- 9.94 MB
- 2021-05-13 发布
- 1、本文档由用户上传，淘文库整理发布，可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方，所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议，请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传，本站不保证质量和数量令人满意，可能有诸多瑕疵，付费之前，请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ：403074932
2013 全国各地高考数学试题及详解汇编（理科●一）
目 录
1．新课标卷 1…………………………………………………………………………2
2．新课标Ⅱ卷…………………………………………………………………..……10
3. 大纲卷……………………………………………………………...………………21
4．北京卷………………………………………………………..……………………27
5．山东卷……………………………………………………………………..………37
6．陕西卷……………………………………………………………………..………41
7．湖北卷…..…………………………………………………………………………49
8．天津卷…..…………………………………………………………………………61
9．重庆卷………………………………………………………………………..……71
2013 年高考理科数学试题解析（课标Ⅰ）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷
3 至 4 页。全卷满分 150 分。考试时间 120 分钟。
注意事项：
1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷 1 至 3 页，第Ⅱ卷 3
至 5 页。
2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、 选择题共 12 小题。每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的一项。
1、已知集合 A=｛x|x2－2x＞0｝，B=｛x|－ 5＜x＜ 5｝，则 ( )
A、A∩B= B、A∪B=R C、B⊆A D、A⊆B
【命题意图】本题主要考查一元二次不等式解法、集合运算及集合间关系，是容易题.
【解析】A=(- ,0)∪(2,+ ), ∴A∪B=R,故选 B.
2、若复数 z 满足 (3－4i)z＝|4＋3i |，则 z 的虚部为 ( )
A、－4 （B）－4
5
（C）4 （D）4
5
【命题意图】本题主要考查复数的概念、运算及复数模的计算，是容易题.
【解析】由题知 z = | 4 3 |
3 4
i
i
=
2 24 3 (3 4 )
(3 4 )(3 4 )
i
i i
= 3 4
5 5 i ，故 z 的虚部为 4
5
，故选 D.
3、为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，
事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生
视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 ( )
A、简单随机抽样 B、按性别分层抽样 C、按学段分层抽样 D、系统抽样
【命题意图】本题主要考查分层抽样方法，是容易题.
【解析】因该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽
样方法是按学段分层抽样，故选 C.
4、已知双曲线 C ：
2 2
2 2 1x y
a b
（ 0, 0a b ）的离心率为 5
2
，则C 的渐近线方程为
A . 1
4y x B . 1
3y x C . 1
2y x D . y x
【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质，是简单题.
【解析】由题知， 5
2
c
a
，即 5
4
=
2
2
c
a
=
2 2
2
a b
a
，∴
2
2
b
a
= 1
4
，∴ b
a
= 1
2
，∴C 的渐近线
方程为 1
2y x ，故选 C .
5、运行如下程序框图，如果输入的 [ 1,3]t ，则输出 s 属于
A .[-3,4] B .[-5,2] C .[-4,3] D .[-2,5]
【命题意图】本题主要考查程序框图及分段函数值域求法，是简单题.
【解析】有题意知，当 [ 1,1)t 时， 3s t [ 3,3) ，当 [1,3]t 时， 24s t t [3,4] ，
∴输出 s 属于[-3,4]，故选 A .
6、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8cm，将一
个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水
深为 6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( )
A、500π
3
cm3 B、866π
3
cm3
C、1372π
3
cm3 D、2048π
3
cm3
【命题意图】本题主要考查球的截面圆性质、球的体积公式，是容易
题.
【解析】设球的半径为 R，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为 4，球心到截面圆的
距离为 R-2，则 2 2 2( 2) 4R R ，解得 R=5，∴球的体积为
34 5
3
=500π
3
3cm ，故选 A.
7、设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn， 1mS ＝－2， mS ＝0， 1mS ＝3，则 m ＝ ( )
A、3 B、4 C、5 D、6
【命题意图】本题主要考查等差数列的前 n 项和公式及通项公式，考查方程思想，是容易
题.
【解析】有题意知 mS = 1( )
2
mm a a =0，∴ 1a =－ ma =－（ mS - 1mS ）=－2，
1ma = 1mS - mS =3，∴公差 d = 1ma - ma =1，∴3= 1ma =－ 2 m ，∴ m =5，故选 C.
8、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A .16 8 B .8 8
C .16 16 D .8 16
【命题意图】本题主要考查简单组合体的三视图及简单组合体体
积公式，是中档题.
【解析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为 2
高为 4，上边放一个长为 4 宽为 2 高为 2 长方体，故其体积为
21 2 4 4 2 22
=16 8 ，故选 A .
9、设 m 为正整数， 2( ) mx y 展开式的二项式系数的最大值为 a ，
2 1( ) mx y 展开式的二项式系数的最大值为b ，若 13 a =7b ，
则 m ＝ ( )
A、5 B、6 C、7 D、8
【命题意图】本题主要考查二项式系数最大值及组合数公式，考查方程思想，是容易题.
【解析】由题知 a = 2
m
mC ，b = 1
2 1
m
mC
，∴13 2
m
mC =7 1
2 1
m
mC
，即 13 (2 )!
! !
m
m m
= 7 (2 1)!
( 1)! !
m
m m
，
解得 m =6，故选 B.
10、已知椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点。若
AB 的中点坐标为(1，－1)，则 E 的方程为 ( )
A、x2
45
＋y2
36
＝1 B、x2
36
＋y2
27
＝1 C、x2
27
＋y2
18
＝1 D、x2
18
＋y2
9
＝1
【命题意图】本题主要考查椭圆中点弦的问题，是中档题.
【解析】设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，则 1 2x x =2， 1 2y y =－2，
2 2
1 1
2 2 1x y
a b
①
2 2
2 2
2 2 1x y
a b
②
①－②得 1 2 1 2 1 2 1 2
2 2
( )( ) ( )( ) 0x x x x y y y y
a b
，
∴ ABk = 1 2
1 2
y y
x x
=
2
1 2
2
1 2
( )
( )
b x x
a y y
=
2
2
b
a
，又 ABk = 0 1
3 1
= 1
2
，∴
2
2
b
a
= 1
2
，又 9= 2c = 2 2a b ，
解得 2b =9， 2a =18，∴椭圆方程为
2 2
118 9
x y ，故选 D.
11、已知函数 ( )f x =
2 2 , 0
ln( 1), 0
x x x
x x
，若| ( )f x |≥ ax ，则 a 的取值范围是
A . ( ,0] B .( ,1] C .[-2,1] D .[-2,0]
【命题意图】本题主要考查函数不等式恒成立求参数范围问题的解法，是难题。
【 解 析 】 ∵ | ( )f x |=
2 2 , 0
ln( 1), 0
x x x
x x
， ∴ 由 | ( )f x | ≥ ax 得 ， 2
0
2
x
x x ax
且
0
ln( 1)
x
x ax
，
由 2
0
2
x
x x ax
可得 2a x ，则 a ≥-2，排除Ａ，Ｂ，
当 a =1 时，易证 ln( 1)x x 对 0x 恒成立，故 a =1 不适合，排除 C，故选 D.
12、设△AnBnCn 的三边长分别为 an,bn,cn，△AnBnCn 的面积为 Sn，n=1,2,3,…
若 b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝cn＋an
2
，cn＋1＝bn＋an
2
，则()
A、{Sn}为递减数列 B、{Sn}为递增数列
C、{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列
D、{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列
【命题意图】
【解析】B
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作
答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。
二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。
13、已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c=0，则t=_____.
【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积，是容易题.
【解析】 b c = [ (1 ) ]t t b a b = 2(1 )t t a b b = 1 12 t t = 11 2 t =0，解得t = 2 .
14、若数列{ na }的前 n 项和为 Sn＝ 2 1
3 3na ，则数列{ na }的通项公式是 na =______.
【命题意图】本题主要考查等比数列定义、通项公式及数列第 n 项与其前 n 项和的关系，
是容易题.
【解析】当 n =1 时， 1a = 1S = 1
2 1
3 3a ，解得 1a =1，
当 n ≥2 时， na = 1n nS S = 2 1
3 3na －( 1
2 1
3 3na )= 1
2 2
3 3n na a ，即 na = 12 na ，
∴{ na }是首项为 1，公比为－2 的等比数列，∴ na = 1( 2)n .
15、设当x=θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ=______
【命题意图】本题主要考查逆用两角和与差公式、诱导公式、及简单三角函数的最值问题，
是难题.
【解析】∵ ( )f x =sin 2cosx x = 5 2 55( sin cos )5 5x x
令 cos = 5
5
， 2 5sin 5
，则 ( )f x = 5(sin cos sin cos )x x = 5 sin( )x ，
当 x = 2 ,2k k z ，即 x = 2 ,2k k z 时， ( )f x 取最大值，此时
= 2 ,2k k z ，∴ cos = cos(2 )2k =sin = 2 5
5
.
16、若函数 ( )f x = 2 2(1 )( )x x ax b 的图像关于直线 x =－2对称，则 ( )f x 的最大值是
______.
【命题意图】本题主要考查函数的对称性及利用导数求函数最值，是难题.
【解析】由 ( )f x 图像关于直线 x =－2 对称，则
0= ( 1) ( 3)f f = 2 2[1 ( 3) ][( 3) 3 ]a b ，
0= (1) ( 5)f f = 2 2[1 ( 5) ][( 5) 5 ]a b ，解得 a =8，b =15，
∴ ( )f x = 2 2(1 )( 8 15)x x x ，
∴ ( )f x = 2 22 ( 8 15) (1 )(2 8)x x x x x = 3 24( 6 7 2)x x x
= 4( 2)( 2 5)( 2 5)x x x
当 x ∈(－∞, 2 5 )∪(－2, 2 5 )时， ( )f x ＞0，
当 x ∈( 2 5 ,－2)∪( 2 5 ,+∞)时， ( )f x ＜0，
∴ ( )f x 在（－∞， 2 5 ）单调递增，在（ 2 5 ，－2）单调递减，在（－2， 2 5 ）
单调递增，在（ 2 5 ，+∞）单调递减，故当 x = 2 5 和 x = 2 5 时取极大值，
( 2 5)f = ( 2 5)f =16.
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17、（本小题满分12分）
如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB= 3 ，BC=1，P
为△ABC内一点，∠BPC＝90°
(1)若 PB=1
2
，求 PA；
(2)若∠APB＝150°，求 tan∠PBA
【命题意图】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解
三角形及两角和与差公式，是容易题.
【解析】（Ⅰ）由已知得，∠PBC= o60 ，∴∠PBA=30o ，在△PBA 中，由余弦定理得
2PA = o1 13 2 3 cos304 2
= 7
4
，∴PA= 7
2
；
（ Ⅱ ） 设 ∠ PBA= ， 由 已 知 得 ， PB= sin ， 在 △ PBA 中 ， 由 正 弦 定 理 得 ，
o o
3 sin
sin150 sin(30 )
，化简得， 3 cos 4sin ，
∴ tan = 3
4
，∴ tan PBA = 3
4
.
18、（本小题满分 12 分）
如图，三棱柱 ABC-A1B1C1 中，CA=CB，AB=A A1，∠BA A1=60°.
（Ⅰ）证明 AB⊥A1C;
（Ⅱ）若平面 ABC⊥平面 AA1B1B，AB=CB=2，求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值。
【命题意图】本题主要考查空间线面、线线垂直
的判定与性质及线面角的计算，考查空间想象能
力、逻辑推论证能力，是容易题.
