2015高考数学题库新应用题3 48页

‎18．(本题满分16分)‎ ‎ 如图所示：一吊灯的下圆环直径为‎4m，圆心为O，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离为‎2m，在圆环上设置三个等分点A1，A2，A3。点C为上一点（不包含端点O、B），同时点C与点A1，A2，A3，B均用细绳相连接，且细绳CA1，CA2，CA3的长度相等。设细绳的总长为 ‎（1）设∠CA1O = (rad)，将y表示成θ的函数关系式；‎ ‎（2）请你设计，当角θ正弦值的大小是多少时，细绳总长y最小，并指明此时 BC应为多长。‎ B A1‎ A2‎ C O A3‎ ‎18. （Ⅰ）解：在△COA1中，‎ ‎，， ………2分 ‎=‎ ‎（）……7分 ‎（Ⅱ）， ‎ 令，则 ………………12分 当时，；时，，‎ ‎∵在上是增函数 ‎∴当角满足时，y最小，最小为；此时BCm …16分 ‎19．由一个小区历年市场行情调查得知，某一种蔬菜在一年12个月内每月销售量（单位：吨）与上 市时间（单位：月）的关系大致如图（1）所示的折线表示，销售价格（单位：元／千克）‎ 与上市时间（单位：月）的大致关系如图（2）所示的抛物线段表示（为顶点）．‎ ‎（1）请分别写出,关于的函数关系式，并求出在这一年内3到6月份的销售额最大的月份？‎ ‎（2）图（1）中由四条线段所在直线围成的平面区域为，动点在内（包括边界），求 的最大值；‎ ‎（3） 由（2），将动点所满足的条件及所求的最大值由加法运算类比到乘法运算（如类比为），试列出所满足的条件，并求出相应的最大值．‎ ‎ ‎ ‎（图1） （图2）‎ ‎19.解(Ⅰ) ‎ ‎ ． ‎ ‎ （‎ 在恒成立，所以函数在上递增 当t=6时，=34.5． ∴6月份销售额最大为34500元 ． ‎ ‎ (Ⅱ) ，z=x—5y．‎ 令x—5y=A(x+y)+B(x—y)，则，‎ ‎∴z=x—5y=—2(x+y)+3(x—y)．由,，‎ ‎∴,则(z)max=11 ． ‎ ‎(Ⅲ)类比到乘法有已知,求的最大值．由=()A·()B ‎．∴,‎ ‎∴，则(z)max= ． ‎ ‎18．（本题满分15分）‎ ‎（图乙）‎ ‎（图甲）‎ 如图甲，一个正方体魔方由27个单位（长度为1个单位长度）小立方体组成，把魔方中间的一层转动，如图乙，设的对边长为．‎ ‎（1）试用表示；‎ ‎（2）求魔方增加的表面积的最大值．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎18．命题立意：本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力，考查运算求解能力．‎ ‎ 解：（1）由题意得，‎ ‎ 解得，（6分）‎ ‎ （2）魔方增加的表面积为，‎ ‎ 由（1）得，（10分）‎ ‎ 令，‎ ‎ 则（当且仅当即时等号成立），‎ ‎ 答：当时，魔方增加的表面积最大为．（15分）‎ ‎17．（本题满分15分）请你为某养路处设计一个用于储藏食盐的仓库（供融化高速公路上的积雪之用）．它的上部是底面圆半径为‎5m的圆锥，下部是底面圆半径为‎5m的圆柱，且该仓库的总高度为‎5m．经过预算，制造该仓库的圆锥侧面、圆柱侧面用料的单价分别为400元/、100元/，问当圆锥的高度为多少时，该仓库的侧面总造价（单位：元）最少？‎ ‎17．命题立意：本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力，考查运算求解能力．‎ 解：（法一）设圆锥母线与底面所成角为，且，（2分）‎ 则该仓库的侧面总造价 ‎，（8分）‎ ‎ 由得，即，（13分）‎ ‎ 经检验得，当时，侧面总造价最小，此时圆锥的高度为m．（15分）‎ ‎（法二）设圆锥的高为m，且，（2分）‎ 则该仓库的侧面总造价 ‎ ‎，（8分）‎ ‎ 由得，（13分）‎ ‎ 经检验得，当时，侧面总造价最小，此时圆锥的高度为m．（15分）‎ ‎ ‎ ‎3. 在一个六角形体育馆的一角 MAN内，用长为a的围栏设置一个运动器材储存区域（如图所示），已知，B是墙角线AM上的一点，C是墙角线AN上的一点．‎ ‎(1) 若BC=a=20, 求储存区域面积的最大值；‎ ‎(2) 若AB=AC=10,在折线内选一点，使，求四边形储存区域DBAC的最大面积.‎ ‎ 解：(1)设 由，‎ 得.‎ ‎ 即 ‎ ‎ ‎(2) 由，知点在以，为焦点的椭圆上，‎ ‎∵，∴要使四边形DBAC面积最大，只需的面积最大，此时点到的距离最大, 即必为椭圆短轴顶点．由，得短半轴长面积的最大值为.‎ 因此，四边形ACDB面积的最大值为．‎ ‎3.某直角走廊的示意图如图所示，其两边走廊的宽度均为‎2m．‎ ‎(1)过点的一条直线与走廊的外侧两边交于两点，且与走廊的一边的夹角为，将线段的长度表示为的函数；‎ ‎(2)一根长度为‎5m的铁棒能否水平（铁棒与地面平行）通过该直角走廊？请说明理由（铁棒的粗细忽略不计）．‎ 解：(1) 根据图得 ‎(2) 铁棒能水平通过该直角直廊，理由如下：‎ 令得，．‎ 当时，为减函数；‎ 当时，为增函数；‎ 所以当时，有最小值，‎ 因为，所以铁棒能水平通过该直角走廊．‎ ‎19．（本小题满分16分）‎ 如图一块长方形区域ABCD，AD＝2（），AB＝1（）．在边AD的中点O处，有一个可转动的探照灯，其照射角∠EOF始终为，设∠AOE＝α，探照灯O照射在长方形ABCD内部区域的面积为S．