2014年(全国卷II)(含答案)高考文科数学 17页

‎2014年普通高等学校招生全国统一考试（2 新课标Ⅱ卷）‎ 数学(文)试题 一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)‎ ‎1.已知集合,则A∩B=（ ）‎ A. ‎ B. C. D. ‎ ‎2.（ ）‎ A. ‎ B. C. D. ‎ ‎3.函数在处导数存在，若：是的极值点，则（ ）‎ A．是的充分必要条件 ‎ B. 是的充分条件，但不是的必要条件 C. 是的必要条件，但不是的充分条件 ‎ D. 既不是的充分条件，学科 网也不是的必要条件 ‎4.设向量满足，，则=（ ）‎ A. ‎1 B. 2 C. 3 D. 5‎ ‎5.等差数列的公差是2，若成等比数列，则的前项和（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）‎ A. ‎ B. C. D.‎ ‎7.正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，为中点，则三棱锥的体积为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎8.执行右面的程序框图，如果输入的，均为，则输出的（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎9.设，满足约束条件则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎10.设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交于,两点，则 （ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎11.若函数在区间单调递增，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎12.设点，若在圆上存在点，使得，则的取值范围是（ ）‎ ‎ A.[－1,1] B. C. D.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13.甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_______.‎ ‎14. 函数的最大值为________.‎ ‎15. 偶函数的图像关于直线对称，，则=________.‎ ‎16.数列满足，则________.‎ 三、解答题：‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ ‎ 四边形的内角与互补，.‎ ‎ （1）求和；‎ ‎ （2）求四边形的面积.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，是的中点.‎ （1） 证明：//平面；‎ （2） 设，三棱锥的体积，求到平面的距离.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对这两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如下：‎ （1） 分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；‎ （2） 分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；‎ ‎（3）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 设分别是椭圆C:的左右焦点，是上一点且与轴垂直，直线与的另一个交点为.‎ （1） 若直线的斜率为，求的离心率；‎ （2） 若直线在轴上的截距为，且，求.‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知函数，曲线在点处的切线与轴交点的横坐标为.‎ （1） 求；‎ （2） 证明：当时，曲线与直线只有一个交点.‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，是外一点，是切线，为切点，割线与相交于，，为的中点，的延长线交于点.证明：‎ （1） ‎；‎ ‎（2）‎ ‎23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 ‎ 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆的极坐标方程为.‎ ‎（1）求得参数方程；‎ ‎（2）设点在上，在处的切线与直线垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定的坐标.‎ ‎24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 ‎ 设函数 ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，求的取值范围.‎ ‎2014年普通高等学校招生全国统一考试（2 新课标Ⅱ卷）‎ 数学(文)试题 参考答案：‎ 参考答案 ‎1．B ‎【解析】‎ 试题分析：由已知得，，故，选B．‎ 考点：集合的运算．‎ ‎2．B ‎【解析】‎ 试题分析：由已知得，，选B．‎ 考点：复数的运算．‎ ‎3．