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  • 2021-05-13 发布

2013全国各地高考理科数学9套及详解汇编一

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2013 全国各地高考数学试题及详解汇编(理科●一) 目 录 1.新课标卷 1…………………………………………………………………………2 2.新课标Ⅱ卷…………………………………………………………………..……10 3. 大纲卷……………………………………………………………...………………21 4.北京卷………………………………………………………..……………………27 5.山东卷……………………………………………………………………..………37 6.陕西卷……………………………………………………………………..………41 7.湖北卷…..…………………………………………………………………………49 8.天津卷…..…………………………………………………………………………61 9.重庆卷………………………………………………………………………..……71 2013 年高考理科数学试题解析(课标Ⅰ) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 4 页。全卷满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项: 1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页。 2. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3. 全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效。 4. 考试结束,将本试题和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、 选择题共 12 小题。每小题 5 分,共 60 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的一项。 1、已知集合 A={x|x2-2x>0},B={x|- 5<x< 5},则 ( ) A、A∩B= B、A∪B=R C、B⊆A D、A⊆B 【命题意图】本题主要考查一元二次不等式解法、集合运算及集合间关系,是容易题. 【解析】A=(-  ,0)∪(2,+ ), ∴A∪B=R,故选 B. 2、若复数 z 满足 (3-4i)z=|4+3i |,则 z 的虚部为 ( ) A、-4 (B)-4 5 (C)4 (D)4 5 【命题意图】本题主要考查复数的概念、运算及复数模的计算,是容易题. 【解析】由题知 z = | 4 3 | 3 4 i i   = 2 24 3 (3 4 ) (3 4 )(3 4 ) i i i     = 3 4 5 5 i ,故 z 的虚部为 4 5 ,故选 D. 3、为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查, 事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生 视力情况差异不大,在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是 ( ) A、简单随机抽样 B、按性别分层抽样 C、按学段分层抽样 D、系统抽样 【命题意图】本题主要考查分层抽样方法,是容易题. 【解析】因该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,故最合理的抽 样方法是按学段分层抽样,故选 C. 4、已知双曲线 C : 2 2 2 2 1x y a b   ( 0, 0a b  )的离心率为 5 2 ,则C 的渐近线方程为 A . 1 4y x  B . 1 3y x  C . 1 2y x  D . y x  【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质,是简单题. 【解析】由题知, 5 2 c a  ,即 5 4 = 2 2 c a = 2 2 2 a b a  ,∴ 2 2 b a = 1 4 ,∴ b a = 1 2  ,∴C 的渐近线 方程为 1 2y x  ,故选 C . 5、运行如下程序框图,如果输入的 [ 1,3]t   ,则输出 s 属于 A .[-3,4] B .[-5,2] C .[-4,3] D .[-2,5] 【命题意图】本题主要考查程序框图及分段函数值域求法,是简单题. 【解析】有题意知,当 [ 1,1)t   时, 3s t [ 3,3)  ,当 [1,3]t  时, 24s t t  [3,4] , ∴输出 s 属于[-3,4],故选 A . 6、如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8cm,将一 个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水 深为 6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为 ( ) A、500π 3 cm3 B、866π 3 cm3 C、1372π 3 cm3 D、2048π 3 cm3 【命题意图】本题主要考查球的截面圆性质、球的体积公式,是容易 题. 【解析】设球的半径为 R,则由题知球被正方体上面截得圆的半径为 4,球心到截面圆的 距离为 R-2,则 2 2 2( 2) 4R R   ,解得 R=5,∴球的体积为 34 5 3   =500π 3 3cm ,故选 A. 7、设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 1mS  =-2, mS =0, 1mS  =3,则 m = ( ) A、3 B、4 C、5 D、6 【命题意图】本题主要考查等差数列的前 n 项和公式及通项公式,考查方程思想,是容易 题. 【解析】有题意知 mS = 1( ) 2 mm a a =0,∴ 1a =- ma =-( mS - 1mS  )=-2, 1ma  = 1mS  - mS =3,∴公差 d = 1ma  - ma =1,∴3= 1ma  =- 2 m ,∴ m =5,故选 C. 8、某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A .16 8 B .8 8 C .16 16 D .8 16 【命题意图】本题主要考查简单组合体的三视图及简单组合体体 积公式,是中档题. 【解析】由三视图知,该几何体为放到的半个圆柱底面半径为 2 高为 4,上边放一个长为 4 宽为 2 高为 2 长方体,故其体积为 21 2 4 4 2 22       =16 8 ,故选 A . 9、设 m 为正整数, 2( ) mx y 展开式的二项式系数的最大值为 a , 2 1( ) mx y  展开式的二项式系数的最大值为b ,若 13 a =7b , 则 m = ( ) A、5 B、6 C、7 D、8 【命题意图】本题主要考查二项式系数最大值及组合数公式,考查方程思想,是容易题. 【解析】由题知 a = 2 m mC ,b = 1 2 1 m mC   ,∴13 2 m mC =7 1 2 1 m mC   ,即 13 (2 )! ! ! m m m  = 7 (2 1)! ( 1)! ! m m m    , 解得 m =6,故选 B. 10、已知椭圆x2 a2+y2 b2=1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0),过点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点。若 AB 的中点坐标为(1,-1),则 E 的方程为 ( ) A、x2 45 +y2 36 =1 B、x2 36 +y2 27 =1 C、x2 27 +y2 18 =1 D、x2 18 +y2 9 =1 【命题意图】本题主要考查椭圆中点弦的问题,是中档题. 【解析】设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ,则 1 2x x =2, 1 2y y =-2, 2 2 1 1 2 2 1x y a b   ① 2 2 2 2 2 2 1x y a b   ② ①-②得 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 ( )( ) ( )( ) 0x x x x y y y y a b      , ∴ ABk = 1 2 1 2 y y x x   = 2 1 2 2 1 2 ( ) ( ) b x x a y y   = 2 2 b a ,又 ABk = 0 1 3 1   = 1 2 ,∴ 2 2 b a = 1 2 ,又 9= 2c = 2 2a b , 解得 2b =9, 2a =18,∴椭圆方程为 2 2 118 9 x y  ,故选 D. 11、已知函数 ( )f x = 2 2 , 0 ln( 1), 0 x x x x x       ,若| ( )f x |≥ ax ,则 a 的取值范围是 A . ( ,0] B .( ,1] C .[-2,1] D .[-2,0] 【命题意图】本题主要考查函数不等式恒成立求参数范围问题的解法,是难题。 【 解 析 】 ∵ | ( )f x |= 2 2 , 0 ln( 1), 0 x x x x x       , ∴ 由 | ( )f x | ≥ ax 得 , 2 0 2 x x x ax     且 0 ln( 1) x x ax     , 由 2 0 2 x x x ax     可得 2a x  ,则 a ≥-2,排除A,B, 当 a =1 时,易证 ln( 1)x x  对 0x  恒成立,故 a =1 不适合,排除 C,故选 D. 12、设△AnBnCn 的三边长分别为 an,bn,cn,△AnBnCn 的面积为 Sn,n=1,2,3,… 若 b1>c1,b1+c1=2a1,an+1=an,bn+1=cn+an 2 ,cn+1=bn+an 2 ,则() A、{Sn}为递减数列 B、{Sn}为递增数列 C、{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列 D、{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列 【命题意图】 【解析】B 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两个部分。第(13)题-第(21)题为必考题,每个考生都必须作 答。第(22)题-第(24)题为选考题,考生根据要求作答。 二.填空题:本大题共四小题,每小题5分。 13、已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b,若b·c=0,则t=_____. 【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积,是容易题. 【解析】 b c = [ (1 ) ]t t  b a b = 2(1 )t t  a b b = 1 12 t t  = 11 2 t =0,解得t = 2 . 14、若数列{ na }的前 n 项和为 Sn= 2 1 3 3na  ,则数列{ na }的通项公式是 na =______. 【命题意图】本题主要考查等比数列定义、通项公式及数列第 n 项与其前 n 项和的关系, 是容易题. 【解析】当 n =1 时, 1a = 1S = 1 2 1 3 3a  ,解得 1a =1, 当 n ≥2 时, na = 1n nS S  = 2 1 3 3na  -( 1 2 1 3 3na   )= 1 2 2 3 3n na a  ,即 na = 12 na  , ∴{ na }是首项为 1,公比为-2 的等比数列,∴ na = 1( 2)n . 15、设当x=θ时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cosθ=______ 【命题意图】本题主要考查逆用两角和与差公式、诱导公式、及简单三角函数的最值问题, 是难题. 【解析】∵ ( )f x =sin 2cosx x = 5 2 55( sin cos )5 5x x 令 cos = 5 5 , 2 5sin 5    ,则 ( )f x = 5(sin cos sin cos )x x  = 5 sin( )x  , 当 x  = 2 ,2k k z   ,即 x = 2 ,2k k z    时, ( )f x 取最大值,此时  = 2 ,2k k z    ,∴ cos = cos(2 )2k    =sin = 2 5 5  . 16、若函数 ( )f x = 2 2(1 )( )x x ax b   的图像关于直线 x =-2对称,则 ( )f x 的最大值是 ______. 【命题意图】本题主要考查函数的对称性及利用导数求函数最值,是难题. 【解析】由 ( )f x 图像关于直线 x =-2 对称,则 0= ( 1) ( 3)f f   = 2 2[1 ( 3) ][( 3) 3 ]a b     , 0= (1) ( 5)f f  = 2 2[1 ( 5) ][( 5) 5 ]a b     ,解得 a =8,b =15, ∴ ( )f x = 2 2(1 )( 8 15)x x x   , ∴ ( )f x = 2 22 ( 8 15) (1 )(2 8)x x x x x      = 3 24( 6 7 2)x x x    = 4( 2)( 2 5)( 2 5)x x x      当 x ∈(-∞, 2 5  )∪(-2, 2 5  )时, ( )f x >0, 当 x ∈( 2 5  ,-2)∪( 2 5  ,+∞)时, ( )f x <0, ∴ ( )f x 在(-∞, 2 5  )单调递增,在( 2 5  ,-2)单调递减,在(-2, 2 5  ) 单调递增,在( 2 5  ,+∞)单调递减,故当 x = 2 5  和 x = 2 5  时取极大值, ( 2 5)f   = ( 2 5)f   =16. 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17、(本小题满分12分) 如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB= 3 ,BC=1,P 为△ABC内一点,∠BPC=90° (1)若 PB=1 2 ,求 PA; (2)若∠APB=150°,求 tan∠PBA 【命题意图】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解 三角形及两角和与差公式,是容易题. 