‎ ‎ （1）当0≤α＜时，写出S关于α的函数表达式；‎ ‎（2）当0≤α≤时，求S的最大值．‎ G ‎ a F ‎ E ‎ D ‎ C ‎ B ‎ A ‎ O ‎ ‎（第19题）‎ ‎（3）若探照灯每9分钟旋转“一个来回”（OE自OA转到OC，再回到OA，称“一个来回”，忽略OE在OA及OC反向旋转时所用时间），且转动的角速度大小一定，设AB边上有一点G，且∠AOG＝，求点G在“一个来回”中，被照到的时间．‎ H ‎ G ‎ a F ‎ E ‎ D ‎ C ‎ B ‎ A ‎ O ‎ 图①‎ ‎19．解：（1）过O作OH⊥BC，H为垂足．‎ ‎①当0≤α≤时，‎ E在边AB上，F在线段BH上（如图①），‎ 此时，AE＝，FH＝，… 2分 ‎∴S＝S正方形OABH－S△OAE－S△OHF ‎＝． ………… 4分 ‎②当＜α＜时，‎ E在线段BH上，F在线段CH上（如图②），‎ H ‎ O A ‎ B ‎ C ‎ D E ‎ F ‎ a G ‎ 图②‎ 此时，EH＝，FH＝，… 6分 ‎∴EF＝．‎ ‎∴S＝S△OEF＝． ‎ 综上所述， ………… 8分 ‎（2）当0≤α≤时，S＝，‎ 即S． ……………… 10分 ‎∵0≤α≤，∴0≤≤1．即1≤1＋≤2．‎ ‎∴≥2．‎ ‎∴S≤2－．‎ 当＝－1时，S取得最大值为2－． ……………… 12分 ‎（3）在“一个来回”中，OE共转了2×＝．‎ 其中点G被照到时，共转了2×＝． ……………… 14分 则“一个来回”中，点G被照到的时间为（分钟）．…… 16分 ‎17．（本小题满分14分）‎ 第十八届省运会将于2014年9月在徐州市举办．为营造优美的环境，举办方决定在某“葫芦”形花 坛中建喷泉．如图，该花坛的边界是两个半径为‎10米的圆弧围成，两圆心、之间的距离为米．‎ ‎（1）如图甲，在花坛中建矩形喷泉，四个顶点，，，均在圆弧上，于点．设，求矩形的宽为多少时，可使喷泉的面积最大；‎ ‎（2）如图乙，在花坛中间铺设一条宽为‎2米的观赏长廊以作休闲之用，则矩形喷泉变为两个全等的等腰三角形，其中，米．若，求喷泉的面积的取值范围．‎ θ O1‎ O2‎ M B A C D 观 赏 长 廊 N ‎（第17题图乙）‎ M B A C D θ O1‎ ‎（第17题图甲）‎ O2‎ ‎、‎ ‎17．（1）在直角中，，，则，‎ 所以矩形的面积，………4分 令，，‎ 则，‎ 令，得．设，且，列表如下：‎ ‎0‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 所以当，即时，矩形的面积最大． ………………10分 ‎（2）由（1）易得，喷泉的面积，‎ 由知，，所以函数是单调增函数，‎ 所以． ………………………………13分 答：（1）矩形的宽（米）时，可使喷泉的面积最大；‎ ‎（2）喷泉的面积的取值范围是（单位：平方米）． ……14分 17. ‎（本小题满分14分）‎ 如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园，种植桃树，已知角A为120°，AB，AC的长度均大于‎200米．现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆．‎ ‎（第17题）‎ ‎（1）若围墙AP，AQ总长为‎200米，如何围可使三角形地块APQ的面积最大？‎ ‎（2）已知AP段围墙高‎1米，AQ段围墙高‎1.5米，造价均为每平方米100元．若围围墙用了20000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？‎ ‎17．解 设米，米．‎ ‎（1）则，的面积 ‎． …………………………………………………………3分 ‎∴S． ‎ 当且仅当时取“=”． …………………………………………………………6分 ‎（注：不写“＝”成立条件扣1分）‎ ‎（2）由题意得，即． …………………8分 要使竹篱笆用料最省，只需其长度PQ最短，所以 ‎（） ………………………………………11分 当时，有最小值，此时． …………………………13分 答：（1）当米时，三角形地块APQ的面积最大为平方米；‎ ‎（2）当米米时，可使竹篱笆用料最省．……………………… 14分 ‎18．(本小题满分14分)‎ 因发生意外交通事故,一辆货车上的某种液体泄漏到一渔塘中.为了治污,根据环保部门的建议,现决定在渔塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂.已知每投放,且个单位的药剂,它在水中释放的浓度(克/升)随着时间(天)变化的函数关系式近似为,其中.‎ 若多次投放,则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验,‎ 当水中药剂的浓度不低于4(克/升)时,它才能起到有效治污的作用.‎ ‎（1）若一次投放4个单位的药剂,则有效治污时间可达几天? ‎ ‎（2）若第一次投放2个单位的药剂,6天后再投放个单位的药剂,要使接下来的4天中能够持续有效治污,试求的最小值(精确到0.1,参考数据:取1.4).‎ ‎18．