浙江省高考数学全真模拟试卷理科Word版含解析 21页

浙江省2015届高考数学全真模拟试卷（理科）‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）若U={1，2，3，4，5，6}，M={1，2，4}，N={2，3，6}，则∁U（M∪N）=（）‎ ‎ A． {1，2，3} B． {5} C． {1，3，4} D． {2}‎ ‎2．（5分）已知p：x2﹣5x+6≤0，q：|x﹣a|＜1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（）‎ ‎ A． （﹣∞，3] B． [2，3] C． （2，+∞） D． （2，3）‎ ‎3．（5分）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=2x+y的最小值为（）‎ ‎ A． 6 B． ‎4 ‎C． 3 D． 2‎ ‎4．（5分）设α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，下列命题中正确的是（）‎ ‎ A． 若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ B． 若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n ‎ C． 若α⊥β，m⊥α，则m∥β D． 若α∥β，m⊄β，m∥α，则m∥β ‎5．（5分）设，为两个互相垂直的单位向量，已知=，=，=m+n．若△ABC是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则m+n=（）‎ ‎ A． 1或﹣3 B． ﹣1或‎3 ‎C． 2或﹣4 D． ﹣2或4‎ ‎6．（5分）已知xy=1，且O＜y＜，则的最小值为（）‎ ‎ A． 2 B． C． 4 D． 4‎ ‎7．（5分）如图，正△ABC的中心位于点G（0，1），A（0，2），动点P从A点出发沿△ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度∠AGP=x（0≤x≤2π），向量在=（1，0）方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎8．（5分）如图，已知点S（0，3），SA，SB与圆C：x2+y2﹣my=0（m＞0）和抛物线x2=﹣2py（p＞0）都相切，切点分别为M，N和A，B，SA∥ON，=λ，则实数λ的值为（）‎ ‎ A． 4 B． 2 C． 3 D． 3‎ 二、填空题：本大题有7小题，共36分（其中1道三空题，每空2分，3道两空题，每空3分，3道一空题，每空4分）．‎ ‎9．（6分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图所示，则A=，ω=，F（）=．‎ ‎10．（6分）已知等差数列{an）的前n项和为Sn=﹣n2+（10+k）n+（k﹣1），则实数k=，an=．‎ ‎11．（6分）设函数f（x）=，则f（1）=，若f（f（a））≤3，则实数a的取值范围是．‎ ‎12．（6分）若如图为某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去一部分后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，则其正视图的面积为，三棱锥D﹣BCE的体积为．‎ ‎13．（4分）点F是抛物线T：x2=2py（y＞0）的焦点，F1是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，若线段FF1的中点P恰为抛物线T与双曲线C的渐近线在第一象限内的交点，则双曲线C的离心率e=．‎ ‎14．（4分）已知向量=（1，），=（﹣2，0）若⊥（≠），当t∈[﹣，2]时，|﹣t|的取值范围为．‎ ‎15．（4分）对于任意实数x，记[x]表示不超过x的最大整数，{x}=x﹣[x]，＜x＞表示不小于x的最小整数，若x1，x2，…xm（0≤x1＜x2＜…＜xm≤n+1是区间[0，n+1]中满足方程[x]•{x}•＜x＞=1的一切实数，则x1+x2+…+xm的值是．‎ 三、解答题：本大题共5小题，共74分（‎16.17.18‎.19小题各为15分，20小题为14分）．