【解析】(Ⅰ)由已知得,∠PBC= o60 ,∴∠PBA=30o ,在△PBA 中,由余弦定理得 2PA = o1 13 2 3 cos304 2     = 7 4 ,∴PA= 7 2 ; ( Ⅱ ) 设 ∠ PBA=  , 由 已 知 得 , PB= sin , 在 △ PBA 中 , 由 正 弦 定 理 得 , o o 3 sin sin150 sin(30 )    ,化简得, 3 cos 4sin  , ∴ tan = 3 4 ,∴ tan PBA = 3 4 . 18、(本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=60°. (Ⅰ)证明 AB⊥A1C; (Ⅱ)若平面 ABC⊥平面 AA1B1B,AB=CB=2,求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值。 【命题意图】本题主要考查空间线面、线线垂直 的判定与性质及线面角的计算,考查空间想象能 力、逻辑推论证能力,是容易题. 【解析】(Ⅰ)取AB中点E,连结CE, 1A B , 1A E , ∵AB= 1AA , 1BAA = 060 ,∴ 1BAA 是正三角形, ∴ 1A E ⊥AB, ∵CA=CB, ∴CE⊥AB, ∵ 1CE A E =E,∴AB⊥面 1CEA , ∴AB⊥ 1AC ; ……6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 EC⊥AB, 1EA ⊥AB, 又∵面 ABC⊥面 1 1ABB A ,面 ABC∩面 1 1ABB A =AB, ∴EC⊥面 1 1ABB A ,∴EC⊥ 1EA , ∴EA,EC, 1EA 两两相互垂直,以 E 为坐标原点, EA  的方向为 x 轴正方向,| EA  |为单位长度,建立 如图所示空间直角坐标系O xyz , 有 题 设 知 A(1,0,0), 1A (0, 3 ,0),C(0,0, 3 ),B( - 1,0,0), 则 BC  = ( 1,0 , 3 ), 1BB  = 1AA  =(-1,0, 3 ), 1AC  =(0,- 3 , 3 ), ……9 分 设 n= ( , , )x y z 是平面 1 1CBB C 的法向量, 则 1 0 0 BC BB        n n ,即 3 0 3 0 x z x y      ,可取 n=( 3 ,1,-1), ∴ 1cos , AC  n = 1 1 | AC AC   n | n || 10 5 , ∴直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为 10 5 . ……12 分 19、(本小题满分 12 分) 一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取 4 件作检验,这 4 件 产品中优质品的件数记为 n。如果 n=3,再从这批产品中任取 4 件作检验,若都为优质 品,则这批产品通过检验;如果 n=4,再从这批产品中任取 1 件作检验,若为优质品, 则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验。 假设这批产品的优质品率为 50%,即取出的产品是优质品的概率都为,且各件产品是 否为优质品相互独立 (1)求这批产品通过检验的概率; (2)已知每件产品检验费用为 100 元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品 作质量检验所需的费用记为 X(单位:元),求 X 的分布列及数学期望。 【命题意图】 【解析】设第一次取出的 4 件产品中恰有 3 件优质品为事件 A,第一次取出的 4 件产品中 全为优质品为事件 B,第二次取出的 4 件产品都是优质品为事件 C,第二次取出的 1 件产品是 优质品为事件 D,这批产品通过检验为事件 E,根据题意有 E=(AB)∪(CD),且 AB 与 CD 互斥, ∴P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)= 3 2 4 4 1 1 1( ) ( )2 2 2C   + 41 1( )2 2  = 3 64 .…6 分 (Ⅱ)X 的可能取值为 400,500,800,并且 P(X=400)=1- 3 3 4 4 1 1 1( ) ( )2 2 2C   = 11 16 ,P(X=500)= 1 16 ,P(X=800)= 3 3 4 1 1( )2 2C  = 1 4 , ∴X 的分布列为 X 400 500 800 P 11 16 1 16 1 4 ……10 分 EX=400× 11 16 +500× 1 16 +800× 1 4 =506.25 ……12 分 (20)(本小题满分 12 分) 已知圆 M : 2 2( 1) 1x y   ,圆 N : 2 2( 1) 9x y   ,动圆 P 与 M 外切并且与圆 N 内切, 圆心 P 的轨迹为曲线 C. (Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)l 是与圆 P ,圆 M 都相切的一条直线,l 与曲线 C 交于 A,B 两点,当圆 P 的半径最长 时,求|AB|. 【命题意图】 【解析】由已知得圆 M 的圆心为 M(-1,0),半径 1r =1,圆 N 的圆心为 N (1,0),半径 2r =3. 设动圆 P 的圆心为 P ( x , y ),半径为R. (Ⅰ)∵圆 P 与圆 M 外切且与圆 N 内切,∴|PM|+|PN|= 1 2( ) ( )R r r R   = 1 2r r =4, 由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左右焦点,场半轴长为2,短半轴长为 3 的椭圆(左 顶点除外),其方程为 2 2 1( 2)4 3 x y x    . (Ⅱ)对于曲线C上任意一点 P ( x , y ),由于|PM|-|PN|= 2 2R  ≤2,∴R≤2, 当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2. ∴当圆P的半径最长时,其方程为 2 2( 2) 4x y   , 当l 的倾斜角为 090 时,则l 与 y 轴重合,可得|AB|= 2 3 . 当l 的倾斜角不为 090 时,由 1r ≠R知l 不平行 x 轴,设l 与 x 轴的交点为Q,则 | | | | QP QM = 1 R r , 可求得Q(-4,0),∴设l : ( 4)y k x  ,由l 于圆M相切得 2 | 3 | 1 1 k k   ,解得 2 4k   . 当 k = 2 4 时,将 2 24y x  代入 2 2 1( 2)4 3 x y x    并整理得 27 8 8 0x x   ,解得 1,2x = 4 6 2 7   ,∴|AB|= 2 1 21 | |k x x  =18 7 . 当 k =- 2 4 时,由图形的对称性可知|AB|=18 7 , 综上,|AB|=18 7 或|AB|= 2 3 . (21)(本小题满分共 12 分) 已知函数 ( )f x = 2x ax b  , ( )g x = ( )xe cx d ,若曲线 ( )y f x 和曲线 ( )y g x 都过 点 P(0,2),且在点 P 处有相同的切线 4 2y x  (Ⅰ)求 a ,b , c , d 的值 (Ⅱ)若 x ≥-2 时, ( )f x ≤ ( )kg x ,求 k 的取值范围。 【命题意图】本题主要考查利用导数的几何意义求曲线的切线、函数单调性与导数的关系、 函数最值,考查运算求解能力及应用意识,是中档题. 【解析】(Ⅰ)由已知得 (0) 2, (0) 2, (0) 4, (0) 4f g f g     , 而 ( )f x = 2x b , ( )g x = ( )xe cx d c  ,∴ a =4,b =2, c =2, d =2;……4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, 2( ) 4 2f x x x   , ( ) 2 ( 1)xg x e x  , 设函数 ( )F x = ( ) ( )kg x f x = 22 ( 1) 4 2xke x x x    ( 2x   ), ( )F x = 2 ( 2) 2 4xke x x   = 2( 2)( 1)xx ke  , 有题设可得 (0)F ≥0,即 1k  , 令 ( )F x =0 得, 1x = ln k , 2x =-2, (1)若 21 k e  ,则-2< 1x ≤0,∴当 1( 2, )x x  时, ( )F x <0,当 1( , )x x  时, ( )F x >0,即 ( )F x 在 1( 2, )x 单调递减,在 1( , )x  单调递增,故 ( )F x 在 x = 1x 取最小 值 1( )F x ,而 1( )F x = 2 1 1 12 2 4 2x x x    = 1 1( 2)x x  ≥0, ∴当 x ≥-2 时, ( )F x ≥0,即 ( )f x ≤ ( )kg x 恒成立, (2)若 2k e ,则 ( )F x = 2 22 ( 2)( )xe x e e  , ∴当 x ≥-2 时, ( )F x ≥0,∴ ( )F x 在(-2,+∞)单调递增,而 ( 2)F  =0, ∴当 x ≥-2 时, ( )F x ≥0,即 ( )f x ≤ ( )kg x 恒成立, (3)若 2k e ,则 ( 2)F  = 22 2ke  = 2 22 ( )e k e  <0, ∴当 x ≥-2 时, ( )f x ≤ ( )kg x 不可能恒成立, 综上所述, k 的取值范围为[1, 2e ]. 请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果 多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框 涂黑。 (22)(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, 直线 AB 为圆的切线,切点为 B,点 C 在圆上,∠ABC 的角平分 线 BE 交圆于点 E,DB 垂直 BE 交圆于 D。 (Ⅰ)证明:DB=DC; (Ⅱ)设圆的半径为 1,BC= ,延长 CE 交 AB 于点 F,求 △BCF 外接圆的半径。 【命题意图】本题主要考查几何选讲的有关知识,是容易题. 【解析】(Ⅰ)连结DE,交BC与点G. 由弦切角定理得,∠ABF=∠BCE,∵∠ABE=∠CBE,∴∠CBE=∠ BCE,BE=CE, 又∵DB⊥BE,∴DE是直径,∠DCE= 090 ,由勾股定理可得DB=DC. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,∠CDE=∠BDE,BD=DC,故DG是BC的中垂线,∴BG= 3 2 . 设DE中点为O,连结BO,则∠BOG= o60 ,∠ABE=∠BCE=∠CBE= o30 , ∴CF⊥BF, ∴Rt△BCF的外接圆半径等于 3 2 . (23)(本小题 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲 线 C1 的参数方程为 4 5cos 5 5sin x t y t      (t 为参数),以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建 立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 2sin  。 (Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)。 【命题意图】本题主要考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程与直角坐标方程互化及两 曲线交点求法、极坐标与直角坐标互化,是容易题. 【解析】将 4 5cos 5 5sin x t y t      消去参数t ,化为普通方程 2 2( 4) ( 5) 25x y    , 即 1C : 2 2 8 10 16 0x y x y     ,将 cos sin x y        代入 2 2 8 10 16 0x y x y     得, 2 8 cos 10 sin 16 0        , ∴ 1C 的极坐标方程为 2 8 cos 10 sin 16 0        ; (Ⅱ) 2C 的普通方程为 2 2 2 0x y y   , 由 2 2 2 2 8 10 16 0 2 0 x y x y x y y          解得 1 1 x y    或 0 2 x y    ,∴ 1C 与 2C 的交点的极坐标分别为 ( 2, 4  ), (2, )2  . (24)(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 ( )f x =| 2 1| | 2 |x x a   , ( )g x = 3x  . (Ⅰ)当 a =2 时,求不等式 ( )f x < ( )g x 的解集; (Ⅱ)设 a >-1,且当 x ∈[ 2 a , 1 2 )时, ( )f x ≤ ( )g x ,求 a 的取值范围. 【命题意图】本题主要考查含绝对值不等式解法、不等式恒成立求参数范围,是容易题. 【解析】当 a =-2时,不等式 ( )f x < ( )g x 化为| 2 1| | 2 2 | 3 0x x x      , 设函数 y =| 2 1| | 2 2 | 3x x x     , y = 15 , 2 12, 12 3 6, 1 x x x x x x           , 其图像如图所示,从图像可知,当且仅当 (0,2)x 时, y <0,∴原不等式解集是 { | 0 2}x x  . (Ⅱ)当 x ∈[ 2 a ,1 2 )时, ( )f x =1 a ,不等式 ( )f x ≤ ( )g x 化为1 3a x   , ∴ 2x a  对 x ∈[ 2 a , 1 2 )都成立,故 2 a  2a  ,即 a ≤ 4 3 , ∴ a 的取值范围为(-1, 4 3 ]. 2013 年全国新课标 2 卷理数试题答案及解析 一、选择题:本大题共 10 小题。每小题 5 分,共 50 分。在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 (1)已知集合 M={x|(x-1)2 < 4,x∈R},N={-1,0,1,2,3},则 M∩N= ( ) (A){0,1,2} (B){-1,0,1,2} (C){-1,0,2,3} (D){0,1,2, 3} 答案:A [ 解 析 ] 该 题 主 要 考 查 集 合 交 集 运 算 与 不 等 式 的 解 法 , 由 }31|{},4)1(|{ 2  xxRxxxM 所以由交集的定义可知 }2,1,0{ NM (2)设复数 z 满足(1-i)z=2 i,则 z= ( ) (A)-1+i (B)-1-i (C)1+i (D)1-i 答案:A [ 解 析 ] 本 题 主 要 考 查 复 数 的 基 本 运 算 , 由 题 目 中 的 表 达 式 可 得 iii ii i iz   1)1)(1( )1(2 1 2 (3)等比数列{an}的前 n 项和为 nS ,已知 123 10aaS  , 95 a ,则 1a ( ) (A) 1 3 (B) 1 3  (C) 1 9 (D) 1 9  答案:C [ 解 析 ] 本 题 主 要 考 查 等 比 数 列 的 基 本 公 式 的 运 用 , 由 题 中 123 10aaS  得 出 12321 10aaaaa  ,从而就有 99 1 32 13  a aqaa ,又由 9 19 1 4 15  aqaa 4、已知 ,m n 为异面直线, m  平面 , n  平面  。