黄浦区高考数学二模试卷含答案 13页

‎2016年黄浦区高考数学二模试卷含答案 ‎2016.04.13‎ 一、填空题（共56分）‎ ‎1、已知集合，集合，若，则实数 ‎2、计算：‎ ‎3、函数的反函数 ‎4、函数的最小正周期为_________‎ ‎5、（理）在极坐标系中，直线与直线的夹角大小为________（结果用反三角函数值表示）‎ ‎（文）直线与直线的夹角为_________（结果用反三角函数值表示）‎ ‎6、已知菱形，若，则向量在上的投影为________‎ ‎7、已知一个凸多面体的平面展开图由两个正六边形和六个正方形构成，如右图所示，若该凸多面体所有棱长均为，则其体积 ‎8、已知函数，若的定义域中的满足，则 ‎9、（理）在代数式的展开式中，常数等于_______‎ ‎（文）数列中，若，，则的通项公式_________‎ ‎10、（理）若椭圆上的点到其一个焦点的距离的最小值为，最大值为，则该椭圆的短轴长为________‎ ‎（文）在代数式的展开式中，常数等于_______‎ ‎11、（理）有红、黄、蓝三种颜色，大小相同的小球各个，在每种颜色的个小球上分别标上号码；现任取出个，它们的颜色与号码均不相同的概率是________（结果用最简分数表示）‎ ‎（文）若椭圆上的点到其一个焦点的距离的最小值为，最大值为，则该椭圆的短轴长为________‎ ‎12、（理）设离散型随机变量可能取的值为，，若的数学期望，则 ‎（文）满足约束条件的目标函数的最大值是________‎ ‎13、（理）正整数满足，若关于的方程组有且只有一组解，则的最大值为________‎ ‎（文）有红、黄、蓝三种颜色，大小相同的小球各个，在每种颜色的个小球上分别标上号码；现任取出个，它们的颜色与号码均不相同的概率是________（结果用最简分数表示）‎ ‎14、（理）数列中，若，则满足的的最小值为_______‎ ‎（文）正整数满足，若关于的方程组有且只有一组解，则的最大值为________‎ 二、选择题（共20分）‎ ‎15、已知直角坐标平面上两条直线的方程分别为那么“”是“两直线平行”的 （ ）‎ A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 ‎16、（理）复数为虚数单位在复平面上的点不可能位于 （ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎（文）若（为虚数单位）是实系数方程的一个复数根，则（ ）‎ A. ， B. ， ‎ C. ， D. ，‎ ‎17、若的三条边满足，则 （ ）‎ A. 一定是锐角三角形 B. 一定是直角三角形 C. 一定是钝角三角形 D. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 ‎18、（理）若函数的定义域与区间的交集由个开区间组成，则的值为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎（文）全集，集合，若中的点在直角坐标平面内形成的图形关于原点、坐标轴、直线均对称，且，则中元素个数至少有（ ）‎ A. 4个 B. 6个 C. 8个 D. 10个 三、解答题（共74分）‎ ‎19、（共12分）‎ 如图，小凳凳面为圆形，凳脚为三根细钢管，考虑到钢管的受力等因素，设计的小凳应满足：三根细钢管相交处的节点与凳面圆形的圆心的连线垂直于凳面和地面，且分细钢管上下两段的比值为，三只凳脚与地面所成的角均为，若是凳面圆周的三等分点，厘米，求凳子的高度及三根细钢管的总长度（精确到）；‎ ‎20、（第1小题6分，第2小题7分，共13分）‎ 已知函数，其中为非零实常数；‎ ‎（1）若，的最大值为，求的值；‎ ‎（2）若是图像的一条对称轴，求的值，使其满足，且；‎ ‎21、（第1小题6分，第2小题7分，共13分）‎ 已知函数，其中；‎ ‎（1）证明：函数在上为增函数；‎ ‎（2）证明：不存在负实数使得；‎ ‎22、（第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分，共18分）‎ ‎（理）已知数列的通项公式为，其中；‎ ‎（1）试写出一组的值，使得数列中的各项均为正数；‎ ‎（2）若，数列满足，且对任意的，均有，写出所有满足条件的的值；‎ ‎（3）若，数列满足，其前项和为，且使，的和有且仅有组，中有至少个连续项的值相等，其它项的值均不相等，求的最小值；‎ ‎（文）对于双曲线，若点满足，则称在的外部；若点满足，则称在的内部；‎ ‎（1）证明：直线上的点都在的外部；‎ ‎（2）若点的坐标为，点在的内部或上，求的最小值；‎ ‎（3）若过点，圆在内部及上的点构成的圆弧长等于该圆周长的一半，求、满足的关系式及的取值范围；‎ ‎23、（第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分，共18分）‎ ‎（理）对于双曲线，若点满足，则称在的外部；若点满足，则称在的内部；‎ ‎（1）若直线上的点都在的外部，求的取值范围；‎ ‎（2）若过点，圆在内部及上的点构成的圆弧长等于该圆周长的一半，求满足的关系式及的取值范围；‎ ‎（3）若曲线上的点都在的外部，求的取值范围；‎ ‎（文）已知数列的通项公式为，其中；‎ ‎（1）试写出一组的值，使得数列中的各项均为正数；‎ ‎（2）若、，数列满足，且对任意，均有，写出所有满足条件的的值；‎ ‎（3）若，数列满足，其前项和为，且使的和有且仅有4组，、、…、中至少3个连续项的值相等，其它项的值均不相等，求的最小值；‎ 黄浦区2016年高考模拟考 数学试卷（文理）参考答案 一、填空题(本大题满分56分) ‎ ‎1． 