中考数学一模试卷含解析21 31页

江苏省南京市江宁区2016年中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．下面的数中，与﹣2的和为0的是（　　）‎ A．2 B．﹣2 C． D．‎ ‎2．下列调查中，适宜采用普查方式的是（　　）‎ A．了解一批圆珠笔的寿命 B．了解全国九年级学生身高的现状 C．检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件 D．考察人们保护海洋的意识 ‎3．从下列不等式中选择一个与x+1≥2组成不等式组，如果要使该不等式组的解集为x≥1，那么可以选择的不等式可以是（　　）‎ A．x＞﹣1 B．x＞2 C．x＜﹣1 D．x＜2‎ ‎4．如图是小刘做的一个风筝支架示意图，已知BC∥PQ，AB：AP=2：5，AQ=20cm，则CQ的长是（　　）‎ A．8cm B．12cm C．30cm D．50cm ‎5．如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3等于（　　）‎ A．90° B．180° C．210° D．270°‎ ‎6．已知点A，B的坐标分别为（﹣4，0）和（2，0），在直线y=﹣x+2上取一点C，若△ABC是直角三角形，则满足条件的点C有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎　‎ 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）‎ ‎7．计算：（3a3）2=　　　　　　．‎ ‎8．温家宝总理强调，“十二五”期间，将新建保障性住房36000000套，用于解决中低收入和新参加工作的大学生住房的需求．把36000000用科学记数法表示应是　　　　　　．‎ ‎9．分解因式：ab2﹣a=　　　　　　．‎ ‎10．已知a，b是一元二次方程x2﹣x﹣2=0的两根，则a+b=　　　　　　．‎ ‎11．计算：﹣=　　　　　　．‎ ‎12．已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为　　　　　　．‎ ‎13．如图，这是一个长方体的主视图和俯视图，由图示数据（单元：cm）可以得出该长方体的体积是　　　　　　cm3．‎ ‎14．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1，反比例函数y=的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为　　　　　　．‎ ‎15．如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点．若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为　　　　　　．‎ ‎16．如图，在△ABC中，CA=CB，∠C=90°，点D是BC的中点，将△ABC沿着直线EF折叠，使点A与点D重合，折痕交AB于点E，交AC于点F，那么sin∠BED的值为　　　　　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共11小题，共88分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．计算：（）0++|﹣3|．‎ ‎18．÷（x﹣），再从1、0、中选一个你所喜欢的数代入求值．‎ ‎19．四川雅安发生地震后，某校学生会向全校1900名学生发起了“心系雅安”捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列是问题：‎ ‎（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为　　　　　　，图①中m的值是　　　　　　；‎ ‎（Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；‎ ‎（Ⅲ）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．‎ ‎20．已知：如图，矩形ABCD的一条边AB=10，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处，折痕为AO．‎ ‎（1）求证：△OCP∽△PDA；‎ ‎（2）若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AD的长．‎ ‎21．列方程或方程组解应用题：‎ 某园林队计划由6名工人对180平方米的区域进行绿化，由于施工时增加了2名工人，结果比计划提前3小时完成任务，若每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的绿化面积．‎ ‎22．某市举办中学生足球赛，初中男子组共有市直学校的A、B两队和县区学校的e、f、g、h四队报名参赛，六支球队分成甲、乙两组，甲组由A、e、f三队组成，乙组由B、g、h三队组成，现要从甲、乙两组中各随机抽取一支球队进行首场比赛．‎ ‎（1）在甲组中，首场比赛抽到e队的概率是　　　　　　；‎ ‎（2）请你用画树状图或列表的方法，求首场比赛出场的两个队都是县区学校队的概率．‎ ‎23．甲、乙两城市之间开通了动车组高速列车．