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- 2021-05-13 发布
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数列专题复习(0929)
一、 证明等差等比数列
1. 等差数列的证明方法:
(1)定义法:(常数) (2)等差中项法:
2.等比数列的证明方法:
(1)定义法:(常数) (2)等比中项法:
例1.设{an}为等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,已知S7=7,S15=75,
Tn为数列{}的前n项和,求Tn.
解:设等差数列{an}的公差为d,则
Sn=na1+n(n-1)d.∴S7=7,S15=75,∴即
解得a1=-2,d=1.∴=a1+(n-1)d=-2+(n-1).
∵,∴数列{}是等差数列,其首项为-2,公差为,
∴Tn=n2-n.
例2.设数列{an}的首项a1=1,前n项和Sn满足关系式:
3tSn-(2t+3)Sn-1=3t(t>0,n=2,3,4,…)
求证:数列{an}是等比数列;
解:(1)由a1=S1=1,S2=1+a2,得a2=
又3tSn-(2t+3)Sn-1=3t ①
3tSn-1-(2t+3)Sn-2=3t ②
①-②得3tan-(2t+3)an-1=0 ∴,(n=2,3,…)
所以{an}是一个首项为1,公比为的等比数列.
练习:已知a1=2,点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上,其中=1,2,3,…
(1) 证明数列{lg(1+an)}是等比数列;
(2) 设Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an),求Tn及数列{an}的通项;
答案 .(2) ,;
二.通项的求法
(1)利用等差等比的通项公式
(2)累加法:
例3.已知数列满足,,求。
解:由条件知:
分别令,代入上式得个等式累加之,即
所以
,
(3)构造等差或等比 或
例4.已知数列满足
求数列的通项公式;
解:
是以为首项,2为公比的等比数列。
即
例5.已知数列中,,,求.
解:在两边乘以得:
令,则,解之得:,所以.
练习:已知数列满足,且。
(1)求; (2)求数列的通项公式。
解: (1)
(2)
∴
(4)利用
例6.若和分别表示数列和的前项和,对任意正整数
,.求数列的通项公式;
解: ……2分 当
当……4分
练习:1. 已知正项数列{an},其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列,求数列{an}的通项an
解: ∵10Sn=an2+5an+6, ① ∴10a1=a12+5a1+6,解之得a1=2或a1=3
又10Sn-1=an-12+5an-1+6(n≥2),②
由①-②得 10an=(an2-an-12)+6(an-an-1),即(an+an-1)(an-an-1-5)=0
∵an+an-1>0 , ∴an-an-1=5 (n≥2)
当a1=3时,a3=13,a15=73 a1, a3,a15不成等比数列∴a1≠3;
当a1=2时, a3=12, a15=72, 有 a32=a1a15 , ∴a1=2, ∴an=5n-3
2.设数列的前项的和
,
(Ⅰ)求首项与通项;
(Ⅱ)设,,证明:
解:(I),解得:
所以数列是公比为4的等比数列
所以:
得: (其中n为正整数)
(II)
所以:
(5)累积法 转化为,逐商相乘.
例7.已知数列满足,,求。
解:由条件知,分别令,代入上式得个等式累乘之,即
又,
练习:1.已知, ,求。
解: 。
2.已知数列{an},满足a1=1, (n≥2),
则{an}的通项
解:由已知,得,用此式减去已知式,得
当时,,即,又,
,将以上n个式子相乘,得
(6)倒数变形:,两边取倒数后换元转化为。
例8:已知数列{an}满足:,求数列{an}的通项公式。
解:取倒数:
是等差数列,
练习:已知数列{an}满足:a1=,且an=
求数列{an}的通项公式;
解:将条件变为:1-=,因此{1-}为一个等比数列,其首项为
1-=,公比,从而1-=,据此得an=(n³1)
三.数列求和
1、等差数列求和公式:
2、等比数列求和公式:
3、错位相减法求和
{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.
例9. 求和:
解:由题可知,设………………………①
…②(设制错位)
①-②得 (错位相减)再利用等比数列的求和公式得:。
∴
练习: 求数列前n项的和.
解:由题可知,{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积
设…………………………………①
…………② ①-②得
∴
4、倒序相加法求和
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就可以得到n个.
5、分组法求和
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.
例10. 求数列的前n项和:,…
解:设
将其每一项拆开再重新组合得
(分组)
当a=1时,=(分组求和)
当时,=
6、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)
(1)为等差数列,
(2)
例11. 求数列的前n项和.
解:设,则
=
例12. 在数列{an}中,,又,求数列{bn}的前n项的和.
解: ∵
∴ 数列{bn}的前n项和:
= =
练习:
1.已知数列{}的前项和为,且满足 。求数列{}的通项公式;
解:(1)数列{}的前项和为,且满足
则 ()
相减得: ()
又当n=1时,, ,
{}是以为首项,公比的等比数列
()
2.已知数列:
①求证数列为等差数列,并求它的公差
②设,求。
解:①由条件,
∴;∴
故为等差数列,公差
②
又知
∴