备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题18 恒成立问题——最值分析法 34页

1 专题 18 恒成立问题——最值分析法 【热点聚焦与扩展】 不等式恒成立问题常见处理方法：① 分离参数  a f x 恒成立(  maxa f x 可)或  a f x 恒成立 （  mina f x 即可）；② 数形结合(  y f x 图象在  y g x 上方即可)；③ 最值法：讨论最值  min 0f x  或  max 0f x  恒成立；④ 讨论参数. 最值法求解恒成立问题是三种方法中最为复杂的一种，但往往会用在解决 导数综合题目中的恒成立问题.此方法考查学生对所给函数的性质的了解，以及对含参问题分类讨论的基本功.是 函数与导数中的难点问题，下面通过典型例题总结此类问题的解法----最值分析法. 1、最值法的特点： （1）构造函数时往往将参数与自变量放在不等号的一侧，整体视为一个函数，其函数含参 （2）参数往往会出现在导函数中，进而参数不同的取值会对原函数的单调性产生影响——可能经历分类讨论 2、理论基础：设  f x 的定义域为 D （1）若 x D  ，均有  f x C （其中C 为常数），则  maxf x C （2）若 x D  ，均有  f x C （其中C 为常数），则  minf x C 3、技巧与方法： （1）最值法解决恒成立问题会导致所构造的函数中有参数，进而不易分析函数的单调区间，所以在使用最值法 之前可先做好以下准备工作： ① 观察函数  f x 的零点是否便于猜出（注意边界点的值） ② 缩小参数与自变量的范围： 通过代入一些特殊值能否缩小所求参数的讨论范围（便于单调性分析） 观察在定义域中是否包含一个恒成立的区间（即无论参数取何值，不等式均成立），缩小自变量的取值范围 （2）首先要明确导函数对原函数的作用：即导函数的符号决定原函数的单调性.如果所构造的函数，其导数结构 比较复杂不易分析出单调性，则可把需要判断符号的式子拿出来构造一个新函数，再想办法解决其符号. （3）在考虑函数最值时，除了依靠单调性，也可根据最值点的出处，即“只有边界点与极值点才是最值点的候 选点”，所以有的讨论点就集中在“极值点”是否落在定义域内. 【经典例题】 例 1．【2019 届四川高三（南充三诊）联合诊断】已知定义在 上的偶函数 在 上单调递减，若不等式 2 对任意 恒成立，则实数 的取值范是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 因为定义在 上的偶函数 在 上递减，所以 在 上单调递增， 若不等式 对于 上恒成立， 则 对于 上恒成立， 即 对于 上恒成立， （2）当 ，即 时， 在 上恒成立， 单调递减， 因为最大值 ，最小值 ，所以 ， 综合可得， 无解， （3）当 ，即 时，在 上， 恒成立， 为减函数， 在 上， 恒成立， 单调递增， 3 故函数最小值为 ， 若 ，即 ，因为 ，则最大值为 ， 此时，由 ，求得 ， 综上可得 ； 若 ，即 ，因为 ，则最大值为 ， 点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的综合应用，函数的恒成立问题，着重考查了转化思想、分类讨论 的数学思想方法，试题有一定的难度，属于难题，本题的解答中利用函数的奇偶性、单调性，可得 在 上恒成立，令 ，求的函数 的最大值和最小值，从而得到实数 的取值范围. 例 2.若关于 的不等式 ，对任意 恒成立，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设 y=x3﹣3x2﹣9x+2，则 y′=3x2﹣6x﹣9， 令 y′=3x2﹣6x﹣9=0，得 x1=﹣1，x2=3， ∵3∉ [﹣2，2]，∴x2=3（舍）， 列表讨论： 4 ∵f（﹣2）=﹣8﹣12+18+2=0， f（﹣1）=﹣1﹣3+9+2=7， f（2）=8﹣12﹣18+2=﹣20， ∴y=x3﹣3x2﹣9x+2 在 x∈[﹣2，2]上的最大值为 7，最小值为﹣20， ∵关于 x 的不等式 x3﹣3x2﹣9x+2≥m 对任意 x∈[﹣2，2]恒成立， ∴m≤﹣20， 故选：B． 例 3．已知函数   1x axf x be   ，曲线  y f x 在点   1, 1f 处的切线方程为  21 0x e y e    .其中 2.71828e   为自然对数的底数 （1）求 ,a b 的值 （2）如果当 0x  时，   12 x kf x e  恒成立，求实数 k 的取值范围 【答案】（1）1,1；（2） 0k  . 【解析】解：（1）       ' 2 1 1 x x x a be be ax f x be       1x xf x e    5 （2）思路：恒成立不等式为： 2 2 1 1x x x k e e  ，若参变分离，则分离后的函数过于复杂，不利于求得最值，所以 考虑利用最值法，先变形不等式，由于 2 1xe  的符号不确定（以 0x  为界），从而需进行分类讨论.