解：（1）因为,所以…………………………………………………1分 则当时,由,解得,所以此时…………………………………… 3分 当时,由,解得,所以此时………………………………………5分 综合,得,若一次投放4个单位的制剂,则有效治污时间可达8天………………………… 6分 ‎（2）当时,……………………………………………9分 ‎==,因为,而,‎ 所以,故当且仅当时,y有最小值为 ………………………12分 令,解得,所以的最小值为 ………………14分 ‎17．（本小题满分14分）‎ 已知 A、B两地相距，以AB为直径作一个半圆，在半圆上取一点C，连接AC、BC，在三角形ABC内种草坪（如图），M、N分别为弧AC、弧BC的中点，在三角形AMC、三角形BNC上种花，其余是空地．设花坛的面积为，草坪的面积为，取．‎ （1） 用及R表示和；‎ （2） 求的最小值．‎ ‎17．（1）因为，则，‎ 则．………………………………………3分 设AB的中点为O，连MO、NO，则．‎ 易得三角形AMC的面积为，三角形BNC的面积为，‎ ‎ ∴+‎ ‎ 　　　．‎ ‎（2）∵，‎ 令，则．‎ ‎∴．∴的最小值为． ‎ ‎17.（本小题满分14分）‎ 据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为．现已知相距18的A，B两家化工厂（污染源）的污染强度分别为，它们连线上任意一点C处的污染指数等于两化工厂对该处的污染指数之和．设（）．‎ ‎（1）试将表示为的函数； ‎ ‎（2）若，且时，取得最小值，试求的值．‎ ‎17．解：（1）设点C受A污染源污染程度为，点C受B污染源污染程度为，其中为比例系数，且． ……………………………………………………………………4分 从而点C处受污染程度． …………………………………………6分 ‎（2）因为，所以，， ……………………………8分 ‎，令，得， ……………………………12分 又此时，解得，经验证符合题意．‎ 所以，污染源B的污染强度的值为8． ……………………………14分 ‎19.一走廊拐角处的横截面如图所示，已知内壁和外壁都是半径为的四分之一圆弧，，分别与圆弧相切于，两点，∥，∥，且两组平行墙壁间的走廊宽度都是．‎ ‎（1）若水平放置的木棒的两个端点分别在外壁和上，且木棒与内壁圆弧相切于点．设，试用表示木棒的长度；‎ N M A B C D E F G H P Q ‎1m ‎1m ‎（2）若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处，求木棒长度的最大值．‎ ‎19.(1)如图，设圆弧所在的圆的圆心为，过点作垂线，垂足为点，且交或其延长线与于，并连接，再过点作的垂线，垂足为．‎ 在 中，因为，，‎ N M A B C D E F G H P S ‎1m ‎1m T Q W 所以．‎ 因为与圆弧切于点，所以，‎ 在，因为，，‎ 所以，，‎ ‎①若在线段上，则 在 中，，‎ 因此 ‎②若在线段的延长线上，则 在 中，，‎ 因此 ‎．………………………………………8分 ‎（2）设，则，‎ 因此．‎ 因为，又，所以恒成立，‎ 因此函数在是减函数，所以，‎ 即．‎ 答：一根水平放置的木棒若能通过该走廊拐角处，则其长度的最大值为．‎ ‎17．(本小题满分14分)‎ 某建筑公司要在一块宽大的矩形地面（如图所示）上进 行开发建设，阴影部分为一公共设施不能建设开发，且要求 用栏栅隔开（栏栅要求在直线上），公共设施边界为曲线 的一部分，栏栅与矩形区域的边界交 于点M、N，切曲线于点P，设．‎ ‎（1）将（O为坐标原点）的面积S表示成f的函数S(t)；‎ ‎（2）若，S(t)取得最小值，求此时a的值及S(t)的最小值．‎ ‎17．解：（Ⅰ），直线的斜率为，‎ 直线的方程为 令得 ‎ 令,得, ‎ 的面积, ‎ ‎（Ⅱ）,‎ 因为,由,得, ‎ 当时, ,‎ 当时, . ‎ 已知在处, ,故有，‎ ‎ 故当时, ‎ ‎17．（本小题满分14分）在综合实践活动中，因制作一个工艺品的需要，某小组设计了如图所示的一个门（该图为轴对称图形），其中矩形ABCD的三边AB、BC、CD由长为6分米的材料弯折而成，BC边的长为分米（）；曲线AOD拟从以下两种曲线中选择一种：曲线 是一段余弦曲线（在如图所示的平面直角坐标系中，其解析式为），此时记门的最高点O到BC边的距离为；曲线是一段抛物线，其焦点到准线的距离为，此时记门的最高点O到BC边的距离为 ‎（1）试分别求函数、的表达式 ‎（2）要使得点O到BC边的距离最大，应选用哪一种曲线？此时最大值是多少？‎ 解：（1）‎ ‎……………6分 ‎（2）由于恒成立，‎ 所以函数在上单调递减，‎ 因此， ………10分 ‎ ‎ 而， ………12分 所以选用 ………14分 ‎17．（本小题满分15分）‎ 某农户准备建一个水平放置的直四棱柱形储水窖（如图），其中直四棱柱的高，两底面是高为，面积为的等腰梯形，且。若储水窖顶盖每平方米的造价为元，侧面每平方米的造价为元，底部每平方米的造价为元。‎ ‎（1）试将储水窖的造价表示为的函数；‎ ‎（2）该农户如何设计储水窖，才能使得储水窖的造价最低，最低造价是多少元（取）。‎ ‎17．【解析】（1）过作，垂足为，则，，‎ 令，从而，‎ 故，‎ 解得，， 4分 所以 ‎ 7分 ‎（2）因为，‎ 所以 10分 令，则，‎ 当时，，此时函数单调递减；‎ 当时，，此时函数单调递增。‎ 所以当时，。‎ 答：当时，等价最低，最低造价为51840元。 15分 ‎18.如图，矩形ABCD是一个观光区的平面示意图，建立平面直角坐标系，使顶点A在坐标原点O，B，D分别在x轴，y轴上，AD＝‎3百米，AB＝a百米（3≤a≤4）观光区中间叶形阴影部分MN是一个人工湖，它的左下方边缘曲线是函数≤2）的图象的一段．为了便于游客观光，拟在观光区铺设一条穿越该观光区的直路（宽度不计），要求其与人工湖左下方边缘曲线段相切（切点记为P），并把该观光区分为两部分，且直线左下部分建设为花圃．设点P到AD的距离为t，f（t）表示花圃的面积．‎ ‎ （1）求花圃面积f（t）的表达式； ‎ ‎ （2）求f（t）的最小值．‎ 第18题-甲 x y O A B C D 第18题-乙 E ‎·‎ F ‎18．某地拟模仿图甲建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图乙所示：曲线是以点为圆心的圆的一部分，其中（，单位：米）；曲线是抛物线的一部分；，且恰好等于圆的半径. 假定拟建体育馆的高米.‎ ‎（1）若要求米，米，求与的值；‎ ‎（2）若要求体育馆侧面的最大宽度不超过米，求的取值范围；‎ ‎（3）若，求的最大值.（参考公式：若，则）‎ 解：（1）因为，解得. …………… 2分 ‎ 此时圆，令，得，‎ ‎ 所以，将点代入中，‎ 解得. ………… 4分 ‎（2）因为圆的半径为，所以，在中令，得，‎ 则由题意知对恒成立， ………… 8分 所以恒成立，而当，即时，取最小值10，‎ 故，解得. ………… 10分 ‎（3）当时，，又圆的方程为，令，得，所以，‎ 从而， ………… 12分 又因为，令，得， ………… 14分 当时，，单调递增；当时，，单调递减，从而当 时，取最大值为25.‎ 答：当米时，的最大值为25米. …………16分 ‎（说明：本题还可以运用三角换元，或线性规划等方法解决，类似给分）‎ 方法二：令，则 ‎，其中是锐角，且，‎ 从而当时，取得最大值为25米. ‎ 方法三：令，则题意相当于：已知，求的最大值.根据线性规划知识，当直线与圆弧相切时，取得最大值为25米.‎ ‎19. 某园林公司计划在一块为圆心,(为常数)为半径的半圆形（如图）地上种植花草树木，其中弓形区域用于观赏样板地，‎ 区域用于种植花木出售，其余区域用于种植草皮出售.已知观赏样板地的成本是每平方米2元，花木的利润是每平方米8元，草皮的利润是每平方米3元.‎ ‎(1) 设,,分别用,表示弓形的面积;‎ ‎(2) 园林公司应该怎样规划这块土地,才能使总利润最大?‎ ‎(参考公式:扇形面积公式)‎ 观赏样板地 花木地 草皮地 草皮地 ‎19.（1），, ‎ ‎.‎ ‎ 又，,‎ ‎.‎ ‎(2)设总利润为元，草皮利润为元，花木地利润为，观赏样板地成本为 ‎，，, ‎ ‎ .‎ ‎ .‎ 设 .‎ ‎ , …………12分 上为减函数； ‎ 上为增函数. ‎ 当时，取到最小值,此时总利润最大. ‎ 所以当园林公司把扇形的圆心角设计成时，总利润最大. ‎ ‎18．（本小题满分16分）‎ ‎ 如图，实线部分的月牙形公园是由圆P上的一段优弧和圆Q上的一段劣弧围成，圆P和圆Q的半径都是2km，点P在圆Q上，现要在公园内建一块顶点都在圆P上的多边形活动场地．‎ ‎ （1）如图甲，要建的活动场地为△RST，求场地的最大面积；‎ ‎ （2）如图乙，要建的活动场地为等腰梯形ABCD，求场地的最大面积．‎ ‎（第17题甲）‎ D A C B Q P N M R S M N P Q T ‎（第17题乙）‎ ‎ 解：（1）如右图，过S作SH⊥RT于H，S△RST=． ‎ 由题意，△RST在月牙形公园里，RT与圆Q只能相切或相离； RT左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，则有RT≤4，SH≤2，当且仅当RT切圆Q于P时（如下左图），上面两个不等式中等号同时成立． ‎ 此时，场地面积的最大值为S△RST==4（km2）． ‎ ‎ （2）同（1）的分析，要使得场地面积最大，AD左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，‎ AD必须切圆Q于P，再设∠BPA=，则有 ‎ ． ‎ ‎ 令，则．若，，又时，，时，， 函数在处取到极大值也是最大值，‎ 故时，场地面积取得最大值为（km2）． ‎ ‎19．（本小题满分16分）‎ 几名大学毕业生合作开设打印店，生产并销售某种产品．已知该店每月生产 的产品当月都能销售完，每件产品的生产成本为元，该店的月总成本由两部分组成：第一部分是月销售产品的生产成本，第二部分是其它固定支出元．假设该产品的月销售量（件）与销售价格 ‎（元/件）（）之间满足如下关系：①当时，；②当时，．设该店月利润为（元），月利润=月销售总额－月总成本．‎ ‎（1）求关于销售价格的函数关系式；‎ ‎（2）求该打印店月利润的最大值及此时产品的销售价格．‎ ‎19．解：（1）当时，，代入，‎ 解得． ………………………………………………………………2分 ‎∴ ‎ 即 ……………4分 ‎（注：写到上一步，不扣分．）‎ ‎（2）设，，，则 ‎．‎ 令，解得（舍去），．……………7分 当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减． … ………………………………10分 ‎ ∵，，，∴的最大值为．