【解析】（Ⅰ）取AB中点E，连结CE， 1A B ， 1A E ，
∵AB= 1AA ， 1BAA = 060 ，∴ 1BAA 是正三角形，
∴ 1A E ⊥AB， ∵CA=CB， ∴CE⊥AB， ∵
1CE A E =E，∴AB⊥面 1CEA ，
∴AB⊥ 1AC ； ……6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 EC⊥AB， 1EA ⊥AB，
又∵面 ABC⊥面 1 1ABB A ，面 ABC∩面 1 1ABB A =AB，
∴EC⊥面 1 1ABB A ，∴EC⊥ 1EA ，
∴EA，EC， 1EA 两两相互垂直，以 E 为坐标原点，
EA
的方向为 x 轴正方向，| EA
|为单位长度，建立
如图所示空间直角坐标系O xyz ，
有 题 设 知 A(1,0,0), 1A (0, 3 ,0),C(0,0, 3 ),B( － 1,0,0), 则 BC
= （ 1,0 ，
3 ）, 1BB
= 1AA
=(－1,0, 3 ), 1AC
=(0,－ 3 , 3 ), ……9 分
设 n= ( , , )x y z 是平面 1 1CBB C 的法向量，
则
1
0
0
BC
BB
n
n
，即 3 0
3 0
x z
x y
，可取 n=（ 3 ，1，-1），
∴ 1cos , AC
n = 1
1 |
AC
AC
n
| n ||
10
5
，
∴直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为 10
5
. ……12 分
19、（本小题满分 12 分）
一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取 4 件作检验，这 4 件
产品中优质品的件数记为 n。如果 n=3，再从这批产品中任取 4 件作检验，若都为优质
品，则这批产品通过检验；如果 n=4，再从这批产品中任取 1 件作检验，若为优质品，
则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。
假设这批产品的优质品率为 50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是
否为优质品相互独立
（1）求这批产品通过检验的概率；
（2）已知每件产品检验费用为 100 元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品
作质量检验所需的费用记为 X（单位：元），求 X 的分布列及数学期望。
【命题意图】
【解析】设第一次取出的 4 件产品中恰有 3 件优质品为事件 A，第一次取出的 4 件产品中
全为优质品为事件 B,第二次取出的 4 件产品都是优质品为事件 C，第二次取出的 1 件产品是
优质品为事件 D，这批产品通过检验为事件 E，根据题意有 E=(AB)∪(CD),且 AB 与 CD 互斥，
∴P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)= 3 2 4
4
1 1 1( ) ( )2 2 2C + 41 1( )2 2
= 3
64
.…6 分
（Ⅱ）X 的可能取值为 400,500,800，并且
P(X=400)=1- 3 3 4
4
1 1 1( ) ( )2 2 2C = 11
16
，P(X=500)= 1
16
，P(X=800)= 3 3
4
1 1( )2 2C = 1
4
，
∴X 的分布列为
X 400 500 800
P 11
16
1
16
1
4
……10 分
EX=400× 11
16
+500× 1
16
+800× 1
4
=506.25 ……12 分
(20)(本小题满分 12 分)
已知圆 M : 2 2( 1) 1x y ,圆 N : 2 2( 1) 9x y ,动圆 P 与 M 外切并且与圆 N 内切，
圆心 P 的轨迹为曲线 C.
（Ⅰ）求 C 的方程；
（Ⅱ）l 是与圆 P ,圆 M 都相切的一条直线，l 与曲线 C 交于 A，B 两点，当圆 P 的半径最长
时，求|AB|.
【命题意图】
【解析】由已知得圆 M 的圆心为 M（-1，0）,半径 1r =1，圆 N 的圆心为 N (1,0),半径 2r =3.
设动圆 P 的圆心为 P （ x ， y ），半径为R.
（Ⅰ）∵圆 P 与圆 M 外切且与圆 N 内切，∴|PM|+|PN|= 1 2( ) ( )R r r R = 1 2r r =4，
由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左右焦点，场半轴长为2，短半轴长为 3 的椭圆(左
顶点除外)，其方程为
2 2
1( 2)4 3
x y x .
（Ⅱ）对于曲线C上任意一点 P （ x ， y ），由于|PM|-|PN|= 2 2R ≤2，∴R≤2,
当且仅当圆P的圆心为（2，0）时，R=2.
∴当圆P的半径最长时，其方程为 2 2( 2) 4x y ，
当l 的倾斜角为 090 时，则l 与 y 轴重合，可得|AB|= 2 3 .
当l 的倾斜角不为 090 时，由 1r ≠R知l 不平行 x 轴，设l 与 x 轴的交点为Q，则 | |
| |
QP
QM
=
1
R
r
，
可求得Q（-4，0），∴设l ： ( 4)y k x ，由l 于圆M相切得
2
| 3 | 1
1
k
k
，解得 2
4k .
当 k = 2
4
时，将 2 24y x 代入
2 2
1( 2)4 3
x y x 并整理得 27 8 8 0x x ，解得
1,2x = 4 6 2
7
，∴|AB|= 2
1 21 | |k x x =18
7
.
当 k =－ 2
4
时，由图形的对称性可知|AB|=18
7
，
综上，|AB|=18
7
或|AB|= 2 3 .
（21）（本小题满分共 12 分）
已知函数 ( )f x ＝ 2x ax b ， ( )g x ＝ ( )xe cx d ，若曲线 ( )y f x 和曲线 ( )y g x 都过
点 P(0，2)，且在点 P 处有相同的切线 4 2y x
（Ⅰ）求 a ，b ， c ， d 的值
（Ⅱ）若 x ≥－2 时， ( )f x ≤ ( )kg x ，求 k 的取值范围。
【命题意图】本题主要考查利用导数的几何意义求曲线的切线、函数单调性与导数的关系、
函数最值，考查运算求解能力及应用意识,是中档题.
【解析】（Ⅰ）由已知得 (0) 2, (0) 2, (0) 4, (0) 4f g f g ，
而 ( )f x = 2x b ， ( )g x = ( )xe cx d c ，∴ a =4，b =2， c =2， d =2；……4 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， 2( ) 4 2f x x x ， ( ) 2 ( 1)xg x e x ，
设函数 ( )F x = ( ) ( )kg x f x = 22 ( 1) 4 2xke x x x （ 2x ），
( )F x = 2 ( 2) 2 4xke x x = 2( 2)( 1)xx ke ，
有题设可得 (0)F ≥0，即 1k ，
令 ( )F x =0 得， 1x = ln k ， 2x =－2，
（1）若 21 k e ，则－2＜ 1x ≤0，∴当 1( 2, )x x 时， ( )F x ＜0，当 1( , )x x 时，
( )F x ＞0，即 ( )F x 在 1( 2, )x 单调递减，在 1( , )x 单调递增，故 ( )F x 在 x = 1x 取最小
值 1( )F x ，而 1( )F x = 2
1 1 12 2 4 2x x x = 1 1( 2)x x ≥0，
∴当 x ≥－2 时， ( )F x ≥0，即 ( )f x ≤ ( )kg x 恒成立，
(2)若 2k e ，则 ( )F x = 2 22 ( 2)( )xe x e e ，
∴当 x ≥－2 时， ( )F x ≥0，∴ ( )F x 在(－2,+∞)单调递增，而 ( 2)F =0，
∴当 x ≥－2 时， ( )F x ≥0，即 ( )f x ≤ ( )kg x 恒成立，
(3)若 2k e ，则 ( 2)F = 22 2ke = 2 22 ( )e k e ＜0，
∴当 x ≥－2 时， ( )f x ≤ ( )kg x 不可能恒成立，
综上所述， k 的取值范围为[1, 2e ].
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果
多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框
涂黑。
（22）（本小题满分 10 分）选修 4—1：几何证明选讲 如图，
直线 AB 为圆的切线，切点为 B，点 C 在圆上，∠ABC 的角平分
线 BE 交圆于点 E，DB 垂直 BE 交圆于 D。
（Ⅰ）证明：DB=DC；
（Ⅱ）设圆的半径为 1，BC= ，延长 CE 交 AB 于点 F，求
△BCF 外接圆的半径。
【命题意图】本题主要考查几何选讲的有关知识，是容易题.
【解析】（Ⅰ）连结DE，交BC与点G.
由弦切角定理得，∠ABF=∠BCE，∵∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠
BCE，BE=CE，
又∵DB⊥BE，∴DE是直径，∠DCE= 090 ，由勾股定理可得DB=DC.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∠CDE=∠BDE，BD=DC，故DG是BC的中垂线，∴BG= 3
2
.
设DE中点为O，连结BO，则∠BOG= o60 ，∠ABE=∠BCE=∠CBE= o30 ，
∴CF⊥BF， ∴Rt△BCF的外接圆半径等于 3
2
.
（23）（本小题 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程 已知曲
线 C1 的参数方程为 4 5cos
5 5sin
x t
y t
(t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建
立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 2sin 。
（Ⅰ）把 C1 的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）求 C1 与 C2 交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）。
【命题意图】本题主要考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程与直角坐标方程互化及两
曲线交点求法、极坐标与直角坐标互化，是容易题.
【解析】将 4 5cos
5 5sin
x t
y t
消去参数t ，化为普通方程 2 2( 4) ( 5) 25x y ，
即 1C ： 2 2 8 10 16 0x y x y ，将 cos
sin
x
y
代入 2 2 8 10 16 0x y x y 得，
2 8 cos 10 sin 16 0 ，
∴ 1C 的极坐标方程为 2 8 cos 10 sin 16 0 ；
（Ⅱ） 2C 的普通方程为 2 2 2 0x y y ，
由
2 2
2 2
8 10 16 0
2 0
x y x y
x y y
解得 1
1
x
y
或 0
2
x
y
，∴ 1C 与 2C 的交点的极坐标分别为
（ 2, 4
）， (2, )2
.
（24）（本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲
已知函数 ( )f x =| 2 1| | 2 |x x a , ( )g x = 3x .
（Ⅰ）当 a =2 时，求不等式 ( )f x ＜ ( )g x 的解集；
（Ⅱ）设 a ＞-1,且当 x ∈[
2
a ， 1
2
)时， ( )f x ≤ ( )g x ,求 a 的取值范围.
【命题意图】本题主要考查含绝对值不等式解法、不等式恒成立求参数范围，是容易题.
【解析】当 a =-2时，不等式 ( )f x ＜ ( )g x 化为| 2 1| | 2 2 | 3 0x x x ，
设函数 y =| 2 1| | 2 2 | 3x x x ， y =
15 , 2
12, 12
3 6, 1
x x
x x
x x
，
其图像如图所示，从图像可知，当且仅当 (0,2)x 时， y ＜0，∴原不等式解集是
{ | 0 2}x x .
（Ⅱ）当 x ∈[
2
a ，1
2
)时， ( )f x =1 a ，不等式 ( )f x ≤ ( )g x 化为1 3a x ，
∴ 2x a 对 x ∈[
2
a ， 1
2
)都成立，故
2
a 2a ，即 a ≤ 4
3
，
∴ a 的取值范围为（-1， 4
3
].
2013 年全国新课标 2 卷理数试题答案及解析
一、选择题：本大题共 10 小题。每小题 5 分，共 50 分。在每个小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合 M=｛x|(x-1)2 < 4,x∈R｝，N=｛-1，0，1，2，3｝，则 M∩N= （ ）
（A）｛0，1，2｝ （B）｛-1，0，1，2｝ （C）{-1，0，2，3} （D）{0，1，2，
3}
答案：A
[ 解 析 ] 该 题 主 要 考 查 集 合 交 集 运 算 与 不 等 式 的 解 法 ， 由
}31|{},4)1(|{ 2 xxRxxxM 所以由交集的定义可知 }2,1,0{ NM
（2）设复数 z 满足（1-i）z=2 i，则 z=
（ ）
（A）-1+i （B）-1-i （C）1+i （D）1-i
答案：A
[ 解 析 ] 本 题 主 要 考 查 复 数 的 基 本 运 算 ， 由 题 目 中 的 表 达 式 可 得
iii
ii
i
iz
1)1)(1(
)1(2
1
2
（3）等比数列｛an｝的前 n 项和为 nS ，已知 123 10aaS ， 95 a ，则 1a
（ ）
（A） 1
3
（B） 1
3
（C） 1
9
（D） 1
9
答案：C
[ 解 析 ] 本 题 主 要 考 查 等 比 数 列 的 基 本 公 式 的 运 用 ， 由 题 中 123 10aaS 得 出
12321 10aaaaa ，从而就有
99
1
32
13
a
aqaa ，又由
9
19 1
4
15 aqaa
4、已知 ,m n 为异面直线， m 平面 ， n 平面 。直线l 满足 l m ，l n ，l ，
l ，则（ ）
（A） / / 且 / /l （B） 且l
（C） 与 相交，且交线垂直于l （D） 与 相交，且交线平行于l
答案：D
[解析]本题主要考查空间线面关系的判定，若 // ，由题中条件可知 nm // ，与题中 nm,
为异面直线矛盾，故 A 错；若 l 则有 nl // ，与题设条件 nl 矛盾，故 B 错；由于
nm , ，则 nm, 都垂直于 , 的交线，而 nm和 是两条异面直线，可将 m 平移至与
n 相交，此时确定一个平面 ，则 , 的交线垂直于平面 ，同理也有 l ，故l 平行于 ,
的交线，D 正确 C 错。
（5）已知 5)1)(1( xax 的展开式中 2x 的系数为 5，则 a =
（A）-4 （B）-3 （C）-2 （D）-1
答案：D
[解析]本题考查二项式展开式中各项系数的确定，因为 5)1( x 的展开式中的通项可表示为
rr
r xCT 51 ， 从 而 有 5)1( x 中 xx 与2 的 系 数 分 别 为 510 1
5
2
5 CC 和 ， 所 以 原 式
555 )1()1()1)(1( xaxxxax 中 2x 系数为 15510 aa .
