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- 2021-05-13 发布
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高考文科数学模拟试题精编(十)
(考试用时:120分钟 试卷满分:150分)
注意事项:
1.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
2.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.已知集合A={(x,y)|y=x+1,0≤x≤1},集合B={(x,y)|y=2x,0≤x≤10},则集合A∩B=( )
A.{1,2} B.{x|0≤x≤1}
C.{(1,2)} D.∅
2.设i是虚数单位,复数(a+1+i)2-2a-1为纯虚数,则实数a为( )
A.1 B.-1
C.1或-1 D.-
3.若sin(π-α)=,且≤α≤π,则sin 2α的值为( )
A.- B.-
C. D.
4.已知A(1,2),B(2,4),C(-2,1),D(-3,2),则向量在向量上的投影为( )
A. B.
C. D.
5.设直线l过双曲线C的一个焦点,且与C的一条对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|为C的实轴长的2倍,则C的离心率为( )
A. B.
C.2 D.3
6.已知函数f(x)=若f(a)>f(f(-2))成立,则实数a的取值范围为( )
A.(-2,1)
B.(-∞,-2)∪(1,+∞)
C.(1,+∞)
D.(-∞,-1)∪(0,+∞)
7.已知某算法的流程图如图所示,若输入x=7,y=6,则输出的有序数对为( )
A.(13,14) B.(12,13)
C.(14,13) D.(13,12)
8
.如图是一个正三棱柱挖去一个圆柱后得到的几何体的三视图,则该几何体的体积与挖去的圆柱的体积的比值为( )
A.-1 B.-
C. D.+1
9.已知平面向量a=(2cos2x,sin2x),b=(cos2x,-2sin2x),f(x)=a·b,要得到y=sin 2x+cos 2x的图象,只需要将y=f(x)的图象( )
A.向左平行移动个单位 B.向右平行移动个单位
C.向左平行移动个单位 D.向右平行移动个单位
10.在线段AB上任取一点C,若AC2=AB·BC,则点C是线段AB的“黄金分割点”,以AC、BC为邻边组成的矩形称为“黄金矩形”.现在线段AB上任取一点C,若以AC、BC为邻边组成矩形,则该矩形的面积小于“黄金矩形”的面积的概率为( )
A.3- B.-2
C.-1 D.3-
11.如图是一几何体的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,E,F分别为PA,PD的中点,在此几何体中,给出下面4个结论:
①直线BE与直线CF异面;②直线BE与直线AF异面;
③直线EF∥平面PBC;④平面BCE⊥平面PAD.
其中正确的有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
12.已知抛物线C:x2=2py(p>0),直线2x-y+2=0交抛物线C于A、B两点,过线段AB的中点作x轴的垂线,交抛物线C于点Q.若·=0,则p=( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)
13.已知圆C:x2+y2-2x-4y+1=0与直线l:x+ay+1=0相交所得弦AB的长为4,则a=________.
14.已知实数x、y满足若目标函数z=2x+y的最小值为a,最大值为b,则函数y=x-在[a,b]上的值域为________.
15.如图,小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶,小明在A处测得公路上B,C两点的俯角分别为30°,45°,且∠BAC=135°.若山高AD=100 m,汽车从B点到C点历时14 s,则这辆汽车的速度约为________m/s(精确到0.1).
参考数据:≈1.414,≈2.236.
16.已知函数f(x)=,下列关于函数f(x)的研究:①y=f(x)
的值域为R.②y=f(x)在(0,+∞)上单调递减.③y=f(x)的图象关于y轴对称.④y=f(x)的图象与直线y=ax(a≠0)至少有一个交点.其中,结论正确的序号是________.
三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.)
(一)必考题:共60分.
17.(本小题满分12分)已知数列{an}为等差数列,其中a2+a3=8,a5=3a2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)数列{bn}中 , b1=1,b2=2,从数列{an}中取出第bn项记为cn,若{cn}是等比数列,求{bn}的前n项和.
