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- 2021-05-13 发布
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高中数学圆锥曲线——椭圆
一、选择题
1.设0≤α<2π,若方程x2sinα-y2cosα=1表示焦点在y轴上的椭圆,则α的取值范围是( )
A.∪ B.
C. D.
[答案] C
[解析] 化为+=1,
∴->>0,故选C.
2.(文)(2016·瑞安中学)已知双曲线C的焦点、顶点分别恰好是椭圆+=1的长轴端点、焦点,则双曲线C的渐近线方程为( )
A.4x±3y=0 B.3x±4y=0
C.4x±5y=0 D.5x±4y=0
[答案] A
[解析] 由题意知双曲线C的焦点(±5,0),顶点(±3,0),∴a=3,c=5,∴b==4,
∴渐近线方程为y=±x,即4x±3y=0.
(理)(2016·广东中山)若椭圆+=1过抛物线y2=8x的焦点,且与双曲线x2-y2=1,有相同的焦点,则该椭圆的方程是( )
A.+=1 B.+y2=1
C.+=1 D.x2+=1
[答案] A
[解析] 抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0),则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0),又椭圆与双曲线x2-y2=1有相同的焦点,∴a=2,c=,
∵c2=a2-b2,∴b2=2,∴椭圆的方程为+=1.
3.分别过椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点F1、F2作两条互相垂直的直线l1、l2,它们的交点在椭圆的内部,则椭圆的离心率的取值范围是( )
A.(0,1) B.
C. D.
[答案] B
[解析] 依题意,结合图形可知以F1F2为直径的圆在椭圆的内部,∴c2c2,即e2=<,又∵e>0,∴0b>0)的离心率为,则双曲线-=1的渐近线方程为( )
A.y=±x B.y=±2x
C.y=±4x D.y=±x
[答案] A
[解析] ∵由椭圆的离心率e==,
∴==,∴=,故双曲线的渐近线方程为y=±x,选A.
6.(文)(2016·南昌市模考)已知椭圆E的短轴长为6,焦点F到长轴的一个端点的距离等于9,则椭圆E的离心率等于( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] 设椭圆的长半轴长,短半轴长,半焦距分别为a、b、c,则由条件知,b=6,a+c=9或a-c=9,
又b2=a2-c2=(a+c)(a-c)=36,
故,∴,∴e==.
(理)(2016·北京崇文区)已知点F,A分别是椭圆+=1(a>b>0)的左焦点、右顶点,B(0,b)满足·=0,则椭圆的离心率等于( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] ∵=(c,b),=(-a,b),·=0,
∴-ac+b2=0,∵b2=a2-c2,
∴a2-ac-c2=0,∴e2+e-1=0,
∵e>0,∴e=.
7.(2016·浙江金华)若点P为共焦点的椭圆C1和双曲线C2的一个交点,F1、F2分别是它们的左、右焦点.设椭圆离心率为e1,双曲线离心率为e2,若·=0,则+=( )
A.2 B.
C. D.3
[答案] A
[解析] 设椭圆的长半轴长为a,双曲线的实半轴长为a′,焦距为2c,则由条件知||PF1|-|PF2||=2a′,|PF1|+|PF2|=2a,将两式两边平方相加得:
|PF1|2+|PF2|2=2(a2+a′2),
又|PF1|2+|PF2|2=4c2,∴a2+a′2=2c2,
∴+=+==2.
8.(2016·重庆南开中学)已知椭圆+=1的左右焦点分别为F1、F2,过F2且倾角为45°的直线l交椭圆于A、B两点,以下结论中:①△ABF1的周长为8;②原点到l的距离为1;③|AB|=;正确结论的个数为( )
A.3 B.2
C.1 D.0
[答案] A
[解析] ∵a=2,∴△ABF1的周长为|AB|+|AF1|+|BF1|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=8,故①正确;
∵F2(,0),∴l:y=x-,原点到l的距离d==1,故②正确;
将y=x-代入+=1中得3x2-4x=0,∴x1=0,x2=,
∴|AB|==,故③正确.
9.(文)(2016·北京西城区)已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为M,设A为圆上任一点,N(2,0),线段AN的垂直平分线交MA于点P,则动点P的轨迹是( )
A.圆 B.椭圆
C.双曲线 D.抛物线
[答案] B
[解析] 点P在线段AN的垂直平分线上,故|PA|=|PN|,又AM是圆的半径,
∴|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6>|MN|,由椭圆定义知,P的轨迹是椭圆.
(理)F1、F2是椭圆+=1(a>b>0)的两焦点,P是椭圆上任一点,过一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线,则垂足Q的轨迹为( )
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
[答案] A
[解析] ∵PQ平分∠F1PA,且PQ⊥AF1,
∴Q为AF1的中点,且|PF1|=|PA|,
∴|OQ|=|AF2|=(|PA|+|PF2|)=a,
∴Q点轨迹是以O为圆心,a为半径的圆.
10.(文)(2016·辽宁沈阳)过椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B,且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F,若b>0)的一个顶点作圆x2+y2=b2的两条切线,切点分别为A,B,若∠AOB=90°(O为坐标原点),则椭圆C的离心率为________.
[答案]
[解析] 因为∠AOB=90°,所以∠AOF=45°,所以=,所以e2===1-=,即e=.
(理)(2016·揭阳市模拟)若椭圆+=1(a>b>0)与曲线x2+y2=a2-b2无公共点,则椭圆的离心率e的取值范围是________.
[答案]
[解析] 易知以半焦距c为半径的圆在椭圆内部,故b>c,∴b2>c2,即a2>2c2,
∴<.
12.(2016·南充市)已知△ABC顶点A(-4,0)和C(4,0),顶点B在椭圆+=1上,则=________.
[答案]
[解析] 易知A,C为椭圆的焦点,故|BA|+|BC|=2×5=10,又AC=8,由正弦定理知,
==.
13.(文)若右顶点为A的椭圆+=1(a>b>0)上存在点P(x,y),使得·
=0,则椭圆离心率的范围是________.
[答案] ,∵00,b>0)的面积为πab,M包含于平面区域Ω:内,向Ω内随机投一点Q,点Q落在椭圆M内的概率为,则椭圆M的方程为________.
[答案] +=1
[解析] 平面区域Ω:是一个矩形区域,如图所示,
依题意及几何概型,可得=,
即ab=2.
因为0b>0)的长轴长为4.
(1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y=x+2相切,求椭圆C的焦点坐标;
(2)若点P是椭圆C上的任意一点,过焦点的直线l与椭圆相交于M,N两点,记直线PM,PN的斜率分别为kPM、kPN,当kPM·kPN=-时,求椭圆的方程.
[解析] (1)∵圆x2+y2=b2与直线y=x+2相切,
∴b=,得b=.
又2a=4,∴a=2,a2=4,b2=2,
c2=a2-b2=2,∴两个焦点坐标为(,0),(-,0).
(2)由于过原点的直线l与椭圆相交的两点M,N关于坐标原点对称,
不妨设:M(x0,y0),N(-x0,-y0),P(x,y),
由于M,N,P在椭圆上,则它们满足椭圆方程,
即有+=1,+=1.
两式相减得:=-.
由题意可知直线PM、PN的斜率存在,则
kPM=,kPN=,
kPM·kPN=·==-,
则-=-,由a=2得b=1,
故所求椭圆的方程为+y2=1.
(理)(2016·北京东城区)已知椭圆C的中心在原点,一个焦点F(-2,0),且长轴长与短轴长的比是2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上,点P是椭圆上任意一点.当||最小时,点P恰好落在椭圆的右顶点,求实数m的取值范围.
[解析] (1)设椭圆C的方程为+=1(a>b>0)
由题意,
解得a2=16,b2=12.
所以椭圆C的方程为+=1.
(2)设P(x,y)为椭圆上的动点,由于椭圆方程为+=1,故-4≤x≤4.
因为=(x-m,y),
所以||2=(x-m)2+y2
=(x-m)2+12×.
=x2-2mx+m2+12=(x-4m)2+12-3m2.
因为当||最小时,点P恰好落在椭圆的右顶点,
即当x=4时,||2取得最小值.而x∈[-4,4],
故有4m≥4,解得m≥1.
又点M在椭圆的长轴上,即-4≤m≤4.
故实数m的取值范围是m∈[1,4].
16.(2016·辽宁文,20)设F1,F2分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,过F2的直线l与椭圆C相交于A,B两点,直线l的倾斜角为60°,F1到直线l的距离为2.
(1)求椭圆C的焦距;
(2)如果=2,求椭圆C的方程.
[解析] (1)设焦距为2c,则F1(-c,0),F2(c,0)
∵kl=tan60°=
∴l的方程为y=(x-c)
即:x-y-c=0
∵F1到直线l的距离为2
∴=c=2
∴c=2
∴椭圆C的焦距为4
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)由题可知y1<0,y2>0
直线l的方程为y=(x-2)
由消去x得,
(3a2+b2)y2+4b2y-3b2(a2-4)=0
由韦达定理可得
∵=2,∴-y1=2y2,代入①②得
得=·
= ⑤
又a2=b2+4 ⑥
由⑤⑥解得a2=9 b2=5
∴椭圆C的方程为+=1.
17.(文)(2016·安徽文)椭圆E经过点A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点F1,F2在x轴上,离心率e=.
(1)求椭圆E的方程;
(2)求∠F1AF2的角平分线所在直线的方程.
[解析] (1)由题意可设椭圆方程为+=1(a>b>0)
∵e=,即=,∴a=2c
又b2=a2-c2=3c2
∴椭圆方程为+=1.又∵椭圆过点A(2,3)
∴+=1,解得c2=4,∴椭圆方程为+=1.
(2)法一:由(1)知F1(-2,0),F2(2,0),
∴直线AF1的方程y=(x+2),即3x-4y+6=0,
直线AF2的方程为x=2.
设P(x,y)为角平分线上任意一点,则点P到两直线的距离相等.
即=|x-2|
∴3x-4y+6=5(x-2)或3x-4y+6=5(2-x)
即x+2y-8=0或2x-y-1=0.
由图形知,角平分线的斜率为正数,故所求∠F1AF2的平分线所在直线方程为2x-y-1=0.
法二:设AM平分∠F1AF2,则直线AF1与直线AF2关于直线AM对称.
由题意知直线AM的斜率存在且不为0,设为k.
则直线AM方程y-3=k(x-2).
由(1)知F1(-2,0),F2(2,0),
∴直线AF1方程为y=(x+2),即3x-4y+6=0
设点F2(2,0)关于直线AM的对称点F2′(x0,y0),
则
解之得F2′(,).
∵直线AF1与直线AF2关于直线AM对称,
∴点F2′在直线AF1上.
即3×-4×+6=0.
解得k=-或k=2.
由图形知,角平分线所在直线方程斜率为正,
∴k=-(舍去).
故∠F1AF2的角平分线所在直线方程为2x-y-1=0.
法三:∵A(2,3),F1(-2,0),F2(2,0),
∴=(-4,-3),=(0,-3),
∴+=(-4,-3)+(0,-3)
=-(1,2),
∴kl=2,∴l:y-3=2(x-2),即2x-y-1=0.
[点评] 因为l为∠F1AF2的平分线,∴与的单位向量的和与l共线.从而可由、的单位向量求得直线l的一个方向向量,进而求出其斜率.
(理)(2016·湖北黄冈)已知点A(1,1)是椭圆+=1(a>b>0)上一点,F1,F2是椭圆的两焦点,且满足|AF1|+|AF2|=4.
(1)求椭圆的两焦点坐标;
(2)设点B是椭圆上任意一点,如果|AB|最大时,求证A、B两点关于原点O不对称;
(3)设点C、D是椭圆上两点,直线AC、AD的倾斜角互补,试判断直线CD的斜率是否为定值?若是定值,求出定值;若不是定值,说明理由.
[解析] (1)由椭圆定义知:2a=4,
∴a=2,∴+=1
把(1,1)代入得+=1
∴b2=,则椭圆方程为+=1
∴c2=a2-b2=4-=,∴c=
故两焦点坐标为,.
(2)用反证法:假设A、B两点关于原点O对称,则B点坐标为(-1,-1),此时|AB|=2,取椭圆上一点M(-2,0),则|AM|=
∴|AM|>|AB|.
从而此时|AB|不是最大,这与|AB|最大矛盾,所以命题成立.
(3)设AC方程为:y=k(x-1)+1
联立消去y得
(1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0
∵点A(1,1)在椭圆上
∴xC=
∵直线AC、AD倾斜角互补
∴AD的方程为y=-k(x-1)+1
同理xD=
又yC=k(xC-1)+1,yD=-k(xD-1)+1
yC-yD=k(xC+xD)-2k
所以kCD==
即直线CD的斜率为定值.