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- 2021-05-13 发布
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学生姓名 年级 高三 授课时间 教师姓名 刘 课时
02-圆锥曲线压轴题-分类训练
【知识点】
1. 直线方程的形式
(1)直线方程的形式有五件:点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。
(2)与直线相关的重要内容
①倾斜角与斜率
②点到直线的距离 ③夹角公式:
(3)弦长公式
直线上两点间的距离:
或
(4)两条直线的位置关系
①=-1 ②
2、圆锥曲线方程及性质
(1)、椭圆的方程的形式有几种?(三种形式)
标准方程:
距离式方程:
参数方程:
(2)、双曲线的方程的形式有两种
标准方程:
距离式方程:(3)抛物线
(4)、三种圆锥曲线的通径你记得吗?
3.方法
(1)点差法(中点弦问题)
设、,为椭圆的弦中点则有
,;两式相减得
=
(2)联立消元法:设直线的方程,并且与曲线的方程联立,消去一个未知数,得到一个二次方程,使用判别式,以及根与系数的关系,代入弦长公式,设曲线上的两点,将这两点代入曲线方程得到两个式子,然后-,整体消元······,若有两个字母未知数,则要找到它们的联系,消去一个,比如直线过焦点,则可以利用三点A、B、F共线解决之。若有向量的关系,则寻找坐标之间的关系,根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为,就意味着k存在。
【课堂练习】
题型一:数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系
例题1、已知直线与椭圆
始终有交点,求的取值范围
解:根据直线的方程可知,直线恒过定点(0,1),椭圆过动点,如果直线和椭圆始终有交点,则,
即。
题型二:弦的垂直平分线问题。注:垂直(两直线的斜率之积为-1)和平分(中点坐标公式)。
例题2、过点T(-1,0)作直线与曲线N :交于A、B两点,在x轴上是否存在一点E(,0),使得是等边三角形,若存在,求出;若不存在,请说明理由。
解:依题意知,直线的斜率存在,且不等于0。
设直线,,,。
由消y整理,得 ①
由直线和抛物线交于两点,得即 ②
由韦达定理,得:。则线段AB的中点为。
线段的垂直平分线方程为: ,
令y=0,得,则
为正三角形,到直线AB的距离d为。
解得满足②式 此时。
例题3、已知椭圆的左焦点为F,O为坐标原点。 (Ⅰ)求过点O、F,并且与相切的圆的方程;(Ⅱ)设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点G,求点G横坐标的取值范围。
解:(I) ∵a2=2,b2=1,∴c=1,
F(-1,0),l:x=-2.
∵圆过点O、F,∴圆心M在直线x=-
设M(-),则圆半径:r=|(-)-(-2)|=
由|OM|=r,得,解得t=±,
∴所求圆的方程为(x+)2+(y±)2=.
(II)由题意可知,直线AB的斜率存在,且不等于0,设直线AB的方程为y=k(x+1)(k≠0),
代入+y2=1,整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0
∵直线AB过椭圆的左焦点F, ∴方程一定有两个不等实根,
设A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点N(x0,y0),则x1+x1=-
∴AB垂直平分线NG的方程为
令y=0,得
∵∴点G横坐标的取值范围为()。
题型三:动弦过定点的问题
例题4、已知椭圆C:的离心率为,且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。
(I)求椭圆的方程; (II)若直线与x轴交于点T,点P为直线上异于点T的任一点,直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点,试问直线MN是否通过椭圆的焦点?并证明你的结论。
解:(I)由已知椭圆C的离心率,,则得。从而椭圆的方程为
(II)设,,直线的斜率为,则直线的方程为,由消y整理得
是方程的两个根,
则,,
即点M的坐标为,
同理,设直线A2N的斜率为k2,则得点N的坐标为
,
直线MN的方程为:,
令y=0,得,将点M、N的坐标代入,化简后得:
又,
椭圆的焦点为 ,即
故当时,MN过椭圆的焦点。