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎16．（15分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若1+=．‎ ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）若函数f（x）=2sin2（x+）﹣cos2x，x∈[，]，在x=B处取到最大值a，求△ABC的面积．‎ ‎17．（15分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2AB，F是CD的中点．‎ ‎（1）求证：平面CBE⊥平面CDE；‎ ‎（2）求二面角C﹣BE﹣F的余弦值．‎ ‎18．（15分）如图，椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率为，上、下顶点为A，B，点P（0，2）关于直线y=﹣x的对称点在椭圆M上，过点P的直线l与椭圆M相交于两个不同的点C，D（C在线段PD之间）．‎ ‎（1）求椭圆M的方程；‎ ‎（2）求•的取值范围；‎ ‎（3）当AD与BC相交于点Q时，试问：点Q的纵坐标是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．‎ ‎19．（15分）已知等差数列{an}的公差为d（d≠0），等比数列{bn}的公比为q（q＞0），且满足a1=b1=1，a2=b3，a6=b ‎5‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）数列{bn}的前n项和为Tn，求证：++…+＜2．‎ ‎20．（14分）已知函数f（x）=log22x﹣mlog2x+a，g（x）=x2+1．‎ ‎（1）当a=1时，求f（x）在x∈[1，4]上的最小值；‎ ‎（2）当a＞0，m=2时，若对任意的实数t∈[1，4]，均存在xi∈[1，8]（i=1，2），且x1≠x2，使得=f（t）成立，求实数a的取值范围．‎ 浙江省2015届高考数学全真模拟试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）若U={1，2，3，4，5，6}，M={1，2，4}，N={2，3，6}，则∁U（M∪N）=（）‎ ‎ A． {1，2，3} B． {5} C． {1，3，4} D． {2}‎ 考点： 并集及其运算． ‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 由M与N求出两集合的并集，根据全集U求出并集的补集即可．‎ 解答： 解：∵M={1，2，4}，N={2，3，6}，‎ ‎∴M∪N={1，2，3，4，6}，‎ ‎∵U={1，2，3，4，5，6}，‎ ‎∴∁U（M∪N）={5}．‎ 故选B 点评： 此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．‎ ‎2．（5分）已知p：x2﹣5x+6≤0，q：|x﹣a|＜1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（）‎ ‎ A． （﹣∞，3] B． [2，3] C． （2，+∞） D． （2，3）‎ 考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． ‎ 专题： 简易逻辑．‎ 分析： 求出不等式的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义建立条件关系即可．‎ 解答： 解：由x2﹣5x+6≤0得，即2≤x≤3，‎ 由|x﹣a|＜1得a﹣1＜x＜a+1，‎ 若p是q的充分不必要条件，‎ 则，即，‎ 则2＜a＜3．‎ 故选：D 点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式的性质求出命题的等价条件是解决本题的关键．‎ ‎3．（5分）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=2x+y的最小值为（）‎ ‎ A． 6 B． ‎4 ‎C． 3 D． 2‎ 考点： 简单线性规划． ‎ 专题： 计算题；数形结合．