18.(本小题满分12分)某校开展“翻转合作学习法”教学试验,经过一年的实践后,对“翻转班”和“对照班”的220名学生的数学学习情况进行测试,按照大于或等于120分为“成绩优秀”,120分以下为“成绩一般”统计,得到如下的2×2列联表:
成绩优秀
成绩一般
总计
对照班
20
90
110
翻转班
40
70
110
总计
60
160
220
(1)根据上面的列联表判断,能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“成绩优秀与翻转合作学习法”有关;
(2)为了交流学习方法,从这次测试数学成绩优秀的学生中,用分层抽样的方法抽出6名学生,再从这6名学生中抽出3名交流学习方法,求至少抽到一名“对照班”学生的概率.
附:K2=
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
19.(本小题满分12分)如图1,已知在梯形ABCD中,AB∥CD,E,F分别为底AB,CD上的点,且EF⊥AB,EF=EB=FC=2,EA=FD,沿EF将平面AEFD折起至平面AEFD⊥平面EBCF,如图2所示.
(1)求证:平面ABD⊥平面BDF;
(2)若点F到平面ABD的距离为,求EA的长度.
20.(本小题满分12分)已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右两个焦点
分别为F1,F2,离心率e=,短轴长为2.
(1)求椭圆的方程;
(2)如图,点A为椭圆上的一动点(非长轴端点),AF2的延长线与椭圆交于B点,AO的延长线与椭圆交于C点,求△ABC面积的最大值.
21.已知函数f(x)=ln x-x2+f′·.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)证明:f(x)<2ex.
(二)选考题:共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
以直角坐标系xOy的原点为极点,x轴的非负半轴为极轴,且两坐标系取相同的长度单位.已知曲线C1的参数方程为:(θ为参数),将曲线C1上每一点的纵坐标变为原来的倍(横坐标不变),得到曲线C2,直线l的极坐标方程:ρcos θ+2ρsin θ+m=0
(1)求曲线C2的参数方程;
(2)若曲线C2上的点到直线l的最大距离为2,求m的值.
23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知函数f(x)=|2x+3|+|2x-1|.
(1)求不等式f(x)≤5的解集;
(2)若关于x的不等式f(x)<|m-1|的解集非空,求实数m的取值范围.
高考文科数学模拟试题精编(十)
1.解析:选C.根据题意可得,,解得,满足题意0≤x≤1,所以集合A∩B={(1,2)}.故选C.
2.解析:选A.(a+1+i)2-2a-1=(a2-1)+2(a+1)i.
∵(a+1+i)2-2a-1是纯虚数,
∴解得a=1,故选A.
3.解析:选A.因为sin(π-α)=sin α=,≤α≤π,所以cos α=-
eq f(2
(2),3),所以sin 2α=2sin αcos α=2××=-,故选A.
4.解析:选A.∵=(1,2),=(-1,1),∴向量在向量上的投影为==,故选A.
5.解析:选A.设双曲线C的标准方程为-=1(a>0,b>0),由于直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直,因此直线l的方程为x=c或x=-c,代入-=1中得y2=b2=,∴y=±,故|AB|=,依题意=4a,∴=2,
∴e===,选A.
6.解析:选B.由题意知,f(-2)=-2-3=1,f(1)=1,
∴不等式化为f(a)>1.当a≤0时,f(a)=a-3>1,解得a<-2;当a>0时,f(a)=>1,解得a>1.因而a∈(-∞,-2)∪(1,+∞),故选B.
7.解析:选A.执行流程图得,n=1,x=6+1=7,y=8;
n=2,x=y+1=9,y=10;
n=3,x=y+1=11,y=12;
n=4,x=y+1=13,y=14;
n=5,循环结束,输出(13,14),故选A.
8.解析:选A.
由三视图知圆柱与正三棱柱的各侧面相切,设圆柱的底面半径为r,高为h,则V圆柱=πr2h.正三棱柱底面三角形的高为3r,边长为2r,则V正三棱柱=×2r×3rh=3r2h,所以该几何体的体积V=(3-π)r2h,则该几何体的体积与挖去的圆柱的体积的比值为=-1.
9.解析:选D.由题意得:f(x)=a·b=2cos4x-2sin4x=2(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)=2cos 2x=2sin,而y=sin 2x+cos 2x=2sin=2sin,故只需将y=f(x)的图象向右平移个单位即可.
