新课标高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 圆锥曲线训练 新人教A版 14页

名校专题----圆锥曲线培优训练5‎ ‎1、设椭圆E: （a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点，O为坐标原点．‎ ‎ （Ⅰ）求椭圆E的方程；‎ ‎ （Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,‎ ‎ 且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。‎ 解:（1）因为椭圆E: （a,b>0）过M（2，），N(,1)两点,‎ 所以解得所以椭圆E的方程为 4分 ‎（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,‎ 即,‎ 则△=,即 ‎ ‎ 要使,需使,即,所以,‎ ‎ 所以又, ‎ ‎ 所以,所以,即或,‎ ‎ 因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,‎ ‎ 所以圆的半径为,,,‎ 所求的圆为,此时圆的切线都满足或,‎ 而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,‎ 综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且．‎ 因为,‎ 所以,‎ ‎, 8分 ‎①当时，因为所以,‎ 所以,所以当且仅当时取“=”．‎ ‎ ②时,．‎ ‎ ③当AB的斜率不存在时, 两个交点为或,‎ 所以此时, 12分 综上, |AB |的取值范围为即: 14分 ‎2、如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1)，平行于OM的直线l在轴上的截距为，l交椭圆于A、B两个不同点．‎ ‎ （1）求椭圆的方程； （2）求m的取值范围；‎ ‎ （3）求证直线MA、MB与轴始终围成一个等腰三角形． ‎ 解：（1）设椭圆方程为 则 2分 ‎ ∴椭圆方程 4分 ‎ （2）∵直线l平行于OM，且在轴上的截距为m，又 ‎ ‎∴l的方程为：‎ 由 6分 ‎∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点， ‎ ‎ ∴m的取值范围是 ‎ （3）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1＋k2=0即可 ‎ 设 ‎ 可得 8分 ‎ 而 ‎ ‎ ‎ 10分 ‎ ∴k1＋k2=0‎ ‎ 故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形． 12分 ‎3已知椭圆：()过点，其左、右焦点分别为，且 ‎．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若是直线上的两个动点，且，则以为直径的圆是否过定点？请说明理由．‎ 解：（1）设点的坐标分别为，‎ 则 故，可得， …………………2分 所以，…………………4分 故，‎ 所以椭圆的方程为．　 　　　 　……………………………6分 ‎（2）设的坐标分别为，则，‎ 又，可得，即， …………………8分 又圆的圆心为半径为，‎ 故圆的方程为，‎ 即，‎ 也就是， ……………………11分 令，可得或2，‎ 故圆必过定点和．　　　　　　　　 　……………………13分 ‎（另法：（1）中也可以直接将点坐标代入椭圆方程来进行求解；（2）中可利用圆C直径的两端点直接写出圆的方程）‎ ‎4、已知点是直角坐标平面内的动点，点到直线的距离为，到点的距离为，且．‎ ‎(1)求动点P所在曲线C的方程；‎ ‎(2)直线过点F且与曲线C交于不同两点A、B(点A或B不在x轴上)，分别过A、B点作直线的垂线，对应的垂足分别为，试判断点F与以线段为直径的圆的位置关系(指在圆内、圆上、圆外等情况)；‎ ‎(3)记，，(A、B、是(2)中的点)，问是否存在实数，使成立．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．‎ 进一步思考问题：若上述问题中直线、点、曲线C：，则使等式成立的的值仍保持不变．请给出你的判断 (填写“不正确”或“正确”)(限于时间，这里不需要举反例，或证明)．‎ 解　(1) 设动点为，依据题意，有，化简得． 3分 因此，动点P所在曲线C的方程是：．……………4分 ‎(2) 点F在以MN为直径的圆的外部．‎ 理由：由题意可知，当过点F的直线的斜率为0时，不合题意，故可设直线：‎ ‎，如图所示． 5分 联立方程组，可化为，‎ 则点的坐标满足． 7分 又、，可得点、．‎ 因，，则=．……9分 于是，为锐角，即点F在以MN为直径的圆的外部． 10分 ‎(3)依据(2)可算出，，‎ 则 ‎ ‎，‎ ‎．…… 14分 所以，，即存在实数使得结论成立． ……15分 ‎ 对进一步思考问题的判断：正确． ……18分 ‎5、已知点是直角坐标平面内的动点，点到直线(是正常数)的距离为，到点的距离为，且1．‎ ‎(1)求动点P所在曲线C的方程；‎ ‎(2)直线过点F且与曲线C交于不同两点A、B，分别过A、B点作直线的垂线，对应的垂足分别为，求证=；‎ ‎(3)记，，(A、B、是(2)中的点)，，求的值．‎ 解　(1) 设动点为，依据题意，有 ‎，化简得．……4分 因此，动点P所在曲线C的方程是：． ……………6分 由题意可知，当过点F的直线的斜率为0时，不合题意，‎ 故可设直线：，如图所示． …… 8分 联立方程组，可化为，‎ 则点的坐标满足． 10分 又、，可得点、．‎ 于是，，，‎ 因此． 12分 ‎(3)依据(2)可算出，，‎ 则 ，‎ ‎． 16分 所以，即为所求． 18分 ‎6、已知：椭圆（），过点，的直线倾斜角为 ‎，原点到该直线的距离为．