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- 2021-05-13 发布
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1.【2012高考重庆文20】(本小题满分12分,(Ⅰ)小问4分,(Ⅱ)小问8分)
已知直三棱柱中,,,为的中点。(Ⅰ)求异面直线和的距离;(Ⅱ)若,求二面角的平面角的余弦值。
【解析】(Ⅰ)如答(20)图1,因AC=BC, D为AB的中点,故CD AB。又直三棱柱中, 面 ,故 ,所以异面直线 和AB的距离为
(Ⅱ):由故 面 ,从而 ,故 为所求的二面角的平面角。
因是在面上的射影,又已知 由三垂线定理的逆定理得从而,都与互余,因此,所以≌,因此得
从而
所以在中,由余弦定理得
2.【2012高考新课标文19】(本小题满分12分)
如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC=AA1,D是棱AA1的中点
C
B
A
D
C1
A1
(I)证明:平面BDC1⊥平面BDC
(Ⅱ)平面BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.
【答案】
3.【2012高考陕西文18】(本小题满分12分)
直三棱柱ABC- A1B1C1中,AB=A A1 ,=
(Ⅰ)证明;
(Ⅱ)已知AB=2,BC=,求三棱锥 的体积
【答案】
4.【2012高考辽宁文18】(本小题满分12分)
如图,直三棱柱,,AA′=1,点M,N分别为和的中点。
(Ⅰ)证明:∥平面;
(Ⅱ)求三棱锥的体积。
(椎体体积公式V=Sh,其中S为地面面积,h为高)
5.【2012高考江苏16】(14分)如图,在直三棱柱中,,分别是棱上的点(点 不同于点),且为的中点.
求证:(1)平面平面;
(2)直线平面.
【答案】证明:(1)∵是直三棱柱,∴平面。
又∵平面,∴。
又∵平面,∴平面。
又∵平面,∴平面平面。
(2)∵,为的中点,∴。
又∵平面,且平面,∴。
又∵平面,,∴平面。
由(1)知,平面,∴∥。
又∵平面平面,∴直线平面
6. (2013新课标Ⅱ)18.(本小题满分12分)
如图,直棱柱中,分别是的中点,.
(Ⅰ)证明:平面;
(Ⅱ)求二面角的正弦值.
7. (2013新课标1卷18)如图,三棱柱中,A
B
C
C1
A1
B1
,,
(1)证明:;
(2)若平面平面,,求直线与平面所成角的正弦值
解:(Ⅰ)取AB中点E,连结CE,,,
∵AB=,=,∴是正三角形,
∴⊥AB, ∵CA=CB, ∴CE⊥AB,
∵=E,∴AB⊥面,
∴AB⊥; ……6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知EC⊥AB,⊥AB,
又∵面ABC⊥面,面ABC∩面=AB,∴EC⊥面,∴EC⊥,
∴EA,EC,两两相互垂直,以E为坐标原点,的方向为轴正方向,||为单位长度,建立如图所示空间直角坐标系,
有题设知A(1,0,0),(0,,0),C(0,0,),B(-1,0,0),则=(1,0,),==(-1,0,),=(0,-,), ……9分
设=是平面的法向量,
则,即,可取=(,1,-1),
∴=,
∴直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值为. ……12分
8.(2013北京卷理17)如图,在三棱柱中,是边长为
的正方形,平面平面,.
C
1
B
1
A
1
C
B
A
(1)求证:平面;
(2)求二面角的余弦值;
(3)证明:在线段上存在点,使得,并求的值。
解:(I)因为AA1C1C为正方形,所以AA1 ⊥AC.
因为平面ABC⊥平面AA1C1C,且AA1垂直于这两个平面的交线AC,所以AA1⊥平面ABC.
(II)由(I)知AA1 ⊥AC,AA1 ⊥AB. 由题知AB=3,BC=5,AC=4,所以AB⊥AC. 如图,以A为原点建立空间直角坐标系A-,则B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4),
设平面A1BC1的法向量为,则,即,
令,则,,所以.
同理可得,平面BB1C1的法向量为,所以. 由题知二面角A1-BC1-B1为锐角,所以二面角A1-BC1-B1的余弦值为.
(III)设D是直线BC1上一点,且. 所以.解得,,.
所以.
由,即.解得.
因为,所以在线段BC1上存在点D,
使得AD⊥A1B.
此时,.
9.(2013四川卷理19)如图,在三棱柱中,侧棱底面,,,分别是线段的中点,是线段的中点.
(Ⅰ)在平面内,试作出过点与平面平行的直线,说明理由,并证明直线平面;
(Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线交于点,交于点,求二面角的余弦值.
解:如图,在平面内,过点做直线//,因为在平面外,。
在平面内,由直线与平面平行的判定定理可知,//平面.
由已知,,是的中点,所以,,则直线.
因为平面,所以直线.又因为在平面内,且与相交,所以直线平面. …………………………………………………………………………….6分
解法一:
连接,过作于,过作于,连接.
由知,平面,所以平面平面.
所以平面,则.
所以平面,则.
故为二面角的平面角(设为).
设,则由,,有,.
又为的中点,所以为的中点,且,
在中, ;在中, .
从而,,,
所以.
所以.
故二面角的余弦值为. ………………12分
解法二:
设.如图,过作平行于,以为坐标原点,分别以,的方向为轴,轴,轴的正方向,建立空间直角坐标系(点与点重合).
则,.
因为为的中点,所以分别为的中点,
故,
所以,,.
设平面的一个法向量为,则
即故有
从而
取,则,所以.
设平面的一个法向量为,则
即故有
从而
取,则,所以.
设二面角的平面角为,又为锐角,
则.
故二面角的余弦值为. ………………12分
10. (2013湖南卷文17)如图,在直棱柱中,,,,是中点,点在棱上运动。
A
B
C
D
A
1
B
1
C
1
E
(1)证明:;
(2)当异面直线所成的角为时,
求三棱锥的体积。
解: (Ⅰ) .
.
(证毕)
(Ⅱ).
.
11. (2013新课标2卷文18)如图,直三棱柱中,分别的中点。
A
1
B
1
C
1
A
B
C
D
E
(1)证明:∥平面;
(2)设,,
求三棱锥的体积。
12.(2013天津卷文17)如图,三棱柱中,侧棱底面,且各棱长均相等,分别为棱的中点。
(1)证明:∥平面;
(2)证明平面平面
(3)直线与平面所成角的正弦值
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