………12分 当时，单调递减，‎ 故此时的最大值为． … ………………………………14分 综上所述，当时，月利润有最大值元． ……………………15分 答：该打印店店月利润最大为元，此时产品的销售价格为元/件． ……16分 ‎19．（本小题满分16分）如图是一幅招贴画的示意图，其中ABCD是边长为的正方形，周围是四个全等的弓形.已知O为正方形的中心，G为AD的中点，点P在直线OG上，弧AD是以P为圆心、PA为半径的圆的一部分，OG的延长线交弧AD于点H。设弧AD的长为，‎ ‎（1）求关于的函数关系式；‎ ‎（2）定义比值为招贴画的优美系数，当优美系数最大时，招贴画最优美。证明：当角满足：时，招贴画最优美 ‎18.（本小题满分16分）‎ ‎　　 一位幼儿园老师给班上个小朋友分糖果.她发现糖果盒中原有糖果数为,就先从别处抓2块糖加入盒中，然后把盒内糖果的分给第一个小朋友;再从别处抓2块糖加入盒中，然后把盒内糖果的分给第二个小朋友;…,以后她总是在分给一个小朋友后,就从别处抓2块糖放入盒中，然后把盒内糖果的分给第个小朋友．如果设分给第个小朋友后（未加入2块糖果前）盒内剩下的糖果数为.‎ （1） 当,时,分别求;‎ （2） 请用表示;令,求数列的通项公式;‎ ‎ （3）是否存在正整数和非负整数,使得数列成等差数列,如果存在,请求出所有的和,如果不存在,请说明理由.‎ 20. ‎　解：（1）当,时, ,‎ ‎,.……3分 （2） 由题意知： ,……6分 即, ,……7分 累加得,……9分 又,.……10分 （3） 由，得,……12分 若存在正整数和非负整数,使得数列成等差数列,‎ 则,……14分 即,……15分 当时， ，对任意正整数,有成等差数列. ……16分 ‎[注:如果验证不能成等差数列,不扣分]‎ ‎【说明】本题主要考查数列的定义、通项求法；考查反证法；考查递推思想；考查推理论证能力；考查阅读理解能力、建模能力、应用数学解决问题能力．本题还可以设计：如果班上有5名小朋友，每个小朋友都分到糖果，求的最小值.‎ ‎17（本题满分16分，第1小题8分，第2小题8分）‎ θ ‎（第17题）‎ D A B C l T x 如图，某机场建在一个海湾的半岛上，飞机跑道AB的长为4.5km，且跑道所在的直线与海岸线l的夹角为60o(海岸线可以看作是直线)，跑道上离海岸线距离最近的点B到海岸线的距离BC＝4km．D为海湾一侧海岸线CT上的一点，设CD＝x(km)，点D对跑道AB的视角为q ．‎ ‎（1）将tanq 表示为x的函数；‎ ‎（2）求点D的位置，使q 取得最大值．‎ ‎17、（本题满分14分，第1小题8分，第2小题6分）‎ 解：（1）过A分别作直线CD，BC的垂线，垂足分别为E，F．‎ D B C E F A D B C E F A 图1‎ 图2‎ 由题知，AB＝4.5，BC＝4，∠ABF＝90o－60o＝30o，‎ 所以CE＝AF＝4.5×sin30o＝，BF＝4.5×cos30o＝，‎ AE＝CF＝BC＋BF＝．‎ 因为CD＝x(x＞0)，所以tan∠BDC＝＝．‎ 当x＞时，ED＝x－，tan∠ADC＝＝＝（如图1）；‎ 当0＜x＜时，ED＝－x，tan∠ADC＝－＝（如图2）．…………………4分 所以tanq＝tan∠ADB＝tan(∠ADC－∠BDC)＝ ‎＝＝，其中x＞0且x≠． ‎ 当x＝时tanq＝＝，符合上式．‎ 所以tanq＝( x＞0)………………………………………………………8分 ‎（2）（方法一）tanq＝＝＝，x＞0．……………11分 因为4(x＋4)＋－41≥2－41＝39，‎ 当且仅当4(x＋4)＝，即x＝6时取等号．‎ 所以当x＝6时，4(x＋4)＋－41取最小值39．‎ 所以当x＝6时，tanq 取最大值． …………………………………………………13分 由于y＝tanx在区间(0，）上是增函数，所以当x＝6时，q 取最大值．‎ 答：在海湾一侧的海岸线CT上距C点6km处的D点处观看飞机跑道的视角最大．…14分 ‎（方法二）tanq ＝f(x)＝＝．‎ f ¢(x)＝＝－，x＞0．‎ 由f ¢(x)＝0得x＝6． ……………………………………………………………………11分 当x∈（0，6）时，f ¢(x)＞0，函数f(x)单调递增；当x∈（6，＋∞）时，f ¢(x)＜0，此时函数f(x)单调递减．‎ 所以函数f(x)在x＝6时取得极大值，也是最大值f(6)＝． …………………13分 由于y＝tanx在区间(0，）上是增函数，所以当x＝6时，q 取最大值．‎ 答：在海湾一侧的海岸线CT上距C点6km处的D点处观看飞机跑道的视角最大．…14分 ‎17．（本小题满分14分）‎ 提高大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．一般情况下，大桥上的车流 速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当车流密度不超过50辆/千米时，车流速度为30千米/小时．研究表明：当50＜x≤200时，车流速度v与车流密度x满足．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时． ‎ ‎（1）当015%，‎ 当时，有最大值0.1665=16.65%<22%,‎ ‎∴能采用函数模型y＝作为生态环境改造投资方案。 9分 ‎（2）由(1)知，‎ 依题意，当，、时，恒成立；‎ 下面求的正整数解。