直线l 满足 l m ,l n ,l  , l  ,则( ) (A) / /  且 / /l  (B)  且l  (C) 与  相交,且交线垂直于l (D) 与  相交,且交线平行于l 答案:D [解析]本题主要考查空间线面关系的判定,若  // ,由题中条件可知 nm // ,与题中 nm, 为异面直线矛盾,故 A 错;若 l 则有 nl // ,与题设条件 nl  矛盾,故 B 错;由于   nm , ,则 nm, 都垂直于 , 的交线,而 nm和 是两条异面直线,可将 m 平移至与 n 相交,此时确定一个平面 ,则 , 的交线垂直于平面 ,同理也有 l ,故l 平行于 , 的交线,D 正确 C 错。 (5)已知 5)1)(1( xax  的展开式中 2x 的系数为 5,则 a = (A)-4 (B)-3 (C)-2 (D)-1 答案:D [解析]本题考查二项式展开式中各项系数的确定,因为 5)1( x 的展开式中的通项可表示为 rr r xCT 51  , 从 而 有 5)1( x 中 xx 与2 的 系 数 分 别 为 510 1 5 2 5  CC 和 , 所 以 原 式 555 )1()1()1)(1( xaxxxax  中 2x 系数为 15510  aa . (6)执行右面的程序框图,如果输入的 N=10,那么输出的 s= 执行右面的程序框图,如果输入的 10N  ,那么输出的 S  ( ) (A) 1 1 11 2 3 10    (B) 1 1 11 2! 3! 10!    (C) 1 1 11 2 3 11    (D) 1 1 11 2! 3! 11!    答案:B [解析]该题考查程序的输出结果,重点是了解算法中循环结构的功能, k TT  的计算结果是 ! 1 k , TSS  是求和的算法语句,结合以上两点, 当 10N 时, 11k 时结束循环,所以应该选 B。 (7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O-xyz 中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0), (1,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为投影面,则得到 正视图可以为 答案:A [解析]该题考查三视图与空间坐标系综合应用,由点确定的坐标可以确定该图的直观图如 下: 从右到左投影到 xoz 平面的正投影为 A。 (8)设 6 3loga , 10 5logb , 14 7logc 则 (A)c>b>a (B)b>c>a (C)a>c>b (D)a>b>c 答案:D [ 解 析 ] 本 题 考 查 对 数 比 较 大 小 的 问 题 , 将 题 中 的 条 件 进 行 变 形 可 知 2 3 2 3 3 3 6 3 log1logloglog a , 2 5 2 5 5 5 10 5 log1logloglog b , 2 7 2 7 7 7 14 7 log1logloglog c , 又因为 2 7 2 5 2 3 logloglog  ,所以有 cba  。 (9)已知 a>0,x,y 满足约束条件 1 3 ( 3) x x y y a x        ,若 z=2x+y 的最小值为 1,则 a= (A) 4 1 (B) 2 1 (C)1 (D)2 答案:B [解析]本题考查线性规划的应用,题目给出的可行域含有参数 a ,由于直线 )3(  xay 过 定点 )0,3( 且 0a ,所以可行域如图所示。当直线 2x+y=z 过 x=1 与 y=a(x-3)的交点(1,-2a) 时 z 取得最小值 1,所以有 122  a , 2 1a (10)已知函数 cbxaxxxf  23)( ,下列结论中错误的是 (A) 0)( 00  xfRx 使 (B)函数 y=f(x)的图像是中心对称图形 (C)若 0x 是 )(xf 的极小值点,则 )(xf 在区间(-∞, 0x )单调递减 (D)若 0x 是 )(xf 的极值点,则 )(' 0xf =0 答案:C [解析]本题主要考查对三次函数图像的理解,该三次函数的大至图像如下图: 当 x 趋于负无穷大时,函数值为负,当 x 趋于正无穷大时,函数值为正,而该函数在 R 是连 续的,所以就有 0)( 00  xfRx 使 ,A 的说法正确;函数 cbxaxxxf  23)( 可以由 函数 3)( xxg  经过平移得到,而 )(xg 关于原点对称,故 )(xf 是关于中心对称的图形,B 的说法正确;由极值点的定义,D 说法正确;由三次函数图像可知,若 0x 是 )(xf 的极小值 点,则 )(xf 在区间(-∞, 0x )不单调,故 C 说法错,选 C。 (11)设抛物线 )0(22  ppxy 的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF|=5 若以 MF 为直径的园过 点(0,3),则 C 的方程为 (A) xy 42  或 xy 82  (B) xy 22  或 xy 82  (C) xy 42  或 xy 162  (D) xy 22  或 xy 162  答案:C [解析]本题是圆的方程与抛物线的综合性问题,设点 M(x,y),圆心 B(a,b)如图, 22 5 2 '''5' pFFMMBBMFMM  得由 ,从而可以得到 B 的横坐标 2 5a ,所 以 可 以 设 圆 B 的 方 程 为 4 25)()2 5( 22  byx , 将 点 ( 0 , 2 ) 代 入 得 24 25)2()2 5( 22  bb , 从 而 可 以 得 到 点 M 的 坐 标 为 )4,25( p , 代 入 82,16102 22  pppppxy 或解得得 ,故答案选 C(注:由于图片不清楚,有人写 出该题的题设应该是 )0(32  ppxy ,无论是哪种不会影响方法的正确性) (12)已知点 A(-1,0);B(1,0);C(0,1),直线 y=ax+b(a>0)将△ABC 分割为面积相 等的两部分,则 b 的取值范围是 (A)(0,1) (B) 2 21(  , )2 1 ( C) 2 21(  , ]3 1 (D) 3 1[ , )2 1 答案:B [解析]设直线 y=ax+b 与直线 BC:x+y=1 的交点为 D(xD,yD),与 x 轴的交 点为 E )0,( a b ,由题意可知,要平均分割三角形,则 b>0,所以 E 点只能处于 x 轴 负半轴,当 E 在 A 点与原点之间时,如图可得△DEB 的面积为 2 1 ,联立 直线 y=ax+b 与线 BC:x+y=1 得,yD= a ba   1 ,所以有 2 1 1)1(2 1 2 1   a ba a byBES DBDE 整理得 2 1,021 2  bb ba 得 。 当 E 与 A )0,1( 点重合时,直线 y=ax+b 想平分△ABC 的面积,必须过 B、C 的中点 )2 1,2 1( ,如下图此时可确定直线 y=ax+b 的方程为 3 1 3 1  xy , 此时 3 1b 。 当 E 点处于 A 点左侧时,如图 此时若直线 y=ax+b 想平分△ABC 的面积,则 10  a , 10  b ,且三角形 CDF 面积为 2 1 , 联立直线 y=ax+b 与线 BC:x+y=1 得 a bxD   1 1 ,联立直线 y=ax+b 与线 BC:x+y=1 得 a bxF   1 1 ,所以有  2 1 1 2)1(2 1))(1(2 1 2 2 abxxbS FDCDF 0)1(21 22  ba ,解 得 2 212 21  b 综上所述 2 1 2 21  b ,故答案选 B 二、填空题 (13)已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点,则 AE BD  =_______. 答案:2 [解析]如图建立平面直角坐标系 从而有 )2,2(),2,1(   BDAE ,所以 242   BDAE (14)从 n 个正整数 1,2,…,n 中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于 5 的概 率为 ,则 n=________. 答案:8 [解析]本题考查古典概率的计算,由题可知所有基本事件总数为 2 )1(2  nnCn ,选出来的 正整数要求和为 5,则只能是 1+4=5 和 2+3=5 两种情况,所以有 8,14 12 2  nCn 解得 。 (15)设θ为第二象限角,若 tan )4(   = 2 1 ,则 sinθ+cosθ=_________. 答案: 5 10 [ 解 析 ] 本 题 考 查 同 角 三 角 函 数 基 本 关 系 与 三 角 形 恒 等 变 换 的 问 题 , 由 2 1 tan1 tan1)4tan(     得 3 1tan  , 又 因 为  为 第 二 象 限 角 , 利 用 1cossin,cos sintan 22    可求得 10 103cos,10 10sin   所以有 5 10cossin   (16)等差数列 na 的前 n 项和为 Sn ,已知 25,0 1510  SS ,则 nnS 的最小值为________. 答案: 2 49 [ 解 析 ] 本 题 考 查 等 差 数 列 与 导 数 的 综 合 问 题 , 由 5213,09225,0 111510  dadaSS 得 ,联立后就可以解得 2 3,3 1 1  ad ,则 6 102 nnSn  令 6 10)( 23 nnnSnf n  ,求导后可得 )203(6)('  nnnf ,因为 0n , 故当 3 20n 时 )(nf 单调递减,当 3 20n 时, )(nf 单调递增,所以当 3 20n 时取得最小 值,又因为 n 为整数,所以当 n=6 或 n=7 时取最小, 24)6( f , 2 49)7( f ,故最小 值为 2 49 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17)(本小题满分 12 分) △ABC 在内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=bcosC+csinB。 (Ⅰ)求 B; (Ⅱ)若 b=2,求△ABC 面积的最大值。 解析:本题考查正、余弦定理的应用,解题过程如下: (1)因为 a=bcosC+csinB 所以 sinA=sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB sinBcosC+cosBsinC= sinBcosC+sinCsinB 因为 sinC>0,所以有 cosB=sinB 从而有 B=45 º (2)由余弦定理可知: acac accab 22 45cos2222   所以有 )22(2 ac ,当且仅当 ca  取等号 122 2)22(22 1sin2 1  BacS 故面△ABC 面积的最大值为 12  。 如图,直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中, D , E 分别是 AB , 1BB 的中 点, 1 2 2AA AC CB AB   。 (Ⅰ)证明: 1 / /BC 平面 1 1ACD ; (Ⅱ)求二面角 1D AC E  的正弦值。 证明:(1)连接 AC1 交 A1C 于点 F,则 F 平分 AC1 又因为 D 为 AB 的中点,所以有 FD//BC1 FD  面 A1CD BC1  面 A1CD 所以 BC1//平面 A1CD 二、因为 AC=CB= /2AB,从而有 AC2+CB2=AB2 所以 AC  CB 如图建立空间直角坐标系,设 AC=1 则各点坐标为 C(0,0,0) A1(1,0,1),D(1/2,1/2,0),B(0,1,0) E(0,1,1/2) 则 )2 1,1,0( )0,2 1,2 1( )1,0,1(1       CE CD CA 设平面 A1CD 和平面 A1CE 的法向量分别为 ),,(),,( 22221111 zyxnzyxn   和 则 0 0 1 11     nCD nCA   0 0 2 2     nCE nCD   解得: )2,1,2(),1,1,1( 21  nn  , 3 6,sin3 3,cos 21 21 21 21   nnnn nnnn   则二面角 D-A1C-E 的正弦值为 3 6 。 (19)(本小题满分 12 分) 经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1 t 该产品获利润 500元,未 售出的产品,每1 t 亏损300 元。根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直 方图,如右图所示。经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品。以 X (单位:t , 100 150X  )表示市场需求量,T (单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的 利润。 (Ⅰ)将T 表示为 X 的函数; (Ⅱ)根据直方图估计利润T 不少于57000 元的概率; (Ⅲ)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,需求量落入该区 间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若 [100,110)x ,则取 105X  ,且 105X  的概率等于需求量落入[100,110) 的T 的数学期望。 解析:(1)当100 130X  时, 500 300 (130 ) 800 39000T X X X      当130 150X  时, 65000T  所以 T 与 X 的函数关系式为 800 39000(100 130) 65000(130 150) X XT X       (2)当800 39000 57000X   时,即 120X  时,概率 P=0.7 (3)X 可能的取值为: X 105 115 125 135 145 P 0.1 0.2 0.3 0.25 0.15 T 45000 53000 61000 65000 65000 所 以 5940015.06500025.0650003.0610002.0530001.045000 ET ( 元 ) (20)(本小题满分 12 分) 平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yM a ba b     右焦点的直线 3 0x y   交 M 于 ,A B 两点, P 为 AB 的中点,且OP 的斜率为 1 2 。 (Ⅰ)求 M 的方程; (Ⅱ) ,C D 为 M 上的两点,若四边形 ACBD 的对角线CD AB ,求四边形的最大值。 解析:(1)设 1 1 2 2 0 0( , ), ( , ), ( , ),A x y B x y P x y 将 A、B 代入得到 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1(1) 1(2) x y a b x y a b       ,则(1)-(2)得到 2 02 1 2 1 2 0 xy y b x x a y     , 由直线 AB: 3 0x y   的斜率 k=-1 所以 2 0 2 0 1xb a y     ,OP 的斜率为 0 0 1 2 x y  ,所以 2 22a b 由 2 2 2a b c  得到 2 26, 3a b  所以 M 得标准方程为 2 2 16 3 x y  (1) 若四边形 ACBD 的对角线CD AB ,由面积公式 ABCDS  2 1 可知, 当 CD 最长时四边形 ACBD 面积最大,由直线 AB: 3 0x y   的斜率 k=-1,设 CD 直线 方程为 mxy  ,与椭圆方程 2 2 16 3 x y  联立得: 06243 22  mmxx , 3 62,3 4 2 2121  mxxmxx 则 9 87224)(1 2 21 2 21 2 mxxxxkCD CD  ,当 m=0 时 CD 最大 值为 4, 联立直线 AB: 3 0x y   与椭圆方程 2 2 16 3 x y  得 0343 2  xx 同理利用弦长公式 3 644)(1 21 2 21 2  xxxxkAB AB 3 68 2 1 maxmax  ABCDS ACBD 。 (21)(本小题满分 12 分) 已知函数 ( ) ln( )xf x e x m   。 (Ⅰ)设 0x  是 ( )f x 的极值点,求 m ,并讨论 ( )f x 的单调性; (Ⅱ)当 2m  时,证明 ( ) 0f x  。 A.   mx 1-exf x  X=0 是极值点   00f  即: 1m0m 1-e0      1x 1-e1x 1x 1-exf x x    (x>-1) 当     )(,0)(),,0( )(,0)(,0,1-x xfxfx xfxf, X=0 处取的极小值 B. 0)( xf 恒成立,即当 m≤2 时, 0)ln(  mxex 恒成立。 令: xemxmg  )ln()( 即 g(m)>0 在 2,(m 上恒成立 易知,g(m)单调递减 即 g(2)>0 即: 0)2ln(  xex 恒成立 令 2 1)2( 2 1)( )2ln()(    x xe xexh xexh x x x 易知 1)2()(  xex x 单调递增,设其零点为 x0,且 x0>—2 递增在上递减在上 ),(,),2()( 00  xxxh 且 0 0 12 01)2( 0 0 x x ex xe   01ln)2ln()()( 000 0 0 00  xeeexexhxh x x xx 即 0)( xf 恒成立 2013 年高考理科数学(大纲卷) (1)设集合      1,2,3 , 4,5 , | , , ,A B M x x a b a A b B       则 M中元素的个数为 ( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 (2) 3 1+ 3i  (A) 8 (B)8 (C) 8i (D)8i (3)已知向量        1,1 , 2,2 , , =m n m n m n        若 则 ( ) (A) 4 (B) -3 (C) 2 (D) -1 (4)已知函数      -1,0 2 1f x f x 的定义域为 ,则函数 的定义域为( ) (A) 1,1 (B) 11, 2     (C) -1,0 (D) 1 ,12      (5)函数    1=log 1 0f x xx      的反函数  1 =f x ( ) (A)  1 02 1x x  (B)  1 02 1x x  (C)  2 1x x R  (D)  2 1 0x x  (6)已知数列 na 满足  1 2 43 0, , 103n n na a a a     则 的前 项和等于 ( ) (A)  -10-6 1-3 (B)  -101 1-39 (C)  -103 1-3 (D)  -103 1+3 (7)   3 4 2 21 1+x y x y 的展开式中 的系数是 ( ) (A)56 (B)84 (C)112 (D)168 (8)椭圆 2 2 1 2 2: 1 , ,4 6 x yC A A P C PA  的左、右顶点分别为 点 在 上且直线 斜率的取值 范围是  12, 1 , PA  那么直线 斜率的取值范围是 ( ) (A) 1 3 2 4      , (B) 3 3 8 4      , (C) 1 12      , (D) 3 14      , (9)若函数   2 1 1= ,2f x x ax ax       在 是增函数,则 的取值范围是 ( ) (A) -1,0 (B) - 1, (C) 0,3 (D ) 3 ,+ (10)已知正四棱锥 1 1 1 1 1 12 ,ABCD A B C D AA AB CD BDC 中, 则 与平面 所成角的正弦 值等于( ) (A) 2 3 (B) 3 3 (C) 2 3 (D) 1 3 (11)已知抛物线  2: 8 2,2 , CC y x M k C 与点 过 的焦点,且斜率为 的直线与 交于 , 0,A B MA MB k   两点,若 则 ( ) (A) 1 2 (B) 2 2 (C) 2 (D) 2 (12)已知函数  =cos sin 2 ,f x x x 下列结论中正确的是 ( ) (A)    ,0y f x  的图像关于 中心对称 (B)   2y f x x  的图像关于 对称 (C)   3 2f x 的最大值为 (D)  f x 既是奇函数,又是周期函数 (13)已知 1sin , cot3a a a  是第三象限角, 则 . (14) 6 个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种.(用数字作 答). (15)记不等式组 0, 3 4, 3 4, x x y x y        所表示的平面区域为 .D 若直线 ( 1)y a x  与 D 有公共点, 则 a 的取值范围是 . (16)已知圆 O 和圆 K 是球 O 的大圆和小圆,其公共弦长等于球 O 的半径, 3 2OK  ,且 圆O 与圆 K 所在的平面所成角为 060 , 则球O 的表面积等于 . 17.等差数列 na 的前 n 项和为 2 3 2 1 2 4. = , , ,nS S a S S S已知 且 成等比数列,求  na 的通项 式. 18.设 ABC 的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c , ( )( ) .a b c a b c ac     (I)求 B ;(II)若 3 1sin sin 4A C  ,求 C. 19.如图,四棱锥 90 2 ,P ABCD ABC BAD BC AD PAB PAD       中, , 与 都是等边三角形.(I)证明: ;PB CD (II)求二面角 .A PD C  的大小 20.甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时, 负的一方在下一局当裁判,设各局中双方获胜的概率均为 1 ,2 各局比赛的结果都相互独立, 第1局甲当裁判. (I)求第 4 局甲当裁判的概率;(II) X 表示前 4 局中乙当裁判的次数,求 X 的数学期 望. 21.已知双曲线   2 2 1 22 2: 1 0, 0x yC a b F Fa b     的左、右焦点分别为 , ,离心率为3,直 线 2 6.y C 与 的两个交点间的距离为 (I)求 , ;a b ;(II)设过 2F 的直线l 与 C 的左 右两支分别相交于 ,A B 两点,且 1 1 ,AF BF 证明: 2 2 .AF AB BF、 、 成等比数列 22.已知函数      1=ln 1 .1 x xf x x x    (I)若  0 , 0,x f x  时 求 的最小值;; (II)设数列  2 1 1 1 11 , ln 2.2 3 4n n n na a a an n       的通项 证明: 参考答案(理科) 1-5 BABBA 6-10 CDBDA 11-12 DC 13. 2 2 14. 480 15. 1 ,42      16. 16 17.解:设 na 的公差为 d . 由 2 3 2S a 得 2 2 23a a ,故 2 0a  或 2 3a  . 由 1 2 4, ,S S S 成等比数列得 2 2 1 4S S S . 又 1 2S a d  , 2 22S a d  , 4 24 2S a d  , 故 2 2 2 2(2 ) ( )(4 2 )a d a d a d    .若 2 0a  ,则 2 22d d  ,所以 0d  ,此时 0nS  , 不合题意;若 2 3a  ,则 2(6 ) (3 )(12 2 )d d d    ,解得 0d  或 2d  . 因此 na 的通 项公式为 3na  或 2 1na n  . 18. 解:(1)因为 ( )( )a b c a b c ac     ,所以 2 2 2a c b ac    ,由余弦定理得 2 2 2 1cos 2 2 a c bB ac     ,因此 0120B  .(2)由(1)知 060A C  ,所以 cos( ) cos cos sin sinA C A C A C   cos cos sin sin 2sin sinA C A C A C   cos( ) 2sin sinA C A C   1 3 1 322 4 2     . 故 030A C  或 030A C   ,因此 015C  或 045C  . 19.解:(1) 取 BC 的中点 E ,连接 DE ,则 ABED 为正方形. 过 P 作 PO  平面 ABCD ,垂足为O .连结 , , ,OA OB OD OE . 由 PAB 和 PAD 都是等边三角形知 PA PB PD  ,所以OA OB OD  , 即O 点为正方形 ABCD 对角线的交点,故OE BD ,从而 PB OE . 因为O 是 BC 的中点, E 是 BC 的中点,所以 / /OE CD ,因此 PB CD . (2)解法一:由(1)知CD PB ,CD PO , PB PO P  ,故CD  平面 PBD . 又 PD  平面 PBD ,所以CD PD . 取 PD 的中点 F , PC 的中点G ,连 FG ,则 / /FG CD , FG PD . 连接 AF ,由 APD 为等边三角形可得 AF PD .所以 AFG 为二面角 A PD C  的平 面角. 连结 ,AG EG ,则 / /EG PB .又 PB AE ,所以 EG AE . 设 2AB  ,则 12 2, 12AE EG PB   ,故 2 2 3AG AE EG   . 在 AFG 中, 1 22FG CD  , 3, 3AF AG  , 所以 2 2 2 6cos 2 3 FG AF AGAFG FG AF       . 因此二面角 A PD C  在大小为 6arccos 3   . 解法二:由(1)知, , ,OE OB OP 两两垂直.以O 为坐标原点,OE 的方向为 x 轴的正方向 建立如图所示的空间直角坐标系O xyz .设 2AB  , 则 ( 2,0,0)A  , (0, 2,0)D  , (2 2, 2,0)C  , (0,0, 2)P , (2 2, 2, 2)PC    , (0, 2, 2)PD    , ( 2,0, 2)AP  , ( 2, 2,0)AD   . 设平面 PCD 的法向量 1 ( , , )n x y z ,则 1 ( , , ) (2 2, 2, 2) 0n PC x y z       , 1 ( , , ) (0, 2, 2) 0n PD x y z       , 可得 2 0x y z   , 0y z  .取 1y   ,得 0, 1x z  ,故 1 (0, 1,1)n   . 设平面 PAD 的法向量 2 ( , , )n m p q ,则 2 ( , , ) ( 2,0, 2) 0n AP m p q     , 2 ( , , ) ( 2, 2,0) 0n AD m p q      , 可得 0, 0m q m p    .取 1m  ,得 1p  , 1q   ,故 2 (1,1, 1)n   . 于是 1 2 1 2 1 2 6cos , 3 n nn n n n         .由于 1 2,n n   等于二面角 A PD C  的平面角,所以二 面角 A PD C  在大小为 6arccos 3   . 20. 解:(1)记 1A 表示事件“第 2 局结果为甲胜”, 2A 表示事件“第 3 局甲参加比赛时, 结果为甲负”, A 表示事件“第 4 局甲当裁判”. 所以 1 2A A A  , 1 2 1( ) ( ) ( ) 4P A P A P A   . (2) X 的可能取值为 0,1,2. 记 3A 表示事件“第 3 局乙和丙比赛时,结果为乙胜丙”, 1B 表示事件“第 1 局结果为乙胜丙”, 2B 表示事件“第 2 局乙和甲比赛时,结果为乙胜甲”, 3B 表示事件“第 3 局乙参加比赛时,结果为乙负”. 则 1 2 3 1 2 3 1( 0) ( ) ( ) ( ) ( ) 8P X P B B A P B P B P A        , 1 3 1 3 1( 2) ( ) ( ) ( ) 4P X P B B P B P B      , 1 1 5( 1) 1 ( 0) ( 2) 1 8 4 8P X P X P X          . 90 ( 0) 1 ( 1) 2 ( 2) 8EX P X P X P X          . 21. 解:由题设知 3c a  ,即 2 2 2 9a b a   ,故 2 28b a . 所以C 的方程为 2 2 28 8x y a  . 将 2y  代入上式,求得 2 1 2x a   .由题设知 2 12 62a   ,解得 2 1a  ,所以 1a  , 2 2b  . (2)由(1)知, 1 2( 3,0), (3,0)F F ,C 的方程为 2 28 8x y  (*) 由题意可设l 的方程为 ( 3)y k x  , 2 2k  ,代入(*)并化简得 2 2 2 2( 8) 6 9 8 0k x k x k     . 设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ,则 1 21, 1x x   , 2 1 2 2 6 8 kx x k    , 2 1 2 2 9 8 8 kx x k    . 