2015高考数学（理）（数列的概念与简单表示法）一轮复习学案 8页

第六章　数　列 学案28　数列的概念与简单表示法 导学目标： 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．‎ 自主梳理 ‎1．数列的定义 按________________着的一列数叫数列，数列中的______________都叫这个数列的项；在函数意义下，数列是________________________的函数，数列的一般形式为：______________________，简记为{an}，其中an是数列的第____项．‎ ‎2．通项公式：‎ 如果数列{an}的______与____之间的关系可以____________来表示，那么这个式子叫做数列的通项公式．但并非每个数列都有通项公式，也并非都是唯一的．‎ ‎3．数列常用表示法有：_________、________、________.‎ ‎4．数列的分类：‎ 数列按项数来分，分为____________、__________；按项的增减规律分为________、________、__________和__________．递增数列⇔an＋1______an；递减数列⇔an＋1______an；常数列⇔an＋1______an.‎ ‎5．an与Sn的关系：‎ 已知Sn，则an＝ 自我检测 ‎1．(2011·汕头月考)设an＝－n2＋10n＋11，则数列{an}从首项到第几项的和最大 (　　)‎ A．10 B．11‎ C．10或11 D．12‎ ‎2．已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10等于 (　　)‎ A．－165 B．－‎33 ‎ C．－30 D．－21‎ ‎3．(2011·龙岩月考)已知数列－1，，－，，…按此规律，则这个数列的通项公式是(　　)‎ A．an＝(－1)n· B．an＝(－1)n· C．an＝(－1)n· D．an＝(－1)n· ‎4．下列对数列的理解：‎ ‎①数列可以看成一个定义在N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})上的函数；‎ ‎②数列的项数是有限的；‎ ‎③数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；‎ ‎④数列的通项公式是唯一的．‎ 其中说法正确的序号是 (　　)‎ A．①②③ B．②③④‎ C．①③ D．①②③④‎ ‎5．(2011·湖南长郡中学月考)在数列{an}中，若a1＝1，a2＝，＝＋ (n∈N*‎ ‎)，则该数列的通项an＝______.‎ 探究点一　由数列前几项求数列通项 例1　写出下列数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：‎ ‎(1)，，，，，…；‎ ‎(2)，－2，，－8，，….‎ 变式迁移1　写出下列数列的一个通项公式：‎ ‎(1)3,5,9,17,33，…；(2)，2，，8，，…；‎ ‎(3)，，2，，…；(4)1,0,1,0，….‎ 探究点二　由递推公式求数列的通项 例2　根据下列条件，写出该数列的通项公式．‎ ‎(1)a1＝2，an＋1＝an＋n；(2)a1＝1,2n－1an＝an－1 (n≥2)．‎ 变式迁移2　根据下列条件，确定数列{an}的通项公式．‎ ‎(1)a1＝1，an＋1＝3an＋2；‎ ‎(2)a1＝1，an＋1＝(n＋1)an；‎ ‎(3)a1＝2，an＋1＝an＋ln.‎ 探究点三　由an与Sn的关系求an 例3　已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n＋1，求{an}的通项公式．‎ 变式迁移3　(2011·杭州月考)(1)已知{an}的前n项和Sn＝3n＋b，求{an}的通项公式．‎ ‎(2)已知在正项数列{an}中，Sn表示前n项和且2＝an＋1，求an.‎ 函数思想的应用 例　(12分)已知数列{an}的通项an＝(n＋1)n (n∈N*)，试问该数列{an}有没有最大项？若有，求出最大项的项数；若没有，说明理由．‎ ‎【答题模板】‎ 解　方法一　令[4分]‎ ‎⇔⇔，∴n＝9或n＝10时，an最大，[10分]‎ 即数列{an}有最大项，此时n＝9或n＝10.