‎ 令， 12分 由(1)知，在上是减函数，在上是增函数，‎ 又由（1）知，在时，，且=16%∈[15%，22%]，‎ 合条件，经枚举，∈[15%，22%]，‎ 而[15%，22%]，可得或或，‎ 由单调性知或或均合题意。 15分 ‎17. 如图一块长方形区域，，，在边的中点处有一个可转动的探照灯，其照射角始终为，设，探照灯照射在长方形内部区域的面积为 ‎（1）当时，求关于的函数关系式；‎ ‎（2）当时，求的最大值；‎ ‎（3）若探照灯每分钟旋转“一个来回”（自转到，再回到，称“一个来回”，忽略在及处所用的时间），且转动的角速度大小一定。设边上有一点，且，求点 在“一个来回”中被照到的时间。‎ ‎17. （1）当时，在上，在上，‎ 当时，、都在上， ……5分 ‎（2）当时，, ‎ 当时，…………………………10分 ‎（3）在“一个来回”中，共转动了，其中点被照到时，共转动了 点被照到的时间为分钟……………………14分 ‎17. （本小题满分14分）‎ 在一个半径为1的半球材料中截取三个高度均为h的圆柱，其轴截面如图所示，设三个圆柱体积之和为.‎ ‎（1）求的表达式，并写出的取值范围是 ；‎ ‎（2）求三个圆柱体积之和V的最大值；‎ ‎17．(1)自下而上三个圆柱的底面半径分别为：‎ ‎． ………………………………3分 它们的高均为，所以体积和 ‎ 6分 因为，所以的取值范围是； ………………………………………7分 ‎⑵ 由得， ………………9分 又，所以时，；时，．11分 所以在上为增函数，在上为减函数，‎ 所以时，取最大值，的最大值为． ………13分 答：三个圆柱体积和的最大值为． …………………………………………14分 ‎17．（本小题满分14分）‎ 根据统计资料，某工艺品厂的日产量最多不超过20件，每日产品废品率与日产量 ‎(件)之间近似地满足关系式(日产品废品率 ×100％)．已知每生产一件正品可赢利2千元，而生产一件废品则亏损1千元．（该车间的日利润日正品赢利额日废品亏损额）‎ ‎（1）将该车间日利润(千元)表示为日产量(件)的函数；‎ ‎（2）当该车间的日产量为多少件时，日利润最大？最大日利润是几千元？‎ ‎17．（1）由题意可知，‎ ‎ …………………………4分 ‎（2）考虑函数 当时，，令，得．‎ 当时，，函数在上单调增；‎ 当时，，函数在上单调减．‎ 所以当时，取得极大值，也是最大值，‎ 又是整数，，，所以当时，有最大值．……10分 当时，，所以函数在上单调减，‎ 所以当时，取得极大值，也是最大值．‎ 由于，所以当该车间的日产量为10件时，日利润最大．‎ 答：当该车间的日产量为10件时，日利润最大，最大日利润是千元．……14分 ‎17．已知一块半径为的残缺的半圆形材料，O为半圆的圆心，，残缺部分位 于过点的竖直线的右侧．现要在这块材料上截出一个直角三角形，有两种设计方案：如图 甲，以为斜边；如图乙，直角顶点在线段上，且另一个顶点在上．要使截出 的直角三角形的面积最大，应该选择哪一种方案？请说明理由，并求出截得直角三角形面积 的最大值．‎ ‎17．如图甲，设，‎ 则，， ………………………………………………2分 所以，‎ 当且仅当时取等号， ………………6分 此时点到的距离为，可以保证点在半圆形材料内部，因此按照图甲方案得到直角三角形的最大面积为． …………………………………………………7分 A B O C D ‎（第17题甲图）‎ A B O C D ‎（第17题乙图）‎ E 如图乙，设，则，，‎ 所以， ． …………………………………10分 设，则，‎ 当时，，所以时，即点与点重合时，‎ 的面积最大值为． ………………………………………………………13分 因为，‎ 所以选择图乙的方案，截得的直角三角形面积最大，最大值为．…………14分 ‎17．如图，在海岸线一侧C处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便游客，在上设立了A、B两个报名点，满足A、B、C中任意两点间的距离为10千米。公司拟按以下思路运作：先将A、B两处游客分别乘车集中到AB之间的中转点D处（点D异于A、B两点），然后乘同一艘游轮前往C岛。据统计，每批游客A处需发车2辆，B处需发车4辆，每辆汽车每千米耗费2元，游轮每千米耗费12元。设∠，每批游客从各自报名点到C岛所需运输成本S元。‎ ‎（1）写出S关于的函数表达式，并指出的取值范围；‎ ‎（2）问中转点D距离A处多远时，S最小？‎ ‎17．解: (1)由题在中，．‎ 由正弦定理知，得 ‎…‎ ‎ (2)，令，得 当时，；当时，，当时取得最小值此时，‎ 中转站距处千米时，运输成本最小 ‎17．（本小题满分14分）‎ 第17题图 如图，在城周边已有两条公路在点处交汇．已知，,．现规划在公路上 分别选择两处为交汇点（异于点）直接修建 一条公路通过城，设，．‎ ‎(1)求关于的函数关系式并指出它的定义域；‎ ‎(2)试确定点的位置，使的面积最小．‎ ‎17．⑴因为的面积与的面积之和等于的面积，‎ 所以，……………………………4分 即，‎ 所以．………………………………………………………………………6分 ‎⑵的面积= ………………………8分 ‎ =． ……………12分 当且仅当时取等号，此时．‎ 故当，时，的面积最小． ……………………………14分 ‎18.（本小题满分16分）‎ 如图，有一个长方形地块ABCD，边AB为2km，AD为4 km.