‎ 分析： 本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件 的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数2x+y的最小值．‎ 解答： 解：由约束条件得如图所示的三角形区域，‎ 令2x+y=z，y=﹣2x+z，‎ 显然当平行直线过点 A（1，1）时，‎ z取得最小值为 3；‎ 故选C．‎ 点评： 在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．‎ ‎4．（5分）设α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，下列命题中正确的是（）‎ ‎ A． 若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ B． 若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n ‎ C． 若α⊥β，m⊥α，则m∥β D． 若α∥β，m⊄β，m∥α，则m∥β 考点： 命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系． ‎ 专题： 空间位置关系与距离．‎ 分析： 逐个选项进行验证：A中α与γ可以平行，也可以相交；B中的直线m与n可以平行、相交或异面；C中可能有m⊂β；选项D由条件可得m∥β．‎ 解答： 解：选项A中α与γ可以平行，也可以相交，故错误；‎ 选项B中的直线m与n可以平行、相交或异面，故错误；‎ 选项C中可能有m⊂β，故错误；‎ 选项D正确，若α∥β，m∥α，可得m⊄β，或m∥β，结合条件可得m∥β．‎ 故选D 点评： 本题为直线与平面位置关系的判断，熟练掌握定理结合图象是解决问题的关键，属基础题．‎ ‎5．（5分）设，为两个互相垂直的单位向量，已知=，=，=m+n．若△ABC是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则m+n=（）‎ ‎ A． 1或﹣3 B． ﹣1或‎3 ‎C． 2或﹣4 D． ﹣2或4‎ 考点： 平面向量的基本定理及其意义． ‎ 专题： 空间向量及应用．‎ 分析： 根据△ABC是以A为直角顶点的等腰直角三角形可得出和的关系，用已知向量表示出和，列出关系式，即可求出答案．‎ 解答： 解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠A为直角，‎ ‎∴AB⊥AC，=0；‎ 由已知得，==；‎ ‎==（m﹣1）+n；‎ ‎∴=（）[（m﹣1）+n]=m﹣n﹣1=0；‎ 即m﹣n=1；‎ 又△ABC是等腰三角形，‎ ‎∴AB=AC，=；‎ ‎∵=，‎ ‎∴==，得（m﹣1）2+n2=2；‎ ‎∵m﹣n=1，‎ ‎∴m=n+1，代入方程，得2n2=2，n=±1；‎ ‎∴或；‎ ‎∴m+n=3或m+n=﹣1．‎ 故答案选：B．‎ 点评： 本题考查了平面向量的基本定理，解题的关键是熟练掌握向量的运算法则．‎ ‎6．（5分）已知xy=1，且O＜y＜，则的最小值为（）‎ ‎ A． 2 B． C． 4 D． 4‎ 考点： 基本不等式． ‎ 专题： 不等式的解法及应用．‎ 分析： xy=1，且O＜y＜，可得4y=，x＞2，．代入变形利用基本不等式的性质即可得出．‎ 解答： 解：∵xy=1，且O＜y＜，‎ ‎∴4y=，x＞2，‎ ‎∴．‎ 则===+=4，当且仅当x﹣=2，解得x=时取等号．‎ ‎∴的最小值为4．‎ 故选：C．‎ 点评： 本题考查了基本不等式的性质、变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎7．（5分）如图，正△ABC的中心位于点G（0，1），A（0，2），动点P从A点出发沿△ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度∠AGP=x（0≤x≤2π），向量在=（1，0）方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ 考点： 函数的图象． ‎ 专题： 综合题；函数的性质及应用．‎ 分析： 由题意，可通过几个特殊点来确定正确选项，可先求出射影长最小时的点B时x的值及y的值，再研究点P从点B向点C运动时的图象变化规律，由此即可得出正确选项．