已知每隔2h有一列速度相同的动车组列车从甲城开往乙城．如图，OA是第一列动车组列车离开甲城的路程s（km）与运行时间t（h）的函数图象，BC是一列从乙城开往甲城的普通快车距甲城的路程s（km）与运行时间t（h）的函数图象．请根据图中的信息，解答下列问题：‎ ‎（1）从图象看，普通快车发车时间比第一列动车组列车发车时间　　　　　　 1h（填”早”或”晚”），点B的纵坐标600的实际意义是　　　　　　；‎ ‎（2）请直接在图中画出第二列动车组列车离开甲城的路程s（km）与时间t（h）的函数图象；‎ ‎（3）若普通快车的速度为100km/h，‎ ‎①求第二列动车组列车出发多长时间后与普通快车相遇？‎ ‎②请直接写出这列普通快车在行驶途中与迎面而来的相邻两列动车组列车相遇的时间间隔．‎ ‎24．如图，初三一班数学兴趣小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°．朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°，已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度为1：（即AB：BC=1：），且B，C，E三点在同一条直线上，请根据以上条件求出树DE的高度．（测量器的高度忽略不计）‎ ‎25．已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．‎ ‎（Ⅰ）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小；‎ ‎（Ⅱ）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小．‎ ‎26．如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以这两个交点和该抛物线的顶点、对称轴上一点为顶点的菱形称为这条抛物线的“抛物菱形”．‎ ‎（1）若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点为（﹣1，0）、‎ ‎（3，0），且这条抛物线的“抛物菱形”是正方形，求这条抛物线的函数解析式；‎ ‎（2）如图，四边形OABC是抛物线y=﹣x2+bx（b＞0）的“抛物菱形”，且∠OAB=60°‎ ‎①求“抛物菱形OABC”的面积．‎ ‎②将直角三角板中含有“60°角”的顶点与坐标原点O重合，两边所在直线与“抛物菱形OABC”的边AB、BC交于E、F，△OEF的面积是否存在最小值，若存在，求出此时△OEF的面积；若不存在，说明理由．‎ ‎27．如图，将两块直角三角板摆放在平面直角坐标系中，有∠COD=∠ABO=Rt∠，∠OCD=45°，∠AOB=60°，且AO=CD=8．现将Rt△AOB绕点O逆时针旋转，旋转角为β（0°≤β≤180°）．在旋转过程中，直线CD分别与直线AB，OA交于点F，G．‎ ‎（1）当旋转角β=45°时，求点B的坐标；‎ ‎（2）在旋转过程中，当∠BOD=60°时，求直线AB的解析式；‎ ‎（3）在旋转过程中，△AFG能否为等腰三角形？若能，请求出所有满足条件的β值；若不能，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016年江苏省南京市江宁区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．下面的数中，与﹣2的和为0的是（　　）‎ A．2 B．﹣2 C． D．‎ ‎【考点】有理数的加法．‎ ‎【分析】设这个数为x，根据题意可得方程x+（﹣2）=0，再解方程即可．‎ ‎【解答】解：设这个数为x，由题意得：‎ x+（﹣2）=0，‎ x﹣2=0，‎ x=2，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】此题主要考查了有理数的加法，解答本题的关键是理解题意，根据题意列出方程．‎ ‎　‎ ‎2．下列调查中，适宜采用普查方式的是（　　）‎ A．了解一批圆珠笔的寿命 B．了解全国九年级学生身高的现状 C．检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件 D．考察人们保护海洋的意识 ‎【考点】全面调查与抽样调查．‎ ‎【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．‎ ‎【解答】解：A、了解一批圆珠笔的寿命适宜采用抽样调查方式，A错误；‎ B、了解全国九年级学生身高的现状适宜采用抽样调查方式，B错误；‎ C、检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件适宜采用普查方式，B正确；‎ D、考察人们保护海洋的意识适宜采用抽样调查方式，D错误；‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．‎ ‎　‎ ‎3．从下列不等式中选择一个与x+1≥2组成不等式组，如果要使该不等式组的解集为x≥1，那么可以选择的不等式可以是（　　）‎ A．x＞﹣1 B．x＞2 C．x＜﹣1 D．x＜2‎ ‎【考点】不等式的解集．‎ ‎【分析】首先计算出不等式x+1≥2的解集，再根据不等式的解集确定方法：大大取大可确定另一个不等式的解集，进而选出答案．