[12分]‎ 方法二　∵an＋1－an＝(n＋2)·n＋1－(n＋1)·n ‎＝n·，[2分]‎ 当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an；‎ 当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；‎ 当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1a11>a12>…，[10分]‎ ‎∴数列{an}中有最大项，为第9、10项．[12分]‎ ‎【突破思维障碍】‎ 有关数列的最大项、最小项，数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性常用①作差法，②作商法，③图象法．求最大项时也可用an满足；若求最小项，则用an满足.‎ 数列实质就是一种特殊的函数，所以本题就是用函数的思想求最值．‎ ‎【易错点剖析】‎ 本题解题过程中易出现只解出a9这一项，而忽视了a9＝a10，从而导致漏解．‎ ‎1．数列的递推公式是研究的项与项之间的关系，而通项公式则是研究的项an与项数n的关系．‎ ‎2．求数列的通项公式是本节的重点，主要掌握三种方法：(1)由数列的前几项归纳出一个通项公式，关键是善于观察；‎ ‎(2)数列{an}的前n项和Sn与数列{an}的通项公式an的关系，要注意验证能否统一到一个式子中；‎ ‎(3)由递推公式求通项公式，常用方法有累加、累乘．‎ ‎3．本节易错点是利用Sn求an时，忘记讨论n＝1的情况．‎ ‎(满分：75分)‎ 一、选择题(每小题5分，共25分)‎ ‎1．(2010·安徽)设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为 (　　)‎ A．15 B．‎16 ‎ C．49 D．64‎ ‎2．已知数列{an}的通项公式是an＝，那么这个数列是 (　　)‎ A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．常数列 ‎3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)，则a2等于 (　　)‎ A．4 B．‎2 ‎ C．1 D．－2‎ ‎4．(2011·烟台模拟)数列{an}中，若an＋1＝，a1＝1，则a6等于 (　　)‎ A．13 B. C．11 D. ‎5．数列{an}满足an＋an＋1＝ (n∈N*)，a2＝2，Sn是数列{an}的前n项和，则S21为 (　　)‎ A．5 B. C. D. 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 答案 二、填空题(每小题4分，共12分)‎ ‎6．数列{an}满足an＋1＝若a1＝，则a2 010的值为________．‎ ‎7．已知Sn是数列{an}的前n项和，且有Sn＝n2＋1，则数列{an}的通项an＝__________________.‎ ‎8．(2011·安庆月考)将全体正整数排成一个三角形数阵：‎ ‎1‎ ‎2　3‎ ‎4　5　6‎ ‎7　8　9　10‎ ‎11　12　13　14　15‎ ‎…　…　…　…　…　…‎ 根据以上排列规律，数阵中第n (n≥3)行从左至右的第3个数是____________．‎ 三、解答题(共38分)‎ ‎9．(12分)写出下列各数列的一个通项公式．‎ ‎(1)1，2，3，4，…；‎ ‎(2)－1，，－，，－，.‎ ‎10．(12分)由下列数列{an}递推公式求数列{an}的通项公式：‎ ‎(1)a1＝1，an－an－1＝n (n≥2)；‎ ‎(2)a1＝1，＝ (n≥2)；‎ ‎(3)a1＝1，an＝2an－1＋1 (n≥2)．‎ ‎11．(14分)(2009·安徽)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋2n，数列{bn}的前n项和Tn＝2－bn.‎ ‎(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；‎ ‎(2)设cn＝a·bn，证明：当且仅当n≥3时，cn＋1　<　＝　5.S1　Sn－Sn－1‎ 自我检测 ‎1．