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  • 2021-05-13 发布

2008-2017江苏高考选修系列矩阵与变换参数方程与极坐标真题含答案

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江苏高考选修系列·矩阵与变换·参数方程与极坐标·真题 【2008 年】 1.选修 4—2 矩阵与变换 在平面直角坐标系 xOy 中,设椭圆 2 24 1x y  在矩阵   0 2   1 0 对应的变换作用下得到曲线 F,求 F 的方程. 2.选修 4—4 参数方程与极坐标 在平面直角坐标系 xOy 中,点 ( )P x y, 是椭圆 2 2 13 x y  上的一个动点,求 S x y  的最大值. 【2009 年】 3.选修 4 - 2:矩阵与变换 求矩阵 3 2 2 1A      的逆矩阵. 4.选修 4 - 4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的参数方程为 1 13( ) x t t y t t       ( t 为参数, 0t  ).求曲线 C 的普通方程。 【2010 年】 5. 选修 4-2:矩阵与变换 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,0),B(-2,0),C(-2,1)。设 k 为非零实数,矩阵 M=     10 0k ,N=     01 10 ,点 A、 B、C 在矩阵 MN 对应的变换下得到点分别为 A1、B1、C1,△A1B1C1 的面积是△ABC 面积的 2 倍,求 k 的值。 6. 选修 4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,已知圆 2cos  与直线3 cos 4 sin 0a      相切,求实数 a 的值。 【2011 年】 7. 选修 4-2:矩阵与变换 已知矩阵 1 1 2 1      A ,向量 1 2       .求向量 ,使得 2 A . 8. 选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,求过椭圆 5cos 3sin x y      ( 为参数)的右焦点,且与直线 4 2 3 x t y t      (t 为参数)平行的 直线的普通方程. 【2012 年】 9.[选修 4 - 2:矩阵与变换] 已知矩阵 A 的逆矩阵 1 1 3 4 4 1 1 2 2            A ,求矩阵 A 的特征值. 10. [选修 4 - 4:坐标系与参数方程] 在极坐标中,已知圆C 经过点  2 4P , ,圆心为直线 3sin 3 2         与极轴的交点,求圆 C 的极坐标方程. 【2013 年】 11.[选修 4-2:矩阵与变换] 已知矩阵 1 0 1 2,0 2 0 6A B            ,求矩阵 BA 1 。 12.[选修4-4:坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为      ty tx 2 1 (t 为参数),曲线 C 的参数方程为        tan2 tan2 2 y x ( 为 参数),试求直线l 与曲线 C 的普通方程,并求出它们的公共点的坐标。 【2014 年】 13.【选修 4-2:矩阵与变换】 已知矩阵 1 2 1A x      , 1 1 2 1B      ,向量 2 y      a , ,x y 是实数,若 A Ba a ,求 ,x y 的值 14.【选修 4-4:坐标系与参数方程】 在平面直角坐标系 xoy 中,已知直线l 的参数方程 21 2 22 2 x t y t       (t 是参数 ) ,直线 l 与抛物线 2 4y x 相交于 ,A B 两点, 求线段 AB 的长 【2015 年】 15.【选修 4-2:矩阵与变换】 已知 x,y∈R,向量 =     1 1 是矩阵 的属于特征值﹣2 的一个特征向量,求矩阵 A 以及它的另一个特征值. 16.【选修 4-4:坐标系与参数方程】 已知圆 C 的极坐标方程为ρ2+2 ρsin(θ﹣ )﹣4=0,求圆 C 的半径. 【2016 年】 17. [选修 4-2:矩阵与变换] 已知矩阵 1 2 0 2      A ,矩阵 B 的逆矩阵 1 11 2 0 2         B ,求矩阵 AB. 18. [选修 4-4:坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程为   11 ,2 3 ,2 x t t y t      为参数 ,椭圆 C 的参数方程  cos , 2sin , x y      为参数 , 设直线 l 与椭圆C 相交于 ,A B 两点,求线段 AB 的长. 