‎ ‎（1）求椭圆的方程； ‎ ‎（2）斜率大于零的直线过与椭圆交于，两点，若，求直线的方程；‎ ‎（3）是否存在实数，直线交椭圆于，两点，以为直径的圆过点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．‎ 解：（1）由， ，得，，‎ 所以椭圆方程是：……………………4分 ‎（2）设EF：（）代入，得，‎ 设，，由，得．‎ 由，……………………8分 得，，（舍去），（没舍去扣1分）‎ 直线的方程为：即……………………10分 ‎（3）将代入，得（*）‎ 记，，PQ为直径的圆过，则，即，又，，得．………………14分 解得，此时（*）方程，存在，满足题设条件．…………16分 ‎7、已知点，动点满足条件，记动点的轨迹为。‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）过作直线交曲线于两点，使得2，求直线的方程。‎ ‎（3）若从动点向圆：作两条切线，切点为、，令|PC|=d,‎ 试用d来表示，并求的取值范围。‎ 解：（1）由，知点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线 即设，所以所求的的方程为 4分 ‎（2）若k不存在，即x=2时,可得A(2,)，B(2,-),|AB|=2满足题意； 5分 若k存在，可设l:y=k(x-2)‎ 联立，‎ 由题意知且 6分 设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|= 即 =2 k=0 即l:y=0 8分 所以直线l的方程为 x=0或y=0 9分 ‎（3） ‎ 又 则----- 13分 在是增函数， ‎ 则所求的的范围为。 16分 ‎8、在平面直角坐标系中，已知焦距为4的椭圆的左、右顶点分别为，椭圆 的右焦点为，过作一条垂直于轴的直线与椭圆相交于，若线段的长为。‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设是直线上的点，直线与椭圆分别交于点，求证：直线 必过轴上的一定点，并求出此定点的坐标；‎ ‎（3）实际上，第（2）小题的结论可以推广到任意的椭圆、双曲线以及抛物线，请你对抛物线写出一个更一般的结论，并加以证明。‎ ‎ A ‎ B ‎ Q ‎ O ‎ M ‎ N ‎ x ‎ y ‎ 9‎ ‎（1）依题意，椭圆过点，故，解得。………（3分）‎ 椭圆的方程为。…………（4分）‎ ‎（2）设，直线的方程为，……………（5分）‎ 代入椭圆方程，得， ……（6分）‎ 设，则，…（7分）‎ ‎，故点的坐标为。………（8分）‎ 同理，直线的方程为，代入椭圆方程，得，‎ 设，则，。‎ 可得点的坐标为。…………………………………………………………（10分）‎ ‎①若时，直线的方程为，与轴交于点；‎ ‎②若，直线的方程为，‎ 令，解得。综上所述，直线必过轴上的定点。…………………………（12分）‎ ‎（3）结论：已知抛物线的顶点为，为直线上一动点，过点作 轴的平行线与抛物线交于点，直线与抛物线交于点，则直线必过定点。………（14分）‎ 证明：设，则，‎ ‎ P ‎ O ‎ M ‎ N ‎ x ‎ y ‎ ‎ 直线的方程为，代入，得，可求得。…（16分）‎ 直线的方程为，‎ 令，得，即直线必过定点。……（18分）‎ ‎9、已知椭圆中心为，右顶点为，过定点作直线交椭圆于、两点.‎ ‎（1）若直线与轴垂直，求三角形面积的最大值； ‎ ‎（2）若，直线的斜率为，求证：；‎ ‎（3）直线和的斜率的乘积是否为非零常数？请说明理由.‎ 解：设直线与椭圆的交点坐标为.‎ ‎（1）把代入可得：， （2分）‎ 则，当且仅当时取等号 （4分）‎ ‎（2）由得，，（6分）‎ 所以 ‎ ‎ （9分）‎ ‎（3）直线和的斜率的乘积是一个非零常数. （11分）‎ 当直线与轴不垂直时，可设直线方程为：，‎ 由消去整理得 则 ① 又 ② （13分）‎ 所以（15分）‎ 当直线与轴垂直时，由得两交点，‎ 显然.所以直线和的斜率的乘积是一个非零常数.（16分）‎ ‎10、定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”。如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比。已知椭圆。‎ 若椭圆，判断与是否相似？如果相似，求出与的相似比；如果不相似，‎ 请说明理由；‎ 写出与椭圆相似且短半轴长为的椭圆的方程；若在椭圆上存在两点、关于直线对称，求实数的取值范围？‎ 如图：直线与两个“相似椭圆”和分别交于点和点，证明：‎ ‎23．解：（1）椭圆与相似。-------------------2分 因为椭圆的特征三角形是腰长为4，底边长为的等腰三角形，而椭圆的特征三角形是腰长为2，底边长为的等腰三角形，因此两个等腰三角形相似，且相似比为-------------------4分 ‎（2）椭圆的方程为：-------------------6分 设，点，中点为，‎ 则，所以-------------------8分 则 -------------------9分 因为中点在直线上，所以有，-------------------10分 即直线的方程为：，‎ 由题意可知，直线与椭圆有两个不同的交点，‎ 即方程有两个不同的实数解，‎ 所以，即-------------------12分 ‎ ‎（3）证明：‎ ‎①直线与轴垂直时，易得线段AB与CD的中点重合，所以；-------------------14分 ‎②直线不与轴垂直时，设直线的方程为：，，‎ 线段AB的中点，‎ ‎-------------------15分 线段AB的中点为-------------------16分 同理可得线段CD的中点为，-------------------17分 即线段AB与CD的中点重合，所以-------------------18‎