‎ 解答： 解：设BC边与Y轴交点为M，已知可得GM=0.5，故AM=1.5，正三角形的边长为 连接BG，可得tan∠BGM==，即∠BGM=，所以tan∠BGA=，由图可得当x=时，射影为y取到最小值，其大小为﹣（BC长为），由此可排除A，B两个选项；‎ 又当点P从点B向点M运动时，x变化相同的值，此时射影长的变化变小，即图象趋于平缓，由此可以排除D，C是适合的；‎ 故选：C．‎ 点评： 由于本题的函数关系式不易获得，可采取特值法，找几个特殊点以排除法得出正确选项，这是条件不足或正面解答较难时常见的方法．‎ ‎8．（5分）如图，已知点S（0，3），SA，SB与圆C：x2+y2﹣my=0（m＞0）和抛物线x2=﹣2py（p＞0）都相切，切点分别为M，N和A，B，SA∥ON，=λ，则实数λ的值为（）‎ ‎ A． 4 B． 2 C． 3 D． 3‎ 考点： 抛物线的简单性质． ‎ 专题： 平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析： 由圆的切线的性质，结合平行的条件可得四边形MSNO为菱形，由直线和圆相切的条件和勾股定理、弦长公式，解方程可得m=2，直线的斜率为，可得MN=，由直线和抛物线相切的条件：判别式为0，可得切点A，B的坐标，可得AB的长为4，由向量共线定理，即可得到所求值．‎ 解答： 解：由S向圆作切线，可得SM=SN，∠MSO=∠NSO，‎ 若SA∥ON，即有四边形MSNO为菱形，‎ 在直角△SMO中，tan∠SMN==，‎ 圆C：x2+y2﹣my=0的圆心为（0，），半径r=，‎ 设切线为y=kx+3，k＞0，‎ 由相切的条件可得=，①‎ MN=2=，‎ 即有k=，②‎ 将②代入①可得m=2，k=，‎ 则MN=，‎ 由y=x+3和抛物线x2=﹣2py，‎ 可得x2+2px+6p=0，‎ 由判别式12p2﹣24p=0，‎ 解得p=2，‎ 求得切点A（﹣2，﹣3），‎ 由于=λ，即MN∥AB，‎ 则AB=4，‎ 即有λ==4．‎ 故选：A．‎ 点评： 本题考查直线和圆、抛物线相切的条件，向量共线的定理的运用，考查直线和圆相交的弦长公式，以及平面几何的勾股定理，考查运算能力，属于中档题．‎ 二、填空题：本大题有7小题，共36分（其中1道三空题，每空2分，3道两空题，每空3分，3道一空题，每空4分）．‎ ‎9．（6分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图所示，则A=2，ω=2，F（）=1．‎ 考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式． ‎ 专题： 三角函数的图像与性质．‎ 分析： 根据图象由最值确定A=2，由周期确定ω=2π÷T=2，得到f（x）=2sin（2x+φ），然后以点（，2）代人求φ．‎ 解答： 解：由图象易知A=2，T=π﹣，‎ ‎∴T=π，ω==2，‎ ‎∴f（x）=2sin（2x+φ），由f（）=2sin（2×+φ=2，且0＜φ＜π，‎ ‎∴φ=，‎ ‎∴f（x）=2sin（2x+），‎ ‎∴f（）=2sin（2×+）=1，‎ 故答案为：2；2；1．‎ 点评： 本题主要考查由部分图象怎样求函数的解析式问题及计算能力．‎ ‎10．（6分）已知等差数列{an）的前n项和为Sn=﹣n2+（10+k）n+（k﹣1），则实数k=1，an=﹣2n+12．‎ 考点： 等差数列的前n项和． ‎ 专题： 等差数列与等比数列．‎ 分析： 等差数列{an）的前n项和为Sn=﹣n2+（10+k）n+（k﹣1），可得k=1，可得Sn=﹣n2+11n；当n=1时，可得a1；当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，即可得出．‎ 解答： 解：∵等差数列{an）的前n项和为Sn=﹣n2+（10+k）n+（k﹣1），‎ ‎∴k=1，‎ ‎∴Sn=﹣n2+11n，‎ 当n=1时，a1=﹣1+11=10；‎ 当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=﹣n2+11n﹣[﹣（n﹣1）2+11（n﹣1）]=﹣2n+12，‎ 当n=1时上式也成立．‎ ‎∴an=﹣2n+12．‎ 故答案为：1；﹣2n+12．‎ 点评： 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、递推式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎11．