（6）执行右面的程序框图，如果输入的 N=10，那么输出的 s=
执行右面的程序框图，如果输入的 10N ，那么输出的 S （ ）
（A） 1 1 11 2 3 10
（B） 1 1 11 2! 3! 10!
（C） 1 1 11 2 3 11
（D） 1 1 11 2! 3! 11!
答案：B
[解析]该题考查程序的输出结果，重点是了解算法中循环结构的功能，
k
TT 的计算结果是
!
1
k
， TSS 是求和的算法语句，结合以上两点，
当 10N 时， 11k 时结束循环，所以应该选 B。
（7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O-xyz 中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），
（1，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以 zOx 平面为投影面，则得到
正视图可以为
答案：A
[解析]该题考查三视图与空间坐标系综合应用，由点确定的坐标可以确定该图的直观图如
下：
从右到左投影到 xoz 平面的正投影为 A。
（8）设 6
3loga ， 10
5logb ， 14
7logc 则
（A）c＞b＞a
（B）b＞c＞a
（C）a＞c＞b
(D)a＞b＞c
答案：D
[ 解 析 ] 本 题 考 查 对 数 比 较 大 小 的 问 题 ， 将 题 中 的 条 件 进 行 变 形 可 知
2
3
2
3
3
3
6
3 log1logloglog a ，
2
5
2
5
5
5
10
5 log1logloglog b ， 2
7
2
7
7
7
14
7 log1logloglog c ，
又因为 2
7
2
5
2
3 logloglog ，所以有 cba 。
（9）已知 a＞0，x，y 满足约束条件
1
3
( 3)
x
x y
y a x
,若 z=2x+y 的最小值为 1，则 a=
(A)
4
1 (B)
2
1
(C)1 (D)2
答案：B
[解析]本题考查线性规划的应用，题目给出的可行域含有参数 a ，由于直线 )3( xay 过
定点 )0,3( 且 0a ，所以可行域如图所示。当直线 2x+y=z 过 x=1 与 y=a(x-3)的交点(1,-2a)
时 z 取得最小值 1，所以有 122 a ，
2
1a
（10）已知函数 cbxaxxxf 23)( ，下列结论中错误的是
（A） 0)( 00 xfRx 使
（B）函数 y=f(x)的图像是中心对称图形
（C）若 0x 是 )(xf 的极小值点，则 )(xf 在区间（-∞, 0x ）单调递减
（D）若 0x 是 )(xf 的极值点，则 )(' 0xf =0
答案：C
[解析]本题主要考查对三次函数图像的理解，该三次函数的大至图像如下图：
当 x 趋于负无穷大时，函数值为负，当 x 趋于正无穷大时，函数值为正，而该函数在 R 是连
续的，所以就有 0)( 00 xfRx 使 ，A 的说法正确；函数 cbxaxxxf 23)( 可以由
函数 3)( xxg 经过平移得到，而 )(xg 关于原点对称，故 )(xf 是关于中心对称的图形，B
的说法正确；由极值点的定义，D 说法正确；由三次函数图像可知，若 0x 是 )(xf 的极小值
点，则 )(xf 在区间（-∞, 0x ）不单调，故 C 说法错，选 C。
（11）设抛物线 )0(22 ppxy 的焦点为 F，点 M 在 C 上，|MF|=5 若以 MF 为直径的园过
点（0，3），则 C 的方程为
（A） xy 42 或 xy 82 （B） xy 22 或 xy 82
（C） xy 42 或 xy 162 （D） xy 22 或 xy 162
答案：C
[解析]本题是圆的方程与抛物线的综合性问题，设点 M（x,y）,圆心 B（a,b）如图，
22
5
2
'''5' pFFMMBBMFMM 得由 ，从而可以得到 B 的横坐标
2
5a ,所
以 可 以 设 圆 B 的 方 程 为
4
25)()2
5( 22 byx ， 将 点 （ 0 ， 2 ） 代 入 得
24
25)2()2
5( 22 bb ， 从 而 可 以 得 到 点 M 的 坐 标 为 )4,25( p ， 代 入
82,16102 22 pppppxy 或解得得 ，故答案选 C（注：由于图片不清楚，有人写
出该题的题设应该是 )0(32 ppxy ，无论是哪种不会影响方法的正确性）
（12）已知点 A（-1，0）；B（1，0）；C（0，1），直线 y=ax+b(a>0)将△ABC 分割为面积相
等的两部分，则 b 的取值范围是
（A）（0，1） (B)
2
21( ， )2
1 ( C)
2
21( ， ]3
1 (D)
3
1[ ,
)2
1
答案：B
[解析]设直线 y=ax+b 与直线 BC：x+y=1 的交点为 D(xD,yD),与 x 轴的交
点为 E )0,( a
b ,由题意可知，要平均分割三角形，则 b>0，所以 E 点只能处于 x
轴
负半轴，当 E 在 A 点与原点之间时，如图可得△DEB 的面积为
2
1 ，联立
直线 y=ax+b 与线 BC：x+y=1 得，yD=
a
ba
1
，所以有
2
1
1)1(2
1
2
1
a
ba
a
byBES DBDE
整理得
2
1,021
2
bb
ba 得 。
当 E 与 A )0,1( 点重合时，直线 y=ax+b 想平分△ABC 的面积，必须过
B、C 的中点 )2
1,2
1( ，如下图此时可确定直线 y=ax+b 的方程为
3
1
3
1 xy ，
此时
3
1b 。
当 E 点处于 A 点左侧时，如图
此时若直线 y=ax+b 想平分△ABC 的面积，则 10 a ， 10 b ，且三角形 CDF 面积为
2
1 ，
联立直线 y=ax+b 与线 BC：x+y=1 得
a
bxD
1
1 ，联立直线 y=ax+b 与线 BC：x+y=1 得
a
bxF
1
1 ，所以有
2
1
1
2)1(2
1))(1(2
1
2
2
abxxbS FDCDF 0)1(21 22 ba ，解
得
2
212
21 b
综上所述
2
1
2
21 b ，故答案选 B
二、填空题
（13）已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 CD 的中点，则 AE BD
=_______.
答案：2
[解析]如图建立平面直角坐标系
从而有 )2,2(),2,1(
BDAE ，所以 242
BDAE
（14）从 n 个正整数 1，2，…，n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于 5 的概
率为 ，则 n=________.
答案：8
[解析]本题考查古典概率的计算，由题可知所有基本事件总数为
2
)1(2 nnCn ，选出来的
正整数要求和为 5，则只能是 1+4＝5 和 2+3＝5 两种情况，所以有 8,14
12
2 nCn
解得 。
（15）设θ为第二象限角，若 tan )4( =
2
1 ，则 sinθ+cosθ=_________.
答案：
5
10
[ 解 析 ] 本 题 考 查 同 角 三 角 函 数 基 本 关 系 与 三 角 形 恒 等 变 换 的 问 题 ， 由
2
1
tan1
tan1)4tan(
得
3
1tan ， 又 因 为 为 第 二 象 限 角 ， 利 用
1cossin,cos
sintan 22
可求得
10
103cos,10
10sin
所以有
5
10cossin
（16）等差数列 na 的前 n 项和为 Sn ，已知 25,0 1510 SS ，则 nnS 的最小值为________.
答案：
2
49
[ 解 析 ] 本 题 考 查 等 差 数 列 与 导 数 的 综 合 问 题 ， 由
5213,09225,0 111510 dadaSS 得 ，联立后就可以解得
2
3,3
1
1 ad ，则
6
102 nnSn
令
6
10)(
23 nnnSnf n
，求导后可得 )203(6)(' nnnf ，因为 0n ，
故当
3
20n 时 )(nf 单调递减，当
3
20n 时， )(nf 单调递增，所以当
3
20n 时取得最小
值，又因为 n 为整数，所以当 n=6 或 n=7 时取最小， 24)6( f ，
2
49)7( f ，故最小
值为
2
49
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分 12 分）
△ABC 在内角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c，已知 a=bcosC+csinB。
（Ⅰ）求 B；
（Ⅱ）若 b=2，求△ABC 面积的最大值。
解析：本题考查正、余弦定理的应用，解题过程如下：
(1)因为 a=bcosC+csinB
所以 sinA=sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB
sinBcosC+cosBsinC= sinBcosC+sinCsinB
因为 sinC>0,所以有
cosB=sinB
从而有
B=45 º
(2)由余弦定理可知：
acac
accab
22
45cos2222
所以有
)22(2 ac ，当且仅当 ca 取等号
122
2)22(22
1sin2
1 BacS
故面△ABC 面积的最大值为 12 。
如图，直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， D ， E 分别是 AB ， 1BB 的中
点， 1
2
2AA AC CB AB 。
（Ⅰ）证明： 1 / /BC 平面 1 1ACD ；
（Ⅱ）求二面角 1D AC E 的正弦值。
证明：（1）连接 AC1 交 A1C 于点 F，则 F 平分 AC1
又因为 D 为 AB 的中点，所以有
FD//BC1
FD 面 A1CD
BC1 面 A1CD
所以 BC1//平面 A1CD
二、因为 AC=CB= /2AB，从而有
AC2+CB2=AB2
所以 AC CB
如图建立空间直角坐标系，设 AC＝1
则各点坐标为 C（0，0，0）
A1（1，0，1），D（1/2,1/2，0）,B（0，1，0）
E（0，1，1/2）
则
)2
1,1,0(
)0,2
1,2
1(
)1,0,1(1
CE
CD
CA
设平面 A1CD 和平面 A1CE 的法向量分别为
),,(),,( 22221111 zyxnzyxn 和 则
0
0
1
11
nCD
nCA
0
0
2
2
nCE
nCD
解得： )2,1,2(),1,1,1( 21 nn ，
3
6,sin3
3,cos 21
21
21
21
nnnn
nnnn
则二面角 D-A1C-E 的正弦值为
3
6 。
（19）（本小题满分 12 分）
经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润 500元，未
售出的产品，每1 t 亏损300 元。根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直
方图，如右图所示。经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品。以 X （单位：t ，
100 150X ）表示市场需求量，T （单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的
利润。
（Ⅰ）将T 表示为 X 的函数；
（Ⅱ）根据直方图估计利润T 不少于57000 元的概率；
（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区
间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若 [100,110)x ，则取 105X ，且
105X 的概率等于需求量落入[100,110) 的T 的数学期望。
解析：（1）当100 130X 时， 500 300 (130 ) 800 39000T X X X
当130 150X 时， 65000T
所以 T 与 X 的函数关系式为 800 39000(100 130)
65000(130 150)
X XT X
（2）当800 39000 57000X 时，即 120X 时，概率 P=0.7
（3）X 可能的取值为：
X 105 115 125 135 145
P 0.1 0.2 0.3 0.25 0.15
T 45000 53000 61000 65000 65000
所 以
5940015.06500025.0650003.0610002.0530001.045000 ET ( 元
)
（20）(本小题满分 12 分)
平面直角坐标系 xOy 中，过椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yM a ba b
右焦点的直线
3 0x y 交 M 于 ,A B 两点， P 为 AB 的中点，且OP 的斜率为 1
2
。
（Ⅰ）求 M 的方程；
（Ⅱ） ,C D 为 M 上的两点，若四边形 ACBD 的对角线CD AB ，求四边形的最大值。
解析：（1）设 1 1 2 2 0 0( , ), ( , ), ( , ),A x y B x y P x y 将 A、B 代入得到
2 2
1 1
2 2
2 2
2 2
2 2
1(1)
1(2)
x y
a b
x y
a b
，则（1）-（2）得到
2
02 1
2
1 2 0
xy y b
x x a y
，
由直线 AB： 3 0x y 的斜率 k=-1
所以
2
0
2
0
1xb
a y
，OP 的斜率为 0
0
1
2
x
y
，所以 2 22a b
由 2 2 2a b c 得到 2 26, 3a b
所以 M 得标准方程为
2 2
16 3
x y
（1） 若四边形 ACBD 的对角线CD AB ，由面积公式
ABCDS
2
1
可知，
当 CD 最长时四边形 ACBD 面积最大，由直线 AB： 3 0x y 的斜率 k=-1，设 CD 直线
方程为 mxy ，与椭圆方程
2 2
16 3
x y
联立得：
06243 22 mmxx ，
3
62,3
4 2
2121
mxxmxx
则
9
87224)(1
2
21
2
21
2 mxxxxkCD CD
，当 m=0 时 CD 最大
值为 4，
联立直线 AB： 3 0x y 与椭圆方程
2 2
16 3
x y
得 0343 2 xx
同理利用弦长公式 3
644)(1 21
2
21
2 xxxxkAB AB
3
68
2
1
maxmax ABCDS ACBD 。
（21）（本小题满分 12 分）
已知函数 ( ) ln( )xf x e x m 。
（Ⅰ）设 0x 是 ( )f x 的极值点，求 m ，并讨论 ( )f x 的单调性；
（Ⅱ）当 2m 时，证明 ( ) 0f x 。
A.