2． 3．， 4． 5． ‎ ‎6． 7． 8． 9．（理）（文） 10．（理）（文）‎ ‎11．（理） （文） 12．（理） （文） ‎ ‎13．（理）（文） 14．（理）（文）‎ 二、选择题(本大题满分20分)　 ‎ ‎15．B 16．D 17．C 18．C 三、解答题(本大题满分74分)‎ ‎19．(本题满分12分)‎ ‎[解] 联结，，由题意，平面，因为凳面与地面平行，‎ 所以就是与平面所成的角，即．（2分）‎ 在等边三角形中，，得，（4分）‎ 在直角三角形中，，（6分）‎ 由，解得厘米．（9分）‎ 三根细钢管的总长度厘米．（12分）‎ ‎20．(本题满分13分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分．‎ ‎[解]（1）因为（其中，），‎ 所以的最大值为．‎ 由，（2分）‎ 及，（4分）‎ 解得，或，．（6分）‎ ‎（2）易知，当时，取得最大值或最小值，‎ 于是，解得．（8分）‎ 于是，（10分）‎ 当时，解得或（）．（12分）‎ 因为，故所求的值为，，．（13分）‎ ‎21．(本题满分13分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分．‎ ‎[证明]（1）任取，‎ ‎．（3分）‎ 因为，，所以，，，，‎ 于是，，得，即．‎ 因此，函数在上为增函数．（6分）‎ ‎（2）（反证法）若存在负实数（），使得，即方程有负实数根．（8分）‎ 对于，当且时，因为，所以，（10分）‎ 而．（13分）‎ 因此，不存在负实数使得，得证． ‎ ‎22．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．‎ ‎（理）[解]（1）、（答案不唯一）．（4分）‎ ‎（2）由题设，．（6分）‎ 当，时，均单调递增，不合题意，因此，．‎ 当时，对于，当时，单调递减；当时，单调递增． ‎ 由题设，有，．（8分）‎ 于是由及，可解得．‎ 因此，的值为7，8，9，10，11．（10分）‎ ‎（3）‎ 其中，且． ‎ 当时，各项均为正数，且单调递增，，也单调递增，不合题意；‎ 当时， 不合题意；（12分）‎ 于是，有，此时（14分）‎ 因为（、，），所以、．‎ 于是由，可得，进一步得，此时，的四个值为，，，，因此，的最小值为．（16分）‎ 又、、…、中有至少个连续项的值相等，其它项的值均不相等，‎ 不妨设，于是有，‎ 因为当时，，所以，‎ 因此，，即的最小值为．（18分）‎ ‎（文）[解]（1）设直线上点的坐标为，代入， ‎ 得，（2分）‎ 对于，，因此，直线上的点都在的外部．（4分）‎ ‎（2）设点的坐标为，由题设．（6分）‎ ‎，由，得，（8分）‎ 对于，有，于是，（10分）‎ 因此，的最小值为． ‎ ‎（3）因为圆和双曲线均关于坐标轴和原点对称，所以只需考虑这两个曲线在第一象限及、轴正半轴的情况．‎ 由题设，圆与双曲线的交点平分该圆在第一象限内的圆弧，它们交点的坐标为．（12分）‎ 将，代入双曲线方程，得（*），（13分）‎ 又因为过点，所以，（15分）‎ 将代入（*）式，得．（17分）‎ 由，解得．因此，的取值范围为．（18分）‎ ‎23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．‎ ‎（理）[解]（1）由题意，直线上点满足，即求不等式的解为一切实数时的取值范围．（1分）‎ 对于不等式，‎ 当时，不等式的解集不为一切实数，（2分）‎ 于是有解得．‎ 故的取值范围为．（4分）‎ ‎（2）因为圆和双曲线均关于坐标轴和原点对称，所以只需考虑这两个曲线在第一象限及、轴正半轴的情况．‎ 由题设，圆与双曲线的交点平分该圆在第一象限内的圆弧，它们交点的坐标为 ‎． ‎ 将，代入双曲线方程，得（*），（6分）‎ 又因为过点，所以，（7分）‎ 将代入（*）式，得．（9分）‎ 由，解得．因此，的取值范围为．（10分）‎ ‎（3）由，得．将代入，‎ 由题设，不等式对任意非零实数均成立．（12分）‎ 其中．‎ 令，设，（）．‎ 当时，函数在上单调递增，不恒成立；（14分）‎ 当时，，‎ 函数的最大值为， ‎ 因为，所以；（16分）‎ 当时，．（17分）‎ 综上，，解得．因此，的取值范围为．（18分）‎ ‎（文） [解]（1）、（答案不唯一）．（4分）‎ ‎（2）由题设，．（6分）‎ 当，时，均单调递增，不合题意，因此，．‎ 当时，对于，当时，单调递减；当时，单调递增． ‎ 由题设，有，．（8分）‎ 于是由及，可解得．‎ 因此，的值为7，8，9，10，11．（10分）‎ ‎（3）因为，且，‎ 所以（12分）‎ 因为（、，），所以、．（14分）‎ 于是由，可得，进一步得，‎ 此时，的四个值为，，，，因此，的最小值为．（16分）‎ 又、、…、中有至少个连续项的值相等，其它项的值均不相等，不妨设，于是有，因为当时，，所以，‎ 因此，，即的最小值为．（18分）‎