10.解析:选A.不妨记AB=1,则由AC2=AB·BC得AC=,从而BC=,于是“黄金矩形”的面积为-2.现在线段AB上任取一点C,设AC=x,则BC=1-x,由x(1-x)<-2得0<x<或<x<1,故所求概率为P=+1-=3-.
11.解析:选B.将几何体的展开图还原为几何体(如图),因为E,F分别为PA,PD的中点,所以EF∥AD∥BC,即直线BE与CF共面,①错;因为B∉平面PAD,E∈平面PAD,E∉AF,所以BE与AF是异面直线,②正确;因为EF∥AD∥BC,EF⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,所以EF∥平面PBC,③正确;平面PAD与平面BCE不一定垂直,④错.故选B.
12.解析:选B.联立抛物线x2=2py与直线y=2x+2的方程,消去y得x2-4px-4p=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则Δ=16p2+16p>
0,x1+x2=4p,x1x2=-4p,∴Q(2p,2p).∵·=0,∴(x1-2p)(x2-2p)+(y1-2p)(y2-2p)=0,即(x1-2p)(x2-2p)+(2x1+2-2p)(2x2+2-2p)=0,∴5x1x2+(4-6p)(x1+x2)+8p2-8p+4=0,将x1+x2=4p,x1x2=-4p代入,得4p2+3p-1=0,得p=或p=-1(舍去).故选B.
13.解析:圆C:x2+y2-2x-4y+1=0可化为(x-1)2+(y-2)2=4,圆心C(1,2),半径r=2,依题意知弦长|AB|=4,因此直线l经过圆心C(1,2),故1+2a+1=0,解得a=-1.
答案:-1
14.解析:作出不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示,易求得A(-1,1),B(2,1),作直线y=-2x,由图知,平移直线y=-2x,当经过A(-1,1)时z取得最小值,则a=-2+1=-1,当经过B(2,1)时z取得最大值,则b=2×2+1=5,函数y=x-在[-1,5]上的值域为(-∞,+∞).
答案:(-∞,+∞)
15.解析:因为小明在A处测得公路上B,C两点的俯角分别为30°,45°,所以∠BAD=60°,∠CAD=45°.设这辆汽车的速度为v m/s,则BC=14v,在Rt△ADB中,AB===200.在Rt△ADC中,AC===100.
在△ABC中,由余弦定理,得BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cos∠BAC,所以(14v)2=(100)2+2002-2×100×200×cos 135°,所以v=≈22.6,所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.
答案:22.6
16.解析:函数f(x)==,其图象如图所示,由图象可知f(x)的值域为(-∞,-1)∪(0,+∞),故①错;在(0,1)和(1,+∞)上单调递减,在(0,+∞)上不是单调的,故②错;f(x)的图象关于y轴对称,故③正确;由于在每个象限都有图象,所以与过原点的直线y=ax(a≠0)至少有一个交点,故④正确.
答案:③④
17.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,依题意有,(2分)
解得a1=1,d=2,从而{an}的通项公式为an=2n-1,n∈N*.(4分)
(2)c1=ab1=a1=1,c2=ab2=a2=3,从而等比数列{cn}的公比为3,因此cn=1×3n-1=3n-1.(7分)
另一方面,cn=abn=2bn-1,所以2bn-1=3n-1,
因此bn=.(9分)
记{bn}的前n项和为Sn,则Sn==.(12分)
18.解:(1)K2==≈9.167<10.828,
∴在犯错误的概率不超过0.001的前提下,不能认为“成绩优秀与翻转合作学习法”有关.(5分)
(2)设从“翻转班”中抽取x人,从“对照班”中抽取y人,由分层抽样的定义可知==,解得x=4,y=2.(7分)
在这6名学生中,设“对照班”的2名学生分别为A1,A2,“翻转班”的4名学生分别为B1,B2,B3,B4.则所有的抽样情况如下,
{A1,A2,B1},{A1,A2,B2},{A1,A2,B3},{A1,A2,B4},{A1,B1,B2},{A1,B1,B3},{A1,B1,B4},{A1,B2,B3},{A1,B2,B4},{A1,B3,B4},{A2,B1,B2},{A2,B1,B3},{A2,B1,B4},{A2,B2,B3},{A2,B2,B4},{A2,B3,B4},{B1,B2,B3},{B1,B2,B4},{B1,B3,B4},{B2,B3,B4},共20种.(10分)
其中至少有一名“对照班”学生的情况有16种.