于是 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1( 3) ( 3) 8 8 (3 1)AF x y x x x          , 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2( 3) ( 3) 8 8 3 1BF x y x x x         . 由 1 1AF BF 得 1 2(3 1) 3 1x x    ,即 1 2 2 3x x   ,故 2 2 2 6 2 8 3 k k   ,解得 2 4 5k  ,从而 1 2 19 9x x   . 由于 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1( 3) ( 3) 8 8 1 3AF x y x x x         , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( 3) ( 3) 8 8 3 1BF x y x x x         . 故 2 2 1 22 3( ) 4AB AF BF x x      , 2 2 1 2 1 23( ) 9 1 16AF BF x x x x      . 因而 2 2 2AF BF AB  ,所以 2 2, ,AF AB BF 成等比数列. 22.解:(1)由已知 (0) 0f  , 2 ' ' 2 (1 2 )( ) , (0) 0(1 ) x xf x fx     . 若 1 2   ,则当 0 2(1 2 )x    时, ' ( ) 0f x  ,所以 ( ) 0f x  . 若 1 2   ,则当 0x  时, ' ( ) 0f x  ,所以当 0x  时, ( ) 0f x  . 综上,  的最小 值是 1 2 . (2)令 1 2   .由(1)知,当 0x  时, ( ) 0f x  ,即 (2 ) ln(1 )2 2 x x xx    ,取 1x k  ,则 2 1 1ln2 ( 1) k k k k k   ,于是 2 1 2 1 1 1( )4 2 2( 1) n n n k x a a n k k        2 1 2 1 2 ( 1) n k x k k k     2 1 1ln n k x k k     ln 2 ln ln 2n n   . 所以 2 1 ln 24n na a n    . 2013 北京高考理科数学试题 第一部分 (选择题 共 40 分) 一、选择题共 8 小题。每小题 5 分,共 40 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的一项。 1.已知集合 A={-1,0,1},B={x|-1≤x<1},则 A∩B= ( ) A.{0} B.{-1,0} C.{0,1} D.{-1,0,1} 2.在复平面内,复数(2-i)2 对应的点位于( ) A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D. 第四象限 3.“φ=π”是“曲线 y=sin(2x+φ)过坐标原点的” A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为 A.1 B. 2 3 C. 13 21 D. 610 987 5.函数 f(x)的图象向右平移一个单位长度,所得图象与 y=ex 关于 y 轴对称,则 f(x)= A. 1ex B. 1ex C. 1e x  D. 1e x  6.若双曲线 2 2 2 2 1x y a b   的离心率为 3 ,则其渐近线方程为 A.y=±2x B.y= 2x C. 1 2y x  D. 2 2y x  7.直线 l 过抛物线 C:x2=4y 的焦点且与 y 轴垂直,则 l 与 C 所围成的图形的面积等于 A. 4 3 B.2 C. 8 3 D.16 2 3 8.设关于 x,y 的不等式组 2 1 0, 0, 0 x y x m y m          表示的平面区域内存在点 P(x0,y0)满足 x0-2y0=2, 求得 m 的取值范围是 A. 4, 3      B. 1, 3     C. 2, 3      D. 5, 3      第二部分(非选择题 共 110 分) 二、填空题共 6 题,每小题 5 分,共 30 分. 9.在极坐标系中,点(2, 6  )到直线ρsinθ=2 的距离等于 10.若等比数列{an}满足 a2+a4=20,a3+a5=40,则公比 q= ;前 n 项和 Sn= . 11.如图,AB 为圆 O 的直径,PA 为圆 O 的切线,PB 与圆 O 相交于 D,PA=3, 9 16 PD DB  ,则 PD= ,AB= . 12.将序号分别为 1,2,3,4,5 的 5 张参观券全部分给 4 人,每人至少一张,如果分给同 一人的两张参观券连号,那么不同的分法种数是 . 13.向量 a,b,c 在正方形网格中的位置如图所示,若 c=λa+μb(λ,μ∈R) ,则   = 14.如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 BC 的中点,点 P 在线段 D1E 上,点 P 到直线 CC1 的距离的最小值为 . 三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演 2013 年普通高等学校招生统一 考试算步骤或证明过程 15. (本小题共 13 分) 在△ABC 中,a=3,b=2 6 ,∠B=2∠A. (I)求 cosA 的值, (II)求 c 的值 16.( 本小题共 13 分) 下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于 100 表示空气质量 优良,空气质量指数大于 200 表示空气重度污染,某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的 某一天到达该市,并停留 2 天 (Ⅰ)求此人到达当日空气重度污染的概率 (Ⅱ)设 X 是此人停留期间空气质量优良的天数,求 X 的分布列与数学期望。 (Ⅲ)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明) 17. (本小题共 14 分) 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1C1C 是边长为 4 的正方形.平面 ABC⊥平面 AA1C1C,AB=3, BC=5. (Ⅰ)求证:AA1⊥平面 ABC; (Ⅱ)求二面角 A1-BC1-B1 的余弦值; (Ⅲ)证明:在线段 BC1 存在点 D,使得 AD⊥A1B,并求 1 BD BC 的值. 18. (本小题共 13 分) 设 l 为曲线 C: ln xy x  在点(1,0)处的切线. (I)求 l 的方程; (II)证明:除切点(1,0)之外,曲线 C 在直线 l 的下方 19. (本小题共 14 分) 已知 A、B、C 是椭圆 W: 2 2 14 x y  上的三个点,O 是坐标原点. (I)当点 B 是 W 的右顶点,且四边形 OABC 为菱形时,求此菱形的面积. (II)当点 B 不是 W 的顶点时,判断四边形 OABC 是否可能为菱形,并说明理由. 20. (本小题共 13 分) 已知{an}是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n项的最大值记为An,第n项之后各项 1na  , 2na  …的最小值记为 Bn,dn=An-Bn (I)若{an}为 2,1,4,3,2,1,4,3…,是一个周期为 4 的数列(即对任意 n∈N*, 4n na a  ), 写出 d1,d2,d3,d4 的值; (II)设 d 为非负整数,证明:dn=-d(n=1,2,3…)的充分必要条件为{an}为公差为 d 的等差数 列; (III)证明:若 a1=2,dn=1(n=1,2,3…),则{an}的项只能是 1 或 2,且有无穷多项为 1 要使可行域存在,必有 m<-2m+1,要求可行域内 包含直线 1 12y x  上的点,只要边界点(-m,1-2m)在直线 1 12y x  上方,且(-m,m) 在直线 1 12y x  下方,解不等式组 1 2 11 2 12 1 12 m m m m m m               得 m< 2 3  2013 年山东高考数学试题 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 (1)复数 z 满足(z-3)(2-i)=5(i 为虚数单位),则 z 的共轭复数为( D ) A. 2+i B.2-i C. 5+i D.5-i (2)设集合 A={0,1,2},则集合 B={x-y |x∈A, y∈A }中元素的个数是( C ) A. 1 B. 3 C. 5 D.9 (3)已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时, f(x) =x2+ 1 x ,则 f(-1)= ( A ) (A)-2 (B)0 (C)1 (D)2 (4)已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱与底面垂直,体积为 9 4 ,底面积是边长为 3 的正 三角形,若 P 为底面 A1B1C1 的中心,则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为 ( B ) (A) 5 12  (B) 3  (C) 4  (D) 6  (5)将函数 y=sin(2x + )的图像沿 x 轴向左平移 8  个单位后,得到一个偶函数的 图像,则 的一个可能取值为 B (A) 3 4  (B) 4  (C)0 (D) 4  (6)在平面直角坐标系 xOy 中,M 为不等式组: 2x y 2 0 x 2y 1 0 3x y 8 0            ,所表示的区域上一 动点,则直线 OM 斜率的最小值为 C (A)2 (B)1 (C) 1 3  (D) 1 2  (7)给定两个命题 p、q,若﹁p 是 q 的必要而不充分条件,则 p 是﹁q 的 B (A)充分而不必条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要 条件 (8)函数 y=xcosx + sinx 的图象大致为 D ( A ) ( B ) (C) (D) (9)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1 的两条切线,切点分别为 A,B,则直线 AB 的方 程为 A (A)2x+y-3=0 (B)2x-y-3=0 (C)4x-y-3=0 (D) 4x+y-3=0 (10)用 0,1,…,9 十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为 B (A)243 (B)252 (C)261 (D)279 (11)抛物线 C1:y= 1 2p x2(p>0)的焦点与双曲线 C2: 2 2 13 x y  的右焦点的连 线交 C1 于第一象限的点 M.若 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线,则 p= D (12)设正实数 x,y,z 满足 x2-3xy+4y2-z=0.则当 xy z 取得最大值时, 2 1 2 x y z   的最大值 为 B (A)0 (B)1 (C) 9 4 (D)3 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分 (13)执行右面的程序框图,若输入的 的值为 0.25,则输入的 n 的值为 3 (14)在区间[-3,3]上随机取一个数 x,使得 |x+1 |- |x-2 |≥1 成立的概 率为 1 3 (15)已知向量 AB 与 AC 的夹角为120 ,且| | 3,| | 2,AB AC   若 ,AP AB AC    且 AP BC  ,则实数  的值为 7 12 (16)定义“正对数”: 0, 0 1ln ln , 1 xx x x      ,现有四个命题: ①若 0, 0a b  ,则 ln ( ) lnba b a  ②若 0, 0a b  ,则 ln ( ) ln lnab a b    ③若 0, 0a b  ,则 ln ( ) ln lna a bb     ④若 0, 0a b  ,则 ln ( ) ln ln ln 2a b a b      其中的真命题有: ①③④ (写出所有真命题的编号) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. (17)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a+c=6,b=2,cosB= 7 9 . (Ⅰ)求 a,c 的值; (Ⅱ)求 sin(A-B)的值. 解答:(1)由 cosB= 7 9 与余弦定理得, 2 2 144 9a c ac   ,又 a+c=6,解得 3a c  (2)又 a=3,b=2, 4 2sin 9B  与正弦定理可得, 2 2sin 3A  , 1cos 3A  , 所以 sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB= 10 227 (18)(本小题满分 12 分) 如图所示,在三棱锥 P-ABQ 中,PB⊥平面 ABQ,BA=BP=BQ,D, C,E,F 分别是 AQ,BQ,AP,BP 的中点,AQ=2BD,PD 与 EQ 交 于点 G,PC 与 FQ 交于点 H,连接 GH。 (Ⅰ)求证:AB//GH; (Ⅱ)求二面角 D-GH-E 的余弦值 . 解答:(1)因为 C、D 为中点,所以 CD//AB 同理:EF//AB,所以 EF//CD,EF  平面 EFQ, 所以 CD//平面 EFQ,又 CD  平面 PCD,所以 CD//GH,又 AB//CD,所以 AB//GH. (2)由 AQ=2BD,D 为 AQ 的中点可得,△ABQ 为直角三角形,以 B 为坐标原点,以 BA、BC、BP 为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系,设 AB=BP=BQ=2,可得平面 GCD 的一个法向量为 1 (0,2,1)n  ,平面 EFG 的一个法向量为 2 (0,1,2)n  ,可得 4 4cos 55 5    ,所以二面 角 D-GH-E 的余弦值为 4 5  (19)本小题满分 12 分 甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜 3 局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五 局甲队获胜的概率是 1 2 外,其余每局比赛甲队获胜的概率是 2 3 .假设每局比赛结果互相独 立. (1)分别求甲队以 3:0,3:1,3:2 胜利的概率 (2)若比赛结果为 3:0 或 3:1,则胜利方得 3 分,对方得 0 分;若比赛结果为 3:2,则胜利方得 2 分、对方得 1 分,求乙队得分 x 的分布列及数学期望. 