，地块的一角是湿地(图中阴影部分)，其边缘线AC是以直线AD为对称轴，以A为顶点的抛物线的一部分.现要铺设一条过边缘线AC上一点P的直线型隔离带EF，E，F分别在边AB，BC上(隔离带不能穿越湿地，且占地面积忽略不计).设点P到边AD的距离为t(单位:km)，△BEF的面积为S(单位: ).‎ ‎（1）求S关于t的函数解析式，并指出该函数的定义域;‎ ‎（2）是否存在点P，使隔离出的△BEF面积S超过3?并说明理由.‎ ‎18．(1)如图，以为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则点坐标为． ‎ 设边缘线所在抛物线的方程为， 把代入，解得，‎ 所以抛物线的方程为．…………………………………………………………3分 因为，……………………………………………………………………………4分 所以过的切线方程为．………………………………………5分 令，得；令，得，…………………………………7分 所以，…………………………………………………………8分 所以，定义域为．………………………………………9分 ‎(2)，……………………………………………12分 由，得，‎ 所以在上是增函数，在上是减函数，…………………………14分 所以在上有最大值．‎ 又因为，‎ E F ‎（第18题）‎ P O(A)‎ B C D x y 所以不存在点，使隔离出的△面积超过3．…………………………16分 ‎18．(本小题满分16分)‎ 在长为20 m，宽为16 m 米的长方形展厅正中央有一圆盘形展台（圆心为点C），展厅入口位 于长方形的长边的中间．在展厅一角B点处安装监控摄像头，使点B与圆C在同一水平面上，且展台与入口都在摄像头水平监控范围内(如图阴影所示)．‎ ‎（1）若圆盘半径为 m，求监控摄像头最小水平摄像视角的正切值；‎ ‎（2）若监控摄像头最大水平摄像视角为60°，求圆盘半径的最大值．‎ ‎16 m ‎（第18题）‎ C B ‎20 m 入口 A E ‎（注：水平摄像视角指镜头中心点水平观察物体边缘的视线的夹角．）‎ ‎【解】（1）解法一：如图，过B作圆C的切线BE，‎ 切点为E，设圆C所在平面上入口中点为A，‎ 连结CA，CE，CB，则，，‎ 则摄像水平视角为∠ABE时，‎ 水平摄像视角最小．在△中，‎ ‎，，，…………………………………………2分 在△中，，，，…4分 所以，‎ 所以最小摄像视角的正切值为． ……………………………………8分 ‎ 解法二：过B作圆C的切线BE，切点为E，‎ 设圆C所在平面上入口中点为A，‎ 连结CA，CE，CB，则，，‎ ‎16 m ‎（第18题）‎ C B ‎20 m 入口 E 则摄像视角为∠ABE时，摄像视角最小．‎ 在平面ABC内，以B为原点，BA为x轴 建立直角坐标系，则， ‎ 设直线BE的方程为，‎ 由圆C与直线BE相切得，‎ ‎， ………………………4分 解得，（其中不合题意，舍去）．‎ 答：所以最小摄像视角的正切值为． ………………………………8分 ‎（2）解法一：当=时，若直线BE与圆C相切，则圆C的半径最大．. ‎ 在平面ABC内，以B为坐标原点，BA为x轴建立平面直角坐标系，‎ 所以直线BE方程为：，…………………………………………… 12分 所以，则圆C的最大半径为 m．………16分 解法二：设圆盘的最大半径为r，当=时，若直线BE与圆C相切，则 圆C的半径最大．‎ 在△中，，，，‎ 在△中，，，‎ ‎， ……………………………………………………… 10分 由得，，…………… 12分 即， ‎ 所以，即 所以，． ……………………………………………………………15分 答：圆C的最大半径为 m． …………………………………………16分 ‎17．（本小题满分14分）‎ 某飞机失联，经卫星侦查，其最后出现在小岛附近．现派出四艘搜救船,，为方便联 络，船始终在以小岛O为圆心，‎100海里为半径的圆周上，船,构成正方形编队展开搜索，小岛在正方形编队外（如图）．设小岛O到的距离为，， D船到小岛O的距离为.‎ ‎（1）请分别求关于的函数关系式，并写出定义域；‎ ‎（2）当两艘船之间的距离是多少时？搜救范围最大（即最大）．‎ ‎（第17题图）‎ ‎18．（本小题满分15分）‎ 如图，某商业中心O有通往正东方向和北偏东30°方向的两条街道．某公园P位于商业中心北偏东角（，），且与商业中心O的距离为公里处．现要经过公园P修一条直路分别与两条街道交汇于A、B两处．‎ ‎⑴当AB沿正北方向时，试求商业中心到A、B两处的距离和；‎ ‎⑵若要使商业中心O到A、B两处的距离和最短，请确定A、B的最佳位置．‎ ‎18⑴以O为原点，OA所在直线为轴建立坐标系．设，‎ ‎∵，∴，，‎ 则，， ……4分 依题意，AB⊥OA，则OA=，OB=2OA=9，商业中心到A、B两处的距离和为‎13.5km． ‎ ‎⑵方法1：当AB与轴不垂直时，设AB：，①‎ 令，得；由题意，直线OB的方程为，②‎ 解①②联立的方程组，得，∴，‎ ‎∴，由，，得，或． ‎ ‎ ，令，得，‎ 当时，，是减函数；当时，，是增函数，‎ ‎∴当时，有极小值为‎9km；当时，，是减函数，结合⑴知km．‎ 综上所述，商业中心到A、B两处的距离和最短为‎9km，此时OA=‎6km，OB=‎3km，‎ 方法2：如图，过P作PM//OA交OB于M，PN//OB交OA于N，设∠BAO=，‎ ‎△OPN中，得PN=1，ON=4=PM，‎ ‎△PNA中∠NPA=120°-∴得 ‎ 同理在△PMB中，，得，‎ ‎ ， ‎ 当且仅当即即时取等号．