高考数学矩阵与变换时 线性变换二阶矩阵及其乘法更多资料关注微博高中学习资料库 9页

‎《最高考系列 高考总复习》2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）选修4－2　矩阵与变换第1课时　线性变换、二阶矩阵及其乘法 考情分析 考点新知 掌握恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换等常见的线性变换的几何表示及其几何意义．‎ ‎　　掌握恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换等常见的线性变换的几何表示及其几何意义，并能应用这几种常见的线性变换进行解题.‎ ‎1. (选修42P34习题第1题改编)求点A(2，0)在矩阵对应的变换作用下得到的点的坐标．‎ 解：矩阵表示横坐标保持不变，纵坐标沿y轴负方向拉伸为原来的2倍的伸压变换，故点A(2，0)变为点A′(2，0)‎ ‎2. 点(－1，k)在伸压变换矩阵之下的对应点的坐标为(－2，－4)，求m、k的值．‎ 解：＝， ‎ 解得 ‎3. 已知变换T是将平面内图形投影到直线y＝2x上的变换，求它所对应的矩阵．‎ 解：将平面内图形投影到直线y＝2x上，即是将图形上任意一点(x，y)通过矩阵M作用变换为(x，2x)，则有＝，解得 ‎∴ T＝.‎ ‎4. 求曲线y＝在矩阵作用下变换所得的图形对应的曲线方程．‎ 解：设点(x，y)是曲线y＝上任意一点，在矩阵的作用下点变换成(x′，y′)，则 ‎＝，所以.因为点(x，y)在曲线y＝上，所以x′＝，即x＝.‎ ‎5. 求直线x＋y＝5在矩阵 对应的变换作用下得到的图形．‎ 解：设点(x，y)是直线x＋y＝5上任意一点，在矩阵的作用下点变换成(x′，y′)，则 ‎＝，所以.因为点(x，y)在直线x＋y＝5上，所以y′＝x＋y＝5，故得到的图形是点(0，5)．‎ ‎1. 变换 一般地，对于平面上的任意一个点(向量)(x，y)，若按照对应法则T，总能对应唯一的一个平面点(向量)(x′，y′)，则称T为一个变换，简记为T：(x，y)→(x′，y′)或T：→.‎ 一般地，对于平面向量的变换T，如果变换规则为T：→＝，那么根据二阶矩阵与列向量的乘法规则，可以改写为→＝(a、b、c、d∈R)的矩阵形式，反之亦然．‎ ‎2. 几种常见的平面变换 ‎(1) 当M＝时，则对应的变换是恒等变换．‎ ‎(2) 由矩阵M＝或M＝(k>0)确定的变换TM称为(垂直)伸压变换．‎ ‎(3) 反射变换是轴对称变换、中心对称变换的总称．‎ ‎(4) 当M＝时，对应的变换叫旋转变换，即把平面图形(或点)逆时针旋转θ角度．‎ ‎(5) 将一个平面图投影到某条直线(或某个点)的变换称为投影变换．‎ ‎(6) 由矩阵M＝或确定的变换称为切变变换．‎ ‎3. 变换的复合与矩阵的乘法 ‎(1) 一般情况下，AB≠BA，即矩阵的乘法不满足交换律．‎ ‎(2) 矩阵的乘法满足结合律，即(AB)C＝A(BC)．‎ ‎(3) 矩阵的乘法不满足消去律．‎ ‎[备课札记]‎ 题型1　求变换前后的曲线方程 例1　设椭圆F：＋＝1在(x，y)→(x′，y′)＝(x＋2y，y)对应的变换下变换成另一个图形F′，试求F′的解析式．‎ 解：变换矩阵为，任取椭圆上一点(x0，y0)，‎ 则＝，令 则 又点(x0，y0)在椭圆F上，‎ 故＋＝1，‎ 所以2x′2－8x′y′＋9y′2－4＝0，‎ 即F′的解析式为2x2－8xy＋9y2－4＝0.‎ 设M＝，N＝，试求曲线y＝sinx在矩阵MN变换下的曲线方程．