【2017 年】 19. [选修 4-2:矩阵与变换] 已知矩阵 A=   1 0   0 1 ,B=   0 1   2 0 . (1)求 AB (2)若曲线 C1: 8 2x + 2 2y =1 在矩阵 AB 对应的变换作用下得到另一曲线 C2,求 C2 的方程. 20. [选修 4-4:坐标系与参数方程] 在平面坐标系中 xOy 中,已知直线 l 的参考方程为 (t 为参数),曲线 C 的参数方程为 (s 为参数)。设 p 为曲线 C 上的动点,求点 P 到直线 l 的距离的最小值 江苏高考选修系列·矩阵与变换·参数方程与极坐标·答案 1.(2008 江苏)选修 4—2 矩阵与变换 【答案】解:设 0 0( , )P x y 是椭圆上任意一点,点 0 0( , )P x y 在矩阵 A 对应的变换下变为点 ' ' ' 0 0( , )P x y 则有 ' 0 0 ' 00 2 0 0 1 x x yy                ,即 ' 0 0 ' 0 0 2x x y y    ,所以 ' 0 0 ' 0 0 2 xx y y     又因为点 P 在椭圆上,故 2 2 0 04 1x y  ,从而 ' 2 ' 2 0 0( ) ( ) 1x y  所以,曲线 F 的方程是 2 2 1x y  。 2.(2008 江苏)选修 4—4 参数方程与极坐标 【答案】解:∵椭圆 2 2 13 x y  的参数方程为 3 cos ( sin x y       为参数)∴可设动点 P 的坐标为 ( 3 cos ,sin ),其 中 0 2   .∴ 3 13 cos sin 2( cos sin ) 2sin( )2 2 3S x y             ∴当 6   时, S 取最大值 2。 3.(2009 江苏)选修 4 - 2:矩阵与变换 【答案】解:设矩阵 A 的逆矩阵为 ,x y z w      则 3 2 1 0 ,2 1 0 1 x y z w                 即 3 2 3 2 1 0 ,2 2 0 1 x z y w x z y w             ∴ 3 2 1 2 0 3 2 0 2 1 x z x z y w y w           。解得: 1, 2, 2, 3x z y w      。∴A 的逆矩阵为 1 1 2A 2 3       。 4.(2009 江苏)选修 4 - 4:坐标系与参数方程 【答案】解:∵ 2 1 2,x t t    ∴ 2 12 3 yx t t     。∴曲线 C 的普通方程为: 23 6 0x y   。 5.(2010 江苏)选修 4-2:矩 阵与变换 【答案】解:由题设得 0 0 1 0MN 0 1 1 0 1 0 k k                 由 0 0 2 2 0 0 1 0 0 0 1 0 2 2 k k                  ,可知 A1(0,0)、 B1(0,-2)、C1( k ,-2)。计算得△ABC 面积的面积是 1,△A1B1C1 的面积是| |k ,则由题设知:| | 2 1 2k    。 所以 k 的值为 2 或-2。 6.(2010 江苏)选修 4-4:坐标系与参数方程 【答案】解:∵ 2cos  ,∴ 2 2 cos   。∴圆 2cos  的普通方程为: 2 2 2x y x  ,即 2 2( 1) 1x y   。 直线3 cos 4 sin 0a      的普通方程为:3 4 0x y a   ,又∵圆与直线相切,∴ 2 2 | 3 1 4 0 | 1, 3 4 a      解得: 2a  ,或 8a   。 7.(2011 江苏)选修 4-2:矩阵与变换 【答案】解:设     y x ,∵         12 11 12 112A =     34 23 ,∴由  2A 得,            2 1 34 23 y x , ∴      234 123 yx yx ,解得 1 2 x y     。∴     2 1 。 8.(2011 江苏)选修 4-4:坐标系与参数方程 【答案】解:由题意知,椭圆的长半轴长为 5a ,短半轴长 3b ,∴ 4c 。 ∴右焦点为  0,4 。将已知直线的参数方程化为普通方程得 022  yx ,∴所求的直线的斜率为 2 1 。 ∴所求的方程为 )4(2 1  xy 即 042  yx 。 9.