高考真题解析数学文科10圆锥曲线 23页

‎2011年高考试题解析数学（文科）‎ ‎10 圆锥曲线 一、选择题:‎ ‎1. （2011年高考山东卷文科9)设M(，)为抛物线C：上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、为半径的圆和抛物线C的准线相交，则的取值范围是 ‎ (A)(0，2) (B)[0，2] (C)(2，+∞) (D)[2，+∞)‎ ‎【答案】C ‎3. （2011年高考海南卷文科9)已知直线过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C的准线上一点,则的面积为( )‎ A.18 B.24 C.36 D.48‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为AB过抛物线的焦点且与对称轴垂直,所以线段AB是抛物线的通径,长为,所以,又点P到AB的距离为焦参数,所以的面积为,故选C.‎ ‎4. (2011年高考安徽卷文科3) 双曲线的实轴长是 ‎（A）2 (B) (C) 4 (D) 4‎ ‎【答案】C ‎【命题意图】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的性质.属容易题.‎ ‎【解析】可变形为，则，，.故选C.‎ ‎5．(2011年高考广东卷文科8)设圆C与圆 外切，与直线相切．则C的圆心轨迹为（ ）‎ A． 抛物线 B． 双曲线 C． 椭圆 D． 圆 ‎6.（2011年高考浙江卷文科9)已知椭圆（a＞b＞0）与双曲线有公共的焦点，的一条渐近线与的长度为直径的圆相交于两点.若恰好将线段三等分，则 ‎（A） （B） （C） (D) ‎ ‎【答案】 C ‎【解析】：由恰好将线段AB三等分得由 又，故选C.‎ ‎7. (2011年高考天津卷文科6)已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意知,抛物线的准线方程为,所以,又,所以,又因为双曲线的一条渐近线过点(-2,-1),所以双曲线的渐近线方程为,即,所以,即,,选B.‎ ‎8. （2011年高考福建卷文科11)设圆锥曲线I’的两个焦点分别为F1，F2，若曲线I’上存在点P满足：：= 4:3:2，则曲线I’的离心率等于 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由：：= 4:3:2，可设,,,若圆锥曲线为椭圆,则 ‎,,;若圆锥曲线为双曲线,则,,,故选A.‎ ‎9. （2011年高考四川卷文科11)在抛物线y=x2+ax-5(a≠0)上取横坐标为x1=-4,x2=2的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与该抛物线和圆相切，则抛物线的顶点坐标是（ ）‎ ‎（A） (-2,-9) （B）(0,-5)‎ ‎ (C) (2,-9) （D）(1,6)‎ ‎10. （2011年高考陕西卷文科2)设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是 ‎ ‎ （A） （B） (C) (D) ‎ ‎【答案】C ‎【解析】：设抛物线方程为，则准线方程为于是故选C ‎11．（2011年高考湖南卷文科6)设双曲线的渐近线方程为则的值为（ ）‎ A．4 B．‎3 C．2 D．1‎ 答案：C 解析：由双曲线方程可知渐近线方程为，故可知。‎ ‎12．（2011年高考湖北卷文科4)将两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为 n，则 A. B. C. D.‎ 答案：C ‎ 解析：设满足条件的正三角形的三顶点为A、B、F，依题意可知，A、B必关于x轴对称，故设 ，则，则，故由抛物线定义可得，则由，解得，由判别式计算得△>0，故有两个正三角形，可知选C.‎ ‎13.（2011年高考辽宁卷文科7)已知 F 是抛物线 的焦点，A．B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为 ‎ (A) (B)1 (C) (D) ‎ 答案： C 解析：设A、B的横坐标分别是m、n，由抛物线定义，得=m++n+= m+n+=3，故m+n=，，故线段AB的中点到y轴的距离为。‎ 二、填空题：‎ ‎14. （2011年高考山东卷文科15)已知双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 .‎ ‎16. （2011年高考四川卷文科14)双曲线上一点P到双曲线右焦点的距离是4，那么点P到左准线的距离是 .‎ 答案：16‎ 解析：由双曲线第一定义，|PF1|-|PF2|=±16，因|PF2|=4，故|PF1|=20，（|PF1|=-12舍去），设P到左准线的距离是d，由第二定义，得，解得.‎ ‎17.（2011年高考全国卷文科16)已知F1、F2分别为双曲线C: - =1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2，0)，AM为∠F1AF2的平分线．