‎ 解：MN＝＝，‎ 设(x，y)是曲线y＝sinx上的任意一点，在矩阵MN变换下对应的点为(x′，y′)．‎ 则＝，‎ 所以即 代入y＝sinx得y′＝sin2x′，即y′＝2sin2x′.‎ 即曲线y＝sinx在矩阵MN变换下的曲线方程为y＝2sin2x.‎ 已知矩阵M＝，N＝，矩阵MN对应的变换把曲线y＝sinx变为曲线C，‎ 求曲线C的方程．‎ 解： MN＝＝， ‎ 设P(x，y)是所求曲线C上的任意一点，它是曲线y＝sinx上点P0(x0，y0)在矩阵MN变换下的对应点，则有 ＝，即所以 又点P(x0，y0)在曲线y＝sinx上，故y0＝sinx0，从而y＝sinx.‎ 所求曲线C的方程为y＝sinx. ‎ 题型2　根据变换前后的曲线方程求矩阵 例2　二阶矩阵M对应变换将(1，－1)与(－2，1)分别变换成(5，7)与(－3，6)．‎ ‎(1) 求矩阵M；‎ ‎(2) 若直线l在此变换下所变换成的直线的解析式l′：11x－3y－68＝0，求直线l的方程．‎ 解：(1) 不妨设M＝，则由题意得＝，＝，‎ 所以故M＝.‎ ‎(2) 取直线l上的任一点(x，y)，其在M作用下变换成对应点(x′，y′)，则 ＝＝，‎ 即代入11x－3y－68＝0，得x－y－4＝0，即l的方程为x－y－4＝0.‎ 在平面直角坐标系xOy中，直线l：x＋y＋2＝0在矩阵M＝对应的变换作用下得到直线m：x－y－4＝0，求实数a、b的值．‎ 解：(解法1)在直线l：x＋y＋2＝0上取两点A(－2，0)，B(0，－2)，A、B在矩阵M对应的变换作用下分别对应于点A′、B′，因为 ‎＝，所以A′的坐标为(－2，－2b)；‎ ＝，所以B′的坐标为(－‎2a，－8)．由题意A′、B′在直线m：x－y－4＝0上，所以解得a＝2，b＝3.‎ ‎(解法2)设直线l：x＋y＋2＝0上任意一点(x，y)在矩阵M对应的变换作用下对应于点(x′，y′)．因为＝，所以x′＝x＋ay，y′＝bx＋4y.因为(x′，y′)在直线m上，所以(x＋ay)－(bx＋4y)－4＝0，即(1－b)x＋(a－4)y－4＝0.‎ 又点(x，y)在直线x＋y＋2＝0上，‎ 所以＝＝，解得a＝2，b＝3.‎ 题型3　平面变换的综合应用 例3　已知M＝，N＝，向量α＝.‎ ‎(1) 验证：(MN)α＝M(Nα)；‎ ‎(2) 验证这两个矩阵不满足MN＝NM.‎ 解：(1) 因为MN＝＝，所以(MN)α＝＝.‎ 因为Nα＝＝，所以M(Nα)＝＝，所以(MN)α＝M(Nα)．‎ ‎(2) 因为MN＝，NM＝，‎ 所以这两个矩阵不满足MN＝NM.‎ 在直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标为A，B，C.求△ABC在矩阵作用下变换所得到的图形的面积．‎ 解：因为＝，＝，＝，‎ 所以A，B，C在矩阵作用下变换所得到的三个顶点坐标分别为A′，B′，C′.‎ 故S△A′B′C′＝A′C′|yB′|＝.‎ ‎1. 在直角坐标系中，△OAB的顶点坐标O(0，0)、A(2，0)，B(1，)，求△OAB在矩阵MN的作用下变换所得到的图形的面积，其中矩阵M＝，N＝.‎ 解：由题设得MN＝，‎ ‎∴ ·＝，‎ ·＝，‎ ·＝.‎ 可知O、A、B三点在矩阵MN作用下变换所得的点分别为O′(0，0)、A′(2，0)、B′(2，－1)．‎ 可得△O′A′B′的面积为1.‎ ‎2. 已知矩阵M＝，N＝，在平面直角坐标系中，设直线2x－y＋1＝0在矩阵MN对应的变换作用下得到的曲线F，求曲线F的方程．‎ 解：由题设得MN＝＝.