高考文科导数考点汇总 12页

高考导数文科考点总结 一、考试内容 导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；‎ 两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。‎ 导数概念与运算知识清单 ‎1．导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量，那么函数y相应地有增量=f（x+）－f（x），比值叫做函数y=f（x）在x到x+之间的平均变化率，即=。如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x处的导数，记作f’（x）或y’|。‎ 即f（x）==。‎ 说明：‎ ‎（1）函数f（x）在点x处可导，是指时，有极限。如果不存在极限，就说函数在点x处不可导，或说无导数。‎ ‎（2）是自变量x在x处的改变量，时，而是函数值的改变量，可以是零。‎ 由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x处的导数的步骤（可由学生来归纳）：‎ ‎（1）求函数的增量=f（x+）－f（x）；‎ ‎（2）求平均变化率=；‎ ‎（3）取极限，得导数f’(x)=。‎ ‎2．导数的几何意义 函数y=f（x）在点x处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率是f’（x）。相应地，切线方程为y－y=f/（x）（x－x）。‎ ‎3．几种常见函数的导数: ‎ ‎① ② ③; ④;‎ ‎⑤⑥; ⑦; ⑧.‎ ‎4．两个函数的和、差、积的求导法则 法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，‎ 即： (‎ 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：‎ 若C为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： ‎ 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：‘=（v0）。‎ 形如y=f的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y＇|= y＇| ·u＇|‎ 导数应用知识清单 单调区间：一般地，设函数在某个区间可导，‎ 如果，则为增函数；‎ 如果，则为减函数；‎ 如果在某区间内恒有，则为常数；‎ ‎2．极点与极值：‎ 曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；‎ ‎3．最值：‎ 一般地，在区间[a，b]上连续的函数f在[a，b]上必有最大值与最小值。‎ ‎①求函数ƒ在(a，b)内的极值；‎ ‎②求函数ƒ在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b)；‎ ‎③将函数ƒ 的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。‎ 二、热点题型分析 题型一：利用导数研究函数的极值、最值。‎ ‎1． 在区间上的最大值是 2 ‎ ‎2．已知函数处有极大值，则常数c＝ 6 ；‎ ‎3．函数有极小值 －1 ,极大值 3 ‎ ‎ ‎ 题型二：利用导数几何意义求切线方程 ‎1．曲线在点处的切线方程是 ‎ ‎2．若曲线在P点处的切线平行于直线，则P点的坐标为 （1，0） ‎ ‎3．若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为 ‎ ‎4．求下列直线的方程：‎ ‎ （1）曲线在P(-1,1)处的切线； （2）曲线过点P(3,5)的切线；‎ 解：（1）‎ ‎ 所以切线方程为 ‎ （2）显然点P（3，5）不在曲线上，所以可设切点为，则①又函数的导数为，‎ 所以过点的切线的斜率为，又切线过、P(3,5)点，所以有②，由①②联立方程组得，，即切点为（1，1）时，切线斜率为；当切点为（5，25）时，切线斜率为；所以所求的切线有两条，方程分别为 题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值 ‎1．已知函数的切线方程为y=3x+1 ‎ ‎ （Ⅰ）若函数处有极值，求的表达式；‎ ‎ （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数在[－3，1]上的最大值；‎ ‎ （Ⅲ）若函数在区间[－2，1]上单调递增，求实数b的取值范围 ‎ 解：（1）由 过的切线方程为：‎ ‎ ‎ ‎①‎ ‎②‎ 而过 故 ‎ ‎∵ ③ ‎ 由①②③得 a=2，b=－4，c=5 ∴ ‎ ‎（2）‎ 当 ‎ 又在[－3，1]上最大值是13。 ‎ ‎（3）y=f(x)在[－2，1]上单调递增，又由①知2a+b=0。 ‎ 依题意在[－2，1]上恒有≥0，即 ‎ ‎①当；‎ ‎②当；‎ ‎③当 ‎ 综上所述，参数b的取值范围是 ‎2．已知三次函数在和时取极值，且．‎ ‎(1) 求函数的表达式；‎ ‎(2) 求函数的单调区间和极值；‎ 解：(1) ， ‎ 由题意得，是的两个根，解得，． ‎ 再由可得．∴． ‎ ‎(2) ，‎ 当时，；当时，；‎ 当时，；当时，；‎ 当时，．∴函数在区间上是增函数；‎ 在区间上是减函数；在区间上是增函数．‎ 函数的极大值是，极小值是． ‎ ‎3．设函数．‎ ‎（1）若的图象与直线相切，切点横坐标为２，且在处取极值，求实数 的值；‎ ‎（2）当b=1时，试证明：不论a取何实数，函数总有两个不同的极值点． ‎ 解：（1） ‎ 由题意，代入上式，解之得：a=1，b=1．　　‎ ‎（2）当b=1时，　　　　　　　‎ 因故方程有两个不同实根．　　‎ 不妨设，由可判断的符号如下：‎ 当＞０；当＜０；当＞０‎ 因此是极大值点，是极小值点．，当b=1时，不论a取何实数，函数总有两个不同的极值点。‎ 题型四：利用导数研究函数的图象 ‎1．如右图：是f（x）的导函数， 的图象如右图所示，则f（x）的图象只可能是（ D ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎2．函数( A )‎ x y o ‎4‎ ‎-4‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎-4‎ ‎2‎ ‎-2‎ ‎-2‎ x y o ‎4‎ ‎-4‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎-4‎ ‎2‎ ‎-2‎ ‎-2‎ x y y ‎4‎ o ‎-4‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎-4‎ ‎2‎ ‎-2‎ ‎-2‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎6‎ y x ‎-4‎ ‎-2‎ o ‎4‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎3．方程 ( B )‎ ‎ A、0 B、1 C、2 D、3‎ 题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围 ‎1．设函数 ‎ （1）求函数的单调区间、极值.‎ ‎（2）若当时，恒有，试确定a的取值范围.‎ 解：（1）=，令得 ‎ 列表如下：‎ x ‎（-∞，a）‎ a ‎（a，3a）‎ ‎3a ‎（3a，+∞）‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ 极小 极大 ‎ ‎ ‎∴在（a，3a）上单调递增，在（-∞，a）和（3a，+∞）上单调递减 时，，时， ‎ ‎（2）∵，∴对称轴，‎ ‎∴在[a+1，a+2]上单调递减 ‎ ‎∴，‎ 依题， 即 解得，又 ∴a的取值范围是 题型六：利用导数研究方程的根 ‎1．已知平面向量=(,－1). =(,).‎ ‎（1）若存在不同时为零的实数k和t，使=+(t2－3)，=-k+t，⊥，‎ 试求函数关系式k=f(t) ；‎ ‎(2) 据(1)的结论，讨论关于t的方程f(t)－k=0的解的情况.‎ 解：(1)∵⊥，∴=0 即[+(t2-3) ]·(-k+t)=0. ‎ 整理后得-k+[t-k(t2-3)] + (t2-3)·=0 ‎ ‎∵=0，=4，=1，∴上式化为-4k+t(t2-3)=0，即k=t(t2-3)‎ ‎(2)讨论方程t(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)= t(t2-3)与直线y=k的交点个数. ‎ 于是f′(t)= (t2-1)= (t+1)(t-1). ‎ 令f′(t)=0,解得t1=-1,t2=1.当t变化时，f′(t)、f(t)的变化情况如下表：‎ t ‎(-∞,-1)‎ ‎-1‎ ‎(-1,1)‎ ‎1‎ ‎(1,+ ∞)‎ f′(t)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ F(t)‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 当t=－1时，f(t)有极大值，f(t)极大值=.‎ 当t=1时，f(t)有极小值，f(t)极小值=－‎ 函数f(t)=t(t2-3)的图象如图13－2－1所示，‎ 可观察出：‎ ‎(1)当k＞或k＜－时,方程f(t)－k=0有且只有一解；‎ ‎(2)当k=或k=－时,方程f(t)－k=0有两解；‎ ‎(3) 当－＜k＜时,方程f(t)－k=0有三解. ‎ 题型七：导数与不等式的综合　‎ ‎1．设在上是单调函数.求实数的取值范围；‎ 解：（1） 若在上是单调递减函数，则须这样的实数a不存在.故在上不可能是单调递减函数.‎ 若在上是单调递增函数，则≤，‎ 由于.从而0