例题5、(07山东理)已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3;最小值为1; (Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若直线与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证:直线过定点,并求出该定点的坐标。
解(I)由题意设椭圆的标准方程为
,
(II)设,由
得:,
,
(注意:这一步是同类坐标变换)
(注意:这一步叫同点纵、横坐标间的变换)
以AB为直径的圆过椭圆的右顶点且,
,,
,解得,且满足
当时,,直线过定点与已知矛盾;
当时,,直线过定点,
综上可知,直线过定点,定点坐标为
题型四:过已知曲线上定点的弦的问题。直线的方程和曲线联立,转化为一元二次方程(或类一元二次方程),考察判断式后,韦达定理结合定点的坐标就可以求出另一端点的坐标,进而解决问题。
例题6、已知点A、B、C是椭圆E: 上的三点,其中点A是椭圆的右顶点,直线BC过椭圆的中心O,且,
,如图。(I)求点C的坐标及椭圆E的方程;(II)若椭圆E上存在两点P、Q,使得直线PC与直线QC关于直线对称,求直线PQ的斜率。
解:(I) ,且BC过椭圆的中心O
, 又
点C的坐标为。
A是椭圆的右顶点, ,则椭圆方程为:
将点C代入方程,得,椭圆E的方程为
(II) 直线PC与直线QC关于直线对称,
设直线PC的斜率为,则直线QC的斜率为,从而直线PC的方程为:
,即,
由消y,整理得:
是方程的一个根,
即 同理可得:
==
=
则直线PQ的斜率为定值。
题型五:共线向量问题。解析几何中的向量共线,就是将向量问题转化为同类坐标的比例问题,再通过韦达定理------同类坐标变换,将问题解决。
例题7、设过点D(0,3)的直线交曲线M:+=1 于P、Q两点,且,求实数的取值范围。
解:设P(x1,y1),Q(x2,y2), 由 得(x1,y1-3)=(x2,y2-3) 即
方法一:方程组消元法
又P、Q是椭圆+=1上的点 消去x2,
可得 即y2=
又在椭圆上,-2≤y2≤2, ∴ -2≤≤2 解之得:
则实数的取值范围是。
方法二:判别式法、韦达定理法、配凑法
设直线PQ的方程为:,由消y整理后,得
P、Q是曲线M上的两点 =
即 ①
由韦达定理得:
即 ②
由①得,代入②,整理得 , 解之得
当直线PQ的斜率不存在,即时,易知或 。 总之实数的取值范围是。
例题8:已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,它的一个顶点恰好是抛物线的焦点,离心率为.(1)求椭圆C的标准方程; (2)过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点,交y轴于M点,若,,求的值.
解法一:
(Ⅰ)设点,则,由得:
,化简得.
(Ⅱ)设直线的方程为: .
设,,又,联立方程组,消去得:
,,故
由,得:
,,整理得:
,,
解法二:(Ⅰ)由得:,
, ,
所以点的轨迹是抛物线,由题意,轨迹的方程为:.
(Ⅱ)由已知,,得. 则:.……①
过点分别作准线的垂线,垂足分别为,,则有: .…………②
由①②得:,即.
题型六:面积问题
例题9、(07陕西理)已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为。(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为,求△AOB面积的最大值。
解:(Ⅰ)设椭圆的半焦距为,依题意 ,所求椭圆方程为。
(Ⅱ)设,。 (1)当轴时,。
(2)当与轴不垂直时,设直线的方程为。
由已知,得。
把代入椭圆方程,整理得,
,。
。
当且仅当,即时等号成立。当时,, 综上所述。
当最大时,面积取最大值。
练习1、(07浙江理)如图,直线与椭圆交于A、B两点,记的面积为。
(Ⅰ)求在,的条件下,的最大值;
(Ⅱ)当时,求直线AB的方程。
解:(Ⅰ)解:设点A的坐标为,点的坐标为,由,解得,所以 当且仅当时,取到最在值1,
(Ⅱ)解:由得
设到的距离为,则又因为 所以代入②式并整理,得
解得,代入①式检验,。
故直线的方程是
题型七:弦或弦长为定值问题
例题10、(07湖北理科)在平面直角坐标系xOy中,过定点C(0,p)作直线与抛物线x2=2py(p>0)相交于A、B两点。
(Ⅰ)若点N是点C关于坐标原点O的对称点,求△ANB面积的最小值;
(Ⅱ)是否存在垂直于y轴的直线l,使得l被以AC为直径的圆截得弦长恒为定值?若存在,求出l的方程;若不存在,说明理由。(此题不要求在答题卡上画图)
解法1:(Ⅰ)依题意,点N的坐标为N(0,-p),可设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB
的方程为y=kx+p,与x2=2py联立得消去y得x2-2pkx-2p2=0. 由韦达定理得x1+x2=2pk,x1x2=-2p2.
