高考数学考点归纳之二次函数 14页

高考数学考点归纳之二次函数一、基础知识1．二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．2．二次函数的图象与性质二次函数系数的特征(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，系数a的正负决定图象的开口方向及开口大小；(2)－的值决定图象对称轴的位置；(3)c的取值决定图象与y轴的交点；(4)b2－4ac的正负决定图象与x轴的交点个数．解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)　f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)　　图象定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域单调性在上单调递增；在上单调递减在上单调递增；在上单调递减 奇偶性当b＝0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数顶点对称性图象关于直线x＝－成轴对称图形二、常用结论1．一元二次不等式恒成立的条件(1)“ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a>0，且Δ<0”．(2)“ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0，且Δ<0”．2．二次函数在闭区间上的最值设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，闭区间为[m，n]．(1)当－≤m时，最小值为f(m)，最大值为f(n)；(2)当m<－≤时，最小值为f，最大值为f(n)；(3)当<－≤n时，最小值为f，最大值为f(m)；(4)当－>n时，最小值为f(n)，最大值为f(m)． 求二次函数的解析式常利用待定系数法，但由于条件不同，则所选用的解析式不同，其方法也不同.[典例]　已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．[解]　法一：利用二次函数的一般式设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得解得故所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.法二：利用二次函数的顶点式设f(x)＝a(x－m)2＋n.∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线对称轴为x＝＝.∴m＝，又根据题意函数有最大值8，∴n＝8，∴y＝f(x)＝a2＋8.∵f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1，解得a＝－4，∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.法三：利用零点式由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值ymax＝8，即＝8.解得a＝－4或a＝0(舍去)，故所求函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. [题组训练]1．已知二次函数f(x)的图象的顶点坐标是(－2，－1)，且图象经过点(1,0)，则函数的解析式为f(x)＝________.解析：法一：设所求解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由已知得解得所以所求解析式为f(x)＝x2＋x－.法二：设所求解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．依题意得解得所以所求解析式为f(x)＝x2＋x－.法三：设所求解析式为f(x)＝a(x－h)2＋k.由已知得f(x)＝a(x＋2)2－1，将点(1,0)代入，得a＝，所以f(x)＝(x＋2)2－1，即f(x)＝x2＋x－.答案：x2＋x－2．已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则函数的解析式f(x)＝____________.解析：∵f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，∴f(x)的对称轴为x＝2.又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，∴f(x)＝0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)． 又∵f(x)的图象经过点(4,3)，∴3a＝3，a＝1.∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.答案：x2－4x＋3考法(一)　二次函数图象的识别[典例]　若一次函数y＝ax＋b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax2＋bx的图象只可能是(　　)[解析]　因为一次函数y＝ax＋b的图象经过第二、三、四象限，所以a<0，b<0，所以二次函数的图象开口向下，对称轴方程x＝－<0，只有选项C适合．[答案]　C考法(二)　二次函数的单调性与最值问题[典例]　(1)已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]时，有最大值2，则a的值为________．(2)设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m的取值范围是________．[解析]　(1)函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，对称轴方程为x＝a.当a<0时，f(x)max＝f(0)＝1－a，所以1－a＝2，所以a＝－1. 当0≤a≤1时，f(x)max＝a2－a＋1，所以a2－a＋1＝2，所以a2－a－1＝0，所以a＝(舍去)．当a>1时，f(x)max＝f(1)＝a，所以a＝2.综上可知，a＝－1或a＝2.(2)依题意a≠0，二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c图象的对称轴是直线x＝1，因为函数f(x)在区间[0,1]上单调递减，所以a>0，即函数图象的开口向上，所以f(0)＝f(2)，则当f(m)≤f(0)时，有0≤m≤2.[答案]　(1)－1或2　(2)[0,2][解题技法]1．二次函数最值问题的类型及解题思路(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，“三点”是指区间两个端点和中点，“一轴”指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想解决问题．2．二次函数单调性问题的求解策略(1)对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解．(2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转化到同一单调区间上比较．考法(三)　与二次函数有关的恒成立问题 [典例]　(1)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是________；(2)已知函数f(x)＝x2＋2x＋1，f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，则k的取值范围为________．[解析]　(1)作出二次函数f(x)的草图如图所示，对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0，则有即解得－k在区间[－3，－1]上恒成立．设g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，则g(x)在[－3，－1]上递减．