记事件A为至少抽到一名“对照班”学生交流学习方法,则P(A)===0.8.(12分)
19.解:(1)由题意知EA綊FD,EB綊FC,所以AB∥CD,即A,B,C,D四点共面.(2分)
由EF=EB=FC=2,EF⊥AB,得FB=BC=2,则BC⊥FB,又翻折后平面AEFD⊥平面EBCF,平面AEFD∩平面EBCF=EF,DF⊥EF,所以DF⊥平面EBCF,因而BC⊥DF,又DF∩FB=F,所以BC⊥平面BDF,由于BC⊂平面BCD,则平面BCD⊥平面
BDF,又平面ABD即平面BCD,所以平面ABD⊥平面BDF.(6分)
(2)如图,连接AF,过点A作AH⊥BD于点H,设EA=t,则FD=2t,S△ADF=×2t×2=2t,在△ADF中,AD=,在△ABE中,AB=,即AD=AB,又DF⊥平面EBCF,所以DF⊥BF,在Rt△BDF中,BD=,所以AH===,因而S△ABD=××=.(10分)
由VBADF=VFABD,得×2t×2=××,解得t=1,即EA的长度为1.(12分)
20.解:(1)由题意得2b=2,解得b=1,(1分)
∵e==,a2=b2+c2,∴a=,c=1,故椭圆的标准方程为+y2=1.(3分)
(2)①当直线AB的斜率不存在时,不妨取A,
B,C,
故S△ABC=×2×=;(4分)
②当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=k(x-1),联立方程得,化简得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,(5分)
设A(x1,y1),B(x2,y2),x1+x2=,x1·x2=,(6分)
|AB|=
==2·,(8分)
点O到直线kx-y-k=0的距离d==,
∵O是线段AC的中点,∴点C到直线AB的距离为2d=,(9分)
∴S△ABC=|AB|·2d=··
=2 =2 <.(11分)
综上,△ABC面积的最大值为.(12分)
21.解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=-2x+f′,则f′=2-1+f′,解得f′=2,所以f(x)=ln x-x2+x+2,此时,f′(x)=-2x+1=,(2分)
由f′(x)>0得0<x<1,f′(x)<0得x>1,所以函数f(x)的单调增区间为(0,1),单调减区间为(1,+∞).(4分)
(2)证明:不等式f(x)<2ex等价于f(x)<,(5分)
由(1)f(x)在(0,+∞)上的最大值为f(x)max=f(1)=2,所以f(x)≤2 ①,(6分)
令g(x)=ex-(x>0),所以g′(x)=ex-x-1,(g′(x))′=ex-1,所以,当x>0时,(g′(x))′>0,所以g′(x)在(0,+∞)
上单调递增,所以g′(x)>g′(0)=0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,所以g(x)>g(0)=0,即ex->0,(10分)
因为x>0,所以>1,∴>2≥f(x).(11分)
所以,x>0时,f(x)<2ex,(12分).
22.解:(1)设曲线C1上一点P(x1,y1)与曲线C2上一点Q(x,y),由题知:,(2分)
所以C2的参数方程为(θ为参数).(4分)
(2)由题知可得:直线l的直角坐标方程为:x+2y+m=0.(5分)
设曲线C2上一点B(2cos θ,sin θ)到直线l的距离为d,则d==,(7分)
当m>0时,dmax==2,解得:m=10,当m<0时,dmax==2,解得:m=-10,综上所述:m=±10.(10分)
23.解:(1)原不等式为:|2x+3|+|2x-1|≤5,当x≤-时,原不等式可转化为-4x-2≤5,即-≤x≤-,(2分)
当-<x<时,原不等式可转化为4≤5恒成立,∴-<x<.(3分)
当x≥时,原不等式可转化为4x+2≤5,即≤x≤,(4分)
∴原不等式的解集为{x|-≤x≤}(5分)
(2)由已知函数f(x)=,作出图象如图,由图象可得函数
y=f(x)的最小值为4,(8分)
∴|m-1|>4,解得m>5或m<-3.(10分)