于是
=
=
.
(Ⅱ)假设满足条件的直线l存在,其方程为y=a,AC的中点为径的圆相交于点P、Q,PQ的中点为H,则
=.
==
=
令,得为定值,故满足条件的直线l存在,
其方程为,即抛物线的通径所在的直线.
题型八:角度问题
例题11、(08陕西理)已知抛物线:,直线交于两点,是线段的中点,过作轴的垂线交于点.
(Ⅰ)证明:抛物线在点处的切线与平行;
(Ⅱ)是否存在实数使,若存在,求的值;若不存在,说明理由.
解法一:(Ⅰ)如图,设,,把代入
得,
由韦达定理得,,
· ,
· 点的坐标为.
设抛物线在点处的切线的方程为,
将代入上式得, 直线与抛物线相切,,. 即.
(Ⅱ)假设存在实数,使,则,又是的中点,
.
由(Ⅰ)知:
.
轴,.
又
.
x
A
y
1
1
2
M
N
B
O
,解得. 即存在,使.
问题九:四点共线问题
例题12、(08安徽理)设椭圆过点,且着焦点为
(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时,在线段上取点,满足,证明:点总在某定直线上
解 (1)由题意:
,解得,所求椭圆方程为
(2)方法一 设点Q、A、B的坐标分别为。
由题设知均不为零,记,则且
又A,P,B,Q四点共线,从而
于是 ,
,
从而 ,(1) ,(2)
又点A、B在椭圆C上,即
(1)+(2)×2并结合(3),(4)得, 即点总在定直线上
方法二 设点,由题设,均不为零。
且 又 四点共线,可设,于是 (1) (2)
由于在椭圆C上,将(1),(2)分别代入C的方程整理得
(3)
(4)
(4)-(3) 得
即点总在定直线上
问题十:范围问题(本质是函数问题)
例题13:(07四川理)设、分别是椭圆的左、右焦点。
(Ⅰ)若是该椭圆上的一个动点,求·的最大值和最小值;
(Ⅱ)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、,且∠为锐角(其中为坐标原点),求直线的斜率的取值范围。
解:(Ⅰ)解法一:易知, 所以,设,则
因为,故当,即点为椭圆短轴端点时,有最小值
当,即点为椭圆长轴端点时,有最大值
解法二:易知,所以,设,则
(以下同解法一)
(Ⅱ)显然直线不满足题设条件,可设直线,
联立,消去,整理得:
∴
由得:或
又,∴
又
∵,即
∴
故由①、②得或
问题十一、存在性问题:(存在点,存在直线y=kx+m,存在实数,存在图形:三角形(等比、等腰、直角),四边形(矩形、菱形、正方形),圆)
例题14:(2009山东卷理)(本小题满分14分)设椭圆E: (a,b>0)过M(2,) ,N(,1)两点,O为坐标原点,(I)求椭圆E的方程;
(II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且?若存在,写出该圆的方程,并求|AB |的取值范围,若不存在说明理由。
解:(1)因为椭圆E: (a,b>0)
过M(2,) ,N(,1)两点,
所以解得所以椭圆E的方程为
(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即:, 则△,即:
,要使,需使,即,所以又,所以,即或,
直线为圆心在原点的圆的切线,所以圆的半径为,,,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为
或满足,综上, 存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.
因为,
所以
①当时
因为所以, 所以,
所以当且仅当时取”=”. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
② 当时,.