‎ ‎【解答】解：x+1≥2，‎ 解得：x≥1，‎ 根据大大取大可得另一个不等式的解集一定是x不大于1．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】此题主要考查了不等式的解集，关键是正确理解不等式组解集的确定方法：大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小找不着．‎ ‎　‎ ‎4．如图是小刘做的一个风筝支架示意图，已知BC∥PQ，AB：AP=2：5，AQ=20cm，则CQ的长是（　　）‎ A．8cm B．12cm C．30cm D．50cm ‎【考点】平行线分线段成比例．‎ ‎【分析】利用相似三角形的判定与性质得出==，求出AC的长，进而求出CQ的长．‎ ‎【解答】解：∵BC∥PQ，‎ ‎∴△ABC∽△APQ，‎ ‎∴=，‎ ‎∵AB：AP=2：5，AQ=20cm，‎ ‎∴=，‎ 解得：AC=8cm，‎ ‎∴CQ=AQ﹣AC=20﹣8=12（cm），‎ 故选B．‎ ‎【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，得出△ABC∽△APQ是解题关键．‎ ‎　‎ ‎5．如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3等于（　　）‎ A．90° B．180° C．210° D．270°‎ ‎【考点】平行线的性质．‎ ‎【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠B+∠C=180°，从而得到以点B、点C为顶点的五边形的两个外角的度数之和等于180°，再根据多边形的外角和定理列式计算即可得解．‎ ‎【解答】解：∵AB∥CD，‎ ‎∴∠B+∠C=180°，‎ ‎∴∠4+∠5=180°，‎ 根据多边形的外角和定理，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，‎ ‎∴∠1+∠2+∠3=360°﹣180°=180°．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了平行线的性质，多边形的外角和定理，是基础题，理清求解思路是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎6．已知点A，B的坐标分别为（﹣4，0）和（2，0），在直线y=﹣x+2上取一点C，若△ABC是直角三角形，则满足条件的点C有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【考点】勾股定理的逆定理；一次函数图象上点的坐标特征．‎ ‎【分析】根据∠A为直角，∠B为直角与∠C为直角三种情况进行分析．‎ ‎【解答】解：由题意知，直线y=﹣x+2与x轴的交点为（4，0），与y轴的交点为（0，2），如图：‎ 当∠A为直角时，过点A作x轴的垂线与直线的交点W（﹣4，4），‎ 当∠B为直角时，过点B作x轴的垂线与直线的交点S（2，1），‎ 当∠C为直角时，过AB中点E（﹣1，0），作x轴的垂线与直线的交点为F（﹣1，2.5），则EF=2.5＜3，‎ 所以以3为半径，以点E为圆心的圆与直线必有两个交点，‎ 综上所述，共有四个点能与点A，点B组成直角三角形．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，直角三角形的性质，在解答此题时要分三种情况进行讨论，不要漏解．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）‎ ‎7．计算：（3a3）2=　9a6　．‎ ‎【考点】幂的乘方与积的乘方．‎ ‎【分析】利用积的乘方的性质：积的乘方，等于把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，首先计算积的乘方，再利用幂的乘方乘方性质：底数不变，指数相乘，计算（a3）2可得答案．‎ ‎【解答】解：（3a3）2=32（a3）2=9a3×2=9a6．‎ 故答案为：9a6．‎ ‎【点评】此题主要考查了积的乘方和幂的乘方混合运用，计算时要紧扣积的乘方的性质与幂的乘方乘方性质．‎ ‎　‎ ‎8．温家宝总理强调，“十二五”期间，将新建保障性住房36000000套，用于解决中低收入和新参加工作的大学生住房的需求．把36000000用科学记数法表示应是　3.6×107　．‎ ‎【考点】科学记数法—表示较大的数．‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：36000000=3.6×107．‎ 故答案为：3.6×107．‎ ‎【点评】此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎　‎ ‎9．分解因式：ab2﹣a=　a（b+1）（b﹣1）　．‎ ‎【考点】提公因式法与公式法的综合运用．‎ ‎【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．‎ ‎【解答】解：原式=a（b2﹣1）=a（b+1）（b﹣1），‎ 故答案为：a（b+1）（b﹣1）‎ ‎【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎10．