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- 2021-05-13 发布
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2008年普通高等学校招生全国统一考试
数学（文史类）（北京卷）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．若集合，，则集合等于（ ）
A． B．
C． D．
2．若，则（ ）
A． B． C． D．
3．“双曲线的方程为”是“双曲线的准线方程为”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知中，，，，那么角等于（ ）
A． B． C． D．
5．函数的反函数为（ ）
A． B．
C． D．
6．若实数满足则的最小值是（ ）
A．0 B． C．1 D．2
7．已知等差数列中，，，若，则数列的前5项和等于（ ）
A．30 B．45 C．90 D．186
8．如图，动点在正方体的对角线上，过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于．设，，则函数的图象大致是（ ）
A
B
C
D
M
N
P
A1
B1
C1
D1
y
x
A．
O
y
x
B．
O
y
x
C．
O
y
x
D．
O
2008年普通高等学校招生全国统一考试
数学（文史类）（北京卷）
第Ⅱ卷（共110分）
注意事项：
1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．
9．若角的终边经过点，则的值为 ．
10．不等式的解集是 ．
11．已知向量与的夹角为，且，那么的值为 ．
12．的展开式中常数项为 ；各项系数之和为 ．（用数字作答）
13．如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则 ；
2
B
C
A
y
x
1
O
3
4
5
6
1
2
3
4
函数在处的导数 ．
14．已知函数，对于上的任意，有如下条件：
①； ②； ③．
其中能使恒成立的条件序号是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（本小题共13分）
已知函数（）的最小正周期为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数在区间上的取值范围．
16．（本小题共14分）
A
C
B
P
如图，在三棱锥中，，，，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的大小．
17．（本小题共13分）
已知函数，且是奇函数．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间．
18．（本小题共13分）
甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．
（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加岗位服务的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率．
19．（本小题共14分）
已知的顶点在椭圆上，在直线上，且．
（Ⅰ）当边通过坐标原点时，求的长及的面积；
（Ⅱ）当，且斜边的长最大时，求所在直线的方程．
20．（本小题共13分）
数列满足，（），是常数．
（Ⅰ）当时，求及的值；
（Ⅱ）数列是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；
（Ⅲ）求的取值范围，使得存在正整数，当时总有．
2008年普通高等学校招生全国统一考试
数学（文史类）（北京卷）参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．D 2．A 3．A 4．C 5．B 6．A 7．C 8．B
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9． 10． 11． 12．10 32
13． 14．②
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
15．（共13分）
解：（Ⅰ）
．
因为函数的最小正周期为，且，
所以，解得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得．
因为，
所以，
所以．
因此，即的取值范围为．
16．（共14分）
解法一：
（Ⅰ）取中点，连结．
A
C
B
D
P
，
．
，
．
，
平面．
平面，
．
（Ⅱ），，
．
A
C
B
E
P
又，
．
又，即，且，
平面．
取中点．连结．
，．
是在平面内的射影，
．
是二面角的平面角．
在中，，，，
．
二面角的大小为．
解法二：
（Ⅰ），，
．
又，
．
A
C
B
P
z
x
y
E
，
平面．
平面，
．
（Ⅱ）如图，以为原点建立空间直角坐标系．
则．
设．
，
，．
取中点，连结．
，，
，．
是二面角的平面角．
，，，
．
二面角的大小为．
17．（共13分）
解：（Ⅰ）因为函数为奇函数，
所以，对任意的，，即．
又
所以．
所以
解得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得．
所以．
当时，由得．
变化时，的变化情况如下表：
0
0
所以，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
当时，，所以函数在上单调递增．
18．（共13分）
解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加岗位服务为事件，那么，
即甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是．
（Ⅱ）设甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件，那么，
所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是．
19．（共14分）
解：（Ⅰ）因为，且边通过点，所以所在直线的方程为．
设两点坐标分别为．
由得．
所以．
又因为边上的高等于原点到直线的距离．
所以，．
（Ⅱ）设所在直线的方程为，
由得．
因为在椭圆上，
所以．
设两点坐标分别为，
则，，
所以．
又因为的长等于点到直线的距离，即．
所以．
所以当时，边最长，（这时）
此时所在直线的方程为．
20．（共13分）
解：（Ⅰ）由于，且．
所以当时，得，
故．
从而．
（Ⅱ）数列不可能为等差数列，证明如下：
由，得
，，．
若存在，使为等差数列，则，即，
解得．
于是，．
这与为等差数列矛盾．所以，对任意，都不可能是等差数列．
（Ⅲ）记，根据题意可知，且，即且，这时总存在，满足：当时，；当时，．
所以由及可知，若为偶数，则，从而当时，；若为奇数，则，从而当时．
因此“存在，当时总有”的充分必要条件是：为偶数，
记，则满足
．
故的取值范围是．
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