解答:(1) 3 3 1 3 2 8( )3 27p C  , 2 2 2 3 2 1 2 8( )3 3 3 27p C   , 2 2 2 3 4 2 1 1 4( ) ( )3 3 2 27p C   (2)由题意可知 X 的可能取值为:3,2,1,0 相应的概率依次为: 1 4 4 16, , ,9 27 27 27 ,所以 EX= 7 9 (20)(本小题满分 12 分) 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S4=4S2,a2n=2an+1 (1) 求数列{an}的通项公式; (2) 设数列{bn}的前 n 项和 Tn,且 Tn+ 1 2 n n a  = λ(λ为常数),令 cn=b2n,(n∈N•). 求数列{cn}的前 n 项和 Rn. 解答:(1)由 S4=4S2,a2n=2an+1,{an}为等差数列,可得, 1 1, 2a d  所以 2 1na n  (2)由 Tn+ 1 2 n n a  = λ可得, 1 1b   ,Tn-1+ 2 2n n = λ两式相减可得,当 2n  时, 1 2 2n n nb   ,所以当 0  时,cn=b2n= 1 1 4n n   ,错位相减法可得,Rn= 1 4 3 1 9 9 4n n    当 0  时,cn=b2n= 1 1 1 1 24n n n n       ,可得 Rn= 1 5 3 1 9 9 4n n     (21)(本小题满分 13 分) 设函数 2( ) ( 2.71828x xf x c ee    是自然对数的底数, )c R . (1)求 ( )f x 的单调区间,最大值; (2)讨论关于 x 的方程| ln | ( )x f x 根的个数. 解答:(1) ' 2 1 2( ) x xf x e  ,令 ' ( ) 0f x  得, 1 2x  , 当 '1( , ), ( ) 0,2x f x   函数单调递增; '1( ), ( ) 0,2x f x   , 函数单调递减;所以当 1 2x  时,函数取得最的最大值 max 1( ) 2f x ce   (2)由(1)知,f(x)先增后减,即从负无穷增大到 1 2 ce  ,然后递减到 c,而函数|lnx| 是(0,1)时由正无穷递减到 0,然后又逐渐增大。 故令 f(1)=0 得, 2 1c e   , 所以当 2 1c e   时,方程有两个根; 当 2 1c e   时,方程有一两个根; 当 2 1c e   时,方程有无两个根. (22)(本小题满分 13 分) 椭圆 C: 2 2 2 2 1x y a b   (a>b>0)的左、右焦点分别是 F1、F2,离心率为 3 2 ,过 F1 且 垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 l. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点,连接 PF1、PF2,设∠F1PF2 的角平分线 PM 交 C 的长轴于点 M(m,0),求 m 的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过点 p 作斜率为 k 的直线 l,使得 l 与椭圆 C 有且只有一个 公共点, 设直线 PF1,PF2 的斜率分别为 k1,k2,若 k≠0,试证明 1 2 1 1 kk kk  为定值,并求出 这个定值. 解答:(1)由已知得, 3 2 c a  , 2 2 2 22 1,b a b ca    ,解得 2 24, 1a b  所以椭圆方程为: 2 2 14 x y  (2)由题意可知: 1 1| || | PF PM PF PM     = 2 2| || | PF PM PF PM     , 1 1| | PF PM PF    = 2 2| | PF PM PF    ,设 0 0( , )P x y 其中 2 0 4x  ,将向量坐标代入并化简得:m( 2 3 0 0 04 16) 3 12x x x   ,因为 2 0 4x  , 所以 0 3 4m x ,而 0 ( 2,2)x   ,所以 3 3( , )2 2m  (3)由题意可知,l 为椭圆的在 p 点处的切线,由导数法可求得,切线方程为: 0 0 14 x x y y  ,所以 0 04 xk y   ,而 0 0 1 2, 3 3 y yk k x x     ,代入 1 2 1 1 kk kk  中得: 0 0 1 2 0 0 3 31 1 4( ) 8x x kk kk x x        为定值. 2013 年陕西高考试理科数学 注意事项: 1. 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题,第二部分为非选择题.。 2. 考生领到试卷后,须按规定在试卷上填写姓名、准考证号,并在答题卡上填涂对应 的试卷类型信息.。 3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交 回。 第一部分(共 50 分) 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(本大题共 10 小题,每 小题 5 分,共 50 分) 1. 设全集为 R, 函数 2( ) 1f x x  的定义域为 M, 则C MR 为 (A) [-1,1] (B) (-1,1) (C) , 1] [1, )(     (D) , 1) (1, )(     【答案】D 【解析】 ( )f x 的定义域为 M=[-1,1],故 CRM=( , 1) (1, )    ,选 D 2. 根据下列算法语句, 当输入 x 为 60 时, 输出 y 的值为 (A) 25 (B) 30 (C) 31 (D) 61 【答案】C 【解析】故选择 C 3. 设 a, b 为向量, 则“| | | || |a ab b· ”是“a//b”的 (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 4. 某单位有 840 名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取 42 人做问卷调查, 将 840 人按 1, 2, …, 840 随机编号, 则抽取的 42 人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为 (A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 14 【答案】B 【解析】由题设可知区间[481,720]长度为 240,落在区间内的人数为 12 人。 5. 如图, 在矩形区域 ABCD 的 A, C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是 输入 x If x≤50 Then y=0.5 * x Else y=25+0.6*(x-50) End If 输出 y 扇形区域 ADE 和扇形区域 CBF(该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形 区域内随机地选一地点, 则该地点无.信号的概率是 (A)1 4  (B) 12   (C) 2 2  (D) 4  【答案】A 【解析】由题设可知矩形 ABCD 面积为 2,曲边形 DEBF 的面积为 2 2  故所求概率为 2 2 12 4     ,选 A. 6. 设 z1, z2 是复数, 则下列命题中的假命题是 (A) 若 1 2| | 0zz   , 则 1 2z z (B) 若 1 2z z , 则 1 2z z (C) 若 1 2| |z z , 则 21 1 2· ·z zz z (D) 若 1 2| | ||z z , 则 21 2 2z z 【答案】D 【 解 析 】 设 1 2, ,z a bi z c di    若 1 2| | 0z z  , 则 1 2| | ( ) ( )z z a c b d i     , ,a c b d  ,所以 1 2z z ,故 A 项正确;若 1 2z z ,则 ,a c b d   ,所以 1 2z z ,故 B 项正确;若 1 2| | | |z z ,则 2 2 2 2a b c d   ,所以 1 1 2 2. .z z z z ,故 C 项正确; 7. 设△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 cos cos sinb C c B a A  , 则△ABC 的形状为 (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定 【答案】B 【解析】因为 cos cos sinb C c B a A  ,所以由正弦定理得 2sin cos sin cos sinB C C B A  , 所以 2sin( ) sinB C A  ,所以 2sin sinA A ,所以 sin 1A  ,所以△ABC 是直角三角形。 8. 设函数 61 , 0 0 . ,( ) , x xf x x x x           , 则当 x>0 时, [ ( )]f f x 表达式的展开式中常数项为 (A) -20 (B) 20 (C) -15 (D) 15 【答案】A 【解析】 61[ ( )] ( )f f x x x   ,所以 3 3 3 4 6 1( ) ( ) 20T C x x     9. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于 300m2 的内接矩形花园(阴影部 分), 则其边长 x(单位 m)的取值范围是 (A) [15,20] (B) [12,25] (C) [10,30] (D) [20,30] 【答案】C 【解析】如图△ADE∽△ABC,设矩形的另一边长为 y,则 240 40 ADE ABC S y S        ,所以 y=40-x, 又 xy≥300,,所以 x(40-x)≥300 即 2 40 300 0x x   ,解得 10≤x≤30 10. 设[x]表示不大于 x 的最大整数, 则对任意实数 x, y, 有 (A) [-x] = -[x] (B) [2x] = 2[x] (C) [x+y]≤[x]+[y] (D) [x-y]≤[x]-[y] 【答案】D 【 解 析 】 取 x=25, 则 [-x]=[-2.5]=-3,-[x]=-[2.5]=-2, 所 以 A 项 错 误 ; [2x]=[5]=[ 52 2  ]=2[2.5]=4, 所 以 B 项 错 误 ; 再 取 y=28 , 则 [x+y]=[5.3]=5,[x]+[y]=[2.5]+[2.8]=2+2=4,所以 C 项错误. 二、填空题:把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. 双曲线 2 2 116 x y m   的离心率为 5 4 , 则 m 等于 . 【答案】9 【解析】由 a2=16,b2=m 得 c2=16+m,则 e= 4 5 4 16c  m a , ∴m=9 【考点与方法】本题主要考察了双曲线的标准方程以及离心率, 属于容易题,解题的关键在于利用双曲线标准方程 c2=a2+b2 和离 心率的求解公式 e= a c 12. 某几何体的三视图如图所示, 则其体积为 . 【答案】 3  【解析】由三视图还原为实物图得半个圆锥,其体积为 V= 321·3 1 2 1 2   )( . 【考点与方法】本题主要考查了三视图还原为实物图的能力和圆锥的体积公式,属于容易题。 13. 若点(x, y)位于曲线 | 1|y x  与 y=2 所围成的封闭区域, 则 2x-y 的最小值 为 . 【答案】-4 【解析】作出曲线 y= 1x  与 y=2 所表示的区域,令 2x-y=z,即 y=2x-z,作直线 y=2x, 在封闭区域内平行移动直线 y=2x,当经过点(-1,2)时,z 取到最小值,此时最小值为- 4. 【考点与方法】本题主要考察了线性规划的最值问题,考查画图和转化能力,属于中等题, 解题的关键在于画出曲线围成的封闭区域,并把求 2x-y 的最小值转化为求 y=2x-z 所表示 的直线截距的最大值,通过平移直线 y=2x 即可求解。 14. 观察下列等式: 21 1 2 21 2 3   2 2 21 2 63  2 2 2 21 2 43 10   … 照此规律, 第 n 个等式可为 . 【答案】12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1· 2 1nn )(  (n∈ N ) 【解析】观察上式等号左边的规律发现,左边的项数一次加 1,故第 n 个等式左边有 n 项, 每项所含的底数的绝对值也增加 1,一次为 1,2,3…n,指数都是 2,符号成正负交替出现可 以用(-1)n+1 表示,等式的右边数的绝对值是左边项的底数的和,故等式的右边可以表示 为(-1)n· 2 1nn )(  ,所以第 n 个式子可为 12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1· 2 1nn )(  (n∈ N ) 【考点与方法】本题考查观察和归纳的推理能力,属于中等题。解题的关键在于:1.通过四 个已知等式的比较发现隐藏在等式中的规律;2.符号成正负交替出现可以用(-1)n+1 表示; 3.表达完整性,不要遗漏了 n∈ N 15. (考生请注意:请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分) A. (不等式选做题) 已知 a, b, m, n 均为正数, 且 a+b=1, mn=2, 则(am+bn)(bm+an)的最小值 为 . 【解析】由科尔不等式可得 (am+bn)(bm+an)≥( bnbman am )2mn(a+b)2=2 B. (几何证明选做题) 如图, 弦 AB 与 CD 相交于 O 内一点 E, 过 E 作 BC 的平行线与 AD 的 延长线相交于点 P. 已知 PD=2DA=2, 则 PE= . 【答案】 6 【解析】已知∠BCE=∠PED=∠BAP ∴  PDE∽  PEA ∴ PE PD PA PE  而 PD=2DA=2 ∴PA=3 PE2=PA·PD=6 故 PE= 6 C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角  为参数, 则圆 2 2 0y xx    的参数方程为 . 【答案】x= 2cos4 1 2 1  ,y= 2sin4 1 , 0 ≤ < 【解析】x2+y2-x=0,(x- 2 1 )2+y2= 4 1 ,以( 02 1,)为圆心, 4 1 为半径,且过原点的圆,它 的标准参数方程为 x= acos4 1 2 1  ,y= asin4 1 ,0 ≤a<2 ,由已知,以过原点的直线倾斜 角 为参数,则 0 ≤ < ,所以 0 ≤2 <2 ,所以所求圆的参数方程为 x= 2cos4 1 2 1  , y= 2sin4 1 , 0 ≤ < 三、解答题: 解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤(本大题共 6 小题,共 75 分) 16. (本小题满分 12 分) 已知向量 1(cos , ), ( 3sin ,cos2 ),2x x x x   a b R , 设函数 ( ) ·f x  a b . (Ⅰ) 求 f (x)的最小正周期. (Ⅱ) 求 f (x) 在 0, 2      上的最大值和最小值. 