mx
1-exf x
X=0 是极值点
00f
即： 1m0m
1-e0
1x
1-e1x
1x
1-exf
x
x
（x>-1）
当
)(,0)(),,0(
)(,0)(,0,1-x
xfxfx
xfxf，
X=0 处取的极小值
B. 0)( xf 恒成立，即当 m≤2 时， 0)ln( mxex 恒成立。
令： xemxmg )ln()(
即 g（m）>0 在 2,(m 上恒成立
易知，g（m）单调递减 即 g（2）>0
即： 0)2ln( xex 恒成立
令
2
1)2(
2
1)(
)2ln()(
x
xe
xexh
xexh
x
x
x
易知 1)2()( xex x 单调递增，设其零点为 x0，且 x0>—2
递增在上递减在上 ),(,),2()( 00 xxxh
且 0
0
12
01)2(
0
0
x
x
ex
xe
01ln)2ln()()( 000
0
0
00 xeeexexhxh x
x
xx
即 0)( xf 恒成立
2013 年高考理科数学（大纲卷）
（1）设集合 1,2,3 , 4,5 , | , , ,A B M x x a b a A b B 则 M中元素的个数为
（ ）
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
（2） 3
1+ 3i （A） 8 （B）8 （C） 8i （D）8i
（3）已知向量 1,1 , 2,2 , , =m n m n m n 若 则 ( )
（A） 4 （B） -3 （C） 2 （D） -1
（4）已知函数 -1,0 2 1f x f x 的定义域为 ，则函数 的定义域为( )
（A） 1,1 （B） 11, 2
（C） -1,0 （D） 1 ,12
（5）函数 1=log 1 0f x xx
的反函数 1 =f x ( )
（A） 1 02 1x x
（B） 1 02 1x x
（C） 2 1x x R （D） 2 1 0x x
（6）已知数列 na 满足 1 2
43 0, , 103n n na a a a 则 的前 项和等于 ( )
（A） -10-6 1-3 （B） -101 1-39
（C） -103 1-3 （D） -103 1+3
（7） 3 4 2 21 1+x y x y 的展开式中 的系数是 ( )
（A）56 （B）84 （C）112 （D）168
（8）椭圆
2 2
1 2 2: 1 , ,4 6
x yC A A P C PA 的左、右顶点分别为 点 在 上且直线 斜率的取值
范围是 12, 1 , PA 那么直线 斜率的取值范围是 ( )
（A） 1 3
2 4
， （B） 3 3
8 4
， （C） 1 12
， （D） 3 14
，
（9）若函数 2 1 1= ,2f x x ax ax
在 是增函数，则 的取值范围是 ( )
（A） -1，0 （B） - 1， （C） 0，3 （D ） 3 ，+
（10）已知正四棱锥 1 1 1 1 1 12 ,ABCD A B C D AA AB CD BDC 中， 则 与平面 所成角的正弦
值等于( ) （A） 2
3
（B） 3
3
（C） 2
3
（D） 1
3
（11）已知抛物线 2: 8 2,2 , CC y x M k C 与点 过 的焦点，且斜率为 的直线与 交于
, 0,A B MA MB k 两点,若 则 ( ) （A） 1
2
（B） 2
2
（C） 2 （D） 2
（12）已知函数 =cos sin 2 ,f x x x 下列结论中正确的是 ( )
（A） ,0y f x 的图像关于 中心对称 （B） 2y f x x 的图像关于 对称
（C） 3
2f x 的最大值为 （D） f x 既是奇函数，又是周期函数
（13）已知 1sin , cot3a a a 是第三象限角， 则 .
（14） 6 个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种.（用数字作
答）.
（15）记不等式组
0,
3 4,
3 4,
x
x y
x y
所表示的平面区域为 .D 若直线 ( 1)y a x 与 D 有公共点，
则 a 的取值范围是 .
（16）已知圆 O 和圆 K 是球 O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球 O 的半径， 3
2OK ,且
圆O 与圆 K 所在的平面所成角为 060 , 则球O 的表面积等于 .
17．等差数列 na 的前 n 项和为 2
3 2 1 2 4. = , , ,nS S a S S S已知 且 成等比数列，求 na 的通项
式.
18．设 ABC 的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c , ( )( ) .a b c a b c ac
（I）求 B ;（II）若 3 1sin sin 4A C ，求 C.
19．如图，四棱锥 90 2 ,P ABCD ABC BAD BC AD PAB PAD 中， ， 与
都是等边三角形.（I）证明： ;PB CD
（II）求二面角 .A PD C 的大小
20．甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，
负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为 1 ,2
各局比赛的结果都相互独立，
第1局甲当裁判.
（I）求第 4 局甲当裁判的概率；（II） X 表示前 4 局中乙当裁判的次数，求 X 的数学期
望.
21．已知双曲线
2 2
1 22 2: 1 0, 0x yC a b F Fa b
的左、右焦点分别为 ， ，离心率为3，直
线 2 6.y C 与 的两个交点间的距离为 （I）求 , ;a b ；（II）设过 2F 的直线l 与 C 的左
右两支分别相交于 ,A B 两点，且 1 1 ,AF BF 证明： 2 2 .AF AB BF、 、 成等比数列
22．已知函数 1=ln 1 .1
x xf x x x
（I）若 0 , 0,x f x 时 求 的最小值;；
（II）设数列 2
1 1 1 11 , ln 2.2 3 4n n n na a a an n
的通项 证明：
参考答案（理科）
1－5 BABBA 6－10 CDBDA 11－12 DC 13. 2 2 14. 480 15. 1 ,42
16. 16
17．解：设 na 的公差为 d . 由 2
3 2S a 得 2
2 23a a ，故 2 0a 或 2 3a .
由 1 2 4, ,S S S 成等比数列得 2
2 1 4S S S . 又 1 2S a d ， 2 22S a d ， 4 24 2S a d ，
故 2
2 2 2(2 ) ( )(4 2 )a d a d a d .若 2 0a ，则 2 22d d ，所以 0d ，此时 0nS ，
不合题意；若 2 3a ，则 2(6 ) (3 )(12 2 )d d d ，解得 0d 或 2d . 因此 na 的通
项公式为 3na 或 2 1na n .
18. 解：（1）因为 ( )( )a b c a b c ac ，所以 2 2 2a c b ac ，由余弦定理得
2 2 2 1cos 2 2
a c bB ac
，因此 0120B .（2）由（1）知 060A C ，所以
cos( ) cos cos sin sinA C A C A C cos cos sin sin 2sin sinA C A C A C
cos( ) 2sin sinA C A C 1 3 1 322 4 2
.
故 030A C 或 030A C ，因此 015C 或 045C .
19.解：(1) 取 BC 的中点 E ，连接 DE ，则 ABED 为正方形.
过 P 作 PO 平面 ABCD ，垂足为O .连结 , , ,OA OB OD OE .
由 PAB 和 PAD 都是等边三角形知 PA PB PD ，所以OA OB OD ，
即O 点为正方形 ABCD 对角线的交点，故OE BD ，从而 PB OE .
因为O 是 BC 的中点， E 是 BC 的中点，所以 / /OE CD ，因此 PB CD .
（2）解法一：由（1）知CD PB ,CD PO , PB PO P ,故CD 平面 PBD .
又 PD 平面 PBD ，所以CD PD .
取 PD 的中点 F ， PC 的中点G ,连 FG ，则 / /FG CD ， FG PD .
连接 AF ，由 APD 为等边三角形可得 AF PD .所以 AFG 为二面角 A PD C 的平
面角. 连结 ,AG EG ，则 / /EG PB .又 PB AE ，所以 EG AE .
设 2AB ，则 12 2, 12AE EG PB ，故 2 2 3AG AE EG .
在 AFG 中, 1 22FG CD , 3, 3AF AG ,
所以
2 2 2 6cos 2 3
FG AF AGAFG FG AF
.
因此二面角 A PD C 在大小为 6arccos 3
.
解法二：由（1）知， , ,OE OB OP 两两垂直.以O 为坐标原点，OE 的方向为 x 轴的正方向
建立如图所示的空间直角坐标系O xyz .设 2AB , 则 ( 2,0,0)A , (0, 2,0)D ,
(2 2, 2,0)C , (0,0, 2)P , (2 2, 2, 2)PC , (0, 2, 2)PD ,
( 2,0, 2)AP , ( 2, 2,0)AD . 设平面 PCD 的法向量 1 ( , , )n x y z ，则
1 ( , , ) (2 2, 2, 2) 0n PC x y z , 1 ( , , ) (0, 2, 2) 0n PD x y z ，
可得 2 0x y z ， 0y z .取 1y ，得 0, 1x z ，故 1 (0, 1,1)n .
设平面 PAD 的法向量 2 ( , , )n m p q ，则
2 ( , , ) ( 2,0, 2) 0n AP m p q ， 2 ( , , ) ( 2, 2,0) 0n AD m p q ，
可得 0, 0m q m p .取 1m ，得 1p ， 1q ，故 2 (1,1, 1)n .
于是 1 2
1 2
1 2
6cos , 3
n nn n
n n
.由于 1 2,n n
等于二面角 A PD C 的平面角，所以二
面角 A PD C 在大小为 6arccos 3
.
20. 解：（1）记 1A 表示事件“第 2 局结果为甲胜”， 2A 表示事件“第 3 局甲参加比赛时，
结果为甲负”, A 表示事件“第 4 局甲当裁判”.
所以 1 2A A A ， 1 2
1( ) ( ) ( ) 4P A P A P A .
(2) X 的可能取值为 0,1,2. 记 3A 表示事件“第 3 局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，
1B 表示事件“第 1 局结果为乙胜丙”，
2B 表示事件“第 2 局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，
3B 表示事件“第 3 局乙参加比赛时，结果为乙负”. 则
1 2 3 1 2 3
1( 0) ( ) ( ) ( ) ( ) 8P X P B B A P B P B P A ，
1 3 1 3
1( 2) ( ) ( ) ( ) 4P X P B B P B P B ，
1 1 5( 1) 1 ( 0) ( 2) 1 8 4 8P X P X P X .
90 ( 0) 1 ( 1) 2 ( 2) 8EX P X P X P X .
21. 解：由题设知 3c
a
，即
2 2
2 9a b
a
，故 2 28b a . 所以C 的方程为 2 2 28 8x y a . 将
2y 代入上式，求得 2 1
2x a .由题设知 2 12 62a ，解得 2 1a ，所以 1a ，
2 2b .
（2）由（1）知， 1 2( 3,0), (3,0)F F ，C 的方程为 2 28 8x y （*）
由题意可设l 的方程为 ( 3)y k x ， 2 2k ，代入（*）并化简得
2 2 2 2( 8) 6 9 8 0k x k x k .
设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，则 1 21, 1x x ，
2
1 2 2
6
8
kx x k
，
2
1 2 2
9 8
8
kx x k
.
于是
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1( 3) ( 3) 8 8 (3 1)AF x y x x x ,
2 2 2 2
1 2 2 2 2 2( 3) ( 3) 8 8 3 1BF x y x x x .
由 1 1AF BF 得 1 2(3 1) 3 1x x ，即 1 2
2
3x x ，故
2
2
2
6 2
8 3
k
k
，解得
2 4
5k ，从而 1 2
19
9x x .
由于 2 2 2 2
2 1 1 1 1 1( 3) ( 3) 8 8 1 3AF x y x x x ，
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2( 3) ( 3) 8 8 3 1BF x y x x x .
故 2 2 1 22 3( ) 4AB AF BF x x ， 2 2 1 2 1 23( ) 9 1 16AF BF x x x x .
因而 2
2 2AF BF AB ，所以 2 2, ,AF AB BF 成等比数列.
22.解：（1）由已知 (0) 0f ，
2
' '
2
(1 2 )( ) , (0) 0(1 )
x xf x fx
.
若 1
2
，则当 0 2(1 2 )x 时， ' ( ) 0f x ，所以 ( ) 0f x .
若 1
2
，则当 0x 时， ' ( ) 0f x ，所以当 0x 时， ( ) 0f x . 综上， 的最小
值是 1
2
.
（2）令 1
2
.由（1）知，当 0x 时， ( ) 0f x ，即 (2 ) ln(1 )2 2
x x xx
，取 1x k
，则
2 1 1ln2 ( 1)
k k
k k k
，于是
2 1
2
1 1 1( )4 2 2( 1)
n
n n
k x
a a n k k
2 1 2 1
2 ( 1)
n
k x
k
k k
2 1 1ln
n
k x
k
k
ln 2 ln ln 2n n .
所以 2
1 ln 24n na a n
.
2013 北京高考理科数学试题
第一部分 （选择题 共 40 分）
一、选择题共 8 小题。每小题 5 分，共 40 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的一项。
1.已知集合 A={－1，0，1}，B={x|－1≤x＜1}，则 A∩B= ( )
A.{0} B.{－1，0}
C.{0，1} D.{－1,0,1}
2.在复平面内，复数(2－i)2 对应的点位于( )
A.第一象限 B. 第二象限
C.第三象限 D. 第四象限
3.“φ=π”是“曲线 y=sin(2x＋φ)过坐标原点的”
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为
A.1 B. 2
3
C. 13
21
D. 610
987
5.函数 f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象与 y=ex 关于 y 轴对称，则 f(x)=
A. 1ex B. 1ex C. 1e x D. 1e x
6.若双曲线
2 2
2 2 1x y
a b
的离心率为 3 ，则其渐近线方程为
A.y=±2x B.y= 2x C. 1
2y x D. 2
2y x
7.直线 l 过抛物线 C:x2=4y 的焦点且与 y 轴垂直，则 l 与 C 所围成的图形的面积等于
A. 4
3
B.2 C. 8
3
D.16 2
3
8.设关于 x,y 的不等式组
2 1 0,
0,
0
x y
x m
y m
表示的平面区域内存在点 P(x0，y0)满足 x0－2y0=2，
求得 m 的取值范围是
A. 4, 3
B. 1, 3
C. 2, 3
D. 5, 3
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共 6 题，每小题 5 分，共 30 分.
9.在极坐标系中，点(2，
6
)到直线ρsinθ=2 的距离等于
10.若等比数列{an}满足 a2＋a4=20，a3＋a5=40，则公比 q= ；前 n 项和 Sn=
.
11.如图，AB 为圆 O 的直径，PA 为圆 O 的切线，PB 与圆 O 相交于 D，PA=3， 9
16
PD
DB
，则
PD= ，AB= .
12.将序号分别为 1，2，3，4，5 的 5 张参观券全部分给 4 人，每人至少一张，如果分给同
一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是 .
13.向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示，若 c=λa＋μb(λ，μ∈R)
，则
=
14.如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 为 BC 的中点，点 P 在线段 D1E 上，点 P
到直线 CC1 的距离的最小值为 .
三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演 2013 年普通高等学校招生统一
考试算步骤或证明过程
15. (本小题共 13 分)
在△ABC 中，a=3，b=2 6 ，∠B=2∠A.
(I)求 cosA 的值，
(II)求 c 的值
16.( 本小题共 13 分)
下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于 100 表示空气质量
优良，空气质量指数大于 200 表示空气重度污染，某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的
某一天到达该市，并停留 2 天
（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率
（Ⅱ）设 X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求 X 的分布列与数学期望。
（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）
17. (本小题共 14 分)
如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AA1C1C 是边长为 4 的正方形.平面 ABC⊥平面 AA1C1C，AB=3，
BC=5.
（Ⅰ）求证：AA1⊥平面 ABC；
（Ⅱ）求二面角 A1-BC1-B1 的余弦值；
（Ⅲ）证明：在线段 BC1 存在点 D，使得 AD⊥A1B，并求
1
BD
BC
的值.
18. (本小题共 13 分)
设 l 为曲线 C： ln xy x
在点(1，0)处的切线.
(I)求 l 的方程；
(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线 C 在直线 l 的下方
19. (本小题共 14 分)
已知 A、B、C 是椭圆 W：
2
2 14
x y 上的三个点，O 是坐标原点.
(I)当点 B 是 W 的右顶点，且四边形 OABC 为菱形时，求此菱形的面积.
(II)当点 B 不是 W 的顶点时，判断四边形 OABC 是否可能为菱形，并说明理由.
20. (本小题共 13 分)
已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项 1na ，
2na …的最小值记为 Bn，dn=An－Bn
(I)若{an}为 2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为 4 的数列(即对任意 n∈N*， 4n na a )，
写出 d1，d2，d3，d4 的值；
(II)设 d 为非负整数，证明：dn=－d(n=1,2,3…)的充分必要条件为{an}为公差为 d 的等差数
列；
(III)证明：若 a1=2，dn=1(n=1,2,3…)，则{an}的项只能是 1 或 2，且有无穷多项为 1
要使可行域存在，必有 m<－2m+1，要求可行域内
包含直线 1 12y x 上的点，只要边界点(－m，1－2m)在直线 1 12y x 上方，且(-m，m)
在直线 1 12y x 下方，解不等式组
1 2
11 2 12
1 12
m m
m m
m m
得 m＜ 2
3
2013 年山东高考数学试题
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
（1）复数 z 满足(z-3)(2-i)=5(i 为虚数单位)，则 z 的共轭复数为( D )
A. 2+i B.2-i C. 5+i D.5-i
（2）设集合 A={0,1,2},则集合 B={x-y |x∈A, y∈A }中元素的个数是( C )
A. 1 B. 3 C. 5 D.9
（3）已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时, f(x) =x2+ 1
x
,则 f(-1)= ( A )
（A）-2 （B）0 （C）1 （D）2
（4）已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱与底面垂直,体积为 9
4
,底面积是边长为 3 的正
三角形，若 P 为底面 A1B1C1 的中心,则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为 ( B )
（A） 5
12
（B）
3
（C）
4
（D）
6
（5）将函数 y=sin（2x + ）的图像沿 x 轴向左平移
8
个单位后，得到一个偶函数的
图像，则 的一个可能取值为 B
（A） 3
4
（B）
4
（C）0 （D）
4
（6）在平面直角坐标系 xOy 中，M 为不等式组：
2x y 2 0
x 2y 1 0
3x y 8 0
，所表示的区域上一
动点，则直线 OM 斜率的最小值为 C
（A）2 （B）1 （C） 1
3
（D） 1
2
（7）给定两个命题 p、q，若﹁p 是 q 的必要而不充分条件，则 p 是﹁q 的 B
（A）充分而不必条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要
条件
（8）函数 y=xcosx + sinx 的图象大致为 D
（ A ） （ B ） (C)
(D)
（9）过点（3，1）作圆（x-1）2+y2=1 的两条切线，切点分别为 A，B，则直线 AB 的方
程为 A
（A）2x+y-3=0 （B）2x-y-3=0 （C）4x-y-3=0 （D）
4x+y-3=0
（10）用 0，1，…，9 十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为 B
（A）243 （B）252 （C）261 （D）279
（11）抛物线 C1：y= 1
2p
x2(p＞0)的焦点与双曲线 C2：
2
2 13
x y 的右焦点的连
线交 C1 于第一象限的点 M.若 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线，则 p= D
（12）设正实数 x,y,z 满足 x2-3xy+4y2-z=0.则当 xy
z
取得最大值时， 2 1 2
x y z
的最大值
为 B （A）0 （B）1 （C）
9
4
（D）3
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分
（13）执行右面的程序框图，若输入的 的值为 0.25，则输入的 n 的值为 3
(14)在区间[-3,3]上随机取一个数 x，使得 |x+1 |- |x-2 |≥1 成立的概
率为 1
3
（15）已知向量 AB 与 AC 的夹角为120 ，且| | 3,| | 2,AB AC 若
,AP AB AC 且 AP BC ,则实数 的值为 7
12
（16）定义“正对数”： 0, 0 1ln ln , 1
xx x x
，现有四个命题：
①若 0, 0a b ，则 ln ( ) lnba b a
②若 0, 0a b ，则 ln ( ) ln lnab a b
③若 0, 0a b ，则 ln ( ) ln lna a bb
④若 0, 0a b ，则 ln ( ) ln ln ln 2a b a b
其中的真命题有： ①③④ （写出所有真命题的编号）
三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.
（17）设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a+c=6，b=2，cosB= 7
9
.
（Ⅰ）求 a，c 的值；
（Ⅱ）求 sin（A-B）的值.
解答：（1）由 cosB= 7
9
与余弦定理得， 2 2 144 9a c ac ，又 a+c=6，解得 3a c
（2）又 a=3,b=2， 4 2sin 9B 与正弦定理可得， 2 2sin 3A , 1cos 3A ，
所以 sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB= 10 227
（18）（本小题满分 12 分）
如图所示，在三棱锥 P-ABQ 中，PB⊥平面 ABQ，BA=BP=BQ，D，
C，E，F 分别是 AQ，BQ，AP，BP 的中点，AQ=2BD，PD 与 EQ 交
于点 G，PC 与 FQ 交于点 H，连接 GH。
（Ⅰ）求证：AB//GH；
（Ⅱ）求二面角 D-GH-E 的余弦值 .
解答：（1）因为 C、D 为中点，所以 CD//AB
同理：EF//AB，所以 EF//CD，EF 平面 EFQ，
所以 CD//平面 EFQ，又 CD 平面 PCD,所以
CD//GH，又 AB//CD，所以 AB//GH.
(2)由 AQ=2BD，D 为 AQ 的中点可得，△ABQ 为直角三角形，以 B 为坐标原点，以 BA、BC、BP
为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系，设 AB=BP=BQ=2，可得平面 GCD 的一个法向量为
1 (0,2,1)n ，平面 EFG 的一个法向量为 2 (0,1,2)n ，可得 4 4cos 55 5
,所以二面
角 D-GH-E 的余弦值为 4
5
（19）本小题满分 12 分
甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜 3 局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五
局甲队获胜的概率是 1
2
外，其余每局比赛甲队获胜的概率是 2
3
.假设每局比赛结果互相独
立.
（1）分别求甲队以 3：0，3：1，3：2 胜利的概率
（2）若比赛结果为 3：0 或 3：1，则胜利方得 3 分，对方得 0 分；若比赛结果为
3：2，则胜利方得 2 分、对方得 1 分，求乙队得分 x 的分布列及数学期望.
解答：（1） 3 3
1 3
2 8( )3 27p C ， 2 2
2 3
2 1 2 8( )3 3 3 27p C ， 2 2 2
3 4
2 1 1 4( ) ( )3 3 2 27p C
（2）由题意可知 X 的可能取值为：3,2,1,0
相应的概率依次为： 1 4 4 16, , ,9 27 27 27
，所以 EX= 7
9
（20）（本小题满分 12 分）
设等差数列｛an｝的前 n 项和为 Sn，且 S4=4S2，a2n=2an+1
（1） 求数列｛an｝的通项公式；
（2） 设数列｛bn｝的前 n 项和 Tn，且 Tn+ 1
2
n
n
a = λ（λ为常数），令 cn=b2n，（n∈N•）.
求数列｛cn｝的前 n 项和 Rn.
解答：（1）由 S4=4S2，a2n=2an+1，｛an｝为等差数列，可得， 1 1, 2a d
所以 2 1na n
（2）由 Tn+ 1
2
n
n
a = λ可得， 1 1b ，Tn-1+ 2
2n
n = λ两式相减可得，当 2n 时，
1
2
2n n
nb
，所以当 0 时，cn=b2n= 1
1
4n
n
，错位相减法可得，Rn= 1
4 3 1
9 9 4n
n
当 0 时，cn=b2n=
1
1 1
1 24n
n
n n
，可得 Rn= 1
5 3 1
9 9 4n
n
（21）（本小题满分 13 分）
设函数 2( ) ( 2.71828x
xf x c ee
是自然对数的底数， )c R .
（1）求 ( )f x 的单调区间，最大值；
（2）讨论关于 x 的方程| ln | ( )x f x 根的个数.
解答：（1） '
2
1 2( ) x
xf x e
，令 ' ( ) 0f x 得， 1
2x ，
当 '1( , ), ( ) 0,2x f x 函数单调递增；
'1( ), ( ) 0,2x f x ， 函数单调递减；所以当 1
2x 时，函数取得最的最大值
max
1( ) 2f x ce
（2）由（1）知，f(x)先增后减，即从负无穷增大到 1
2 ce
，然后递减到 c，而函数|lnx|
是（0,1）时由正无穷递减到 0，然后又逐渐增大。
故令 f(1)=0 得， 2
1c e
，
所以当 2
1c e
时，方程有两个根；
当 2
1c e
时，方程有一两个根；
当 2
1c e
时，方程有无两个根.
（22）（本小题满分 13 分）
椭圆 C：
2 2
2 2 1x y
a b
（a＞b＞0）的左、右焦点分别是 F1、F2,离心率为 3
2
，过 F1 且
垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 l.
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点，连接 PF1、PF2,设∠F1PF2 的角平分线
PM 交 C 的长轴于点 M（m，0），求 m 的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点 p 作斜率为 k 的直线 l，使得 l 与椭圆 C 有且只有一个
公共点， 设直线 PF1,PF2 的斜率分别为 k1，k2，若 k≠0，试证明
1 2
1 1
kk kk
为定值，并求出
这个定值.
解答：（1）由已知得， 3
2
c
a
，
2
2 2 22 1,b a b ca
，解得 2 24, 1a b
所以椭圆方程为：
2
2 14
x y
（2）由题意可知： 1
1| || |
PF PM
PF PM
= 2
2| || |
PF PM
PF PM
, 1
1| |
PF PM
PF
= 2
2| |
PF PM
PF
,设 0 0( , )P x y 其中
2
0 4x ，将向量坐标代入并化简得：m（ 2 3
0 0 04 16) 3 12x x x ，因为 2
0 4x ，
所以 0
3
4m x ，而 0 ( 2,2)x ，所以 3 3( , )2 2m
（3）由题意可知，l 为椭圆的在 p 点处的切线，由导数法可求得，切线方程为：
0
0 14
x x y y ，所以 0
04
xk y
，而 0 0
1 2,
3 3
y yk k
x x
，代入
1 2
1 1
kk kk
中得：
0 0
1 2 0 0
3 31 1 4( ) 8x x
kk kk x x
为定值.
2013 年陕西高考试理科数学
注意事项:
1. 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题，第二部分为非选择题.。
2. 考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应
的试卷类型信息.。
3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交
回。
第一部分(共 50 分)
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共 10 小题，每
小题 5 分，共 50 分）
1. 设全集为 R, 函数 2( ) 1f x x 的定义域为 M, 则C MR 为
(A) [－1,1] (B) (－1,1)
(C) , 1] [1, )( (D) , 1) (1, )(
【答案】D
【解析】 ( )f x 的定义域为 M=[-1,1],故 CRM=( , 1) (1, ) ,选 D
2. 根据下列算法语句, 当输入 x 为 60 时,
输出 y 的值为
(A) 25
(B) 30
(C) 31
(D) 61
【答案】C
【解析】故选择 C
3. 设 a, b 为向量, 则“| | | || |a ab b· ”是“a//b”的
(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件
(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
4. 某单位有 840 名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取 42 人做问卷调查, 将 840 人按 1,
2, …, 840 随机编号, 则抽取的 42 人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为
(A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 14
【答案】B
【解析】由题设可知区间[481，720]长度为 240，落在区间内的人数为 12 人。
5. 如图, 在矩形区域 ABCD 的 A, C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是
输入 x
If x≤50 Then
y=0.5 * x
Else
y=25+0.6*(x-50)
End If
输出 y
扇形区域 ADE 和扇形区域 CBF(该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形
区域内随机地选一地点, 则该地点无．信号的概率是
(A)1 4
(B) 12
(C) 2 2
(D)
4
【答案】A
【解析】由题设可知矩形 ABCD 面积为 2，曲边形 DEBF 的面积为 2 2
故所求概率为
2 2 12 4
，选 A.
6. 设 z1, z2 是复数, 则下列命题中的假命题是
(A) 若 1 2| | 0zz , 则 1 2z z (B) 若 1 2z z , 则 1 2z z
(C) 若 1 2| |z z , 则 21 1 2· ·z zz z (D) 若 1 2| | ||z z , 则 21
2 2z z
【答案】D
【 解 析 】 设 1 2, ,z a bi z c di 若 1 2| | 0z z ， 则 1 2| | ( ) ( )z z a c b d i ，
,a c b d ，所以 1 2z z ，故 A 项正确；若 1 2z z ，则 ,a c b d ，所以 1 2z z ，故
B 项正确；若 1 2| | | |z z ，则 2 2 2 2a b c d ，所以 1 1 2 2. .z z z z ，故 C 项正确；
7. 设△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 cos cos sinb C c B a A , 则△ABC
的形状为
(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定
【答案】B
【解析】因为 cos cos sinb C c B a A ，所以由正弦定理得 2sin cos sin cos sinB C C B A ，
所以 2sin( ) sinB C A ，所以 2sin sinA A ,所以 sin 1A ，所以△ABC 是直角三角形。
8. 设函数
61 ,
0
0
.
,( )
,
x xf x x
x x
, 则当 x>0 时, [ ( )]f f x 表达式的展开式中常数项为
(A) －20 (B) 20 (C) －15 (D) 15
【答案】A
【解析】 61[ ( )] ( )f f x x
x
，所以 3 3 3
4 6
1( ) ( ) 20T C x
x
9. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于 300m2 的内接矩形花园(阴影部
分), 则其边长 x(单位 m)的取值范围是
(A) [15,20] (B) [12,25]
(C) [10,30] (D) [20,30]
【答案】C
【解析】如图△ADE∽△ABC，设矩形的另一边长为 y，则
240
40
ADE
ABC
S y
S
，所以 y=40-x，
又 xy≥300，，所以 x(40-x)≥300
即 2 40 300 0x x ，解得 10≤x≤30
10. 设[x]表示不大于 x 的最大整数, 则对任意实数 x, y, 有
(A) [－x] ＝ －[x] (B) [2x] ＝ 2[x]
(C) [x＋y]≤[x]＋[y] (D) [x－y]≤[x]－[y]
【答案】D
【 解 析 】 取 x=25, 则 [-x]=[-2.5]=-3,-[x]=-[2.5]=-2, 所 以 A 项 错 误 ；
[2x]=[5]=[ 52 2
]=2[2.5]=4, 所 以 B 项 错 误 ； 再 取 y=28 ， 则
[x+y]=[5.3]=5,[x]+[y]=[2.5]+[2.8]=2+2=4，所以 C 项错误.
二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共
25 分）
11. 双曲线
2 2
116
x y
m
的离心率为 5
4
, 则 m 等于 .
【答案】9
【解析】由 a2=16，b2=m 得 c2=16+m，则 e=
4
5
4
16c m
a
，
∴m=9
【考点与方法】本题主要考察了双曲线的标准方程以及离心率，
属于容易题，解题的关键在于利用双曲线标准方程 c2=a2+b2 和离
心率的求解公式 e=
a
c
12. 某几何体的三视图如图所示, 则其体积为 .
【答案】
3
【解析】由三视图还原为实物图得半个圆锥，其体积为 V=
321·3
1
2
1 2 ）（ .
【考点与方法】本题主要考查了三视图还原为实物图的能力和圆锥的体积公式，属于容易题。
13. 若点(x, y)位于曲线 | 1|y x 与 y＝2 所围成的封闭区域, 则 2x－y 的最小值
为 .
【答案】－4
【解析】作出曲线 y= 1x 与 y=2 所表示的区域，令 2x－y=z，即 y=2x－z，作直线 y=2x，
在封闭区域内平行移动直线 y=2x，当经过点（－1，2）时，z 取到最小值，此时最小值为－
4.
【考点与方法】本题主要考察了线性规划的最值问题，考查画图和转化能力，属于中等题，
解题的关键在于画出曲线围成的封闭区域，并把求 2x－y 的最小值转化为求 y=2x－z 所表示
的直线截距的最大值，通过平移直线 y=2x 即可求解。
14. 观察下列等式:
21 1
2 21 2 3
2 2 21 2 63
2 2 2 21 2 43 10
…
照此规律, 第 n 个等式可为 .
【答案】12－22+32－42+…+（－1）n+1n2=（－1）n+1·
2
1nn ）（ （n∈ N ）
【解析】观察上式等号左边的规律发现，左边的项数一次加 1，故第 n 个等式左边有 n 项，
每项所含的底数的绝对值也增加 1，一次为 1,2,3…n，指数都是 2，符号成正负交替出现可
以用（－1）n+1 表示，等式的右边数的绝对值是左边项的底数的和，故等式的右边可以表示
为（－1）n·
2
1nn ）（ ，所以第 n 个式子可为 12－22+32－42+…+（－1）n+1n2=（－1）n+1·
2
1nn ）（
（n∈ N ）
【考点与方法】本题考查观察和归纳的推理能力，属于中等题。解题的关键在于：1.通过四
个已知等式的比较发现隐藏在等式中的规律；2.符号成正负交替出现可以用（－1）n+1 表示；
3.表达完整性，不要遗漏了 n∈ N
15. (考生请注意:请在下列三题中任选一题作答,
如果多做, 则按所做的第一题计分)
A. (不等式选做题) 已知 a, b, m, n 均为正数, 且
a＋b＝1, mn＝2, 则(am＋bn)(bm＋an)的最小值
为 .
【解析】由科尔不等式可得
（am+bn）（bm+an）≥（ bnbman am ）2mn（a+b）2=2
B. (几何证明选做题) 如图, 弦 AB 与 CD 相交于 O 内一点 E, 过 E 作 BC 的平行线与 AD 的
延长线相交于点 P. 已知 PD＝2DA＝2, 则 PE＝ .
【答案】 6
【解析】已知∠BCE=∠PED=∠BAP ∴ PDE∽ PEA
∴
PE
PD
PA
PE 而 PD=2DA=2 ∴PA=3
PE2=PA·PD=6 故 PE= 6
C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角 为参数, 则圆
2 2 0y xx 的参数方程为 .
【答案】x= 2cos4
1
2
1 ，y= 2sin4
1 ， 0 ≤ ＜
【解析】x2+y2-x=0，（x-
2
1 ）2+y2=
4
1 ，以（ 02
1，）为圆心，
4
1 为半径，且过原点的圆，它
的标准参数方程为 x= acos4
1
2
1 ，y= asin4
1 ，0 ≤a＜2 ，由已知，以过原点的直线倾斜
角 为参数，则 0 ≤ ＜ ，所以 0 ≤2 ＜2 ，所以所求圆的参数方程为 x= 2cos4
1
2
1 ，
y= 2sin4
1 ， 0 ≤ ＜
三、解答题: 解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共 6 小题，共 75 分）
16. (本小题满分 12 分)
已知向量 1(cos , ), ( 3sin ,cos2 ),2x x x x a b R , 设函数 ( ) ·f x a b .
(Ⅰ) 求 f (x)的最小正周期.
(Ⅱ) 求 f (x) 在 0, 2
上的最大值和最小值.
【解析】：
1( ) 3sin cos cos22
3 1sin 2 cos22 2
sin(2 )6
f x a b x x x
x x
x
（I） ( )f x 的最小正周期为 2
2T
（II）∵ [0, ]2x ，∴ 2 [ ,5 ]6 6 6x ，∴ 1sin(2 ) [ ,1]6 2x
故当 2 6 2x 即
3x 时， ( ) =1f x 整数
当 2 -6 6x 即 0x 时， 1( ) =- 2f x 整数
【命题意图】本题考查三角恒等式，三角函数的性质等基础知识，简单题。
17. (本小题满分 12 分)
设{ }na 是公比为 q 的等比数列.
(Ⅰ) 推导{ }na 的前 n 项和公式;
(Ⅱ) 设 q≠1, 证明数列{ 1}na 不是等比数列.
【解析】：（I）设等比数列{an}的公比为 q，其前 n 项和 Sn=a1+ a1q+…. a1qn-1
将（1）式两边分别乘以 q 得
qSn=a1q+ a1q2+…a1qn
当 q≠0 时
n
n
n
a qS 1 q
（1- ）或 1 n
n
a a qS 1 q
- ）
当 q=1 时， a1= a2=…. an 所以 Sn=na
（II）∵q≠1 假设数列{an+1}为等比数列，那么 2
2 1 3( 1) ( 1) ( 1)a a a
即 2 2
1 1 1 1( 1) ( 1) ( 1) 0a q a a q a 或 q=1，均与题设矛盾，故数列
{ 1}na 吧可能为等比数列。
18. (本小题满分 12 分)
如图, 四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形, O 为底面中心, A1O⊥平面 ABCD,
1 2AB AA .
(Ⅰ) 证明: A1C⊥平面 BB1D1D;
(Ⅱ) 求平面 OCB1 与平面 BB1D1D 的夹角 的大小.
【解析】：
如图建立空间直角坐标系
由 AB=AA1= 2 可知 O（0,0,0），A（1,0,0），B（0,1,0），B1（-1,1,1），C（-1,0,0）
A1（0,0,1）D1（-1，-1,1）
（I） A1c=（-1,0，-1）DB（0,2,0） BB1（-1,0,1）
1 1 10, 0AC DB AC BB 即
所以 A1c⊥平面ＢＢ１Ｄ１Ｄ
（ＩＩ）容易求得平面ＯＣＢ１ 的一个法向量 (0,1, 1)n ，平面 BB1D1D 的一个法向量为
(1,0,1)m 所求夹角余弦值为 1cos | | | | 2
m n
m n
所求夹角的大小为 60°
19. (本小题满分 12 分)
在一场娱乐晚会上, 有 5 位民间歌手(1 至 5 号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受
欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选3名选手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他
必选 1 号, 不选 2 号, 另在 3 至 5 号中随机选 2 名. 观众乙和丙对 5 位歌手的演唱没有偏爱,
因此在 1 至 5 号中随机选 3 名歌手.
(Ⅰ) 求观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率;
(Ⅱ) X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求 X 的分布列和数学期望.
【解析】（Ⅰ）由于观众甲必选 1，不选 2，则观众甲选中 3 号歌手的概率为
3
2
2
3
1
2
1
1
C
CC ,
观众乙未选中 3 号歌手的概率为
5
2
3
5
3
4
C
C ，甲乙选票彼此独立，故观众甲选中 3 号歌手且观
众乙未选中 3 号歌手的概率为
15
4
5
2
3
2 。
（Ⅱ） X 的所有可能取值为 0，1，2，3.由（Ⅰ）知，观众甲选中 3 号歌手的概率为
3
2
，观众乙选中 3 号歌手的概率为 1－
5
2 =
5
3 ，则观众丙选中 3 号歌手的概率也为 1－
5
2 =
5
3 ，
则 )0(XP （1－
3
2 ）（1－
5
3 ） 2 =
75
4
)1(XP 3
2 （1－
5
3 ） 2 +（1－
3
2 ） 1
2C
5
3 （1－
5
3 ）=
15
4
75
20
)2(XP 3
2 1
2C
5
3 （1－
5
3 ） +（1－
3
2 ） (
5
3 ) 2 =
25
11
75
33
)3(XP 3
2 (
5
3 ) 2 =
25
6
75
18
则 X 的分布列如下：
20. (本小题满分 13 分)
已知动圆过定点 A(4,0), 且在 y 轴上截得的弦 MN 的长为 8.
(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹 C 的方程;
(Ⅱ) 已知点 B(－1,0), 设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P, Q, 若 x
轴是 PBQ 的角平分线, 证明直线 l 过定点.
【解析】（Ⅰ）设动圆圆心C 的坐标为（ yx, ），则
（4－ x ） 2 +（0－ y ） 2 = 224 x ，整理得 xy 82 。
所以，所求动圆圆心的轨迹C 的方程为 xy 82
（Ⅱ）证明：设直线l 的方程为 bkxy ，联立 xy
bkxy
82
{
得 xbkbxxk 82 222
0)28( 222 bxkbxk （其中 ）0），设 ),( 11 bkxxP ， ),( 22 bkxxQ ，若 x 轴是
PBQ 的 角 平 分 线 ， 则
PBQB kk
11 2
2
1
1
x
bkx
x
bkx
)1)(1(
)1)(1()1)((
21
1221
xx
xkxxbkx
)1)(1(
2))((
21
2121
xx
bxxbkxkx
)1)(1(
)(
21
2 xxk
bkS 0，即 bk ，故直线 l 的方程为
)1( xky ，直线过定点（1，0）
21. (本小题满分 14 分)
已知函数 ( ) e ,xf x x R .
(Ⅰ) 若直线 y＝kx＋1 与 f (x)的反函数的图像相切, 求实数 k 的值;
(Ⅱ) 设 x>0, 讨论曲线 y＝f (x) 与曲线 2 ( 0)y mx m 公共点的个数.
(Ⅲ) 设 a0, )( 2xf >－
2
1 B. )( 1xf <0, )( 2xf <－
2
1
C. )( 1xf >0, )( 2xf <－
2
1 D. )( 1xf <0, )( 2xf >－
2
1
填空题：本大题共 6 小题，考生共需作答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。请将答案填在答
题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。
（一）必考题（11-14 题）
11.从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在 50 至 350 度之间，频率
分布直方图如图所示
（Ⅰ）直方图中 x 的值为
（Ⅱ）在这些用户中，用电量落在区间[100,250]内的户数为
12.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果 i=
13.设 x，y，z∈R，且满足：x2+y2+z2=1,x+2y+3z= 14 ,则 x+y+z=
14.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数 1,3,6,10，…，第 n
个三角型数为 nnnn
2
1
2
1
2
)1( 2 ，记第 n 个 k 边形数为 N(n,k)(k≥3),以下列出了部分 k
边形数中第 n 个数的表达式：
三角形数 N(n,3)= nn 2
1
2
1 2 ，
正方形数 N(n,4)=n2，
五边形数 N(n,5)= nn 2
1
2
3 2 ，
六边形数 N(n,6)= nn 22 ，
………………………………………
可以推测 N(n,k)的表达式，由此计算 N(10,24)=
（二）选考题（请考生在第 15、16 两题中任选一题作答，请现在答题卡指定位置将你所选
的题目序号后方框用 2B 铅笔涂黑，如果全选，则按第 15 题作答结果计分。）
15.（选修 4-1：几何证明选讲）
如图，圆 O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 D，点 D 在半径 OC 上的射影为 E，若 AB=3AD,则
EO
CE
的值为
16.（选修 4-4：坐标系与参数方程）
在直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的参数方程为 ( 为参数，a>b>0)，在
极坐标系（与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴
为极轴）中，直线 l 与圆 O 的极坐标方程分别为 m（m 为非零数）
与 。 若 直 线 l 经 过 椭 圆 C 的 焦 点 ， 且 与 员 O 相 切 ， 则 椭 圆 C 的 离 心 率 为
___________________.
三、解答题：本题共 6 小题，共 75 分 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分 12 分）
在△ABC 只已知 A，B，C 对应的边分别是 a，b，c。已知 .
（I） 求角 A 的大小
（II） 若△ABC 的面积 ,b=5,求 的值
18.（本小题满分 12 分）
已知等比数列 n 满足： 2 3 1 2 3| | 10, 125.a a a a a
（Ⅰ）求数列 n 的通项公式；
（Ⅱ）是否存在正整数 m，使得
1
1 1 1.... 12 na a a
？若存在，求 m 的最小值；若不存
在，说明理由.
19.（本小题满分 12 分）
如图，AB 是园 O 的直径，点 C 是圆 O 上异于 A,B 的点，直线 PC⊥平面
ABC，E，F 分别是 PA，PC 的中点.
（Ⅰ）在平面 BEF 与平面 ABC 的交线为 l，试判断直线 l 与平面 PAC 的位
置关系，并加以证明。
（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线 l 与圆 O 的另一个交点为 D，且点 Q 满足 1
2DQ CP
记直线 PQ 与平面 ABC 所成的角为 ，异面直线
E-L-C 的大小为 ，求证： sin sin sin
20.（本小题满分 12 分）
假设每天从甲地去乙地的旅客人数 X 是服从正态分布 N（800，502）的随机变量，记一天
中从甲地去乙地的旅客人数不超过 900 的概率为 0p 。
（1） 求 0p 的值；
（参考数据：若 2( , )X N ，有 ( ) 0.6826,P X
( 2 2 ) 0.9544, ( 3 3 ) 0.9974.P X P X
（2）某客运公司用 A、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往
返一次。A、B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人，从甲地去乙地的营运成本分别为 1600
元/辆和 2400 元/辆，公司拟组建一个不超过 21 辆车的客运车队，并要求 B 型车不多于 A
型车 7 辆。若每天要以不小于 0p 的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地
的营运成本最小，那么应配备 A 型车、B 型车各多少辆？
21.（本小题满分 13 分）
如图，已知椭圆 C1 与 C2 的中心坐标原点 O，长轴均为 MN 且在 X 轴上，短轴长分别
为 2m，2n（m>n）,过原点且不与 x 轴重合的直线 l 与 C1， C2 的四个交点按纵坐标从
大到小依次为 A，B，C，D。记λ = ，△BDM 和△ABN 的面积分别为 S1 和 S2.。
（I）当直线 l 与 Y 轴重合时，若 S1=λ S2 ，求λ 的值；
（II） 当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线 l，使得 S1=λ S2？并说明理由
22（本小题满分 14 分）
设 n 是正整数， r 为正有理数。
（Ⅰ）求函数 xf = )1(1)1()1( 1 xxrx r 的最小值；
（Ⅱ）证明：
1
)1( 11
r
nn rc
< n <
1
)1( 11
r
nn rr
；
（Ⅲ）设 x R,记[ x ]为不小于的最小整数，例如[2]=2，[ ]=4，[-
2
3 ]=-1.