已知a，b是一元二次方程x2﹣x﹣2=0的两根，则a+b=　1　．‎ ‎【考点】根与系数的关系．‎ ‎【分析】直接根据一元二次方程根与系数关系进行填空即可．‎ ‎【解答】解：∵a，b是一元二次方程x2﹣x﹣2=0的两根，‎ ‎∴a+b=1，‎ 故答案为1．‎ ‎【点评】本题主要考查了根与系数的关系的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程两根之和与两根之积与系数的关系，此题难度不大．‎ ‎　‎ ‎11．计算：﹣=　　．‎ ‎【考点】二次根式的加减法．‎ ‎【分析】先进行二次根式的化简，然后合并同类二次根式求解．‎ ‎【解答】解：原式=2﹣‎ ‎=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了二次根式的加减法，关键是掌握二次根式的化简以及同类二次根式的合并．‎ ‎　‎ ‎12．已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为　3π　．‎ ‎【考点】弧长的计算．‎ ‎【分析】根据弧长公式L=求解．‎ ‎【解答】解：L===3π．‎ 故答案为：3π．‎ ‎【点评】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式L=．‎ ‎　‎ ‎13．如图，这是一个长方体的主视图和俯视图，由图示数据（单元：cm）可以得出该长方体的体积是　18　cm3．‎ ‎【考点】由三视图判断几何体．‎ ‎【分析】首先确定该几何体为立方体，并说出其尺寸，直接计算其体积即可．‎ ‎【解答】解：观察其视图知：该几何体为立方体，且立方体的长为3，宽为2，高为3，‎ 故其体积为：3×3×2=18，‎ 故答案为：18．‎ ‎【点评】本题考查了由三视图判断几何体，牢记立方体的体积计算方法是解答本题的关键．‎ ‎　‎ ‎14．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1，反比例函数y=的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为　4　．‎ ‎【考点】菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．‎ ‎【分析】过点A作x轴的垂线，与CB的延长线交于点E，根据A，B两点的纵坐标分别为3，1，可得出横坐标，即可求得AE，BE，再根据勾股定理得出AB，根据菱形的面积公式：底乘高即可得出答案．‎ ‎【解答】解：过点A作x轴的垂线，与CB的延长线交于点E，‎ ‎∵A，B两点在反比例函数y=的图象上且纵坐标分别为3，1，‎ ‎∴A，B横坐标分别为1，3，‎ ‎∴AE=2，BE=2，‎ ‎∴AB=2，‎ S菱形ABCD=底×高=2×2=4，‎ 故答案为4．‎ ‎【点评】本题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟记菱形的面积公式是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎15．如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点．若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为　10.5　．‎ ‎【考点】圆周角定理；三角形中位线定理．‎ ‎【分析】由点E、F分别是AC、BC的中点，根据三角形中位线定理得出EF=AB=3.5为定值，则GE+FH=GH﹣EF=GH﹣3.5，所以当GH取最大值时，GE+FH有最大值．而直径是圆中最长的弦，故当GH为⊙O的直径时，GE+FH有最大值14﹣3.5=10.5．‎ ‎【解答】解：当GH为⊙O的直径时，GE+FH有最大值．‎ 当GH为直径时，E点与O点重合，‎ ‎∴AC也是直径，AC=14．‎ ‎∵∠ABC是直径上的圆周角，‎ ‎∴∠ABC=90°，‎ ‎∵∠C=30°，‎ ‎∴AB=AC=7．‎ ‎∵点E、F分别为AC、BC的中点，‎ ‎∴EF=AB=3.5，‎ ‎∴GE+FH=GH﹣EF=14﹣3.5=10.5．‎ 故答案为：10.5．‎ ‎【点评】本题结合动点考查了圆周角定理，三角形中位线定理，有一定难度．确定GH的位置是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎16．如图，在△ABC中，CA=CB，∠C=90°，点D是BC的中点，将△ABC沿着直线EF折叠，使点A与点D重合，折痕交AB于点E，交AC于点F，那么sin∠BED的值为　　．‎ ‎【考点】翻折变换（折叠问题）．‎ ‎【分析】先根据翻折变换的性质得到△DEF≌△AEF，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得到∠BED=CDF，设CD=1，CF=x，则CA=CB=2，再根据勾股定理即可求解．‎ ‎【解答】解：∵△DEF是△AEF翻折而成，‎ ‎∴△DEF≌△AEF，∠A=∠EDF，‎ ‎∵△ABC是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠EDF=45°，由三角形外角性质得∠CDF+45°=∠BED+45°，‎ ‎∴∠BED=∠CDF，‎ 设CD=1，CF=x，则CA=CB=2，‎ ‎∴DF=FA=2﹣x，‎ ‎∴在Rt△CDF中，由勾股定理得，CF2+CD2=DF2，即x2+1=（2﹣x）2，‎ 解得x=，‎ ‎∴sin∠BED=sin∠CDF==，‎ 故答案为：‎ ‎【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形外角的性质，涉及面较广，但难易适中．