【解析】: 1( ) 3sin cos cos22 3 1sin 2 cos22 2 sin(2 )6 f x a b x x x x x x          (I) ( )f x 的最小正周期为 2 2T    (II)∵ [0, ]2x  ,∴ 2 [ ,5 ]6 6 6x      ,∴ 1sin(2 ) [ ,1]6 2x    故当 2 6 2x    即 3x  时, ( ) =1f x 整数 当 2 -6 6x    即 0x  时, 1( ) =- 2f x 整数 【命题意图】本题考查三角恒等式,三角函数的性质等基础知识,简单题。 17. (本小题满分 12 分) 设{ }na 是公比为 q 的等比数列. (Ⅰ) 推导{ }na 的前 n 项和公式; (Ⅱ) 设 q≠1, 证明数列{ 1}na  不是等比数列. 【解析】:(I)设等比数列{an}的公比为 q,其前 n 项和 Sn=a1+ a1q+…. a1qn-1 将(1)式两边分别乘以 q 得 qSn=a1q+ a1q2+…a1qn 当 q≠0 时 n n n a qS 1 q   (1- )或 1 n n a a qS 1 q   - ) 当 q=1 时, a1= a2=…. an 所以 Sn=na (II)∵q≠1 假设数列{an+1}为等比数列,那么 2 2 1 3( 1) ( 1) ( 1)a a a    即 2 2 1 1 1 1( 1) ( 1) ( 1) 0a q a a q a      或 q=1,均与题设矛盾,故数列 { 1}na  吧可能为等比数列。 18. (本小题满分 12 分) 如图, 四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形, O 为底面中心, A1O⊥平面 ABCD, 1 2AB AA  . (Ⅰ) 证明: A1C⊥平面 BB1D1D; (Ⅱ) 求平面 OCB1 与平面 BB1D1D 的夹角 的大小. 【解析】: 如图建立空间直角坐标系 由 AB=AA1= 2 可知 O(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0),B1(-1,1,1),C(-1,0,0) A1(0,0,1)D1(-1,-1,1) (I) A1c=(-1,0,-1)DB(0,2,0) BB1(-1,0,1) 1 1 10, 0AC DB AC BB   即 所以 A1c⊥平面BB1D1D (II)容易求得平面OCB1 的一个法向量 (0,1, 1)n   ,平面 BB1D1D 的一个法向量为 (1,0,1)m  所求夹角余弦值为 1cos | | | | 2 m n m n      所求夹角的大小为 60° 19. (本小题满分 12 分) 在一场娱乐晚会上, 有 5 位民间歌手(1 至 5 号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受 欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选3名选手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他 必选 1 号, 不选 2 号, 另在 3 至 5 号中随机选 2 名. 观众乙和丙对 5 位歌手的演唱没有偏爱, 因此在 1 至 5 号中随机选 3 名歌手. (Ⅰ) 求观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率; (Ⅱ) X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求 X 的分布列和数学期望. 【解析】(Ⅰ)由于观众甲必选 1,不选 2,则观众甲选中 3 号歌手的概率为 3 2 2 3 1 2 1 1  C CC , 观众乙未选中 3 号歌手的概率为 5 2 3 5 3 4  C C ,甲乙选票彼此独立,故观众甲选中 3 号歌手且观 众乙未选中 3 号歌手的概率为 15 4 5 2 3 2  。 (Ⅱ) X 的所有可能取值为 0,1,2,3.由(Ⅰ)知,观众甲选中 3 号歌手的概率为 3 2 ,观众乙选中 3 号歌手的概率为 1- 5 2 = 5 3 ,则观众丙选中 3 号歌手的概率也为 1- 5 2 = 5 3 , 则  )0(XP (1- 3 2 )(1- 5 3 ) 2 = 75 4  )1(XP 3 2  (1- 5 3 ) 2 +(1- 3 2 ) 1 2C  5 3  (1- 5 3 )= 15 4 75 20   )2(XP 3 2  1 2C  5 3 (1- 5 3 ) +(1- 3 2 ) ( 5 3 ) 2 = 25 11 75 33   )3(XP 3 2  ( 5 3 ) 2 = 25 6 75 18  则 X 的分布列如下: 20. (本小题满分 13 分) 已知动圆过定点 A(4,0), 且在 y 轴上截得的弦 MN 的长为 8. (Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (Ⅱ) 已知点 B(-1,0), 设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P, Q, 若 x 轴是 PBQ 的角平分线, 证明直线 l 过定点. 【解析】(Ⅰ)设动圆圆心C 的坐标为( yx, ),则 (4- x ) 2 +(0- y ) 2 = 224 x ,整理得 xy 82  。 所以,所求动圆圆心的轨迹C 的方程为 xy 82  (Ⅱ)证明:设直线l 的方程为 bkxy  ,联立 xy bkxy 82 {   得 xbkbxxk 82 222   0)28( 222  bxkbxk (其中  )0),设 ),( 11 bkxxP  , ),( 22 bkxxQ  ,若 x 轴是 PBQ 的 角 平 分 线 , 则  PBQB kk    11 2 2 1 1 x bkx x bkx   )1)(1( )1)(1()1)(( 21 1221 xx xkxxbkx   )1)(1( 2))(( 21 2121 xx bxxbkxkx    )1)(1( )( 21 2 xxk bkS 0,即 bk  ,故直线 l 的方程为 )1(  xky ,直线过定点(1,0) 21. (本小题满分 14 分) 已知函数 ( ) e ,xf x x  R . (Ⅰ) 若直线 y=kx+1 与 f (x)的反函数的图像相切, 求实数 k 的值; (Ⅱ) 设 x>0, 讨论曲线 y=f (x) 与曲线 2 ( 0)y mx m  公共点的个数. (Ⅲ) 设 a0, )( 2xf >- 2 1 B. )( 1xf <0, )( 2xf <- 2 1 C. )( 1xf >0, )( 2xf <- 2 1 D. )( 1xf <0, )( 2xf >- 2 1 填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。请将答案填在答 题卡对应题号的位置上,答错位置,书写不清,模棱两可均不得分。 (一)必考题(11-14 题) 11.从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在 50 至 350 度之间,频率 分布直方图如图所示 (Ⅰ)直方图中 x 的值为 (Ⅱ)在这些用户中,用电量落在区间[100,250]内的户数为 12.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果 i= 13.设 x,y,z∈R,且满足:x2+y2+z2=1,x+2y+3z= 14 ,则 x+y+z= 14.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数,如三角形数 1,3,6,10,…,第 n 个三角型数为 nnnn 2 1 2 1 2 )1( 2  ,记第 n 个 k 边形数为 N(n,k)(k≥3),以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式: 三角形数 N(n,3)= nn 2 1 2 1 2  , 正方形数 N(n,4)=n2, 五边形数 N(n,5)= nn 2 1 2 3 2  , 六边形数 N(n,6)= nn 22 , ……………………………………… 可以推测 N(n,k)的表达式,由此计算 N(10,24)= (二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答,请现在答题卡指定位置将你所选 的题目序号后方框用 2B 铅笔涂黑,如果全选,则按第 15 题作答结果计分。) 15.(选修 4-1:几何证明选讲) 如图,圆 O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 D,点 D 在半径 OC 上的射影为 E,若 AB=3AD,则 EO CE 的值为 16.(选修 4-4:坐标系与参数方程) 在直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的参数方程为 ( 为参数,a>b>0),在 极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴 为极轴)中,直线 l 与圆 O 的极坐标方程分别为 m(m 为非零数) 与 。 若 直 线 l 经 过 椭 圆 C 的 焦 点 , 且 与 员 O 相 切 , 则 椭 圆 C 的 离 心 率 为 ___________________. 三、解答题:本题共 6 小题,共 75 分 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分) 在△ABC 只已知 A,B,C 对应的边分别是 a,b,c。已知 . (I) 求角 A 的大小 (II) 若△ABC 的面积 ,b=5,求 的值 18.(本小题满分 12 分) 已知等比数列 n 满足: 2 3 1 2 3| | 10, 125.a a a a a   (Ⅰ)求数列 n 的通项公式; (Ⅱ)是否存在正整数 m,使得 1 1 1 1.... 12 na a a    ?若存在,求 m 的最小值;若不存 在,说明理由. 19.(本小题满分 12 分) 如图,AB 是园 O 的直径,点 C 是圆 O 上异于 A,B 的点,直线 PC⊥平面 ABC,E,F 分别是 PA,PC 的中点. (Ⅰ)在平面 BEF 与平面 ABC 的交线为 l,试判断直线 l 与平面 PAC 的位 置关系,并加以证明。 (Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线 l 与圆 O 的另一个交点为 D,且点 Q 满足 1 2DQ CP  记直线 PQ 与平面 ABC 所成的角为 ,异面直线 E-L-C 的大小为 ,求证: sin sin sin    20.(本小题满分 12 分) 假设每天从甲地去乙地的旅客人数 X 是服从正态分布 N(800,502)的随机变量,记一天 中从甲地去乙地的旅客人数不超过 900 的概率为 0p 。 (1) 求 0p 的值; (参考数据:若 2( , )X N   ,有 ( ) 0.6826,P X        ( 2 2 ) 0.9544, ( 3 3 ) 0.9974.P X P X                 (2)某客运公司用 A、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每车每天往 返一次。A、B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人,从甲地去乙地的营运成本分别为 1600 元/辆和 2400 元/辆,公司拟组建一个不超过 21 辆车的客运车队,并要求 B 型车不多于 A 型车 7 辆。若每天要以不小于 0p 的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地 的营运成本最小,那么应配备 A 型车、B 型车各多少辆? 21.(本小题满分 13 分) 如图,已知椭圆 C1 与 C2 的中心坐标原点 O,长轴均为 MN 且在 X 轴上,短轴长分别 为 2m,2n(m>n),过原点且不与 x 轴重合的直线 l 与 C1, C2 的四个交点按纵坐标从 大到小依次为 A,B,C,D。记λ = ,△BDM 和△ABN 的面积分别为 S1 和 S2.。 (I)当直线 l 与 Y 轴重合时,若 S1=λ S2 ,求λ 的值; (II) 当λ变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1=λ S2?并说明理由 22(本小题满分 14 分) 设 n 是正整数, r 为正有理数。 (Ⅰ)求函数  xf = )1(1)1()1( 1   xxrx r 的最小值; (Ⅱ)证明: 1 )1( 11    r nn rc < n < 1 )1( 11    r nn rr ; (Ⅲ)设 x R,记[ x ]为不小于的最小整数,例如[2]=2,[ ]=4,[- 2 3 ]=-1. 令 S =  333 838281 … 3 125 ,求[ S ]的值。 (参考数据:80 3 4 ≈344.7,81 3 4 ≈350.5,124 3 4 ≈618.3,126 3 4 ≈631.7) 2013 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 理 科 数 学 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共 150 分. 考试用时 120 分钟. 第Ⅰ卷 1 至 2 页, 第Ⅱ卷 3 至 5 页. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用 条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将 本试卷和答题卡一并交回. 祝各位考生考试顺利! 第Ⅰ卷 注意事项: 1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用 橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号. 2. 本卷共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 参考公式: ·如果事件 A, B 互斥, 那么 ) ( ) ( )( B P AP A P B   ·棱柱的体积公式 V=Sh, 其中 S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱 柱的高. ·如果事件 A, B 相互独立, 那么 ) ( ) (( )B P AA PP B ·球的体积公式 34 .3V R 其中 R 表示球的半径. 