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- 2021-05-13 发布
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高三第一轮复习数学---曲线方程
一、教学目标:了解解析几何的基本思想,了解坐标法研究几何问题的方法;掌握用定
义法和直接法求曲线的方程的方法和步骤。
二、教学重点:注意动点应满足的某些隐含条件;2、注意方程化简时的等价性,主要是在去分母和两边平方时的变形。3、注意图形可能的不同位置或字母系数取不同值的讨论。
三、教学过程:
(一)主要知识:
1、 曲线方程的意义:正如一个关于的一元二次方程一定表示一条直线,一条直线必定可以用个关于的一元二次方程表示一样,直角坐标系内的曲线可以用一个关于的二元方程来表示,一个关于的二元方程表示着坐标平面内的一条曲线。而函数亦为方程是的特殊形式。
2、 方程恰为曲线C的方程即曲线C恰为方程的曲线的充要条件为:
(1) 曲线C上的点的坐标都是方程的解;否则曲线C比比方程所表示的曲线多点(纯粹性)
且(2)以方程的解为坐标的点都在曲线C上;否则曲线C比方程所表示的曲线少点(完备性)
即曲线C=
3、 已知曲线求方程:求动点的轨迹方程, 文字语言的几何条件 数学符号语言的等式 数学符号语言中含动点坐标 , 的代数方程 简化了的 , 的代数方程 最后除掉多余的点(加上遗漏的点)。
4、 已知曲线方程求曲线:要做到不多不少刚刚好。
5、 曲线与曲线的交点坐标为:方程组的解(特别注意大括号的意义为交点坐标)
(二)例题分析:
(一)曲线方程的意义:
例1:(1)如果命题“坐标满足方程 的点都在曲线 上”不正确,那么以下正确的命题是
(A)曲线 上的点的坐标都满足方程 .
(B)坐标满足方程 的点有些在 上,有些不在 上.
(C)坐标满足方程 的点都不在曲线 上.
(D)一定有不在曲线 上的点,其坐标满足方程 .
分析:举例,若方程为 ,曲线为第一、三象限角平分线,易知答案为D.
(2)求曲线 分别关于①直线②③点④直线对称的曲线方程.
解:①;②;③;④
(二)已知曲线方程求曲线:
例2 (1)表示什么曲线?
(2)方程表示什么曲线?
解:(1)原方程等价于:当时为x;当时为;当时为(画图)
(2)原方程等价于:或即:或
所以表示直线和射线(画图0
点评:这多条图形为曲线C;
思考:表示什么曲线?(曲线C为圆:和直线在此圆外面部份)
(三)已知曲线求方程:求动点的轨迹方程:
例3 过定点任作互相垂直的两直线与,且与轴交于点M,与轴交于点N,求线段MN的中点P的轨迹方程。
解:法一(直译法)由,
化简得:
法二(代入法)设,,则 ①
因为,所以 ②
由①代入②可得:
X
X
A
N
M
O
例4 (2000年春季高考)已知抛物线O为顶点,A,B为抛物线上的两动点,且满足,如果于点M,求点M的轨迹方程。
解:(参数法)设的方程为,点M的坐标为,则OB的方程为
由得由得则
所以,,消去参数得轨迹方程为
即所求轨迹是以点为圆心,长为半径的圆除去原点。
点评:直译法、代入法和参数法是求轨迹方程的三大基本方法。
(四)曲线的交点:
例5、已知曲线,点,曲线,求的交点个数。
解:0个。设点是上的点,则,而若这与矛盾。
例6、求过点的直线与曲线有两个不同的交点,且这两个交点的纵坐标之和为,求的取值范围。
解:设直线方程为,由方程组消去得,设其两个根为
则,
得
的取值范围是
(三)巩固练习:
1.和y轴相切并且和曲线x2+y2=4 (0≤x≤2)相内切的动圆圆心的轨迹方程为( )。
A、y2=-4(x-1) (x>0) B、y2=2(x+1) (00,设其半径为r,则由相切条件
,∴ |MO|=2-|x|,即,
, ,又-4(x-1)=y2≥0,
∴ 所求方程为y2=-4(x-1) (00),求动点M的轨迹方程,并说明它表示什么曲线。
解:设MN切圆C于N,则|MN|2=|MO|2-|ON|2,
设点M(x,y),则,化简,得
(λ2-1)(x2+y2)-4λ2x+(1+4λ2)=0
1)当λ=1时,方程为,表示一条直线。
2)当λ≠1时,方程化为表示一个圆。
小结:本题是典型的直接(列方程化简)法。
四、小结:
曲线方程的意义;方程恰为曲线C的方程即曲线C恰为方程的曲线的充要条件;已知曲线求方程:求动点的轨迹方程;已知曲线方程求曲线:要做到不多不少刚刚好;曲线与曲线的交点坐标
五、作业: