三维设计广东文人教版2014高考数学第一轮复习考案 直线与圆锥曲线的位置关系 文 4页

第69课 直线与圆锥曲线的位置关系 ‎ ‎1．（2019全国高考）在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上．‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）若圆与直线交于两点，且，求的值．‎ ‎【解析】（1）曲线与轴的交点为，‎ 与轴的交点为（‎ 故可设的圆心为，则 ‎，解得．‎ ‎∴圆的半径为．‎ ‎∴圆的方程为．‎ ‎（2），∴．‎ 判别式．‎ 设， ，‎ 由于，∴，‎ 又 ∴ ．②‎ 由①②得，满足故．‎ ‎2.（2019西城一模）已知椭圆的离心率为，一个焦点为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线交椭圆于，两点，若点，都在以点为圆心的圆上，求的值．‎ ‎【解析】（1）∵，， ‎ ‎∴椭圆的方程为．‎ ‎（2）由，得，‎ 设，∴， ‎ 设线段的中点为，则 ‎∵点，都在以点为圆心的圆上，‎ ‎ 解得 ，符合题意．∴ ．‎ ‎3.已知点，，动点满足，记动点的轨迹为．‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）直线与曲线交于不同的两点、，若存在点，使得成立，求实数的取值范围．‎ ‎【解析】（1）由椭圆的定义可知，动点的轨迹是 以、为焦点，长轴长为的椭圆．‎ ‎∴的方程是．‎ ‎（2）设、，的中点为．‎ 由 ，得 ．‎ ‎∴斜率． ‎ 又∵， ∴，‎ ‎∴ ， 即 ． ‎ 当时，； ‎ 当时，‎ 故所求的取范围是．‎ ‎4．（2019昌平二模）已知椭圆: ，过点, 离心率为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）是否存在过点的直线与椭圆交于两个不同的点，且使成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解析】（1）由题意可知,， ‎ ‎∴椭圆的方程为． ‎ ‎（2） 点M为PN的中点，‎ 设 则 ① ‎ ① 当直线的斜率不存在时，‎ 易知不符合条件，此时直线方程不存在． ‎ ② 当直线的斜率存在时，设方程为，‎ 由，得 ，‎ 解得，（*）‎ ‎ 设，，则 由①②③可得消去，‎ 可得，故， ‎ ‎ 综上：存在这样直线的方程为：．‎ ‎5．（2019东莞一模）已知椭圆的一个顶点为，且焦点在轴上．若右焦点到直线的距离为．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设直线与椭圆相交于不同的两点、．当时，求的取值范围．‎ ‎【解析】（1）依题意可设椭圆方程为，‎ 则右焦点,‎ 由题设，解得， ‎ 故所求椭圆的方程为． ‎ ‎（2）设，为弦的中点，‎ 由， ‎ 得，‎ ‎∵直线与椭圆相交，‎ 从而，‎ 又，∴，‎ 则 ，‎ 即 ， ② ‎ 把②代入①得 ，解得 ， ‎ 由②得，解得．‎ 综上求得的取值范围是．‎ ‎6．（2019天津高考）已知椭圆，点在椭圆上．‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）设为椭圆的右顶点，为坐标原点，若在椭圆上且满足,求直线的斜率的值．‎ ‎【解析】（1）∵点在椭圆上，‎ ‎ （2）∵为椭圆的右顶点，∴．‎ 设，则 ‎∴，或（舍去），‎ ‎∴直线的斜率．‎