∴g(x)min＝g(－1)＝1.∴k<1.故k的取值范围为(－∞，1)．[答案]　(1)　(2)(－∞，1)[解题技法]由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.[题组训练]1．(2019·杭州模拟)已知f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在[0,1]内的最大值为－5，则a的值为(　　) A.　　　　　　　　　　B．1或C．－1或D．－5或解析：选D　f(x)＝－42－4a，对称轴为直线x＝.①当≥1，即a≥2时，f(x)在[0,1]上单调递增，∴f(x)max＝f(1)＝－4－a2.令－4－a2＝－5，得a＝±1(舍去)．②当0<<1，即01)，若在区间[－1,1]上f(x)≤8恒成立，则a的最大值为________．解析：令ax＝t，因为a>1，x∈[－1,1]，所以≤t≤a，原函数化为g(t)＝t2＋3t－2，显然g(t)在上单调递增，所以f(x)≤8恒成立，即g(t)max＝g(a)≤8恒成立，所以有a2＋3a－2≤8，解得－5≤a≤2，又a>1，所以a的最大值为2.答案：2A级1．(2019·重庆三校联考)已知二次函数y＝ax2＋bx＋1的图象的对称轴方程是x＝1，并且过点P(－1,7)，则a，b的值分别是(　　)A．2,4　　　　　　　　　　B．－2,4C．2，－4D．－2，－4解析：选C　∵y＝ax2＋bx＋1的图象的对称轴是x＝1，∴－＝1.①又图象过点P(－1,7)，∴a－b＋1＝7，即a－b＝6.②由①②可得a＝2，b＝－4.2．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则a的值为(　　)A．－1B．0C．1D．－2解析：选D　函数f(x)＝－x2＋4x＋a的对称轴为直线x＝2，开口向下，f(x)＝－x2＋4x＋a在[0,1]上单调递增，则当x＝0时，f(x)的最小值为f(0)＝a＝－2.3．一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是(　　) 解析：选C　若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A；若a<0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，故可排除D；对于选项B，看直线可知a>0，b>0，从而－<0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故可排除B.故选C.4．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝f(4)>f(1)，则(　　)A．a>0,4a＋b＝0B．a<0,4a＋b＝0C．a>0,2a＋b＝0D．a<0,2a＋b＝0解析：选A　由f(0)＝f(4)，得f(x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－＝2，∴4a＋b＝0，又f(0)>f(1)，f(4)>f(1)，∴f(x)先减后增，于是a>0，故选A.5．若关于x的不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是(　　)A．(－∞，－2)B．(－2，＋∞)C．(－6，＋∞)D．(－∞，－6)解析：选A　不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2－4x－2)max，令f(x)＝x2－4x－2，x∈(1,4)，所以f(x)1，即a<－2，－2≤a≤2和a>2三种情形讨论．(1)当a<－2时，由图①可知f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)＝－1－a＝－(a＋1)．(2)当－2≤a≤2时，由图②可知f(x)在[－1,1]上的最大值为f＝.(3)当a>2时，由图③可知f(x)在[－1,1]上的最大值为f(1)＝a－1.综上可知，f(x)max＝10．已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式； (2)当x∈[－1,1]时，函数y＝f(x)的图象恒在函数y＝2x＋m的图象的上方，求实数m的取值范围．解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)，由f(x＋1)－f(x)＝2x，得2ax＋a＋b＝2x.所以，2a＝2且a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1，因此f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1.(2)因为当x∈[－1,1]时，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋m的图象上方，所以在[－1,1]上，x2－x＋1>2x＋m恒成立；即x2－3x＋1>m在区间[－1,1]上恒成立．所以令g(x)＝x2－3x＋1＝2－，因为g(x)在[－1,1]上的最小值为g(1)＝－1，所以m<－1.故实数m的取值范围为(－∞，－1)．B级1.如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a0，即b2>4ac，①正确；对称轴为x＝－1，即－＝－1,2a－b＝0，②错误；结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a.又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a0时，f(x)＝(x－1)2，若当x∈时，n≤f(x)≤m恒成立，则m－n的最小值为(　　)A.B.C.D．1解析：选D　当x<0时，－x>0，f(x)＝f(－x)＝(x＋1)2，因为x∈，所以f(x)min＝f(－1)＝0，f(x)max＝f(－2)＝1，所以m≥1，n≤0，m－n≥1.所以m－n的最小值是1.3．已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.(1)当a＝2，x∈[－2,3]时，求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)在[－1,3]上的最大值为1，求实数a的值．解：(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2,3]，对称轴为x＝－∈[－2,3]，∴f(x)min＝f＝－－3＝－，f(x)max＝f(3)＝15，∴函数f(x)的值域为.(2)∵函数f(x)的对称轴为x＝－.①当－≤1，即a≥－时，f(x)max＝f(3)＝6a＋3，∴6a＋3＝1，即a＝－，满足题意； ②当－＞1，即a＜－时，f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，∴－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意．综上可知，a＝－或－1.4．求函数y＝x2－2x－1在区间[t，t＋1](t∈R)上的最大值．解：函数y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2的图象的对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，－2)，函数图象如图所示，对t进行讨论如下：(1)当对称轴在闭区间右边，即当t＋1<1，即t<0时，函数在区间[t，t＋1]上单调递减，f(x)max＝f(t)＝t2－2t－1.(2)当对称轴在闭区间内时，0≤t≤1，有两种情况：①当t＋1－1≤1－t，即0≤t≤时，f(x)max＝f(t)＝t2－2t－1；②当t＋1－1>1－t，即1时，函数在区间[t，t＋1]上单调递增，f(x)max＝f(t＋1)＝(t＋1)2－2(t＋1)－1＝t2－2.综上所述，t≤时，所求最大值为t2－2t－1；t>时，所求最大值为t2－2.