③ 当AB的斜率不存在时, 两个交点为或,所以此时,
综上, |AB |的取值范围为即:
【作业】(后面有答案!)
1. (江西卷)如图,M是抛物线上y2=x上的一点,动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点,且MA=MB.
(1)若M为定点,证明:直线EF的斜率为定值;
(2)若M为动点,且∠EMF=90°,求△EMF的重心G的轨迹。
2. (重庆卷) 已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为。
(1) 求双曲线C的方程;
O
A
B
E
F
M
(2) 若直线l:与双曲线C恒有两个不同的交点A和B,且(其中O为原点),求k的取值范围。
3 (重庆卷) 已知椭圆C1的方程为,双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点。
(1) 求双曲线C2的方程;
(2) 若直线l:与椭圆C1及双曲线C2恒有两个不同的交点,且l与C2的两个交点A和B满足(其中O为原点),求k的取值范围。
4. (天津卷)抛物线C的方程为,过抛物线C上一点P(x0,y0)(x 0≠0)作斜率为k1,k2的两条直线分别交抛物线C于A(x1,y1)B(x2,y2)两点(P,A,B三点互不相同),且满足.
(Ⅰ)求抛物线C的焦点坐标和准线方程;
(Ⅱ)设直线AB上一点M,满足,证明线段PM的中点在y轴上;
(Ⅲ)当=1时,若点P的坐标为(1,-1),求∠PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围.
5.(辽宁卷)已知椭圆的左、右焦点分别是F1(-c,0)、F2(c,0),Q是椭圆外的动点,满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点,点T在线段F2Q上,并且满足
(Ⅰ)设为点P的横坐标,证明;
(Ⅱ)求点T的轨迹C的方程;
(Ⅲ)试问:在点T的轨迹C上,是否存在点M,
使△F1MF2的面积S=若存在,求∠F1MF2
的正切值;若不存在,请说明理由.
参考答案
1.解:(1)设M(y,y0),直线ME的斜率为k(l>0)
则直线MF的斜率为-k,方程为
∴由,消
解得
∴(定值)
所以直线EF的斜率为定值
(2)直线ME的方程为
由得
同理可得
设重心G(x, y),则有
消去参数得
2.解:(Ⅰ)设双曲线方程为
由已知得故双曲线C的方程为
(Ⅱ)将
由直线l与双曲线交于不同的两点得
即 ① 设,则
而于是 ②
由①、②得
故k的取值范围为
3.解:(Ⅰ)设双曲线C2的方程为,则
故C2的方程为
(II)将由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得
即 ①
.由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A,B得
解此不等式得 ③
由①、②、③得
故k的取值范围为4.解:(Ⅰ)由抛物线的方程()得,焦点坐标为,准线方程为.
(Ⅱ)证明:设直线的方程为,直线的方程为.
点和点的坐标是方程组的解.将②式代入①式得,于是,故 ③
又点和点的坐标是方程组的解.将⑤式代入④式得.于是,故.
由已知得,,则. ⑥
设点的坐标为,由,则.
将③式和⑥式代入上式得,即.
∴线段的中点在轴上.
(Ⅲ)因为点在抛物线上,所以,抛物线方程为.
由③式知,代入得.
将代入⑥式得,代入得.
因此,直线、分别与抛物线的交点、的坐标为
,.
于是,,
.
因为钝角且、、三点互不相同,故必有.
求得的取值范围是或.又点的纵坐标满足,故当时,;当时,.即
5.(Ⅰ)证法一:设点P的坐标为由P在椭圆上,得
由,所以 ………………………3分
(Ⅱ)设点T的坐标为
当时,点(,0)和点(-,0)在轨迹上.
当|时,由,得.
又,所以T为线段F2Q的中点.
在△QF1F2中,,所以有
综上所述,点T的轨迹C的方程是…………………………7分
③
④
(Ⅲ)C上存在点M()使S=的充要条件是
③
④
由④得 上式代入③得
于是,当时,存在点M,使S=;
当时,不存在满足条件的点M.………………………11分
当时,记,
由知,所以…………14分