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- 2021-05-13 发布
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2018年高考试卷
数学试题(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题),第Ⅱ卷第21题为选考题,其他题为必考题.本试卷共5页.满分150分,考试时间120分钟.
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效.
3.选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚.
4.做选考题时、考生按照题目要求作答,并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.
5.保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
参考公式:
样本数据x1,x2,…,xn的标准差
其中为样本平均数;
柱体体积公式
其中S为底面面积,h为高
锥体体积公式
其中S为底面面积,h为高
球的表面积、体积公式
,
其中R为球的半径
第I卷(选择题 共50分)
一、选择题:本大题有10小题,每小题5分,共50分.每小题都有四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.
1.设,若(为虚数单位)为正实数,则
A.2 B.1 C.0 D.
2. 已知,,,是空间四点,命题甲:,,,四点不共面,命题乙:
直线和不相交,则甲是乙成立的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.曲线,与直线,所围成的平面区域的面积为
A. B.
C. D.
4.下列向量中与向量平行的是
A.(-4,6) B.(4,6) C.(-3,2) D.(3,2)
5.函数是
A.奇函数 B.既是奇函数又是偶函数
C.偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数
6.设函数在区间内是减函数,则,,的大小关系是
A. B. C. D.
7.设为等差数列{}的前n项和,且,则
A.45 B.50 C.55 D.90
_
频率
分数
0.005
0.010
0.020
0.015
0.025
0.030
0.035
40
50
60
70
80
90
100
组距
8.统计某校1000名学生的数学水平测试成绩,得到样本频率分布直方图如图所示,若满分为100分,规定不低于60分为及格,则及格率是
A.20% B.25%
C.6% D.80%
9.将函数的图像按向量平移得到的图像对应的一个函数解析式是
A.
B.
C.
D.
10.设,,…,是1,2,…,的一个排列,把排在的左边且比小的数的个数称为的顺序数().如在排列6,4,5,3,2,1中,5的顺序数为1,3的顺序数为0.则在1至8这八个数字构成的全排列中,同时满足8的顺序数为2,7的顺序数为3,5的顺序数为3的不同排列的种数为
A.48 B.96 C.144 D.192
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
结束
输出(x,y)
是
开始
x ←1, y ←0, n ←1
x←1,
n > 8
否
n ← n+2
第11题
x ← 3x
y ← y-2
第11题图
二、填空题(本大题有4小题,每小题5分,共20分)
11.命题“,”的否定是 .
12.已知某算法的流程图如图所示,若将输出的数组依
次记为,,,,,则程序运
行结束时输出的最后一个数组为 .
13.曲线在点(1,2)处的切线方程是 .
14.若实数满足不等式组则3x-y的最小
值是________.
15.定义:我们把阶乘的定义引申,定义,
若为偶数,则乘至2,反之,则乘至1,而0!! = 0。我们称
之为双阶乘(Double Factorial)对夫妇任意地排成一列,则每
位丈夫都排在他的妻子后面的概率是________.(结果用含双
阶乘的形式表示)
三、解答题(本大题有6小题,共74分)
16.(本题满分13分)
某投资公司在2010年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上,现有两个项目供选择:
项目一:新能源汽车.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利,也可能亏损,且这两种情况发生的概率分别为和;
项目二:通信设备.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利,可能亏损,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为、和.
针对以上两个投资项目,请你为投资公司选择一个合理的项目,并说明理由;
17.(本题满分13分)
如图5,已知直角梯形所在的平面垂直于平面,,,.
(1)在直线上是否存在一点,使得平面?请证明你的结论;
(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
18.(本题满分13分)
一走廊拐角处的横截面如图所示,已知内壁和外壁都是半径为的四分之一
圆弧,,分别与圆弧相切于,两点,∥,∥,且
两组平行墙壁间的走廊宽度都是.
(1)若水平放置的木棒的两个端点分别在外壁和上,且木棒与内
壁圆弧相切于点.设,试用表示木棒的长度;
N
M
A
B
C
D
E
F
G
H
P
Q
1m
1m
第18题图
(2)若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处,求木棒长度的最大值.
第17题图
19.(本题满分13分)
已知椭圆的某个焦点为,双曲线的
某个焦点为.
(1)请在 上补充条件,使得椭圆的方程为;
友情提示:不可以补充形如之类的条件。
(2)命题一:“已知抛物线的焦点为F,定点满足
,以PF为直径的圆交轴于A、B,则直线PA、PB与抛物线相切”.命
题中涉及了这么几个要素:对于任意抛物线,定点P,以PF为直径
的圆交轴于A、B,PA、PB与抛物线相切.
试类比上述命题分别写出一个关于椭圆C和双曲线G的类似正确的命题;
(3)证明命题一的正确性.
20.(本题满分14分)
已知函数.
(Ⅰ)当时,求证:函数在上单调递增;
(Ⅱ)若函数有三个零点,求的值;
(Ⅲ)若存在,使得,试求的取值范围.
21.本题有(1)、(2)、(3)三个选答题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.如果多作,则按所做的前两题计分.作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将选题号填入括号中.
(1)(本小题满分7分) 选修4一2:矩阵与变换
求矩阵的特征值及对应的特征向量.
(2)(本小题满分7分) 选修4一4:坐标系与参数方程
已知直线的参数方程:(为参数)和圆的极坐标方程:.
(Ⅰ)将直线的参数方程化为普通方程,圆的极坐标方程化为直角坐标方程;
(Ⅱ)判断直线和圆的位置关系.
(3)(本小题满分7分) 选修4一5:不等式选讲
已知函数. 若不等式恒成立,求实数的范围.
2010年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)
理科试题试题参考解答及评分标准
说明:
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解答与本解答不同,可根据试题的主要内容比照评分标准制定相应的评分细则.
二、对计算题,当考生的解答 某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后继部分的解答有错误,就不再给分.
三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.
一、选择题:本题主要考查基础知识和基本运算.
1.B 2.A 3.D 4.A 5.D 6.D 7.A 8.D 9.D 10.C
二、本大题共4个小题;每小题5分,共20分.本题主要考查基础知识和基本运算.
11., 12. 13. 14.7 15.
【15题解析】
(理解一)排列的总数是.为了计算有利场合的个数,可以这样考虑.首先把n个丈夫进行排列,共有种可能.然后让排在第一的那位丈夫的妻子插人队伍,她显然只有1种可能的位置,即排在最前面,接着让排在第二位的丈夫的妻子进人队伍.现在她的丈夫之前已有两人,因此她有3种位置可选择.排在第三位的丈夫的妻子进人队伍有5种位置可选择,依次下去,最后一位丈夫的妻子有个位置可选择.因此有利场合总数是,所以要求的概率是。
(理解二)对于每个家庭来说,丈夫排在妻子后面的概率都是,有对夫妻,因此概率应该为,下面只要想办法将化简为含有双阶乘形式就可以了。。
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16.解:若按“项目一”投资,设获利万元,则的分布列为
(万元). ………………4分
若按“项目二”投资,设获利万元,则的分布列为:
(万元).……………………8分
又,……………10分
………12分
所以,,
这说明虽然项目一、项目二获利相等,但项目一更稳妥.综上所述,建议该投资公司选择项目一投资.………………………………………………………………………………13分
17.
解:(1)线段的中点就是满足条件的点. ……1分
证明如下:
取的中点连结,则
,, …………………2分
取的中点,连结,
∵且,
∴△是正三角形,∴.
∴四边形为矩形,
∴.又∵,………3分
∴且,
四边形是平行四边形.……………………4分
∴,
而平面,平面,
∴平面. ……………………6分
(2)(解法1)过作的平行线,过作的垂线交于,连结,
∵,
∴,
是平面与平面所成二面角的棱.……8分
∵平面平面,,
∴平面,
又∵平面,∴平面,
∴,
∴是所求二面角的平面角.………………11分
设,则,,
∴,
∴. ………………………13分
(解法2)∵,平面平面,
∴以点为原点,直线为轴,直线为轴,建立空间直角坐标系,则轴在平面内(如图).
设,由已知,得,,.
∴,, ………………………8分
设平面的法向量为,
则且,
∴
∴
解之得
取,得平面的一个法向量为
. …………………………11分
又∵平面的一个法向量为.
.…………13分
说明:本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系,二面角的概念、求法等知识,以及空间想象能力和逻辑推理能力.
18.(1)如图,设圆弧所在的圆的圆心为,过点作垂线,垂足为点,且交或其延长线与于,并连接,再过点作的垂线,垂足为.
在 中,因为,,
N
M
A
B
C
D
E
F
G
H
P
S
1m
1m
T
Q
W
所以.
因为与圆弧切于点,所以,
在,因为,,
所以,,
①若在线段上,则
在 中,,
因此
②若在线段的延长线上,则
在 中,,
因此
.………………………………………6分
(2)设,则,
因此.
因为,又,所以恒成立,
因此函数在是减函数,所以,
即.
答:一根水平放置的木棒若能通过该走廊拐角处,则其长度的最大值为.
…………………………………………………………………………13分
19. 解:
(1)补充一:椭圆的离心率为,且椭圆的长轴长为
补充二:椭圆过和
补充三:椭圆上任一点到椭圆两焦点的距离和为,且椭圆的一条准线长为
类似地还可以有很多补充,这里不再赘述,评卷员视实际情况给分,本题满分(2分)
(2)命题一:已知椭圆的某个焦点为F,定点满足,以PF为直径的圆与圆交于A、B两点,则PA、PB与椭圆相切。
…………………………………………………………………………………………5分
命题二:已知双曲线的某个焦点为,定点满足,以PF为直径的圆与圆交于A、B两点,则PA、PB与双曲线相切。…………………………………………………………………………………………9分
(3) 证明:
以PF为直径的圆的方程为,设A,则
,直线PA的方程为,即
联立,消去x得到,所以,所以直线PA与抛物线相切。
同理可证PB与抛物线相切。………………………………………………………………13分
20.解:(Ⅰ)
由于,故当时,,所以,
故函数在上单调递增…………4分
(Ⅱ)当时,因为,且在R上单调递增,
故有唯一解………………6分
所以的变化情况如下表所示:
x
0
-
0
+
递减
极小值
递增
又函数有三个零点,所以方程有三个根,
而,所以,解得 …8分
(Ⅲ)因为存在,使得,
所以当时,
由(Ⅱ)知,在上递减,在上递增,
所以当时,,
而,
记,因为(当时取等号),
所以在上单调递增,而,
所以当时,;当时,,
也就是当时,;当时,……………13分
①当时,由,
②当时,由,
综上知,所求的取值范围为………………………………14分
21.解
(1).解:设A的一个特征值为,由题意知:
………………3分
……5分
……7分
(2).解:(Ⅰ)消去参数,得直线的普通方程为………………3分
,即,两边同乘以得,
得⊙的直角坐标方程为 ………………………5分
(Ⅱ)圆心到直线的距离,所以直线和⊙相交……
7分
(3).解:由,且,得 ……3分
又因为,则有2………………5分
解不等式,得…………………… 7分