令 S = 333 838281 … 3 125 ，求[ S ]的值。
（参考数据：80 3
4
≈344.7，81 3
4
≈350.5，124 3
4
≈618.3，126 3
4
≈631.7）
2013 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
理 科 数 学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共 150 分. 考试用时 120 分钟.
第Ⅰ卷 1 至 2 页, 第Ⅱ卷 3 至 5 页.
答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用
条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将
本试卷和答题卡一并交回.
祝各位考生考试顺利!
第Ⅰ卷
注意事项：
1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用
橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.
2. 本卷共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.
参考公式:
·如果事件 A, B 互斥, 那么
) ( ) ( )( B P AP A P B
·棱柱的体积公式 V=Sh，
其中 S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱
柱的高.
·如果事件 A, B 相互独立, 那么
) ( ) (( )B P AA PP B
·球的体积公式 34 .3V R
其中 R 表示球的半径.
一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1) 已知集合 A = {x∈R| |x|≤2}, A = {x∈R| x≤1}, 则 A B
(A) ( ,2] (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1]
(2) 设变量 x, y 满足约束条件
3 6 0,
2 0,
3 0,
x y
y
x y
则目标函数 z
= y－2x 的最小值为
(A) －7 (B) －4
(C) 1 (D) 2
(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入 x 的
值为 1, 则输出 S 的值为
(A) 64 (B) 73
(C) 512 (D) 585
(4) 已知下列三个命题:
①若一个球的半径缩小到原来的 1
2
, 则其体积缩小到原来
的 1
8
;
②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;
③直线 x + y + 1 = 0 与圆 2 2 1
2x y 相切.
其中真命题的序号是:
(A) ①②③ (B) ①②
(C) ②③ (D) ②③
(5) 已知双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的两条渐近线与抛物线 2 2 ( 0)px py 的准线分别
交于 A, B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为 2, △AOB 的面积为 3 , 则 p =
(A) 1 (B) 3
2
(C) 2 (D) 3
(6) 在△ABC 中, , 2, 3,4 AB BCABC 则 sin BAC =
(A) 10
10
(B) 10
5
(C) 3 10
10
(D) 5
5
(7) 函数 0.5( ) 2 | log | 1xf x x 的零点个数为
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
(8) 已知函数 ( ) (1 | |)f x x a x . 设关于 x 的不等式 ( ) ( )f x a f x 的解集为 A, 若
1 1,2 2 A
, 则实数 a 的取值范围是
(A) 1 5 ,02
(B) 1 3 ,02
(C) 1 5 ,02
1 30, 2
(D) 5
2,1
2013 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
理 科 数 学
第Ⅱ卷
注意事项：
1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.
2. 本卷共 12 小题, 共 110 分.
二．填空题: 本大题共 6 小题, 每小题 5 分, 共 30 分.
(9) 已知 a, b∈R, i 是虚数单位. 若(a + i)(1 + i) = bi, 则 a + bi = .
(10)
61x
x
的二项展开式中的常数项为 .
(11) 已知圆的极坐标方程为 4cos , 圆心为 C, 点 P 的极坐标为 4, 3
, 则|CP|
= .
(12) 在平行四边形 ABCD 中, AD = 1, 60BAD , E 为 CD 的中点.
若 · 1AD BE , 则 AB 的长为 .
(13) 如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且 BD//AC. 过
点 A 做圆的切线与 DB 的延长线交于点 E, AD 与 BC 交于点 F. 若 AB =
AC, AE = 6, BD = 5, 则线段 CF 的长为 .
(14) 设 a + b = 2, b>0, 则当 a = 时, 1 | |
2 | |
a
a b
取得最小
值.
三．解答题: 本大题共 6 小题, 共 70 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.
(15) (本小题满分 13 分)
已知函数 2( ) 2 sin 2 6sin cos 2cos4 1,f x x x x x x
R .
(Ⅰ) 求 f(x)的最小正周期;
(Ⅱ) 求 f(x)在区间 0, 2
上的最大值和最小值.
(16) (本小题满分 13 分)
一个盒子里装有 7 张卡片, 其中有红色卡片 4 张, 编号分别为 1, 2, 3, 4; 白色卡片 3 张,
编号分别为 2, 3, 4. 从盒子中任取 4 张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).
(Ⅰ) 求取出的 4 张卡片中, 含有编号为 3 的卡片的概率.
(Ⅱ) 再取出的 4 张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为 X, 求随机变量 X 的分布列和数学
期望.
(17) (本小题满分 13 分)
如图, 四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中, 侧棱 A1A⊥底面
ABCD, AB//DC, AB⊥AD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2,
E 为棱 AA1 的中点.
(Ⅰ) 证明 B1C1⊥CE;
(Ⅱ) 求二面角 B1－CE－C1 的正弦值.
(Ⅲ) 设点 M 在线段 C1E 上, 且直线 AM 与平面 ADD1A1
所成角的正弦值为 2
6
, 求线段 AM 的长.
(18) (本小题满分 13 分)
设椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的左焦点为 F, 离心率为 3
3
, 过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭
圆截得的线段长为 4 3
3
.
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 设 A, B 分别为椭圆的左右顶点, 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C, D 两点. 若
· · 8AC DB AD CB , 求 k 的值.
(19) (本小题满分 14 分)
已知首项为 3
2
的等比数列{ }na 不是递减数列, 其前 n 项和为 ( *)nS n N , 且 S3 + a3, S5 + a5,
S4 + a4 成等差数列.
(Ⅰ) 求数列{ }na 的通项公式;
(Ⅱ) 设 *( )1
n n
n
T S nS
N , 求数列{ }nT 的最大项的值与最小项的值.
(20) (本小题满分 14 分)
已知函数 2 l( ) nf x x x .
(Ⅰ) 求函数 f(x)的单调区间;
(Ⅱ) 证明: 对任意的 t>0, 存在唯一的 s, 使 ( )t f s .
(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的 s 关于 t 的函数为 ( )s g t , 证明: 当 2>et 时, 有
2 ln ( ) 1
5 ln 2
g t
t
.
2013 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）
数学试题卷（理工农医类）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个备选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1、已知全集 1,2,3,4U ，集合 = 1 2A ， ， = 2 3B ， ，则 =U A Bð （ ）
A、 13 4，， B、 3 4， C、 3 D、 4
【答案】：D
2、命题“对任意 x R ，都有 2 0x ”的否定为（ ）
A、对任意 x R ，都有 2 0x B、不存在 x R ，都有 2 0x
C、存在 0x R ，使得 2
0 0x D、存在 0x R ，使得 2
0 0x
【答案】：D
3、 3 6a a 6 3a 的最大值为（ ）
A、9 B、 9
2
C、3 D、 3 2
2
【答案】：B
4、以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）
已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则 ,x y 的值分别为（ ）
A、 2,5 B、5,5 C、5,8 D、8,8
【答案】：C
5、某几何体的三视图如题 5 图所示，则该几何体的体积为（ ）
A、 560
3
B、 580
3
C、 200 D、 240
【答案】：C
6、若 a b c ，则函数 f x x a x b x b x c x c x a 的两个零
点分别位于区间（ ）
A、 ,a b 和 ,b c 内 B、 ,a 和 ,a b 内
C、 ,b c 和 ,c 内 D、 ,a 和 ,c 内
【答案】：A
7、已知圆 2 2
1 : 2 3 1C x y ，圆 2 2
2 : 3 4 9C x y ，
,M N 分别是圆 1 2,C C 上的动点， P 为 x 轴上的动点，则 PM PN 的
最小值为（ ）
A、 5 2 4 B、 17 1
C、 6 2 2 D、 17
【答案】：A
8、执行如题（8）图所示的程序框图，如果输出 3s ，那么判断框
内应填入的条件是（ ）
A、 6k B、 7k C、 8k D、 9k
【答案】：B
9、 0 04cos50 tan 40 （ ）
A、 2 B、 2 3
2
C、 3 D、2 2 1
【答案】：C
10、在平面上， 1 2AB AB ， 1 2 1OB OB , 1 2AP AB AB .
若 1
2OP ，则 OA
的取值范围是（ ）
A、 50, 2
B、 5 7,2 2
C、 5 , 22
D、 7 , 22
【答案】：D
二、填空题：本大题共 6 小题，考生作答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分，把答案填写在答
题卡相应位置上。
11、已知复数 5
1 2
iz i
（i 是虚数单位），则 _________z
【答案】： 5
12、已知 na 是等差数列， 1 1a ，公差 0d ， nS 为其前 n 项和，若 1 2 5, ,a a a 成等比数
列，则 8 _____S
【答案】： 64
13、从3名骨科、 4 名脑外科和 5 名内科医生中选派5 人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨
科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是___________（用数字作答）
【答案】：590
考生注意：14、15、16 三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给
分：
14、如题 14 图，在 ABC 中， 090C , 060 , 20A AB ,过C 作 ABC 的外接圆
的切线CD ， BD CD , BD 与外接圆交于点 E ，则 DE 的长为__________
【答案】：5
15、在直角坐标系 xOy 中，以原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。若极坐
标方程为 cos 4 的直线与曲线
2
3
x t
y t
（t 为参数）相交于 ,A B 两点，则 ______AB
【答案】：16
16、若关于实数 x 的不等式 5 3x x a 无解，则实数 a 的取值范围是_________
【答案】： ,8
三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、设 25 6lnf x a x x ，其中 a R ，曲线 y f x 在点 1, 1f 处的切线与 y
轴相交于点 0,6 。
（1）确定 a 的值；
（2）求函数 f x 的单调区间与极值。
【答案】：
18、某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3 个红球
与 4 个白球的袋中任意摸出3 个球，再从装有1个蓝球与 2 个白球的袋中任意摸出1个球，
根据摸出 4 个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：
奖级 摸出红、蓝球个数 获奖金额
一等奖 3 红 1 蓝 200 元
二等奖 3 红 0 蓝 50 元
三等奖 2 红 1 蓝 10 元
其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级。
（1）求一次摸奖恰好摸到 1 个红球的概率；
（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额 X 的分布列与期望 E X 。
【答案】：
19 、 如 题 （ 19 ） 图 ， 四 棱 锥 P ABCD 中 ，
PA ABCD 底面 , 2, 4, 3BC CD AC ACB ACD ,
F 为 PC 的中点， AF PB 。
（1）求 PA 的长；
（2）求二面角 B AF D 的正弦值。
【答案】：
20、在 ABC 中，内角 , ,A B C 的对边分别是 , ,a b c ，且 2 2 22a b ab c 。
（1）求C ；
（2）设
2
cos cos3 2 2cos cos ,5 cos 5
A BA B
，求 tan 的值。
【答案】：
21、如题（21）图，椭圆的中心为原点 O ，长轴在 x 轴上，离心率 2
2e ，过左焦点 1F 作
x 轴的垂线交椭圆于 ,A A 两点， 4AA 。
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）取垂直于 x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点 ,P P ，过 ,P P 作圆心为 Q 的圆，使椭
圆上的其余点均在圆Q 外。若 PQ P Q ,求圆Q 的标准方程。
【答案】：
22、对正整数 n ，记 1,2,3, ,mI n ， ,m m m
mP m I k I
k
。
（1）求集合 7P 中元素的个数；
（2）若 mP 的子集 A 中任意两个元素之和不是．．整数的平方，则称 A 为“稀疏集”。求 n 的最
大值，使 mP 能分成两人上不相交的稀疏集的并。
【答案】：
微信/支付宝扫码支付下载