C　2.C　3.C　4.C ‎5. 课堂活动区 例1　解题导引　(1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，要使用添项、还原、分割等方法，转化为一些常见数列的通项公式来求；‎ ‎(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴涵着“从特殊到一般”的思想，得出的结论不一定可靠，在解答题中一般应用数学归纳法进行证明．‎ 解　(1)原数列为，，，，，…，‎ ‎∴an＝＝.‎ ‎(2)原数列为，－，，－，，…，‎ ‎∴an＝.‎ 变式迁移1　解　(1)∵a1＝3＝21＋1，‎ a2＝5＝22＋1，a3＝9＝23＋1，…，‎ ‎∴an＝2n＋1.‎ ‎(2)将数列中各项统一成分母为2的分数，得 ，，，，，…，‎ 观察知，各项的分子是对应项数的平方，‎ ‎∴数列通项公式是an＝.‎ ‎(3)将数列各项统一成的形式得 ，，，，…；‎ 观察知，数列各项的被开方数逐个增加3，且被开方数加1后，又变为3,6,9,12，…，所以数列的通项公式是an＝.‎ ‎(4)从奇数项，偶数项角度入手，可以得到分段形式的解析式，也可看作数列1,1,1,1，…和1，－1,1，－1，…对应项相加之和的一半组成的数列，也可用正弦函数和余弦函数的最值和零点值来调整表示．‎ 所以an＝ 或an＝ (n∈N*)，‎ 或an＝或an＝sin2 (n∈N*)，‎ 或an＝ (n∈N*)．‎ 例2　解题导引　利用数列的递推公式求数列的通项公式，一般有以下三种方法：‎ ‎(1)累加法：如果已知数列{an}的相邻两项an＋1与an的差的一个关系式，我们可依次写出前n项中所有相邻两项的差的关系式，然后把这n－1个式子相加，整理求出数列的通项公式．‎ ‎(2)累积法：如果已知数列{an}的相邻两项an＋1与an的商的一个关系式，我们可依次写出前n项中所有相邻两项的商的关系式，然后把这n－1个式子相乘，整理求出数列的通项公式．‎ ‎(3)构造法：根据所给数列的递推公式以及其他有关关系式，进行变形整理，构造出一个新的等差或等比数列，利用等差或等比数列的通项公式求解．‎ 解　(1)当n＝1,2,3，…，n－1时，可得n－1个等式，an－an－1＝n－1，an－1－an－2＝n－2，…，a2－a1＝1，‎ 将其相加，‎ 得an－a1＝1＋2＋3＋…＋(n－1)．‎ ‎∴an＝a1＋＝2＋.‎ ‎(2)方法一　an＝··…···a1‎ ‎＝n－1·n－2·…·2·1‎ ‎＝1＋2＋…＋(n－1)＝，‎ ‎∴an＝.‎ 方法二　由2n－1an＝an－1，‎ 得an＝n－1an－1.‎ ‎∴an＝n－1an－1‎ ‎＝n－1·n－2an－2‎ ‎＝n－1·n－2·…·‎1a1‎ ‎＝(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1＝ 变式迁移2　解　(1)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，‎ ‎∴＝3，‎ ‎∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，‎ 又a1＋1＝2，‎ ‎∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1.‎ ‎(2)∵an＋1＝(n＋1)an，∴＝n＋1.‎ ‎∴＝n，＝n－1，‎ ‎……‎ ＝3，‎ ＝2，‎ a1＝1.‎ 累乘可得，an＝n×(n－1)×(n－2)×…×3×2×1＝n！.‎ 故an＝n！.‎ ‎(3)∵an＋1＝an＋ln，‎ ‎∴an＋1－an＝ln＝ln .‎ ‎∴an－an－1＝ln ，‎ an－1－an－2＝ln ，‎ ‎……‎ a2－a1＝ln ，‎ 累加可得，an－a1＝ln ＋ln ＋…＋ln ‎＝ln n－ln(n－1)＋ln(n－1)－ln(n－2)＋…＋ln 2－ln 1‎ ‎＝ln n.‎ 又a1＝2，∴an＝ln n＋2.‎ 例3　解题导引　an与Sn的关系式an＝Sn－Sn－1的条件是n≥2，求an时切勿漏掉n＝1，即a1＝S1的情况．一般地，当a1＝S1适合an＝Sn－Sn－1时，则需统一“合写”．