当 0x  时， 不等式变形为：    21 2 1 0x xk e xe k     ，设      21 2 1x xg x k e xe k     ，可观察到  0 0g  ， 则若要 0x  时，   0g x  ，则需  ' 0 0g  ，进而解出 0k  ，再证明 0k  时，   0g x  即可.将 k 的范围缩 至 0k  时再证明 0x  时，   0g x  即可. 解：由（1）可得恒成立的不等式为： 2 2 1 1x x x k e e  当 0x  时，   2 2 2 1 2 1 11 x x x x x k xe k ee e         21 2 1 0x xk e xe k      设      21 2 1x xg x k e xe k     ，可得  0 0g       ' 22 1 2 1x xg x k e x e           ' 22 1 2 1 2 1 1x x x xg x k e x e e k e x          0k   1 1 1 0x xk e x e x         ' 0g x   g x 在  0, 单调递增    0 0g x g   ，即不等式恒成立 当 0x  时，   2 2 2 1 2 1 11 x x x x x k xe k ee e           21 2 1 0 0x xk e xe k g x        0k  同理，    ' 2 1 1 0x xg x e k e x       6  g x 在  ,0 单调递增    0 0g x g   即 0k  时不等式在  ,0x   恒成立 综上所述， 0k  . 例 4．设函数 ( ) ( 1)xf x ae x  （其中 2.71828....e  ）， 2( ) 2g x x bx   ，已知它们在 0x  处有相同的切线. （1）求函数 ( )f x ， ( )g x 的解析式； （2）若对 2, ( ) ( )x kf x g x    恒成立，求实数 k 的取值范围. 【答案】（1）       22 1 , 4 2xf x e x g x x x     ；（2） 21,k e    . 解：令      22 1 4 2xF x ke x x x     ，只需  min 0F x        ' 2 2 2 4 2 1 2x xF x ke x x ke x        2x   令  ' 0 1xF x ke   2, ( ) 0x F x   均成立，  0 2 2 0F k    1k  （上一步若直接求单调增区间，则需先对 k 的符号进 行分类讨论.但通过代入 0x  （ 0 1e  ，便于计算），解得了 k 要满足的必要条件，从而简化了步骤.） 解得 1 1lnxe xk k     2,x    下面根据 1lnx k  是否在 2,  进行分类讨论： ① 21ln 2 k ek     7  F x 在 2,  单调递增.      2 2 2min 22 2 2 0F x F ke e ke          则 x 12,ln k     1ln ,k      'F x    F x 减 增   21ln min 1 1 1 1ln 2 ln 1 ln 4ln 2kF x F k ek k k k                            1 1ln ln 2 0k k        恒成立，故满足条件 综上所述： 21,k e    点睛：本道题的亮点在于代入 0x  以缩小 k 的范围， 0x  并不是边界点，但是由于  0F 易于计算（主要针对 指数幂），且能够刻画 k 的范围，故首选 0x  例 5.【浙江高考题】设函数    2 ln ,f x x a x a R   （1）若 x e 为  y f x 的极值点，求实数 a （2）求实数 a 的取值范围，使得对任意的  0,3x e ，恒有   24f x e 成立.注： e 为自然对数的底数 【答案】（1） ,3e e ；（2） 23 ,3 ln3 ea e e e      . 