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共11小题，共88分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．计算：（）0++|﹣3|．‎ ‎【考点】实数的运算；零指数幂．‎ ‎【分析】原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项化为最简二次根式，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．‎ ‎【解答】解：原式=1+3+3‎ ‎=4+3．‎ ‎【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．÷（x﹣），再从1、0、中选一个你所喜欢的数代入求值．‎ ‎【考点】分式的化简求值．‎ ‎【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的x的值代入进行计算即可．‎ ‎【解答】解：原式=﹒‎ ‎=，‎ 当x=时，原式=+2．‎ ‎【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎19．四川雅安发生地震后，某校学生会向全校1900名学生发起了“心系雅安”捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列是问题：‎ ‎（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为　50　，图①中m的值是　32　；‎ ‎（Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；‎ ‎（Ⅲ）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．‎ ‎【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；加权平均数；中位数；众数．‎ ‎【分析】（1）根据条形统计图即可得出样本容量根据扇形统计图得出m的值即可；‎ ‎（2）利用平均数、中位数、众数的定义分别求出即可；‎ ‎（3）根据样本中捐款10元的人数，进而得出该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．‎ ‎【解答】解：（1）根据条形图4+16+12+10+8=50（人），‎ m=100﹣20﹣24﹣16﹣8=32；‎ ‎（2）∵=（5×4+10×16+15×12+20×10+30×8）=16，‎ ‎∴这组数据的平均数为：16，‎ ‎∵在这组样本数据中，10出现次数最多为16次，‎ ‎∴这组数据的众数为：10，‎ ‎∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是15，‎ ‎∴这组数据的中位数为：（15+15）=15；‎ ‎（3）∵在50名学生中，捐款金额为10元的学生人数比例为32%，‎ ‎∴由样本数据，估计该校1900名学生中捐款金额为10元的学生人数比例为32%，有1900×32%=608，‎ ‎∴该校本次活动捐款金额为10元的学生约有608名．‎ 故答案为：50，32．‎ ‎【点评】此题主要考查了平均数、众数、中位数的统计意义以及利用样本估计总体等知识．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．‎ ‎　‎ ‎20．已知：如图，矩形ABCD的一条边AB=10，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处，折痕为AO．‎ ‎（1）求证：△OCP∽△PDA；‎ ‎（2）若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AD的长．‎ ‎【考点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质．‎ ‎【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可判定．‎ ‎（2）根据相似三角形的性质面积比等于相似比的平方，得到AD=2PC，设PC=x，则AD=2x，在RT△ADP中利用勾股定理即可解决问题．‎ ‎【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，‎ 由折叠可得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO，∠APO=∠B，‎ ‎∴∠APO=90°，‎ ‎∴∠APD=90°﹣∠CPO=∠POC，‎ ‎∵∠D=∠C，∠APD=∠POC，‎ ‎∴△OCP∽△PDA．‎ ‎（2）解：∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，‎ ‎∴==，‎ ‎∴DA=2CP．