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- 2021-05-13 发布
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2013年山东高考数学试题(理)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)复数z满足(z-3)(2-i)=5(i为虚数单位),则z的共轭复数为( )
A. 2+i B.2-i C. 5+i D.5-i
(2)设集合A={0,1,2},则集合B={x-y |x∈A, y∈A }中元素的个数是( )
A. 1 B. 3 C. 5 D.9
(3)已知函数为奇函数,且当时,,则( )
(A)2 (B)1 (C)0 (D)-2
(4)已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为 ,底面积是边长为的正三角形,若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为 ( )
(A) (B) (C) (D)
(5)将函数y=sin(2x +)的图像沿x轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图像,则的一个可能取值为( ) (A) (B) (C)0 (D)
(6)在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组:,所表示的区域上一动点,则直线OM斜率的最小值为( ) (A)2 (B)1 (C) (D)
(7)给定两个命题p、q,若﹁p是q的必要而不充分条件,则p是﹁q的( )
(A)充分而不必条件 (B)必要而不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
(8)函数y=xcosx + sinx 的图象大致为( )
(9)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为( ) (A)2x+y-3=0 (B)2x-y-3=0 (C)4x-y-3=0 (D)4x+y-3=0
(10)用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为( )
(A)243 (B)252 (C)261 (D)279
(11)抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交于第一象限的点M,若在点M处的切线平行于的一条渐近线,则=( )
(A) (B) (C) (D)
(12)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0.则当取得最大值时,的最大值为( ) (A)0 (B)1 (C) (D)3
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分
(13)执行右面的程序框图,若输入的的值为0.25,则输入的n的值为_____
(14)在区间[-3,3]上随机取一个数x,使得 |x+1 |- |x-2 |≥1成立的概率为____________
(15)已知向量与的夹角为,且若且,则实数的值为____
(16)定义“正对数”:,现有四个命题:
①若,则;
②若,则;
③若,则;
④若,则.
其中的真命题有:________________(写出所有真命题的编号)
三、解答题:本大题共6小题,共74分.
(17)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+c=6,b=2,cosB=.
(Ⅰ)求a,c的值;
(Ⅱ)求sin(A-B)的值.
(18)如图所示,在三棱锥P-ABQ中,PB⊥平面ABQ,BA=BP=BQ,D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点,AQ=2BD,PD与EQ交于点G,PC与FQ交于点H,连接GH。
(Ⅰ)求证:AB//GH;
(Ⅱ)求二面角D-GH-E的余弦值 .
(19)甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是外,其余每局比赛甲队获胜的概率是 .假设每局比赛结果互相独立.
(1)分别求甲队以3:0,3:1,3:2胜利的概率
(2)若比赛结果为3:0或3:1,则胜利方得3分,对方得0分;若比赛结果为3:2,则胜利方得2分、对方得1分,求乙队得分x的分布列及数学期望.
(20)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=4S2,a2n=2an+1
(1) 求数列{an}的通项公式; (2) 设数列{bn}的前n项和Tn,且Tn+ = λ(λ为常数),令cn=b2n,(n∈N•).求数列{cn}的前n项和Rn.
(21)设函数是自然对数的底数,.
(1)求的单调区间,最大值;
(2)讨论关于x的方程根的个数.
(22)椭圆C:(a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2,离心率为 ,过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连接PF1、PF2,设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0),求m的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过点p作斜率为k的直线l,使得l与椭圆C有且只有一个公共点, 设直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2,若k≠0,试证明为定值,并求出这个定值.