则|AF2| = .‎ 已知F1、F2分别为双曲线C: - =1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2，0)，AM为∠F1AF2∠的平分线．则|AF2| = .‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】：，由角平分线的性质得 又 ‎ ‎18．（2011年高考重庆卷文科9)设双曲线的左准线与两条渐近线交于 两点，左焦点在以为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为 ‎ A． B． C． D．，‎ ‎【答案】B 三、解答题：‎ ‎18. （2011年高考山东卷文科22)（本小题满分14分）‎ 在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点.‎ ‎（Ⅰ）求的最小值；‎ ‎（Ⅱ）若∙，（i）求证：直线过定点；‎ ‎（ii）试问点，能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题意:设直线,‎ 由消y得:,设A、B,AB的中点E,则由韦达定理得: =,即,,所以中点E的坐标为E,因为O、E、D三点在同一直线上，所以，即，解得 ‎，所以=,当且仅当时取等号,即的最小值为2.‎ ‎（Ⅱ）（i）证明:由题意知:n>0,因为直线OD的方程为,所以由得交点G的纵坐标为,又因为,,且∙，所以,又由（Ⅰ）知: ,所以解得,所以直线的方程为,即有,令得,y=0,与实数k无关,所以直线过定点(-1,0).‎ ‎（ii）假设点，关于轴对称,则有的外接圆的圆心在x轴上,又在线段AB的中垂线上,‎ 由（i）知点G(,所以点B(,又因为直线过定点(-1,0),所以直线的斜率为，又因为，所以解得或6，又因为 ‎,所以舍去,即，此时k=1，m=1，E，AB的中垂线为2x+2y+1=0，圆心坐标为，G(,圆半径为，圆的方程为.综上所述, 点，关于轴对称,此时的外接圆的方程为.‎ ‎19. （2011年高考江西卷文科19) (本小题满分12分）‎ 已知过抛物线的焦点，斜率为的直 线交抛物线于（）两点，且．‎ ‎（1）求该抛物线的方程；‎ ‎（2）为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的值．‎ ‎【解析】（1）直线AB的方程是 ‎ 所以：，由抛物线定义得：，所以p=4，‎ 抛物线方程为：‎ （2） 由p=4，化简得，从而,从而A:(1,),B(4,)‎ 设=，又，即8（4），即，解得.‎ ‎20. （2011年高考福建卷文科18)（本小题满分12分）‎ 如图，直线l ：y=x+b与抛物线C ：x2=4y相切于点A。‎ （1） 求实数b的值；‎ ‎（11） 求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程.‎ ‎【解析】（I）由得 ()‎ 因为直线与抛物线C相切,所以,解得.‎ ‎（II）由（I）可知,故方程()即为,解得,将其代入,得y=1,故点A(2,1).‎ 因为圆A与抛物线C的准线相切,所以圆心A到抛物线C的准线y=-1的距离等于圆A的半径r,‎ 即r=|1-(-1)|=2,所以圆A的方程为.‎ ‎【命题立意】本题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想.‎ ‎21．（2011年高考湖南卷文科21)已知平面内一动点到点F（1，0）的距离与点到轴的距离的等等于1．‎ ‎（I）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（II）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与轨迹相交于点，与轨迹相交于点，求的最小值．‎ 解析：（I）设动点的坐标为，由题意为 化简得 当、‎ 所以动点P的轨迹C的方程为 ‎（II）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设为，则的方程为．‎ 由，得 设则是上述方程的两个实根，于是 ‎ ．‎ 因为，所以的斜率为．‎ 设则同理可得 故 当且仅当即时，取最小值16．‎ ‎22. （2011年高考陕西卷文科17)（本小题满分12分）设椭圆C: 过点（0，4），离心率为（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标 解：（Ⅰ）将（0，4）代入C的方程得 ∴b=4又 得即， ‎ ‎∴ ∴C的方程为 ‎（ Ⅱ）过点且斜率为的直线方程为，‎ 设直线与Ｃ的交点为Ａ，Ｂ，将直线方程代入Ｃ的方程，‎ 得，即，解得，，‎ ‎ AB的中点坐标， ，即中点为。‎ 注：用韦达定理正确求得结果，同样给分。‎ ‎23. （2011年高考四川卷文科21)（本小题共12分）‎ 过点的椭圆的离心率为，椭圆与轴交于两点 ‎、，过点的直线与椭圆交于另一点，并与轴交于点，直线与直线交于点.