设PC=x，则AD=2x，PD=10﹣x，AP=AB=10，‎ 在Rt△PDA中，∵∠D=90°，PD2+AD2=AP2，‎ ‎∴（10﹣x）2+（2x）2=102，‎ 解得：x=4，‎ ‎∴AD=2x=8．‎ ‎【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、翻折变换、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定，学会用方程的思想解决数学问题，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ ‎21．列方程或方程组解应用题：‎ 某园林队计划由6名工人对180平方米的区域进行绿化，由于施工时增加了2名工人，结果比计划提前3小时完成任务，若每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的绿化面积．‎ ‎【考点】分式方程的应用．‎ ‎【分析】设每人每小时的绿化面积x平方米，根据增加2人后完成的时间比原来的时间少3小时为等量关系建立方程求出其解即可．‎ ‎【解答】解：设每人每小时的绿化面积x平方米，由题意，得 ‎，‎ 解得：x=2.5．‎ 经检验，x=2.5是原方程的解，且符合题意．‎ 答：每人每小时的绿化面积2.5平方米．‎ ‎【点评】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，解答时验根是必须的过程，学生容易忘记，解答本题时根据增加2人后完成的时间比原来的时间少3小时为等量关系建立方程是关键．‎ ‎　‎ ‎22．某市举办中学生足球赛，初中男子组共有市直学校的A、B两队和县区学校的e、f、g、h四队报名参赛，六支球队分成甲、乙两组，甲组由A、e、f三队组成，乙组由B、g、h三队组成，现要从甲、乙两组中各随机抽取一支球队进行首场比赛．‎ ‎（1）在甲组中，首场比赛抽到e队的概率是　　；‎ ‎（2）请你用画树状图或列表的方法，求首场比赛出场的两个队都是县区学校队的概率．‎ ‎【考点】列表法与树状图法．‎ ‎【分析】（1）根据甲组由A，e，f三队组成，得到抽到e队的概率；‎ ‎（2）列表得出所有等可能的情况数，找出首场比赛出场的两个队都是县区学校队的情况数，即可求出所求的概率．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意得：P（e队出场）=；‎ 故答案为：；‎ ‎（2）列表如下：‎ A e f B ‎（A，B）‎ ‎（e，B）‎ ‎（f，B）‎ g ‎（A，g）‎ ‎（e，g）‎ ‎（f，g）‎ h ‎（A，h）‎ ‎（e，h）‎ ‎（f，h）‎ 所有等可能的情况有9种，其中首场比赛出场的两个队都是县区学习队的有4种情况，‎ 则P=．‎ ‎【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎　‎ ‎23．甲、乙两城市之间开通了动车组高速列车．已知每隔2h有一列速度相同的动车组列车从甲城开往乙城．如图，OA是第一列动车组列车离开甲城的路程s（km）与运行时间t（h）的函数图象，BC是一列从乙城开往甲城的普通快车距甲城的路程s（km）与运行时间t（h）的函数图象．请根据图中的信息，解答下列问题：‎ ‎（1）从图象看，普通快车发车时间比第一列动车组列车发车时间　晚　 1h（填”早”或”晚”），点B的纵坐标600的实际意义是　甲、乙两城市之间的距离为600千米　；‎ ‎（2）请直接在图中画出第二列动车组列车离开甲城的路程s（km）与时间t（h）的函数图象；‎ ‎（3）若普通快车的速度为100km/h，‎ ‎①求第二列动车组列车出发多长时间后与普通快车相遇？‎ ‎②请直接写出这列普通快车在行驶途中与迎面而来的相邻两列动车组列车相遇的时间间隔．‎ ‎【考点】一次函数的应用．‎ ‎【分析】（1）根据图象中点B的实际意义即可得知；‎ ‎（2）根据速度相同可知两直线平行，由间隔时间为2小时可知直线过（2，0），画出图象MN即可；‎ ‎（3）①求出直线BC与直线MN的解析式，由解析式列出方程，解方程即可得相遇时间，继而可得答案；‎ ‎②求出直线BC与直线OA交点，即普通快车与第一辆动车相遇时间，由①可知相遇时间间隔．‎ ‎【解答】解：（1）由图可知，普通快车发车时间比第一列动车组列车发车时间晚1h；‎ 点B的纵坐标600的实际意义是：甲、乙两城市之间的距离为600千米；‎ ‎（2）如图所示：‎ ‎（3）①设直线MN的解析式为：S=k1t+b1，‎ ‎∵M（2，0），N（6，600），‎ ‎∴，‎ 解得：，‎ ‎∴S=150t﹣300；‎ ‎∵直线BC的解析式为：S=﹣100t+700，‎ ‎∴可得：150t﹣300=﹣100t+700，‎ 解得：t=4，‎ ‎4﹣2=2．‎ 答：第二列动车组列车出发2小时后与普通快车相遇；‎ ‎②根据题意，第一列动车组列车解析式为：y=150t，‎ ‎∴这列普通快车在行驶途中与迎面而来的相邻两列动车组列车相遇的时间间隔为：150t=﹣100t+700，‎ 解得：t=2.8，‎ ‎4﹣2.8=1.2（小时）．‎ ‎∴这列普通快车在行驶途中与迎面而来的相邻两列动车组列车相遇的时间间隔为1.2小时．‎ 故答案为：（1）晚，甲、乙两城市之间的距离为600千米．