC1D1沿直线D2B（AB方向平移0（点A，D1，D2，B始终在同一直线上），当点D1与点B重合时，停止平移，在平移过程中，CD1与BC2，交于点E，AC1与C2D2，BC2分别交于点F，P ‎(1)当三角形AC1D1平移到如图③所示的位置时，猜想图中的D1E与D‎2F的数量关系，并加以证明你的猜想 ‎(2)设平移距离D2D1为X，三角形AC1D1与三角形BC2D2重叠部分面积设为y，请你写出y 与x的函数关系式，以几自变量的取值范围；‎ ‎(3)对与（2）中的结论，是否存在这样的x的值，使重叠部分的面积等于原三角形ABC的1/4/？若存在，求x的值：若不存在，请说明理由。‎ ‎37、如图，在直角坐标系中，点O’的坐标为（2，0），圆O与x 轴交于原点O和点A，又B，C，E三点坐标分别为(-1，0)，（0.3），‎ ‎（0，b），且0＜b＜3‎ ‎(1)求点A的坐标和经过点B，C两点的直线的解析式 ‎(2)当点E在线段OC上移动时，直线BE与圆O有哪几种位置 关系？并求出这种位置关系b 的取值范围。‎ ‎38、已知：如图所示，在△ABC中，E是BC的中点，D在AC边上，‎ 若AC=1且∠BAC=60°，∠ABC＝100°，∠DEC=80°，‎ 求:.‎ ‎39、如图，在直角坐标系中，点B、C在x轴的负半轴上，点A在y轴的负半轴上，以AC为直径的圆与AB的延长线交于点D，弧CD =弧AO，如果AB=10，‎ AO>BO，且AO、BO是关于x 的二次方程x2+kx+48=0的两个根。‎ ‎⑴求点D的坐标；⑵若点P在直径AC上，且AC=4AP，判断点 ‎（－2，－10）是否在过D、P两点的直线上，并说明理由。‎