一.选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 已知集合 A = {x∈R| |x|≤2}, A = {x∈R| x≤1}, 则 A B  (A) ( ,2] (B) [1,2] (C) [-2,2] (D) [-2,1] (2) 设变量 x, y 满足约束条件 3 6 0, 2 0, 3 0, x y y x y           则目标函数 z = y-2x 的最小值为 (A) -7 (B) -4 (C) 1 (D) 2 (3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入 x 的 值为 1, 则输出 S 的值为 (A) 64 (B) 73 (C) 512 (D) 585 (4) 已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的 1 2 , 则其体积缩小到原来 的 1 8 ; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等; ③直线 x + y + 1 = 0 与圆 2 2 1 2x y  相切. 其中真命题的序号是: (A) ①②③ (B) ①② (C) ②③ (D) ②③ (5) 已知双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的两条渐近线与抛物线 2 2 ( 0)px py   的准线分别 交于 A, B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为 2, △AOB 的面积为 3 , 则 p = (A) 1 (B) 3 2 (C) 2 (D) 3 (6) 在△ABC 中, , 2, 3,4 AB BCABC    则 sin BAC = (A) 10 10 (B) 10 5 (C) 3 10 10 (D) 5 5 (7) 函数 0.5( ) 2 | log | 1xf x x  的零点个数为 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (8) 已知函数 ( ) (1 | |)f x x a x  . 设关于 x 的不等式 ( ) ( )f x a f x  的解集为 A, 若 1 1,2 2 A     , 则实数 a 的取值范围是 (A) 1 5 ,02      (B) 1 3 ,02      (C) 1 5 ,02 1 30, 2         (D) 5 2,1      2013 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 理 科 数 学 第Ⅱ卷 注意事项: 1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2. 本卷共 12 小题, 共 110 分. 二.填空题: 本大题共 6 小题, 每小题 5 分, 共 30 分. (9) 已知 a, b∈R, i 是虚数单位. 若(a + i)(1 + i) = bi, 则 a + bi = . (10) 61x x     的二项展开式中的常数项为 . (11) 已知圆的极坐标方程为 4cos  , 圆心为 C, 点 P 的极坐标为 4, 3      , 则|CP| = . (12) 在平行四边形 ABCD 中, AD = 1, 60BAD   , E 为 CD 的中点. 若 · 1AD BE   , 则 AB 的长为 . (13) 如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且 BD//AC. 过 点 A 做圆的切线与 DB 的延长线交于点 E, AD 与 BC 交于点 F. 若 AB = AC, AE = 6, BD = 5, 则线段 CF 的长为 . (14) 设 a + b = 2, b>0, 则当 a = 时, 1 | | 2 | | a a b  取得最小 值. 三.解答题: 本大题共 6 小题, 共 70 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分 13 分) 已知函数 2( ) 2 sin 2 6sin cos 2cos4 1,f x x x x x x           R . (Ⅰ) 求 f(x)的最小正周期; (Ⅱ) 求 f(x)在区间 0, 2      上的最大值和最小值. (16) (本小题满分 13 分) 一个盒子里装有 7 张卡片, 其中有红色卡片 4 张, 编号分别为 1, 2, 3, 4; 白色卡片 3 张, 编号分别为 2, 3, 4. 从盒子中任取 4 张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同). (Ⅰ) 求取出的 4 张卡片中, 含有编号为 3 的卡片的概率. (Ⅱ) 再取出的 4 张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为 X, 求随机变量 X 的分布列和数学 期望. (17) (本小题满分 13 分) 如图, 四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中, 侧棱 A1A⊥底面 ABCD, AB//DC, AB⊥AD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2, E 为棱 AA1 的中点. (Ⅰ) 证明 B1C1⊥CE; (Ⅱ) 求二面角 B1-CE-C1 的正弦值. (Ⅲ) 设点 M 在线段 C1E 上, 且直线 AM 与平面 ADD1A1 所成角的正弦值为 2 6 , 求线段 AM 的长. (18) (本小题满分 13 分) 设椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的左焦点为 F, 离心率为 3 3 , 过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭 圆截得的线段长为 4 3 3 . (Ⅰ) 求椭圆的方程; (Ⅱ) 设 A, B 分别为椭圆的左右顶点, 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C, D 两点. 若 · · 8AC DB AD CB     , 求 k 的值. (19) (本小题满分 14 分) 已知首项为 3 2 的等比数列{ }na 不是递减数列, 其前 n 项和为 ( *)nS n N , 且 S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4 成等差数列. (Ⅰ) 求数列{ }na 的通项公式; (Ⅱ) 设 *( )1 n n n T S nS   N , 求数列{ }nT 的最大项的值与最小项的值. (20) (本小题满分 14 分) 已知函数 2 l( ) nf x x x . (Ⅰ) 求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ) 证明: 对任意的 t>0, 存在唯一的 s, 使 ( )t f s . (Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的 s 关于 t 的函数为 ( )s g t , 证明: 当 2>et 时, 有 2 ln ( ) 1 5 ln 2 g t t   . 2013 年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷) 数学试题卷(理工农医类) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个备选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1、已知全集  1,2,3,4U  ,集合  = 1 2A , ,  = 2 3B , ,则  =U A Bð ( ) A、 13 4,, B、 3 4, C、  3 D、  4 【答案】:D 2、命题“对任意 x R ,都有 2 0x  ”的否定为( ) A、对任意 x R ,都有 2 0x  B、不存在 x R ,都有 2 0x  C、存在 0x R ,使得 2 0 0x  D、存在 0x R ,使得 2 0 0x  【答案】:D 3、   3 6a a   6 3a   的最大值为( ) A、9 B、 9 2 C、3 D、 3 2 2 【答案】:B 4、以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分) 已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则 ,x y 的值分别为( ) A、 2,5 B、5,5 C、5,8 D、8,8 【答案】:C 5、某几何体的三视图如题 5 图所示,则该几何体的体积为( ) A、 560 3 B、 580 3 C、 200 D、 240 【答案】:C 6、若 a b c  ,则函数           f x x a x b x b x c x c x a         的两个零 点分别位于区间( ) A、 ,a b 和 ,b c 内 B、 ,a 和 ,a b 内 C、 ,b c 和 ,c  内 D、 ,a 和 ,c  内 【答案】:A 7、已知圆    2 2 1 : 2 3 1C x y    ,圆    2 2 2 : 3 4 9C x y    , ,M N 分别是圆 1 2,C C 上的动点, P 为 x 轴上的动点,则 PM PN 的 最小值为( ) A、 5 2 4 B、 17 1 C、 6 2 2 D、 17 【答案】:A 8、执行如题(8)图所示的程序框图,如果输出 3s  ,那么判断框 内应填入的条件是( ) A、 6k  B、 7k  C、 8k  D、 9k  【答案】:B 9、 0 04cos50 tan 40  ( ) A、 2 B、 2 3 2  C、 3 D、2 2 1 【答案】:C 10、在平面上, 1 2AB AB  , 1 2 1OB OB   , 1 2AP AB AB    . 若 1 2OP  ,则 OA  的取值范围是( ) A、 50, 2      B、 5 7,2 2      C、 5 , 22      D、 7 , 22      【答案】:D 二、填空题:本大题共 6 小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填写在答 题卡相应位置上。 11、已知复数 5 1 2 iz i   (i 是虚数单位),则 _________z  【答案】: 5 12、已知 na 是等差数列, 1 1a  ,公差 0d  , nS 为其前 n 项和,若 1 2 5, ,a a a 成等比数 列,则 8 _____S  【答案】: 64 13、从3名骨科、 4 名脑外科和 5 名内科医生中选派5 人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨 科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是___________(用数字作答) 【答案】:590 考生注意:14、15、16 三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给 分: 14、如题 14 图,在 ABC 中, 090C  , 060 , 20A AB   ,过C 作 ABC 的外接圆 的切线CD , BD CD , BD 与外接圆交于点 E ,则 DE 的长为__________ 【答案】:5 15、在直角坐标系 xOy 中,以原点O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。若极坐 标方程为 cos 4   的直线与曲线 2 3 x t y t    (t 为参数)相交于 ,A B 两点,则 ______AB  【答案】:16 16、若关于实数 x 的不等式 5 3x x a    无解,则实数 a 的取值范围是_________ 【答案】: ,8 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、设    25 6lnf x a x x   ,其中 a R ,曲线  y f x 在点   1, 1f 处的切线与 y 轴相交于点 0,6 。 (1)确定 a 的值; (2)求函数  f x 的单调区间与极值。 【答案】: 18、某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定:在一次摸奖中,摸奖者先从装有3 个红球 与 4 个白球的袋中任意摸出3 个球,再从装有1个蓝球与 2 个白球的袋中任意摸出1个球, 根据摸出 4 个球中红球与蓝球的个数,设一、二、三等奖如下: 奖级 摸出红、蓝球个数 获奖金额 一等奖 3 红 1 蓝 200 元 二等奖 3 红 0 蓝 50 元 三等奖 2 红 1 蓝 10 元 其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级。 (1)求一次摸奖恰好摸到 1 个红球的概率; (2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额 X 的分布列与期望  E X 。 【答案】: 19 、 如 题 ( 19 ) 图 , 四 棱 锥 P ABCD 中 , PA ABCD 底面 , 2, 4, 3BC CD AC ACB ACD        , F 为 PC 的中点, AF PB 。 (1)求 PA 的长; (2)求二面角 B AF D  的正弦值。 【答案】: 20、在 ABC 中,内角 , ,A B C 的对边分别是 , ,a b c ,且 2 2 22a b ab c   。 (1)求C ; (2)设     2 cos cos3 2 2cos cos ,5 cos 5 A BA B       ,求 tan 的值。 【答案】: 21、如题(21)图,椭圆的中心为原点 O ,长轴在 x 轴上,离心率 2 2e  ,过左焦点 1F 作 x 轴的垂线交椭圆于 ,A A 两点, 4AA  。 (1)求该椭圆的标准方程; (2)取垂直于 x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点 ,P P ,过 ,P P 作圆心为 Q 的圆,使椭 圆上的其余点均在圆Q 外。若 PQ P Q ,求圆Q 的标准方程。 【答案】: 22、对正整数 n ,记  1,2,3, ,mI n  , ,m m m mP m I k I k       。 (1)求集合 7P 中元素的个数; (2)若 mP 的子集 A 中任意两个元素之和不是..整数的平方,则称 A 为“稀疏集”。求 n 的最 大值,使 mP 能分成两人上不相交的稀疏集的并。 【答案】: