高考数学理科试卷 12页

  • 1.18 MB
  • 2021-05-13 发布

高考数学理科试卷

  • 12页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
‎2018年高考试卷 数学试题(理科)‎ ‎ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题),第Ⅱ卷第21题为选考题,其他题为必考题.本试卷共5页.满分150分,考试时间120分钟.‎ 注意事项:‎ ‎1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.‎ ‎ 2.考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效.‎ ‎ 3.选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚.‎ ‎ 4.做选考题时、考生按照题目要求作答,并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.‎ ‎ 5.保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.‎ 参考公式:‎ 样本数据x1,x2,…,xn的标准差 ‎ ‎ 其中为样本平均数;‎ ‎ 柱体体积公式 ‎ ‎ ‎ 其中S为底面面积,h为高 锥体体积公式 其中S为底面面积,h为高 球的表面积、体积公式 ‎ ,‎ 其中R为球的半径 第I卷(选择题 共50分)‎ 一、选择题:本大题有10小题,每小题5分,共50分.每小题都有四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.‎ ‎1.设,若(为虚数单位)为正实数,则 A.2 B.‎1 ‎ C.0 D.‎ 2. 已知,,,是空间四点,命题甲:,,,四点不共面,命题乙:‎ ‎ 直线和不相交,则甲是乙成立的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎3.曲线,与直线,所围成的平面区域的面积为 A. B.‎ C. D.‎ ‎4.下列向量中与向量平行的是 ‎ A.(-4,6) B.(4,6) C.(-3,2) D.(3,2)‎ ‎5.函数是 ‎ A.奇函数 B.既是奇函数又是偶函数 ‎ C.偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数 ‎6.设函数在区间内是减函数,则,,的大小关系是 ‎ A. B. C. D.‎ ‎7.设为等差数列{}的前n项和,且,则 ‎ A.45 B.‎50 C.55 D.90‎ ‎_‎ 频率 分数 ‎0.005‎ ‎0.010‎ ‎0.020‎ ‎0.015‎ ‎0.025‎ ‎0.030‎ ‎0.035‎ ‎40‎ ‎50‎ ‎60‎ ‎70‎ ‎80‎ ‎90‎ ‎100‎ 组距 ‎8.统计某校1000名学生的数学水平测试成绩,得到样本频率分布直方图如图所示,若满分为100分,规定不低于60分为及格,则及格率是 A.20% B.25%‎ C.6% D.80%‎ ‎9.将函数的图像按向量平移得到的图像对应的一个函数解析式是 ‎ A. ‎ ‎ B.‎ ‎ C.‎ ‎ D.‎ ‎10.设,,…,是1,2,…,的一个排列,把排在的左边且比小的数的个数称为的顺序数().如在排列6,4,5,3,2,1中,5的顺序数为1,3的顺序数为0.则在1至8这八个数字构成的全排列中,同时满足8的顺序数为2,7的顺序数为3,5的顺序数为3的不同排列的种数为 A.48 B.‎96 ‎ C.144 D.192‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共100分)‎ 结束 输出(x,y)‎ 是 开始 x ←1, y ←0, n ←1‎ x←1,‎ n > 8 ‎ 否 n ← n+2‎ 第11题 x ← 3x y ← y-2‎ 第11题图 二、填空题(本大题有4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎11.命题“,”的否定是 .‎ ‎12.已知某算法的流程图如图所示,若将输出的数组依 ‎ 次记为,,,,,则程序运 行结束时输出的最后一个数组为 .‎ ‎13.曲线在点(1,2)处的切线方程是 .‎ ‎14.若实数满足不等式组则3x-y的最小 ‎ 值是________.‎ ‎15.定义:我们把阶乘的定义引申,定义,‎ ‎ 若为偶数,则乘至2,反之,则乘至1,而0!! = 0。我们称 ‎ 之为双阶乘(Double Factorial)对夫妇任意地排成一列,则每 ‎ 位丈夫都排在他的妻子后面的概率是________.(结果用含双 ‎ 阶乘的形式表示)‎ 三、解答题(本大题有6小题,共74分)‎ ‎16.(本题满分13分)‎ 某投资公司在2010年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上,现有两个项目供选择:‎ 项目一:新能源汽车.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利,也可能亏损,且这两种情况发生的概率分别为和;‎ 项目二:通信设备.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利,可能亏损,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为、和.‎ 针对以上两个投资项目,请你为投资公司选择一个合理的项目,并说明理由;‎ ‎17.(本题满分13分)‎ 如图5,已知直角梯形所在的平面垂直于平面,,,.‎ ‎(1)在直线上是否存在一点,使得平面?请证明你的结论;‎ ‎(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.‎ ‎18.(本题满分13分)‎ ‎ 一走廊拐角处的横截面如图所示,已知内壁和外壁都是半径为的四分之一 ‎ 圆弧,,分别与圆弧相切于,两点,∥,∥,且 ‎ 两组平行墙壁间的走廊宽度都是.‎ ‎ (1)若水平放置的木棒的两个端点分别在外壁和上,且木棒与内 ‎ 壁圆弧相切于点.设,试用表示木棒的长度;‎ N M A B C D E F G H P Q ‎1m ‎1m 第18题图 ‎ (2)若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处,求木棒长度的最大值.‎ 第17题图 ‎19.(本题满分13分)‎ 已知椭圆的某个焦点为,双曲线的 某个焦点为.‎ ‎ (1)请在 上补充条件,使得椭圆的方程为;‎ 友情提示:不可以补充形如之类的条件。‎ ‎ (2)命题一:“已知抛物线的焦点为F,定点满足 ‎ ‎ ,以PF为直径的圆交轴于A、B,则直线PA、PB与抛物线相切”.命 题中涉及了这么几个要素:对于任意抛物线,定点P,以PF为直径 的圆交轴于A、B,PA、PB与抛物线相切.‎ 试类比上述命题分别写出一个关于椭圆C和双曲线G的类似正确的命题;‎ ‎ (3)证明命题一的正确性.‎ ‎20.(本题满分14分)‎ 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)当时,求证:函数在上单调递增;‎ ‎(Ⅱ)若函数有三个零点,求的值;‎ ‎(Ⅲ)若存在,使得,试求的取值范围.‎ ‎21.本题有(1)、(2)、(3)三个选答题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.如果多作,则按所做的前两题计分.作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将选题号填入括号中.‎ ‎ (1)(本小题满分7分) 选修4一2:矩阵与变换 ‎ 求矩阵的特征值及对应的特征向量.‎ ‎ (2)(本小题满分7分) 选修4一4:坐标系与参数方程 ‎ 已知直线的参数方程:(为参数)和圆的极坐标方程:.‎ ‎(Ⅰ)将直线的参数方程化为普通方程,圆的极坐标方程化为直角坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)判断直线和圆的位置关系.‎ ‎ (3)(本小题满分7分) 选修4一5:不等式选讲 ‎ 已知函数. 若不等式恒成立,求实数的范围. ‎ ‎2010年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)‎ 理科试题试题参考解答及评分标准 说明:‎ ‎ 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解答与本解答不同,可根据试题的主要内容比照评分标准制定相应的评分细则.‎ ‎ 二、对计算题,当考生的解答 某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后继部分的解答有错误,就不再给分.‎ ‎ 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.‎ ‎ 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.‎ 一、选择题:本题主要考查基础知识和基本运算.‎ ‎1.B 2.A 3.D 4.A 5.D 6.D 7.A 8.D 9.D 10.C 二、本大题共4个小题;每小题5分,共20分.本题主要考查基础知识和基本运算. ‎ ‎11., 12. 13. 14.7 15.‎ ‎【15题解析】‎ ‎ (理解一)排列的总数是.为了计算有利场合的个数,可以这样考虑.首先把n个丈夫进行排列,共有种可能.然后让排在第一的那位丈夫的妻子插人队伍,她显然只有1种可能的位置,即排在最前面,接着让排在第二位的丈夫的妻子进人队伍.现在她的丈夫之前已有两人,因此她有3种位置可选择.排在第三位的丈夫的妻子进人队伍有5种位置可选择,依次下去,最后一位丈夫的妻子有个位置可选择.因此有利场合总数是,所以要求的概率是。‎ ‎ (理解二)对于每个家庭来说,丈夫排在妻子后面的概率都是,有对夫妻,因此概率应该为,下面只要想办法将化简为含有双阶乘形式就可以了。。‎ 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎16.解:若按“项目一”投资,设获利万元,则的分布列为 ‎(万元). ………………4分 若按“项目二”投资,设获利万元,则的分布列为:‎ ‎(万元).……………………8分 又,……………10分 ‎………12分 所以,,‎ 这说明虽然项目一、项目二获利相等,但项目一更稳妥.综上所述,建议该投资公司选择项目一投资.………………………………………………………………………………13分 ‎17.‎ 解:(1)线段的中点就是满足条件的点. ……1分 证明如下:‎ 取的中点连结,则 ‎,, …………………2分 取的中点,连结,‎ ‎∵且,‎ ‎∴△是正三角形,∴.‎ ‎∴四边形为矩形,‎ ‎∴.又∵,………3分 ‎∴且,‎ 四边形是平行四边形.……………………4分 ‎∴,‎ 而平面,平面,‎ ‎∴平面. ……………………6分 ‎(2)(解法1)过作的平行线,过作的垂线交于,连结,‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ 是平面与平面所成二面角的棱.……8分 ‎∵平面平面,,‎ ‎∴平面,‎ 又∵平面,∴平面,‎ ‎∴,‎ ‎∴是所求二面角的平面角.………………11分 设,则,,‎ ‎∴,‎ ‎∴. ………………………13分 ‎(解法2)∵,平面平面,‎ ‎∴以点为原点,直线为轴,直线为轴,建立空间直角坐标系,则轴在平面内(如图).‎ 设,由已知,得,,.‎ ‎∴,, ………………………8分 设平面的法向量为,‎ 则且,‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 解之得 取,得平面的一个法向量为 ‎. …………………………11分 又∵平面的一个法向量为. ‎ ‎.…………13分 说明:本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系,二面角的概念、求法等知识,以及空间想象能力和逻辑推理能力.‎ ‎18.(1)如图,设圆弧所在的圆的圆心为,过点作垂线,垂足为点,且交或其延长线与于,并连接,再过点作的垂线,垂足为.‎ 在 中,因为,,‎ N M A B C D E F G H P S ‎1m ‎1m T Q W 所以.‎ 因为与圆弧切于点,所以,‎ 在,因为,,‎ 所以,,‎ ‎①若在线段上,则 在 中,,‎ 因此 ‎②若在线段的延长线上,则 在 中,,‎ 因此 ‎.………………………………………6分 ‎(2)设,则,‎ 因此.‎ 因为,又,所以恒成立,‎ 因此函数在是减函数,所以,‎ 即.‎ 答:一根水平放置的木棒若能通过该走廊拐角处,则其长度的最大值为.‎ ‎…………………………………………………………………………13分 19. 解:‎ ‎(1)补充一:椭圆的离心率为,且椭圆的长轴长为 ‎ 补充二:椭圆过和 ‎ 补充三:椭圆上任一点到椭圆两焦点的距离和为,且椭圆的一条准线长为 ‎ 类似地还可以有很多补充,这里不再赘述,评卷员视实际情况给分,本题满分(2分)‎ ‎(2)命题一:已知椭圆的某个焦点为F,定点满足,以PF为直径的圆与圆交于A、B两点,则PA、PB与椭圆相切。‎ ‎…………………………………………………………………………………………5分 ‎ 命题二:已知双曲线的某个焦点为,定点满足,以PF为直径的圆与圆交于A、B两点,则PA、PB与双曲线相切。…………………………………………………………………………………………9分 (3) 证明:‎ 以PF为直径的圆的方程为,设A,则 ‎,直线PA的方程为,即 联立,消去x得到,所以,所以直线PA与抛物线相切。‎ 同理可证PB与抛物线相切。………………………………………………………………13分 ‎20.解:(Ⅰ)‎ 由于,故当时,,所以,‎ 故函数在上单调递增…………4分 ‎(Ⅱ)当时,因为,且在R上单调递增,‎ ‎ 故有唯一解………………6分 ‎ 所以的变化情况如下表所示:‎ x ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 递减 极小值 递增 ‎ 又函数有三个零点,所以方程有三个根,‎ ‎ 而,所以,解得 …8分 ‎(Ⅲ)因为存在,使得,‎ 所以当时,‎ ‎ 由(Ⅱ)知,在上递减,在上递增,‎ ‎ 所以当时,,‎ ‎ 而,‎ ‎ 记,因为(当时取等号),‎ ‎ 所以在上单调递增,而,‎ ‎ 所以当时,;当时,,‎ ‎ 也就是当时,;当时,……………13分 ‎ ①当时,由,‎ ‎ ②当时,由,‎ 综上知,所求的取值范围为………………………………14分 ‎21.解 ‎(1).解:设A的一个特征值为,由题意知:‎ ‎ ………………3分 ‎……5分 ‎ ……7分 ‎(2).解:(Ⅰ)消去参数,得直线的普通方程为………………3分 ‎,即,两边同乘以得,‎ 得⊙的直角坐标方程为 ………………………5分 ‎(Ⅱ)圆心到直线的距离,所以直线和⊙相交……‎ ‎7分 ‎(3).解:由,且,得 ……3分 又因为,则有2………………5分 解不等式,得…………………… 7分