8 【解析】解：（1）       2 ' ( ) 2 ln = 2ln 1x a af x x a x x a xx x           x e 是  f x 的极值点    ' 3 0af e e a a ee           或 3a e ，经检验符合题意 , 3a e a e   （2）思路一：恒成立的不等式为  2 2ln 4x a x e  ，考虑选择最值法 当  0,1x  时，无论 a 为何值，不等式恒成立（  f x 的单调区间必然含参数，首先将恒成立的部分剔除， 缩小 x 的取值范围以方便后期讨论） ' ( )f x   ' ( )= 2ln 1 af x x a x x       ，记   2ln 1 ah x x x       2 2ln 4f x x a x e   恒成立，所以    2 23 3 ln3 4f e e a e e   2 23 3 ln3 ln3 e ee a e e e      （通过特殊值代入缩小 a 的范围，便于分析讨论）    1 1 0, 2ln 0h a h a a         0 01, , 0x a h x   （解不出具体的极值点，但可以估计其范围，利用零点存在性定理，同时得到 a 与 0x 的关系：  0 0 0 2 1 0ah x x x     )  h x 单调递增        0 01, , 0; , , 0x x h x x x a h x                ' ' ' 0 01, , 0; , , 0; , , 0x x f x x x a f x x a f x        x  01, x  0,x a  ,a   'f x     f x    9 若    2 2ln 4f x x a x e   ，只需         2 2 0 0 0 2 2 ln 4 3 3 ln3 4 f x x a x e f e e a e e        ① ② 点睛：本题有以下几处亮点： 1、特殊值代入法：这是本题最大的亮点，通过代入特殊的值缩小 ,x a 的范围，便于讨论，在有关恒成立的问题 中，通过代入特殊点（边界点，极值点等）可以简化运算，提供思路，而且有一些题目往往不等关系就在自变量 的边界值处产生 2、对极值点 0x 的处理，虽无法求值，但可求出它的范围，进而解决问题 思路二：参变分离法： 当  0,1x  时，无论 a 为何值，不等式恒成立 考虑  1,3x e ,则不等式     2 2 22 4ln 4 ln ex a x e x a x      (体会将 x 范围缩小后所带来的便利） 2 2 ln ln e ex a x x x      恒成立 则只需 max min 2 ln 2 ln ea x x ea x x               成立 设   2 ln eg x x x   ，       ' 3 3 2 2 21 1 0 2 ln ln e eg x x x x x       g x 在  1,3e 单调递增，     max 23 3 ln3 eg x g e e e     10 23 ln3 ea e e    再设   2 ln eh x x x   ,           3 2' 3 3 3 2 2 2 ln21 1 2 ln ln ln x x ee eh x x x x x x x      令  ' 0h x  即   3 2lnx x e ,由左边可得 x e 时，   3 2lnx x e ，而   3 2lny x x 单调递增，由此可得  1,x e ,  ' 0h x  ,  ,3x e e ,  ' 0h x  (单调性+根→符号）   h x 在  1,e 单调增，在  ,3e e 单调递减.故    min 3h x h e e  23 ln3 ea e e    综上所述： 23 ,3 ln3 ea e e e      点睛：思路二有另外几个亮点： 1、缩小自变量 x 范围的作用：使 ln x 为正，进而对后面的变形开方起到关键性作用 2、在处理  h x 的问题时，采取零点与单调性结合的方式来确定符号.其中   3 2lny x x 的单调性可以快速判 断. y x 增，   3 2lny x 增，且两部分的函数值恒为正数，那么相乘后的解析式依然是增函数. 例 6.【2019 届湖南省永州市高三下学期三模】已知 , . （1）若对任意的实数 ，恒有 ，求实数 的取值范围； （2）当 时，求证：方程 恒有两解. 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)详见解析． （Ⅱ）方程 化为 ，令 ，利用导数求得函数 的 11 单调性与最值，得到 在 和 各有一个零点，即可得方程 恒有两解． 试题解析： （Ⅰ）要使 f(x)＜g(x)恒成立，即使 成立， 整理成关于 a 的二次不等式 ， 只要保证△＜0， ， 整理为 ， （i） 下面探究（i）式成立的条件，令 ， ， ，当 时， ， 在（0，＋∞）上单调递增， ， ， 存在 使 ，即 ， ， 在 上单调递减，在 上单调递增， 在 处取得最小值． ， 12 ， ＜0， ， ， 在 和 各有一个零点，故方程 恒有两解． 点睛：本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是 研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的 几何意义，求解曲线在某点处的切线方程； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解、函数的综合问题，同时注意数形结合思想的应用． 例 7.【2019 届内蒙古鄂伦春自治旗高三下学期二模（420 模拟）】已知函数 的 图象在与 轴的交点处的切线方程为 . （1）求 的解析式； （2）若 对 恒成立，求 的取值范围. 【答案】（1） （2） 试题解析：（1）由 得 . ∴切点为 . ∵ ∴ ∴ , 又 13 ∴ ， . （2）由 得 . 设 ， 对 恒成立， ∴ 在 上单调递增 综上， 的取值范围为 . 点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法： ① 分离参数 恒成立( 即可)或 恒成立（ 即可）；② 数形结合( 图 象在 上方即可)；③ 讨论最值 或 恒成立；④ 讨论参数. 例 8.【2019 届湖南省益阳市高三 4 月调研】已知函数 （ ，为自然对数的底数）. （1）讨论函数 的单调区间； （2）当 时， 恒成立，求实数 的最小值. 【答案】(1)单调递增区间是 ，单调递减区间是 .(2)-e. 【解析】试题分析：（1）由题意，利用导数法进行讨论，由 可求出函数的增区间， 可求出函数 的减区间，同时对参数 进行分段讨论，从而问题即可得解；（2）由题意，可构造函数 ，由此可将问题转化为计算 ，再根据导数进行运算求解，从而问题 14 可得解. 试题解析：（1）由题知，函数 的定义域是 . ， 当 时， 对任意 恒成立， 所以函数 的单调递增区间是 ，无单调递减区间； 当 时，令 ，得 ； 令 ，得 ； 所以函数 的单调递增区间是 ， 则 . 显然 在区间 上单调递增，且 ， 所以当 时， ；当 时， ； 所以函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增. 15 所以 ， 解得 . 即实数 的最小值是 . 点睛：此题主要考查函数的单调性、最值，不等式恒成立问题，以及导数在研究函数单调性、最值中的应用等有 关方面的知识与技能，属于中高档题型，也是必考题型.利用导数求函数单调区间的一般步骤为：1.确定函数的 定义域；2.求函数的导数；3.在函数的定义域内解不等式 和 ；4.写出函数的单调区间. 例 9.已知函数 ， . （1）当时 ，若关于 的不等式 恒成立，求 的取值范围； （2）当 时，证明： . 【答案】（1） .（2）见解析. 【解析】试题分析：（1）由 ，得 恒成立，令 .求出 的最小值，即可 整理，得 恒成立，即 . 令 .则 . 16 ∴函数 在 上单调递减，在 上单调递增. ∴函数 的最小值为 . ∴ ，即 . ∴ 的取值范围是 . （2）∵ 为数列 的前 项和， 为数列 的前 项和. 即 . 现证明 . 构造函数 ， 则 . ∴函数 在 上是增函数，即 . 17 ∴当 时，有 ，即 成立. 令 ，则 式成立. 综上，得 . 对数列 ， ， 分别求前 项和，得 . 例 10【2019 届青海省西宁市高三下学期（一模）】设   lnf x x ，   1 2g x x x . （1）令      •F x x f x g x  ，求  F x 的单调区间； （2）若任意  1 2, 1,x x   且 1 2x x ，都有        2 1 2 2 1 1• •m g x g x x f x x f x     恒成立，求实数 m 的 取值范围. 【答案】（1）见解析；（2） 1m  . 【解析】试题分析：（1）求出函数  F x 的导函数，对导函数再次求导得到导函数的单调性和 0 的关系，从而求 出函数  F x 的单调性即可；（2）已知可转化为 1 21 x x  时，        2 2 2 1 1• •mg x x f x mg x x f x   恒成 立，令      •H x mg x x f x  ，则  H x 为单调递增的函数结合导数工具即可求得实数 m 的取值范围. 即  F x 在  0,1 上单调递增，在 1, 上单调递减，∴    1 0F x F   ， ∴  F x 的定义域为 0, 上单调递减. （2）据题意，当 1 21 x x  时，        2 1 2 2 1 1• •m g x g x x f x x f x     恒成立， 18 ∴当 1 21 x x  时，        2 2 2 1 1• •mg x x f x mg x x f x   恒成立， 令      •H x mg x x f x  ，即   21 ln2H x mx x x  点睛：本题主要考查了导数与函数单调性的关系，导数在恒成立中的应用，解题的最大难点在于对导函数与 0 关 系的判断时需进行二次求导以及构造函数      •H x mg x x f x  ，重点是将恒成立问题转化为求最值问题. 【精选精练】 1．【2019 届贵阳第一中学高考适应性月考卷（七）】已知定义在 上的函数 ， ，其中 为偶函数，当 时， 恒成立；且 满足：①对 ，都有 ；②当 时， . 若关于 的不等式 对 恒成立，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 ∵函数 满足：当 时， 恒成立，∴函数 为 上的偶 函数，且在 上为单调递增函数，且有 ，∴ ， 恒成立 恒成立，只要使得定义域内 ， 19 由 ，得 ，即函数 的周期 ，∵ 时， ， 求导得 ，该函数过点 故选 D． 【点睛】此题考查了利用导函数求得函数在定义域上为单调递增函数，还考查了函数的周期的定义，及利用周期 可以求得 时， 的值域为 还考查了函数恒成立． 2．【2019 届（衡水金卷调研卷）三】若存在 ，不等式 成立，则实数 的最大值 为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 设 ，则 当 时， ， 单调递减 当 时， ， 单调递增 存在 ， 成立 20 ， ， 故选 . 点睛：本题利用导数求解不等式问题，在解答此类问题时的方法可以分离参量，转化为最值问题，借助导数，求 出新函数的单调性，从而求出函数的最值，解出参量的取值范围，本题较为基础. 3．【2019 年高考理科数学原创押题预测卷 01】已知函数 ，若关于 的不等式 在 上恒成立，则 的值为 A. B. C. D. 【答案】A ∴ ，∴要使 恒成立，须使 恒成立.即 恒成立，两 边取对数得， ，整理得 .令 ，则 ，显然当 时， ，当 时， ．于是函数 在 上单调递减，在 单调递 增.∴ ，∴ ,∴ ，故选 A． 21 4．若函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围是__________． 【答案】 【解析】分析：求出导函数 f′（x），由于函数 f（x）=kx﹣lnx 在区间（1，+∞）单调递增，可得 f′（x）≥0 在区间（1，+∞）上恒成立，变量分离求最值即可． 详解：f′（x）=k﹣ ， ∵函数 f（x）=kx﹣lnx 在区间（1，+∞）单调递增， ∴f′（x）≥0 在区间（1，+∞）上恒成立． ∴k≥ ， 而 y= 在区间（1，+∞）上单调递减， ∴k≥1． ∴k 的取值范围是：[1，+∞）． 故答案为：[1，+∞）． 5．函数 ，若 恒成立，则实数 的取值范围是__． 【答案】 【点睛】本小题主要考查利用分析法和综合法求解不等式恒成立,问题,考查利用导数研究函数的单调性,极值和 最值等知识.首先根据 ,对函数进行分离常数,这里主要的思想方法是分离常数后利用导数求得另一个 部分的最值,根据这个最值来求得参数的取值范围. 6．【2019 年 4 月浙江省金华十校高考模拟】若对任意的 ，存在实数 ，使 恒成立，则实数 的最大值为__________． 【答案】9 22 【解析】若对任意的 ， 恒成立，可得： 恒成立， 令 ， ， (2)当 时， ， ， 原问题等价于存在实数 满足： ， 故 ，解得： ，则此时 ； (3)当 时， ， 而 ， 当 时， ， 原问题等价于存在实数 满足： ， 故 ，解得： ，则此时 ； 23 当 时， ， 原问题等价于存在实数 满足： ， 故 ，解得： ，则此时 ； 综上可得：实数 的最大值为 . 7．【2019 届齐鲁名校教科研协作体 山东、湖北部分重点中学模拟（三）】已知函数 在点 处的切线过点 ． (1)求实数 的值，并求出函数 单调区间； (2)若整数 使得 在 上恒成立，求 的最大值． 【答案】（1） ， 在 单调递减，在 单调递增；（2）7. 而得到 ，进而求范围即可. 详解： (1) 的定义域为 ， ，∴ 处的切线斜率为 因此切线方程为 ，即 又∵切线过 ，代入上式解得 ，∴ 24 可得 在 单调递减，在 单调递增． （2）∵ 时， ，∴ 等价于 记 ，∴ 由零点存在定理可知，存在 ，使得 ，即 ① 且 时， ， 时， 故 时， 单调递减， 时， 单调递增 ∴ 由①可得 故 的最大值为 7． 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题： （1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题； （2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若 恒成立 ； （3）若 恒成立，可转化为 （需在同一处取得最值） . 25 8．已知函数 ， . （1）讨论函数 的单调区间； （2）若函数 在 处取得极值，对 ， 恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】(1) 当 时， 的单调递减区间是 ，无单调递增区间；当 时， 的单调递减区间 是 ，单调递增区间是 ;(2) . 详解： （1）在区间 上， ， 当 时， 恒成立， 在区间 上单调递减； 当 时，令 得 ， 在区间 上， ，函数 单调递减， 在区间 上， ，函数 单调递增. 综上所述：当 时， 的单调递减区间是 ，无单调递增区间； 当 时， 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 （2）因为函数 在 处取得极值， 所以 ，解得 ，经检验可知满足题意 由已知 ，即 ， 26 即 对 恒成立， 令 ， 则 ， 易得 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 ，即 . 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题： （1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题； （2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若 恒成立，转化为 ; （3）若 恒成立，可转化为 9．已知全集 , , . (1)求集合 ； (2)函数 ，对一切 ， 恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】（1） （2） ，结合导函数研究函数的单调性可得 的最小值为 . 则 . 试题解析： 27 （1）求解一元二次不等式可得 ，求解分式绝对值不等式可得 ， . (2) 由 得 对一切 恒成立. 对一切 恒成立. 令 ， ， 在 上单调递减， 在 上单调递增； 的最小值为 . . 10．【2019 届【衡水金卷】】已知函数 ， ，其中 为常数， 是自然对数的底 数. （1）设 ，若函数 在区间 上有极值点，求实数 的取值范围； （2）证明：当 时， 恒成立. 【答案】(1) ；(2)证明见解析. 分别求得左式的最大值和右式的最小值，证得最大值小于最小值即可. 解析： （1）由题意， ，则 ， 由题意，若 在 上有极值点， 28 则 在 上有变号零点. 又 ， ， ， 即 . 故若函数 在 上有极值点， 只需 则 ， 所以 的取值范围为 . （2）由题意，知要证 成立. 设 ， ， 则 ， 当 时， ， 29 当 时， ， 所以当 时， 取得最大值 . 所以 . 设 ， ， 则 ， 故 . 综上，当 时， . 命题得证. 11．【2019 届江苏省无锡市高三第一学期期末】已知函数 ， ，其中 . （1）求过点 和函数 的图像相切的直线方程； （2）若对任意 ，有 恒成立，求 的取值范围； （3）若存在唯一的整数 ，使得 ，求 的取值范围. 【答案】（1） ， .（2） .（3） . 【解析】试题分析：（1）先设切点为 ， 切线斜率为 ，再建立切线方程为 ，将 代入方程可得 ，即 ，进而求得切线方程为： 30 或 . （2）将问题转化为对任意 有 恒成立，①当 时， ，利用导数工具求得 ，故此时 ； ②当 时，恒成立，故此时 ；③当 时， ， 利用导数工具求得 ，故此时 .综上： . （3）因为 ，由（2）知 ， 当 ，原命题等价于 存在唯一的整数 成立，利用导数工具求得 ；当 ， 原命题等价于 存在唯一的整数 成立，利用导数工具求得 .综上： . 试题解析： 当 时，切线方程为 . （2）由题意，对任意 有 恒成立， 31 ①当 时， ， 令 ，则 ，令 得 ， ，故此时 .综上： . （3）因为 ，即 ， 由（2）知 ，xk；w 令 ，则 32 当 ，存在唯一的整数 使得 ， 等价于 存在唯一的整数 成立， 因为 最小，且 ， ，所以当 时，至少有两个整数成立， 所以当 时，没有整数成立，所有 . 综上： . 12．已知函数 ，其中 （1）判断并证明函数 的奇偶性； （2）判断并证明函数 在 上的单调性； （3）是否存在这样的负实数 ，使 对一切 恒成立，若存在，试求出 取值 的集合；若不存在，说明理由 33 【答案】（1）奇函数；（2） 在 上的减函数；（3）存在这样的 k 其范围为 . 【解析】试题分析：（1）已知函数的定义域关于原点对称，再证明 ，所以函数 是奇函数；（2） 用定义证明函数在 上单调递减的步骤：设值—作差、变形—判断符号—得出结论；（3）由（1）（2）得，不 等式 可变形为 ，从而得到不等 式组 ，解得 . ∴ 在 上的减函数； （3） 是 上的减函数 对 恒成立 由 对 恒成立得： 对 恒成立 令 34 ， ∴ ， 由 对 恒成立得： 由 对 恒成立得： 即综上所得： 所以存在这样的 k 其范围为 考点：函数的奇偶性、单调性和最值.