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- 2021-05-13 发布
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2003年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)
数 学(理工农医类)
注意事项:
1. 答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.
2. 每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上.
3. 考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回.
参考公式:
三角函数的积化和差公式: 正棱台、圆台的侧面积公式
其中、分别表示
上、下底面周长,表示斜高或母线长.
球体的体积公式: ,其中R
表示球的半径.
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的
1.已知,0),,则 ( )
(A) (B) (C) (D)
2.圆锥曲线的准线方程是 ( )
(A) (B) (C) (D)
3.设函数 ,若,则的取值范围是 ( )
(A)(,1) (B)(,)
(C)(,)(0,) (D)(,)(1,)
4.函数的最大值为 ( )
(A) (B) (C) (D)2
5.已知圆C:()及直线:,当直线被C截得的弦长为时,则 ( )
(A) (B) (C) (D)
6.已知圆锥的底面半径为R,高为3R,在它的所有内接圆柱中,全面积的最大值是( )
(A) (B) (C) (D)
7.已知方程的四个根组成一个首项为的的等差数列,则 ( )
(A)1 (B) (C) (D)
8.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(,0),直线与其相交于M、N两点,MN中点的横坐标为,则此双曲线的方程是 ( )
(A) (B) (C) (D)
9.函数,的反函数 ( )
(A) ,1] (B) ,1]
(C) ,1] (D) ,1]
10.已知长方形的四个顶点A(0,0),B(2,0),C(2,1)和D(0,1),一质点从AB的中点沿与AB的夹角的方向射到BC上的点后,依次反射到CD、DA和AB上的点、和(入射角等于反射角),设的坐标为(,0),若,则tg的取值范围是 ( )
(A)(,1) (B)(,) (C)(,) (D)(,)
11. ( )
(A)3 (B) (C) (D)6
12.一个四面体的所有棱长都为,四个顶点在同一球面上,则些球的表面积为( )
(A) (B) (C) (D)
2003年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二.填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分把答案填在题中横线上
13.的展开式中系数是
14.使成立的的取值范围是
2
1
5
3
4
15.如图,一个地区分为5个行政区域,现给地图着色,要求相邻地区不得使用同一颜色,现有4种颜色可供选择,则不同的着色方法共有 种(以数字作答)
P
M
N
l
P
N
M
l
N
l
P
M
l
M
N
P
N
l
P
M
16.下列5个正方体图形中,是正方体的一条对角线,点M、N、P分别为其所在棱的中点,能得出面MNP的图形的序号是 (写出所有符合要求的图形序号)
① ② ③ ④ ⑤
三、解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或或演算步骤
17.(本小题满分12分)
已知复数的辐角为,且是和的等比中项,求
D
E
K
B
C1
A1
B1
A
F
C
G
18.(本小题满分12分)
如图,在直三棱柱中,底面是等腰直角三角形,,侧棱,D、E分别是与的中点,点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G
(I) 求与平面ABD所成角的大小(结果用反三角函数值表示)
(I) 求点到平面AED的距离
19.(本小题满分12分) 已知,设
P:函数在R上单调递减 Q:不等式的解集为R
如果P和Q有且仅有一个正确,求的取值范围
O
北
东O
y
线
岸
O
x
O
r(t)
P
海
20.(本小题满分12分)
在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南)方向300km的海面P处,并以20km/h的速度向西偏北方向移动,台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为60km,并以10km/h的速度不断增大,问几小时后该城市开始受到台风的侵袭?
21.(本小题满分14分)
O
P
A
G
D
F
E
C
B
x
y
已知常数,在矩形ABCD中,,,O为AB的中点,点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动,且,P为GE与OF的交点(如图),问是否存在两个定点,使P到这两点的距离的和为定值?若存在,求出这两点的坐标及此定值;若不存在,请说明理由
22.(本小题满分12分,附加题4 分)
(I)设是集合 且}中所有的数从小到大排列成的数列,即,,,,,,…
将数列各项按照上小下大,左小右大的原则写成如下的三角形数表:
3
5 6
9 10 12
— — — —
…………
⑴写出这个三角形数表的第四行、第五行各数;
⑵求
(II)(本小题为附加题,如果解答正确,加4 分,但全卷总分不超过150分)
设是集合,且中所有的数从小到大排列成的数列,已知,求.