‎ ‎（I）当直线过椭圆右焦点时，求线段的长；‎ ‎（Ⅱ）当点P异于点B时，求证：为定值.‎ 解析：（I）因为椭圆过C(1,0)，所以b=1.因为椭圆的离心率是，所以，故，椭圆方程为.‎ 当直线过椭圆右焦点时，直线的方程为，由得或则,故.‎ ‎（Ⅱ）直线CA的方程为 ①.设点P，则直线AP的方程为 ②.‎ 把②代入椭圆方程，得，从而可求.‎ 因为B(-2,0),所以直线BD的方程为 ③，‎ 由①③可得，从而求得.‎ ‎，‎ 所以为定值.‎ ‎24.（2011年高考全国卷文科22) (本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效)‎ 已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交与A、B两点，点P满足(Ⅰ)证明：点P在C上；‎ ‎（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.‎ ‎【解析】(Ⅰ)证明：由，，‎ 由 设 ‎，，‎ 故点P在C上 ‎（Ⅱ）法一：点P，P关于点O的对称点为Q，，‎ ‎，即，同理即， A、P、B、Q四点在同一圆上.‎ 法二：由已知有则的中垂线为：设、的中点为 ‎∴‎ ‎∴则的中垂线为：‎ 则的中垂线与的中垂线的交点为∴‎ 到直线的距离为 ‎∴即 ‎∴、、、四点在同一圆上。‎ ‎25. （2011年高考湖北卷文科21) （本小题满分13分）‎ 平面内与两定点连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加 上A1、A2两点所在所面的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线.‎ ‎(Ⅰ)求曲线C的方程，并讨论C的形状与m的位置关系；‎ ‎(Ⅱ)当m=-1时，对应的曲线为C1：对给定的，对应的曲线为C2，‎ 设F1、F2是C2的两个焦点，试问：在C1上，是否存在点N，使得△F1NF2的面 积，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.‎ 本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，以及分类与整合和数形结合的思想.‎ 解析：（1）设动点为M，其坐标（x, y）.‎ ‎ 当时，由条件可得 即又的坐标满足 ‎ 故依题意，曲线C的方程为 ‎ 当时，曲线C的方程为，C是焦点在y轴上的椭圆；‎ ‎ 当时，曲线C的方程为，C是圆心在原点的圆；‎ ‎ 当时，曲线C 的方程为，C是焦点在x轴上的椭圆；‎ ‎ 当时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的双曲线.‎ ‎（2）由（1）知，当时，C1的方程为；‎ ‎ 当时，C2的两个焦点分别为.‎ ‎ 对于给定的，C1上存在点使得的充要条件是 ‎①‎ ‎②‎ ‎ ‎ ‎ 由①得，由②得 ‎ 当即，或时.‎ ‎ 存在点N, 使 ‎ ‎ 当即，或时，‎ ‎ 不存在满足条件的点N.‎ ‎ 当时，‎ ‎ 由，‎ ‎ 可得 ‎ 令 ‎ 则由可得，‎ ‎ 从而于是由 ‎ 可得，即 ‎ 综上可得：‎ ‎ 当时，在C1上，存在点N，使得，且 ‎ 当时，在C1上，存在点N，使得，且；‎ ‎ 当时，在C1上，不存在满足条件的点N.‎ ‎26．（2011年高考浙江卷文科22)（本题满分15分）如图，设是抛物线:上动点。圆:的圆心为点M，过点做圆的两条切线，交直线：于两点。（Ⅰ）求的圆心到抛物线 准线的距离。‎ ‎（Ⅱ）是否存在点，使线段被抛物线在点处得切线平分，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。‎ ‎【解析】：（Ⅰ）由得准线方程为，由得M，圆心M到抛物线的准线的距离为 ‎（Ⅱ）设点的坐标为抛物线在点处的切线交直线于点，再设横坐标分别为，过点的抛物线的切线方程为（1）‎ 当时，过点与圆的切线为可得，；当时，过点与圆的切线为可得，，所以。设切线，的斜率为则：（2）：‎ ‎27. (2011年高考天津卷文科18)（本小题满分13分）‎ 设椭圆的左、右焦点分别为,点满足.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的离心率;‎ ‎(Ⅱ)设直线与椭圆相交于A,B两点.若直线与圆相交于M,N两点,且|MN|=|AB|,求椭圆的方程.‎ ‎【解析】（Ⅰ）设，（），因为，所以，整理得 ‎，即，解得.‎ ‎(Ⅱ)由（Ⅰ）知,可得椭圆方程为,直线的方程为,‎ A,B两点坐标满足方程组,消y整理得,解得或,所以 A,B两点坐标为,,所以由两点间距离公式得|AB|=,‎ 于是|MN|=|AB|=,圆心到直线的距离,‎ 因为,所以,解得,所以椭圆方程为.‎ ‎【命题意图】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力.