(2012 江苏)[选修 4 - 2:矩阵与变换] 【答案】解:∵ 1A A = E ,∴   11 A = A 。 ∵ 1 1 3 4 4 1 1 2 2            A ,∴   11 2 3 2 1       A = A 。 ∴矩阵 A 的特征多项式为   22 3= = 3 42 1 f            。令  =0f  ,解得矩阵 A 的特征值 1 2= 1 =4  , 。 10.(2012 江苏)[选修 4 - 4:坐标系与参数方程] 【答案】解:∵圆C 圆心为直线 3sin 3 2         与极轴的交点, ∴在 3sin 3 2         中令 =0 ,得 1  。 ∴圆C 的圆心坐标为(1,0)。 ∵圆C 经过点  2 4P , ,∴圆C 的半径为  2 22 1 2 1 2 cos =14PC      。 ∴圆C 经过极点。∴圆 C 的极坐标方程为 =2cos  。 11.(2013 江苏卷 21) 解:设矩阵 A 的逆矩阵为   c a   d b ,则   0 1   2 0   c a   d b =   0 1   1 0 ,即   c a 2   d b 2 =   0 1   1 0 , 故 a=-1,b=0,c=0,d= 2 1 ∴矩阵 A 的逆矩阵为 A-1=   0 1     2 1 0 ,∴A-1B=   0 1     2 1 0   0 1   6 2 =   0 1   3 2 12.(2013 江苏卷 21)∵直线l 的参数方程为      ty tx 2 1 ∴消去参数 t 后得直线的普通方程为 022  yx ① 同理得曲线 C 的普通方程为 xy 22  ② ①②联立方程组解得它们公共点的坐标为 )2,2( , )1,2 1(  13.(2014 江苏卷)解: 2 2 2 yA xy      a , 2 4 yB y      a ,由 A Ba a 得 2 2 2 2 4 y y xy y        ,解得 1 2x   , 4y  14.(2014 江苏卷)解:直线 : 3l x y  代入抛物线方程 2 4y x 并整理得 2 10 9 0x x   ∴交点 (1,2)A , (9, 6)B  ,故 2 28 8 8 2AB    15.(2015 江苏卷)【答案】由已知,可得 A =﹣2 ,即 = = ,则 ,即 , ∴矩阵 A= ,从而矩阵 A 的特征多项式 f(λ)=(λ+2)(λ﹣1),∴矩阵 A 的另一个特征值为 1. 16.(2015 江苏卷)【答案】圆的极坐标方程为ρ2+2 ρsin(θ﹣ )﹣4=0,可得ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣4=0, 化为直角坐标方程为 x2+y2﹣2x+2y﹣4=0,化为标准方程为(x﹣1)2+(y+1)2=6,圆的半径 r= . 17.(2016 江苏卷)   11 1 12 12 42 2 10 1 0 22 2                       B B ,因此 1 511 2 14 40 2 1 0 10 2                     AB . 18.(2016 江苏卷)直线 l 方程化为普通方程为 3 3 0x y   ,椭圆 C 方程化为普通方程为 2 2 14 yx   , 联立得 2 2 3 3 0 14 x y yx       ,解得 1 0 x y    或 1 7 8 3 7 x y       , 因此 221 8 3 161 07 7 7AB               . 19.(2017 江苏卷)【答案】(1)AB=   1 0   0 1   0 1   2 0 =   1 0   0 2 …………………………4 分 (2)设 C1 上点 P(x,y)在 AB 变换下得到 P’(x’,y’)…………5 分 则     ' ' y x =AB     y x =   1 0   0 2     y x =     x y2 ………………………………7 分 ∴      xy yx ' 2' 即      '2 1 ' xy yx ………………8 分 代入 C1 得 8 '2x + 8 '2y =1,则 C2:x2+y2=8…………10 分 20.(2017 江苏卷)【答案】 设 p 到直线 l 距离为 d. l:y= 2 1 (x+8)= 2 1 x+4 即 x-2y+8=0………………3 分 ∴d= 22 2 )2(1 82222   ss = 5 2 |s2-2√2s+4|= 5 2 [(s-√2)2+2]………………6 分 ∴当 s= 2 时取到最小值 5 54 .