‎ 方法3：若设点，则AB：，得，‎ ‎∴， ‎ ‎ 当且仅当即时取等号．‎ 方法4：设，AB：，得，‎ ‎， ‎ ‎ 当且仅当即时取等号．‎ 答：A选地址离商业中心‎6km，B离商业中心‎3km为最佳位置． ‎ ‎17．某公司生产的某批产品的销售量万件（生产量与销售量相等）与促销费用万元满足(其中，为正常数)．已知生产该批产品还需投入成本万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为元／件．‎ ‎（1）将该产品的利润万元表示为促销费用万元的函数；‎ ‎（2）当促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？‎ ‎17．（本小题满分14分）‎ 解：（1）由题意知， ………………………… 3分 ‎ 　　将代入化简得：‎ ‎　　 （）. …………………………………… 5分 ‎（2），‎ ‎　　当且仅当,即时，上式取等号. ………………… 8分 ‎　　当时, 促销费用投入2万元时，厂家的利润最大; ………………… 9分 ‎，，‎ 当时，，此时函数在上单调递增，‎ 所以当时,函数在上单调递增, …………………………… 11分 所以时,函数有最大值．‎ 即促销费用投入万元时，厂家的利润最大 . …………………………… 12分 ‎　　综上,当时, 促销费用投入2万元，厂家的利润最大;‎ ‎　　当时促销费用投入万元，厂家的利润最大. …………… 14分 ‎17．（本小题满分14分）‎ ‎ 某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积 为900m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留 1m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留 3m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为（m），三块种植植物的矩形区域的总面积为（m2）．‎ ‎（1）求关于的函数关系式；‎ ‎（2）求的最大值．‎ ‎17．解：（1）由题设，得 ‎，． ………………………6分 ‎（2）因为，所以， ……………………8分 当且仅当时等号成立． ………………………10分 从而． ………………………12分 答：当矩形温室的室内长为60 m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为m2 ． ………………………14分 ‎17．如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为‎1千米 ‎．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．‎ ‎（1）求炮的最大射程；‎ ‎（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为‎3.2千米，试问它的横坐标不超过多少时，‎ 炮弹可以击中它？请说明理由．‎ 解：（1）在中，令，得。‎ ‎ 由实际意义和题设条件知。‎ ‎ ∴，当且仅当时取等号。‎ ‎ ∴炮的最大射程是10千米。‎ ‎ （2）∵，∴炮弹可以击中目标等价于存在，使成立，‎ ‎ 即关于的方程有正根。‎ ‎ 由得 ‎ 此时，（不考虑另一根）‎ ‎ ∴当不超过‎6千米时，炮弹可以击中目标。‎ ‎（1）求炮的最大射程即求与轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解。‎ ‎（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解。‎ x O y P A ‎17. 海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海 里A处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线；‎ ‎②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发小时后，失事船 所在位置的横坐标为7t.‎ ‎（1）当时，写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时 两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向（求的正切值）；‎ ‎（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？‎ ‎[解]（1）时，P的横坐标xP=，代入抛物线方程 ‎ 中，得P的纵坐标yP=3. ……2分 ‎ 由|AP|=，得救援船速度的大小为海里/时. ……4分 ‎ 由tan∠OAP= ……6分 ‎ （2）设救援船的时速为海里，经过小时追上失事船，此时位置为.‎ ‎ 由，整理得.……10分 ‎ 因为，当且仅当=1时等号成立，‎ ‎ 所以，即.‎ ‎ 因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. ……14分