‎ N M P A x y B C N M P A x y B C N M P A x y B C ‎28. (2011年高考江苏卷18)如图，在平面直角坐标系中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k ‎（1）当直线PA平分线段MN，求k的值；‎ ‎（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；‎ ‎（3）对任意k>0，求证：PA⊥PB ‎【解析】（1）因为、,‎ 所以MN的中点坐标为(-1,),又因为直线PA平分线段MN，‎ 所以k的值为 ‎(2)因为k=2,所以直线AP的方程为,由得交点P()、A(),‎ 因为PC⊥x轴，所以C（)，所以直线AC的斜率为1，直线AB的方程为，所以 点P到直线AB的距离d==.‎ ‎（3）法一：由题意设，‎ A、C、B三点共线，又因为点P、B在椭圆上，‎ ‎，两式相减得：‎ 法二：设,‎ A、C、B三点共线，又因为点A、B在椭圆上,‎ ‎,两式相减得：,‎ ‎,.‎ ‎29. （2011年高考辽宁卷文科21) (本小题满分12分)‎ 如图，已知椭圆C1的中心在圆点O，长轴左、右端点M、N在x轴上，椭圆C1的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C1交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A、B、C、D.‎ ‎（I）设e=，求|BC|与|AD|的比值；‎ ‎（II）当e变化时，是否存在直线l，使得BO//AN,并说明理由.‎ 解析：（I）因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设 ‎。‎ 设直线分别和C1，C2联立，求得。‎ 当时，，分别用yA，yB表示A、B的纵坐标，可知 ‎|BC|:AD|= ‎ ‎（II）t=0时的l不符合题意，t≠0时，BO//AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，即 ‎，‎ 解得。‎ 因为，又，所以，解得。‎ 所以当时，不存在直线l，使得BO//AN；当时，存在直线l使得BO//AN。‎ ‎30.(2011年高考安徽卷文科17)（本小题满分13分）‎ 设直线 ‎（I）证明与相交；‎ ‎（II）证明与的交点在椭圆上.‎ ‎【命题意图】：本题考察直线与直线的位置关系，线线相交的判断与证明，点在线上的判断与证明，椭圆方程等基本知识，考察反证法的证明思路、推理论证能力和运算求解能力。‎ ‎【解析】：（1）（反证法）假设与不相交，则与必平行， 代入得 ‎，与是实数相矛盾。从而，即与相交。‎ ‎（2）（方法一）由得交点p的坐标（x,y）为 ‎,‎ 而 所以与的交点p的（x,y）在椭圆上 ‎（方法二）与的交点p的（x,y）满足：，，从而 ‎，代入得，整理得 所以与的交点p的（x,y）在椭圆上 ‎【解题指导】：两直线的位置关系判定方法：‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ 证明两数不等可采用反证法的思路。‎ 点在线上的判断与证明只要将点的坐标代入曲线方程判断其是否成立即可，或求出交点的轨迹方程并判断与所给的曲线方程是否一致即可。本题属于中档题。‎ ‎31．(2011年高考广东卷文科21)（本小题满分14分）‎ 在平面直角坐标系中，直线交轴于点A，设P是上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足．‎ （1） 当点P在上运动时，求点M的轨迹E的方程；‎ ‎（2）已知．设H是E上动点，求的最小值，并给出此时点H的坐标；‎ ‎（3）过点且不平行于轴的直线与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线的斜率的取值范围．‎ ‎【解析】‎ ‎32．（2011年高考重庆卷文科21)（本小题满分12分。（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）‎ 如题（21）图，椭圆的中心为原点0，离心率e=，一条准线的方程是 ‎ （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；‎ ‎ （Ⅱ）设动点P满足：，其中M、N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为，问：是否存在定点F，使得与点P到直线l：的距离之比为定值；若存在，求F的坐标，若不存在，说明理由。‎ 题（21）图 解：（I）由 解得，故椭圆的标准方程为 ‎ （II）设，则由 得 因为点M，N在椭圆上，所以 ‎，‎ 故 ‎ ‎ 设分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知 因此 所以 所以P点是椭圆上的点，该椭圆的右焦点为，离心率是该椭圆的右准线，故根据椭圆的第二定义，存在定点，使得|PF|与P点到直线l的距离之比为定值。‎