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  • 2021-05-13 发布

2014年版高考数学理二轮分类练习题目9

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备战2014数学分类突破赢高考9‎ ‎1.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,满足A+C=2B,且cos(B+C)=-.‎ ‎(1)求cos C的值;‎ ‎(2)若a=5,求△ABC的面积.‎ 解:(1)∵A+C=2B,且A+B+C=π,‎ ‎∴B=.‎ ‎∵cos(B+C)=-,‎ ‎∴sin(B+C)==,‎ ‎∴cos C=cos[(B+C)-B]=cos(B+C)cos B+sin(B+C)sin B=-×+×=.‎ ‎(2)由(1)可得sin C==,sin A=sin (B+C)=.‎ 在△ABC中,由正弦定理==,得 c==8.‎ S△ABC=acsin B=×5×8×=10.‎ ‎2.数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n∈N*),等差数列{bn}满足b3=3,b5=9.‎ ‎(1)分别求数列{an},{bn}的通项公式;‎ ‎(2)设cn=(n∈N*),求证cn+1<cn≤.‎ 解:(1)由an+1=2Sn+1, ①‎ 得an=2Sn-1+1, ②‎ ‎①-②得an+1-an=2(Sn-Sn-1),‎ ‎∴an+1=3an,‎ ‎∴an=3n-1.‎ ‎∵b5-b3=2d=6,‎ ‎∴d=3,‎ ‎∴bn=3n-6.‎ ‎(2)证明:∵an+2=3n+1,bn+2=3n,‎ ‎∴cn==,‎ ‎∴cn+1-cn=<0,‎ cn+1<cn<…<c1=,‎ ‎∴cn+1<cn≤.‎ ‎3.某社区为丰富居民的业余文化生活,准备举行一次趣味运动会.在“射击气球”这项比赛中,制定的比赛规则如下:每人只能参加一场比赛,每场比赛中选手依次射击编号为①②③④⑤的5个气球;在这5次射击中,若④⑤号气球都被击中,且①②③号气球至少有1个被击中,则此人获奖;否则不获奖.已知甲每次射击击中气球的概率都为,且各次射击结果互不影响.‎ ‎(1)求甲在比赛中获奖的概率;‎ ‎(2)设甲在5次射击中击中气球的个数为随机变量ξ,求ξ的分布列及数学期望.‎ 解:(1)记甲在5次射击中,击中k次获奖的事件为Ak,k=3,4,5.‎ ‎∵A3,A4,A5互斥,‎ ‎∴甲获奖的概率P=P(A3)+P(A4)+P(A5).‎ ‎∵P(A3)=C××2×=,P(A4)=C×2××=,P(A5)=C×3×=,‎ ‎∴甲在比赛中获奖的概率P=++=.‎ ‎(2)随机变量ξ的取值可以为0,1,2,3,4,5.‎ ‎∵P(ξ=0)=5=,‎ P(ξ=1)=C××4=,‎ P(ξ=2)=C×2×3=,‎ P(ξ=3)=C×3×2=,‎ P(ξ=4)=C×4×=,‎ P(ξ=5)=5=.‎ ‎∴ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P E(ξ)=0×+1×+2×+3×+4×+5×=.‎ ‎4.如图,在四棱锥PABCD中,PD⊥平面ABCD,四边形ABCD是菱形,AC=2,BD=2,E是PB上任意一点.‎ ‎(1)求证:AC⊥DE;‎ ‎(2)已知二面角APBD的余弦值为,若E为PB的中点,求EC与平面PAB所成角的正弦值.‎ 解:(1)证明:∵PD⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,‎ ‎∴PD⊥AC.‎ ‎∵四边形ABCD是菱形,∴BD⊥AC.‎ 又BD∩PD=D,‎ ‎∴AC⊥平面PBD.‎ ‎∵DE⊂平面PBD,‎ ‎∴AC⊥DE.‎ ‎(2)连接EO,在△PDB中,EO∥PD,‎ ‎∴EO⊥平面ABCD.‎ 分别以OA,OB,OE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设PD=t(t>0),则A(1,0,0),B(0,,0),C(-1,0,0),E,P(0,-,t).‎ 由(1)知,平面PBD的一个法向量为n1=(1,0,0),设平面PAB的一个法向量为n2=(x,y,z),且=(-1, ,0),=(-1,-,t),则根据得 令y=1,得平面PAB的一个法向量为n2=.‎ ‎∵二面角APBD的余弦值为,‎ ‎∴|cos〈n1,n2〉|=,即=,‎ 解得t=2或t=-2(舍去),∴P(0,-,2).‎ 设EC与平面PAB所成的角为θ,‎ ‎∵=(-1,0,-),n2=(,1,1),‎ ‎∴sin θ=|cos〈,n2〉|==,‎ ‎∴EC与平面PAB所成角的正弦值为.‎