‎ ‎【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式和一次函数以及二元一次方程组的应用，主要利用了相遇问题求解，仔细观察图象将相遇时刻转化为求直线交点坐标是关键．‎ ‎　‎ ‎24．如图，初三一班数学兴趣小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°．朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°，已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度为1：（即AB：BC=1：），且B，C，E三点在同一条直线上，请根据以上条件求出树DE的高度．（测量器的高度忽略不计）‎ ‎【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．‎ ‎【分析】由于AF⊥AB，则四边形ABEF为矩形，设DE=x，在Rt△CDE中，CE===x，在Rt△ABC中，得到=，求出BC，在Rt△AFD中，求出AF，由AF=BC+CE即可求出x的长．‎ ‎【解答】解：∵AF⊥AB，AB⊥BE，DE⊥BE，‎ ‎∴四边形ABEF为矩形，‎ ‎∴AF=BE，EF=AB=2‎ 设DE=x，在Rt△CDE中，CE===x，‎ 在Rt△ABC中，‎ ‎∵=，AB=2，‎ ‎∴BC=2，‎ 在Rt△AFD中，DF=DE﹣EF=x﹣2，‎ ‎∴AF===（x﹣2），‎ ‎∵AF=BE=BC+CE．‎ ‎∴（x﹣2）=2+x，‎ 解得x=6．‎ 答：树DE的高度为6米．‎ ‎【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角、坡度问题、矩形的判定与性质、三角函数；借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎25．已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．‎ ‎（Ⅰ）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小；‎ ‎（Ⅱ）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小．‎ ‎【考点】切线的性质；圆周角定理；直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】（Ⅰ）如图①，首先连接OC，根据当直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l于点D．易证得OC∥AD，继而可求得∠BAC=∠DAC=30°；‎ ‎（Ⅱ）如图②，连接BF，由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠AFB=90°，由三角形外角的性质，可求得∠AEF的度数，又由圆的内接四边形的性质，求得∠B的度数，继而求得答案．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）如图①，连接OC，‎ ‎∵直线l与⊙O相切于点C，‎ ‎∴OC⊥l，‎ ‎∵AD⊥l，‎ ‎∴OC∥AD，‎ ‎∴∠OCA=∠DAC，‎ ‎∵OA=OC，‎ ‎∴∠BAC=∠OCA，‎ ‎∴∠BAC=∠DAC=30°；‎ ‎（Ⅱ）如图②，连接BF，‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠AFB=90°，‎ ‎∴∠BAF=90°﹣∠B，‎ ‎∴∠AEF=∠ADE+∠DAE=90°+18°=108°，‎ 在⊙O中，四边形ABFE是圆的内接四边形，‎ ‎∴∠AEF+∠B=180°，‎ ‎∴∠B=180°﹣108°=72°，‎ ‎∴∠BAF=90°﹣∠B=90°﹣72°=18°．‎ ‎【点评】此题考查了切线的性质、圆周角定理以及圆的内接四边形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．‎ ‎　‎ ‎26．如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以这两个交点和该抛物线的顶点、对称轴上一点为顶点的菱形称为这条抛物线的“抛物菱形”．‎ ‎（1）若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点为（﹣1，0）、‎ ‎（3，0），且这条抛物线的“抛物菱形”是正方形，求这条抛物线的函数解析式；‎ ‎（2）如图，四边形OABC是抛物线y=﹣x2+bx（b＞0）的“抛物菱形”，且∠OAB=60°‎ ‎①求“抛物菱形OABC”的面积．‎ ‎②将直角三角板中含有“60°角”的顶点与坐标原点O重合，两边所在直线与“抛物菱形OABC”的边AB、BC交于E、F，△OEF的面积是否存在最小值，若存在，求出此时△OEF的面积；若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】二次函数综合题．