• 604.50 KB
  • 2021-05-13 发布

高考数列专题总结全是精华

  • 4页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
数列专题复习(0929)‎ 一、 证明等差等比数列 1. 等差数列的证明方法:‎ ‎ (1)定义法:(常数) (2)等差中项法:‎ ‎2.等比数列的证明方法:‎ ‎(1)定义法:(常数) (2)等比中项法: ‎ 例1.设{an}为等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,已知S7=7,S15=75,‎ Tn为数列{}的前n项和,求Tn.‎ 解:设等差数列{an}的公差为d,则 Sn=na1+n(n-1)d.∴S7=7,S15=75,∴即 解得a1=-2,d=1.∴=a1+(n-1)d=-2+(n-1).‎ ‎∵,∴数列{}是等差数列,其首项为-2,公差为,‎ ‎∴Tn=n2-n.‎ 例2.设数列{an}的首项a1=1,前n项和Sn满足关系式:‎ ‎3tSn-(2t+3)Sn-1=3t(t>0,n=2,3,4,…)‎ 求证:数列{an}是等比数列;‎ 解:(1)由a1=S1=1,S2=1+a2,得a2=‎ 又3tSn-(2t+3)Sn-1=3t ①‎ ‎3tSn-1-(2t+3)Sn-2=3t ②‎ ‎①-②得3tan-(2t+3)an-1=0 ∴,(n=2,3,…)‎ 所以{an}是一个首项为1,公比为的等比数列.‎ 练习:已知a1=2,点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上,其中=1,2,3,…‎ (1) 证明数列{lg(1+an)}是等比数列;‎ (2) 设Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an),求Tn及数列{an}的通项;‎ 答案 .(2) ,;‎ 二.通项的求法 ‎(1)利用等差等比的通项公式 ‎(2)累加法:‎ 例3.已知数列满足,,求。‎ 解:由条件知:‎ 分别令,代入上式得个等式累加之,即 所以 ‎,‎ ‎(3)构造等差或等比 或 例4.已知数列满足 ‎ 求数列的通项公式;‎ 解:‎ ‎ ‎ ‎ 是以为首项,2为公比的等比数列。‎ ‎ ‎ ‎ 即 ‎ 例5.已知数列中,,,求.‎ 解:在两边乘以得:‎ 令,则,解之得:,所以.‎ 练习:已知数列满足,且。‎ ‎ (1)求; (2)求数列的通项公式。‎ 解: (1)‎ ‎ (2)‎ ‎ ‎ ‎ ∴ ‎ ‎(4)利用 例6.若和分别表示数列和的前项和,对任意正整数 ‎,.求数列的通项公式;‎ 解: ……2分 当 ‎ 当……4分 练习:1. 已知正项数列{an},其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列,求数列{an}的通项an ‎ 解: ∵10Sn=an2+5an+6, ① ∴‎10a1=a12+‎5a1+6,解之得a1=2或a1=3 ‎ 又10Sn-1=an-12+5an-1+6(n≥2),② ‎ ‎ 由①-②得 10an=(an2-an-12)+6(an-an-1),即(an+an-1)(an-an-1-5)=0 ‎ ‎∵an+an-1>0 , ∴an-an-1=5 (n≥2) ‎ 当a1=3时,a3=13,a15=‎73 a1, a3,a15不成等比数列∴a1≠3;‎ 当a1=2时, a3=12, a15=72, 有 a32=a‎1a15 , ∴a1=2, ∴an=5n-3 ‎ ‎2.设数列的前项的和 ‎,‎ ‎(Ⅰ)求首项与通项;‎ ‎(Ⅱ)设,,证明:‎ 解:(I),解得:‎ 所以数列是公比为4的等比数列 所以:‎ 得: (其中n为正整数)‎ ‎(II)‎ 所以: ‎ ‎(5)累积法 转化为,逐商相乘.‎ 例7.已知数列满足,,求。‎ 解:由条件知,分别令,代入上式得个等式累乘之,即 又,‎ 练习:1.已知, ,求。‎ 解: 。‎ ‎2.已知数列{an},满足a1=1, (n≥2),‎ 则{an}的通项 ‎ 解:由已知,得,用此式减去已知式,得 当时,,即,又,‎ ‎,将以上n个式子相乘,得 ‎(6)倒数变形:,两边取倒数后换元转化为。‎ 例8:已知数列{an}满足:,求数列{an}的通项公式。‎ 解:取倒数:‎ 是等差数列,‎ 练习:已知数列{an}满足:a1=,且an=‎ 求数列{an}的通项公式;‎ 解:将条件变为:1-=,因此{1-}为一个等比数列,其首项为 ‎1-=,公比,从而1-=,据此得an=(n³1)‎ 三.数列求和 ‎1、等差数列求和公式: ‎ ‎2、等比数列求和公式:‎ ‎3、错位相减法求和 ‎{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.‎ 例9. 求和:‎ 解:由题可知,设………………………①‎ ‎…②(设制错位)‎ ‎①-②得 (错位相减)再利用等比数列的求和公式得:。‎ ‎∴ ‎ 练习: 求数列前n项的和.‎ 解:由题可知,{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积 设…………………………………①‎ ‎…………② ①-②得 ‎ ‎∴ ‎ ‎4、倒序相加法求和 这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就可以得到n个.‎ ‎5、分组法求和 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.‎ 例10. 求数列的前n项和:,…‎ 解:设 将其每一项拆开再重新组合得 ‎(分组)‎ 当a=1时,=(分组求和)‎ 当时,=‎ ‎6、裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)‎ ‎(1)为等差数列,‎ ‎(2)‎ 例11. 求数列的前n项和.‎ 解:设,则 ‎ ‎=‎ 例12. 在数列{an}中,,又,求数列{bn}的前n项的和.‎ 解:   ∵ ‎ ‎   ∴ 数列{bn}的前n项和:‎ ‎ = = ‎ 练习:‎ ‎1.已知数列{}的前项和为,且满足 。求数列{}的通项公式;‎ 解:(1)数列{}的前项和为,且满足 则 ()‎ 相减得: () ‎ 又当n=1时,, , ‎ ‎{}是以为首项,公比的等比数列 ‎ ()‎ ‎2.已知数列:‎ ‎①求证数列为等差数列,并求它的公差 ‎②设,求。‎ 解:①由条件,‎ ‎∴;∴‎ 故为等差数列,公差 ‎②‎ 又知 ‎∴‎