设(x，y)是直线2x－y＋1＝0上任意一点，‎ 点(x，y)在矩阵MN对应的变换作用下变为(x′，y′)，‎ 则有＝，即＝，‎ 所以 因为点(x，y)在直线2x－y＋1＝0上，从而2x′－(－y′)＋1＝0，即2x′＋y′＋1＝0.‎ 所以曲线F的方程为2x＋y＋1＝0.‎ ‎3. (2013·福建)已知直线l：ax＋y＝1在矩阵A＝对应的变换作用下变为直线l′：x＋by＝1.‎ ‎(1) 求实数a、b的值；‎ ‎(2) 若点P(x0，y0)在直线l上，且A＝，求点P的坐标．‎ 解：(1) 设直线l：ax＋y＝1上任意一点M(x，y)在矩阵A对应的变换作用下的象是M′(x′，y′)，‎ 由＝＝，‎ 得　又点M′(x′，y′)在l′上，‎ 所以x′＋by′＝1，即x＋(b＋2)y＝1.‎ 依题意解得 ‎(2) 由A＝，得解得y0＝0.‎ 又点P(x0，y0)在直线l上，所以x0＝1，‎ 故点P的坐标为(1，0)．‎ ‎4. 在线性变换＝下，直线x＋y＝k(k为常数)上的所有点都变为一个点，求此点坐标．‎ 解：由＝，得而x＋y＝k，所以(k为常数)，所以直线x＋y＝k(k为常数)上的所有点都变为一个点(k，2k)．‎ ‎1. 如图所示，四边形ABCD和四边形AB′C′D分别是矩形和平行四边形，其中各点的坐标分别为A(－1，2)、B(3，2)、C(3，－2)、D(－1，－2)、B′(3，7)、C′(3，3)．求将四边形ABCD变成四边形AB′C′D的变换矩阵M.‎ 解：该变换为切变变换．设矩阵M＝，由图知，CC′，则＝.所以3k－2＝3，解得k＝.所以，M＝.‎ ‎2. 已知矩阵M＝，向量α＝，β＝.‎ ‎(1) 求向量3α＋β在TM作用下的象；‎ ‎(2) 求向量4Mα－5Mβ.‎ 解：(1) 因为3α＋β＝3＋＝＋＝，所以M＝＝.(2) ‎4Mα－‎5Mβ＝M(4α－5β)＝＝.‎ ‎3. 二阶矩阵M对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)．设直线l在变换M作用下得到了直线m：2x－y＝4，求l的方程．‎ 解：设M＝，则有＝，＝，∴ ，‎ 且，解得和 ，∴ M＝，‎ ‎∵ ＝＝，且m：2x′－y′＝4，‎ ‎∴ 2(x＋2y)－(3x＋4y)＝4，即x＋4 ＝0，∴ 直线l的方程为x＋4 ＝0.‎ ‎4. 二阶矩阵M对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)．‎ ‎(1) 求矩阵M；‎ ‎(2) 设直线l在变换M作用下得到了直线m：x－y＝4，求l的方程．‎ 解：(1) 设M＝，则有＝，＝，所以 且解得所以M＝.‎ ‎(2) 因为＝＝且m：x′－y′＝4，所以(x＋2y)－(3x＋4y)＝4，即x＋y＋2＝0，即直线l的方程为x＋y＋2＝0.‎ 几种特殊的变换：‎ 反射变换：M＝：点的变换为(x，y)→(x，－y)，变换前后关于x轴对称；‎ M＝：点的变换为(x，y)→(－x，y)，变换前后关于y轴对称；‎ M＝：点的变换为(x，y)→(－x，－y)，变换前后关于原点对称；‎ M＝：点的变换为(x，y)→(y，x)，变换前后关于直线y＝x对称．‎ 投影变换：‎ M＝：将坐标平面上的点垂直投影到x轴上，点的变换为(x，y)→(x，0)；‎ M＝：将坐标平面上的点垂直投影到y轴上，点的变换为(x，y)→(0，y)；‎ M＝：将坐标平面上的点垂直于x轴方向投影到y＝x上，点的变换为(x，y)→(x，x)；‎ M＝：将坐标平面上的点平行于x轴方向投影到y＝x上，点的变换为(x，y)→(y，y)；‎ M＝：将坐标平面上的点垂直于y＝x方向投影到y＝x上，点的变换为(x，y)→.‎