‎ ‎【分析】（1）根据正方形的性质求得A点的坐标，然后根据待定系数法即可求得解析式；‎ ‎（2）①根据“抛物菱形”的性质，依据∠OAB=60°求得OB的长，然后根据勾股定理求得AC的值，即可求得菱形的面积；②当三角板的两边分别垂直与AB和BC时三角形OEF的面积最小，从而求得△OEF是等边三角形，根据勾股定理求得OE=1，然后求边长为1的等边三角形的面积即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点为（﹣1，0）、（3，0），四边形OABC是正方形，‎ ‎∴A（1，2）或（1，﹣2），‎ 当A（1，2）时， 解得：‎ 当A（1，﹣2）时解得 ‎∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+或y=x2﹣x﹣；‎ ‎（2）①∵由抛物线y=﹣x2+bx（b＞0）可知OB=b，‎ ‎∵∠OAB=60°，‎ ‎∴A（， b），‎ 代入y=﹣x2+bx得： b=﹣（）2+b，解得：b=2，‎ ‎∴OB=2，AC=6，‎ ‎∴“抛物菱形OABC”的面积=OBAC=6；‎ ‎②存在；‎ 当三角板的两边分别垂直与AB和BC时三角形OEF的面积最小，‎ ‎∵OE⊥AB，‎ ‎∴∠EOB==30°，‎ 同理∠BOF=30°，‎ ‎∵∠EOF=60°‎ ‎∴OB垂直EF且平分EF，‎ ‎∴三角形OEF是等边三角形，‎ ‎∵OB=2，‎ ‎∴OE=3，‎ ‎∴OE=OF=EF=3，‎ ‎∴△OEF的面积=．‎ ‎【点评】本题考查了“抛物菱形”的性质，抛物线的顶点坐标，正方形的性质，等边三角形的性质，待定系数法求解析式，勾股定理的应用等．‎ ‎　‎ ‎27．如图，将两块直角三角板摆放在平面直角坐标系中，有∠COD=∠ABO=Rt∠，∠OCD=45°，∠AOB=60°，且AO=CD=8．现将Rt△AOB绕点O逆时针旋转，旋转角为β（0°≤β≤180°）．在旋转过程中，直线CD分别与直线AB，OA交于点F，G．‎ ‎（1）当旋转角β=45°时，求点B的坐标；‎ ‎（2）在旋转过程中，当∠BOD=60°时，求直线AB的解析式；‎ ‎（3）在旋转过程中，△AFG能否为等腰三角形？若能，请求出所有满足条件的β值；若不能，请说明理由．‎ ‎【考点】几何变换综合题．‎ ‎【分析】（1）过点B 作BH⊥x轴于点H，在Rt△AOB中，∠AOB=60°，OA=8，所以OB=OA=4，再利用勾股定理求出OH、BH，即可解答；‎ ‎（2）分两种情况：Ⅰ当点B在第一象限时（如图2），过点B作BM⊥OC于点M；Ⅱ当点B在第二象限时（如图3），过点B作 BE⊥x轴于E，过点A作AF⊥BE于H；分别求出点A、B的坐标，利用待定系数法求解析式，即可解答；‎ ‎（3）分三种情况：Ⅰ当0°＜β＜45°时（如图4）；Ⅱ当45°＜β＜75°时（如图5）；Ⅲ当75°＜β＜180°时，分三种情况解答：①FA=FG，②AF=AG，③GA=GF；根据等腰三角形的性质，角之间的和与差，即可解答．‎ ‎【解答】解：（1）如图1，过点B 作BH⊥x轴于点H，‎ 在Rt△AOB中，∠AOB=60°，OA=8‎ ‎∴OB=OA=4‎ 当β=45°时，即∠BOC=45°，‎ ‎∴OH=BH，‎ ‎∴OH2+BH2=42‎ ‎∴OH=BH=2，‎ ‎∴B（）‎ ‎（2）Ⅰ当点B在第一象限时（如图2），过点B作BM⊥OC于点M，‎ ‎∵∠BOD=60°，‎ ‎∴∠BOC=30°，‎ ‎∴OM=，BM=OB，‎ ‎∴B（2，2）‎ ‎∵点A在y轴上 ‎∴A（0，8），‎ 设直线AB的解析式为y=kx+b，‎ ‎∴，‎ 解得：‎ ‎∴直线AB的解析式为：y=﹣x+8；‎ Ⅱ当点B在第二象限时，（如图3）‎ 过点B作 BE⊥x轴于E，过点A作AF⊥BE于H ‎∵∠BOD=60°，‎ ‎∴∠BOE=30°，‎ ‎∴∠EB0=60°，‎ ‎∴∠ABH=30°，‎ 又∵OB=4，‎ ‎∴OE=，BE=OB，‎ ‎∴B（﹣2，2），‎ ‎∵∠BEO=∠AHB=90°，∠ABH=∠BOE，‎ ‎∴△OBE∽△BAH ‎∴‎ ‎∴AH=2，BH=6‎ ‎∴A（﹣4，﹣4）‎ 设直线AB的解析式为y=kx+b，‎ ‎∴‎ 解得：‎ ‎∴直线AB的解析式为：y=x+8．‎ ‎（3）Ⅰ当0°＜β＜45°时（如图4），‎ ‎∠AGF为钝角，‎ 当GA=GF时，‎ ‎∴∠A=∠AFG=30°，‎ ‎∴∠OGC=60°，‎ 又∵∠GCO=45°，‎ ‎∴∠GOC=180°﹣60°﹣45°=75°，‎ ‎∴β=∠BOC=75°﹣60°=15°．‎ Ⅱ当45°＜β＜75°时（如图5），‎ ‎∠GAF为钝角，‎ 当AF=AG时，‎ ‎∴∠AGF=∠AFG=∠OAB=15°，‎ ‎∴∠GOC=180°﹣15°﹣45°=120°，‎ ‎∴β=∠BOC=120°﹣60°=60°，‎ Ⅲ当75°＜β＜180°时 ‎①FA=FG（如图6）‎ ‎∴∠A=∠FGA=30°‎ ‎∴∠COG=45°﹣30°=15°=∠AOM ‎∴β=∠BOC=180°﹣15°﹣60°=105°．‎ ‎②AF=AG（如图7）‎ ‎∴∠AFG=∠AGF=（180°﹣30°）÷2=75°‎ ‎∴∠AOM=∠COG=75°﹣45°=30°‎ ‎∴∠BOM=30°‎ ‎∴β=∠BOC=180°﹣30°=150°．‎ ‎③GA=GF（如图8）‎ ‎∴∠A=∠AFG=30°‎ ‎∴∠AMO=∠F+∠BCF=75°‎ ‎∴∠BOM=15°‎ β=∠BOC=180°+15°=195°（舍去）．‎ 综上所述当β为15°或60°或105°或150°时△AFG为等腰三角形．‎ ‎【点评】本题属于几何变换综合题，考查了勾股定理、待定系数法求函数解析式、等腰三角形的性质，解决本题的关键是分类讨论思想、数形结合思想的应用．‎