（6分）设函数f（x）=，则f（1）=﹣1，若f（f（a））≤3，则实数a的取值范围是（﹣∞，]．‎ 考点： 分段函数的应用． ‎ 专题： 函数的性质及应用．‎ 分析： 由已知中函数f（x）=，将x=1代入，可求出f（1）；再讨论f（a）的正负，代入求出f（a）≥﹣3，再讨论a的正负，求实数a的取值范围．‎ 解答： 解：∵函数f（x）=，‎ ‎∴f（1）=﹣12=﹣1，‎ ‎①若f（a）＜0，则f2（a）+‎2f（a）≤3，‎ 解得，﹣3≤f（a）≤1，‎ 即﹣3≤f（a）＜0，‎ ‎②若f（a）≥0，则﹣f2（a）≤3，显然成立；‎ 则f（a）≥﹣3，‎ ‎③若a＜0，则a2+‎2a≥﹣3，‎ 解得，a∈R，‎ 即a＜0．‎ ‎④若a≥0，则﹣a2≥﹣3，‎ 解得，0≤a≤，‎ 综上所述，实数a的取值范围是：（﹣∞，]．‎ 故答案为：﹣1；（﹣∞，]．‎ 点评： 本题考查了分段函数的应用，再已知函数值的范围时，要对自变量讨论代入函数求解，属于基础题．‎ ‎12．（6分）若如图为某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去一部分后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，则其正视图的面积为4，三棱锥D﹣BCE的体积为．‎ 考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积． ‎ 专题： 综合题；空间位置关系与距离．‎ 分析： 由题意可知，正视图为直角三角形，直角边长为2，4，可得正视图的面积；证明AB⊥平面ACDE，求出四棱锥B﹣ACDE的体积、三棱锥E﹣ACB的体积，即可求出三棱锥D﹣BCE的体积．‎ 解答： 解：由题意可知，正视图为直角三角形，直角边长为2，4，故正视图的面积为=4；‎ 四棱锥B﹣ACDE中，AE⊥平面ABC，∴AE⊥AB，‎ 又AB⊥AC，且AE和AC相交，‎ ‎∴AB⊥平面ACDE，‎ 又AC=AB=AE=2，CD=4，‎ 则四棱锥B﹣ACDE的体积V==4，‎ 又三棱锥E﹣ACB的体积为=，‎ ‎∴三棱锥D﹣BCE的体积为4﹣=．‎ 故答案为：4；．‎ 点评： 本题考查正视图的面积，考查考查几何体的体积，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．‎ ‎13．（4分）点F是抛物线T：x2=2py（y＞0）的焦点，F1是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，若线段FF1的中点P恰为抛物线T与双曲线C的渐近线在第一象限内的交点，则双曲线C的离心率e=．‎ 考点： 抛物线的简单性质． ‎ 专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析： 双曲线C的渐近线方程为y=x，代入x2=2py，可得P（，），利用P是线段FF1的中点，可得P（，），由此即可求出双曲线C的离心率．‎ 解答： 解：双曲线C的渐近线方程为y=x，代入x2=2py，可得P（，），‎ ‎∵F（0，），F1（c，0）‎ ‎∴线段FF1的中点P（，），‎ ‎∴=，=，‎ ‎∴a2=8b2，‎ ‎∴c2=9b2，‎ ‎∴e==．‎ 故答案为：．‎ 点评： 本题考查双曲线C的离心率，考查抛物线、双曲线的性质，考查学生的计算能力，确定P的坐标是关键．‎ ‎14．（4分）已知向量=（1，），=（﹣2，0）若⊥（≠），当t∈[﹣，2]时，|﹣t|的取值范围为[1，]．‎ 考点： 平面向量数量积的运算． ‎ 专题： 平面向量及应用．‎ 分析： 由已知求出用t表示的坐标，得到t的坐标，然后用t表示|﹣t|，根据t∈[﹣，2]求其范围．‎ 解答： 解：由已知向量=（1，），=（﹣2，0）若⊥（≠），设=（x，y），则﹣2x+0=0，即x=0，所以=（0，y），则t=（0，t），‎ 所以﹣t=（1，﹣t），‎ 所以，|﹣t|2=1+（﹣t）2，又t∈[﹣，2]，‎ 所以当t=时，|﹣t|2的最小值为1；当t=时，|﹣t|2的最大值为13；‎ 所以|﹣t|的取值范围为[1，]；‎ 故答案为：[1，]．‎ 点评： 本题考查了向量的加减法的坐标运算以及向量模的求法．‎ ‎15．