当a1＝S1不适合an＝Sn－Sn－1时，则通项公式应分段表示，即an＝ 解　当n＝1时，‎ a1＝S1＝2×12－3×1＋1＝0；‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n＋1)－2(n－1)2＋3(n－1)－1＝4n－5；‎ 又n＝1时，an＝4×1－5＝－1≠a1，‎ ‎∴an＝ 变式迁移3　解　(1)a1＝S1＝3＋b，‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1.‎ 当b＝－1时，a1适合此等式；‎ 当b≠－1时，a1不适合此等式．‎ ‎∴当b＝－1时，an＝2·3n－1；‎ 当b≠－1时，an＝.‎ ‎(2)由2＝an＋1，得Sn＝2，‎ 当n＝1时，a1＝S1＝2，得a1＝1；‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1‎ ‎＝2－2，‎ 整理，得(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0，‎ ‎∵数列{an}各项为正，∴an＋an－1>0.‎ ‎∴an－an－1－2＝0.‎ ‎∴数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列．‎ ‎∴an＝a1＋(n－1)×2＝2n－1.‎ 课后练习区 ‎1．A　2.A　3.A　4.D　5.B ‎6.　7.　8. ‎9．解　(1)∵a1＝1＋，a2＝2＋，a3＝3＋，…，‎ ‎∴an＝n＋(n∈N*)．…………………………………………………………………(6分)‎ ‎(2)∵a1＝－，a2＝，a3＝－，‎ a4＝，…，‎ ‎∴an＝(－1)n·(n∈N*)．………………………………………………………(12分)‎ ‎10．解　(1)由题意得，an－an－1＝n，an－1－an－2＝n－1，…，a3－a2＝3，a2－a1＝2.‎ 将上述各式等号两边累加得，‎ an－a1＝n＋(n－1)＋…＋3＋2，‎ 即an＝n＋(n－1)＋…＋3＋2＋1＝，‎ 故an＝.……………………………………………………………………………(4分)‎ ‎(2)由题意得，＝，＝，…，＝，＝.‎ 将上述各式累乘得，＝，故an＝.……………………………………………………(8分)‎ ‎(3)由an＝2an－1＋1，‎ 得an＋1＝2(an－1＋1)，‎ 又a1＋1＝2≠0，所以＝2，‎ 即数列{an＋1}是以2为首项，以2为公比的等比数列．‎ 所以an＋1＝2n，即an＝2n－1.…………………………………………………………(12分)‎ ‎11．(1)解　a1＝S1＝4.……………………………………………………………………(1分)‎ 对于n≥2有an＝Sn－Sn－1＝2n(n＋1)－2(n－1)n＝4n.a1也适合，‎ ‎∴{an}的通项公式an＝4n.………………………………………………………………(3分)‎ 将n＝1代入Tn＝2－bn，得b1＝2－b1，故T1＝b1＝1.………………………………(4分)‎ ‎(求bn方法一)对于n≥2，由Tn－1＝2－bn－1，‎ Tn＝2－bn，得bn＝Tn－Tn－1＝－(bn－bn－1)，‎ ‎∴bn＝bn－1，bn＝21－n.……………………………………………………………………(6分)‎ ‎(求bn方法二)对于n≥2，由Tn＝2－bn得 Tn＝2－(Tn－Tn－1)，‎ ‎2Tn＝2＋Tn－1，Tn－2＝(Tn－1－2)，‎ Tn－2＝21－n(T1－2)＝－21－n，‎ Tn＝2－21－n，‎ bn＝Tn－Tn－1＝(2－21－n)－(2－22－n)＝21－n.‎ b1＝1也适合．……………………………………………………………………………(6分)‎ 综上，{bn}的通项公式bn＝21－n.…………………………………………………………(8分)‎ ‎(2)证明　方法一　由cn＝a·bn＝n225－n，………………………………………………(10分)‎ 得＝2.………………………………………………………………………(12分)‎ 当且仅当n≥3时，1＋≤<，‎ ‎∴<·()2＝1，又cn＝n2·25－n>0，‎ 即cn＋1