（4分）对于任意实数x，记[x]表示不超过x的最大整数，{x}=x﹣[x]，＜x＞表示不小于x的最小整数，若x1，x2，…xm（0≤x1＜x2＜…＜xm≤n+1是区间[0，n+1]中满足方程[x]•{x}•＜x＞=1的一切实数，则x1+x2+…+xm的值是+．‎ 考点： 数列与函数的综合；函数的值． ‎ 专题： 新定义；函数的性质及应用．‎ 分析： 根据新定义，[x]表示不超过x的最大整数，{x}=x﹣[x]，需要分类讨论，根据条件得到x═a+，继而求出a的可能值，最后代入计算即可．‎ 解答： 解：显然，x不可能是整数，‎ 否则由于{x}=0，方程[x]•{x}•＜x＞=1不可能成立．‎ 设[x]=a，则{x}=x﹣a，x=a+1，‎ 代入得a（x﹣a）（a+1）=1，‎ 解得x=a+．‎ 考虑到x∈[0，n+1]，且[x]≠0，所以a=1，2，3，4，5，…，n，‎ 故符合条件的解有n个，即m=n，‎ 则x1+x2+…+xm=x1+x2+…+xn=+1﹣+…+﹣‎ ‎=+1﹣=+．‎ 故答案为：+．‎ 点评： 本题考查了函数的值，需要分类进行讨论，新定义一般需要认真读题，理解题意，灵活利用已知定义，属于中档题．‎ 三、解答题：本大题共5小题，共74分（‎16.17.18‎.19小题各为15分，20小题为14分）．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎16．（15分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若1+=．‎ ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）若函数f（x）=2sin2（x+）﹣cos2x，x∈[，]，在x=B处取到最大值a，求△ABC的面积．‎ 考点： 正弦定理；同角三角函数基本关系的运用． ‎ 专题： 解三角形．‎ 分析： （1）把已知等式中的切化弦，利用正弦定理把边转化为角的正弦，整理可求得cosA的值，进而求得A．‎ ‎（2）把利用两角和公式对函数解析式化简，利用正弦函数的性质求得函数最大值时B，C和a的值，进而利用正弦定理求得c，最后利用三角形面积公式求得答案．‎ 解答： 解：（1）因为1+•=，‎ 所以=2sinC，‎ 又因为sinC≠0，所以cosA=，‎ 所以A=．‎ ‎（2）因为f（x）=2sin2（x+）﹣cos2x=1+2sin（2x﹣），‎ 所以，当2x﹣=，即x=时，f（x）max=3，‎ 此时B=，C=，a=3．‎ 因为=，所以c===，‎ 则S=acsinB=×3××=．‎ 点评： 本题主要考查了正弦定理和三角函数图象与性质．考查了学生基础公式的运用和一定的运算能力．‎ ‎17．（15分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2AB，F是CD的中点．‎ ‎（1）求证：平面CBE⊥平面CDE；‎ ‎（2）求二面角C﹣BE﹣F的余弦值．‎ 考点： 二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定． ‎ 分析： （1）取CE的中点M，连接BM、FM，通过证明BM⊥平面CDE，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面 BCE⊥平面 CDE．‎ ‎（2）过F作FN⊥CE交CE于N，过N作NH⊥BE，连接HF，则∠NHF就是二面角C﹣BE﹣F的平面角．‎ 解答： （1）证明：因为DE⊥平面ACD，DE⊂平面CDE，‎ 所以平面CDE⊥平面ACD．‎ 在底面ACD中，AF⊥CD，由面面垂直的性质定理知，AF⊥平面CDE．‎ 取CE的中点M，连接BM、FM，‎ 由已知可得FM=AB且FM∥AB，则四边形FMBA为平行四边形，从而BM∥AF．‎ 所以BM⊥平面CDE．‎ 又BM⊂平面BCE，则平面CBE⊥平面CDE．…（7分）‎ ‎（2）解：过F作FN⊥CE交CE于N，过N作NH⊥BE，连接HF，‎ 则∠NHF就是二面角C﹣BE﹣F的平面角．‎ 在Rt△FNH中，NH=，FH=，‎ 所以cos∠NHF==‎ 故二面角C﹣BE﹣F的余弦值为…（15分）‎ 点评： 本题考查平面与平面垂直的判定，考查二面角的余弦值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎18．（15分）如图，椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率为，上、下顶点为A，B，点P（0，2）关于直线y=﹣x的对称点在椭圆M上，过点P的直线l与椭圆M相交于两个不同的点C，D（C在线段PD之间）．‎ ‎（1）求椭圆M的方程；‎ ‎（2）求•的取值范围；‎ ‎（3）当AD与BC相交于点Q时，试问：点Q的纵坐标是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．‎ 考点： 直线与圆锥曲线的综合问题． ‎ 专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析： （1）由已知得a=2，又e==，故c=，b=1，即可求椭圆M的方程；‎ ‎（2）分类讨论，y=kx+2代入椭圆方程消去y，得（1+4k2）x2+16kx+12=0，利用数量积公式求•的取值范围；‎ ‎（3）由题意得：AD：y=x+1，BC：y=x﹣1，联立方程组，消去x，解得y=，即可得出结论．‎ 解答： 解：（1）由已知得a=2，‎ 又e==，故c=，b=1，‎ ‎∴椭圆M的方程．…（4分）‎ ‎（2）①当直线l斜率不存在时，C（0，1），D（0，﹣1），•=﹣1；…（5分）‎ 当直线斜率存在时，设直线l方程为y=kx+2，C（x1，y1），D（x2，y2），则 y=kx+2代入椭圆方程消去y，得（1+4k2）x2+16kx+12=0，‎ x1+x2=﹣，x1x2=，‎ ‎△＞0，可得4k2＞3，…（7分）‎ ‎•=x1x2+y1y2=﹣1+，‎ ‎∴得﹣1＜•＜．‎ 综上可知，•的取值范围是[﹣1，）．…（10分）‎ ‎②由题意得：AD：y=x+1，BC：y=x﹣1，‎ 联立方程组，消去x，解得y=，‎ 又4kx1x2=﹣3（x1+x2），得y=．‎ ‎∴点Q的纵坐标为定值．…（15分）‎ 点评： 本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎19．（15分）已知等差数列{an}的公差为d（d≠0），等比数列{bn}的公比为q（q＞0），且满足a1=b1=1，a2=b3，a6=b ‎5‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）数列{bn}的前n项和为Tn，求证：++…+＜2．‎ 考点： 数列的求和；等差数列的性质． ‎ 专题： 等差数列与等比数列．‎ 分析： （1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；‎ ‎（2）由（1）可得：bn=2n﹣1，可得Tn=2n﹣1，可得＜ （n≥2时），即可证明．‎ 解答： （1）解：满足a1=b1=1，a2=b3，a6=b5，‎ ‎∴，解得：，‎ 故an=3n﹣2．‎ ‎（2）证明：由（1）可得：bn=2n﹣1，‎ ‎∴Tn==2n﹣1，‎ ‎∵＜ （n≥2时），‎ ‎∴当n≥2时，‎ ‎∴++…+=+…+‎ ‎＜+…+=1+++…+==2＜2．‎ 当n=1时，=1＜2符合．‎ 综上所述，不等式成立．‎ 点评： 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎20．（14分）已知函数f（x）=log22x﹣mlog2x+a，g（x）=x2+1．‎ ‎（1）当a=1时，求f（x）在x∈[1，4]上的最小值；‎ ‎（2）当a＞0，m=2时，若对任意的实数t∈[1，4]，均存在xi∈[1，8]（i=1，2），且x1≠x2，使得=f（t）成立，求实数a的取值范围．‎ 考点： 函数恒成立问题． ‎ 专题： 函数的性质及应用．‎ 分析： （1），转化成二次函数问题，利用单调性研究最小值．‎ ‎（2）令log2t=u（0≤u≤2），则f（t）=u2﹣2u+a的值域是[a﹣1，a]．由条件列式求解．‎ 解答： 解：（1），其中 ‎0≤log2x≤2． 所以①，即m≤0，此时f（x）min=f（1）=1，②当，‎ 即m≥4，此时f（x）min=f（4）=5﹣‎2m，③0＜m＜4时，当时，‎ ‎．‎ 所以，f（x）min= …（6分）‎ ‎（2）令log2t=u（0≤u≤2），则f（t）=u2﹣2u+a的值域是[a﹣1，a]．‎ 因为y=，利用图形可知 ‎，即，‎ 解得…（14分）‎ 点评： 本题主要考查以对数函数为背景的二次函数问题，属于中档题目，2015届高考常考题型．‎ ‎ ‎