C ‎【解析】‎ 试题分析：若是函数的极值点，则；若，则不一定是极值点，例如，当时，，但不是极值点，故是的必要条件，但不是的充分条件，选C ．‎ 考点：1、函数的极值点；2、充分必要条件．‎ ‎4．A ‎【解析】‎ 试题分析：由已知得，，，两式相减得，，故．‎ 考点：向量的数量积运算．‎ ‎5．A ‎【解析】‎ 试题分析：由已知得，，又因为是公差为2的等差数列，故，，解得，所以，故．‎ ‎【考点】1、等差数列通项公式；2、等比中项；3、等差数列前n项和．‎ ‎6．C ‎【解析】‎ 试题分析：由三视图还原几何体为一个小圆柱和大圆柱组成的简单组合体．其中小圆柱底面半径为2、高为4，大圆柱底面半径为3、高为2，则其体积和为，而圆柱形毛坯体积为，故切削部分体积为，从而切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为．‎ 考点：三视图．‎ ‎7．C ‎【解析】‎ 试题分析：如下图所示，连接，因为是正三角形，且为中点，则，又因为面，故，且，所以面，所以是三棱锥的高，所以．‎ 考点：1、直线和平面垂直的判断和性质；2、三棱锥体积．‎ ‎8．D ‎【解析】‎ 试题分析：输入，在程序执行过程中，的值依次为；；‎ ‎，程序结束，输出．‎ 考点：程序框图．‎ ‎9．B ‎【解析】‎ 试题分析：画出可行域，如图所示，将目标函数变形为，当取到最大值时，直线的纵截距最大，故只需将直线经过可行域，尽可能平移到过A点时，取到最大值．‎ ‎，得，所以．‎ 考点：线性规划．‎ ‎10．C ‎【解析】‎ 试题分析：由题意，得．又因为，故直线AB的方程为，与抛物线联立，得，设，由抛物线定义得，‎ ‎，选C．‎ 考点：1、抛物线的标准方程；2、抛物线的定义．‎ ‎11．D ‎【解析】‎ 试题分析：，由已知得在恒成立，故，因为，所以，故的取值范围是．‎ ‎【考点】利用导数判断函数的单调性．‎ ‎12．A ‎【解析】‎ 试题分析：依题意，直线MN与圆有公共点即可，即圆心到直线MN的距离小于等于1即可，过作MN，垂足为A，在中，因为，故，所以，则，解得．‎ 考点：1、解直角三角形；2、直线和圆的位置关系．‎ ‎13．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种有9种不同的结果，分别为（红，红），（红，白），（红，蓝），（白，红），（白，白），（白，蓝），（蓝，红），（蓝，白），（蓝，蓝）．他们选择相同颜色运动服有3种不同的结果，即（红，红），（白，白），（蓝，蓝），故他们选择相同颜色运动服的概率为．‎ 考点：古典概型的概率计算公式．‎ ‎14．1‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由已知得，‎ ‎，故函数的最大值为1．‎ 考点：1、两角和与差的正弦公式；2、三角函数的性质．‎ ‎15．3‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为的图像关于直线对称，故，又因为是偶函数，故．‎ 考点：1、函数图象的对称性；2、函数的奇偶性．‎ ‎16．．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由已知得，，，所以，，，‎ ‎，，，．‎ 三、解答题 ‎ （17）解：‎ ‎ （I）由题设及余弦定理得 ‎ ‎ ‎ =13 ， ①‎ ‎ ‎ ‎ . ②‎ ‎ 由①，②得，故，。‎ ‎ （Ⅱ）四边形ABCD的面积 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（18）解：‎ ‎ （I）设BD与AC的交点为O，连结EO.‎ 因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点，又 E为PD的中点，所以EO∥PB.‎ ‎ EO平面AEC，PB平面AEC,‎ 所以PB∥平面AEC.‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）V.‎ 由，可得.‎ 作交于。‎ 由题设知平面，所以，故平面。‎ 又.‎ 所以A到平面PBC的距离为.‎ ‎（19）解：‎ ‎ （I）由所给茎叶图知，50位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是75,75，故样本中位数为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75 。‎ ‎ 50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是66,68，故样本中位数为，所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67.‎ ‎ ‎ ‎ （Ⅱ）由所给茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为，，故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1，0.16.‎ ‎ （Ⅲ）由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差较大。（注：考生利用其他统计量进行分析，结论合理的同样给分。）‎ ‎（20）解：‎ ‎ 解：（I）根据及题设知 ‎ 将代入，解得（舍去）‎ ‎ 故C的离心率为.‎ ‎ （Ⅱ）由题意，原点为的中点，∥轴，所以直线与轴的交点 是线段的中点，故，即 ‎ ①‎ 由得。‎ 设，由题意知，则 ‎，即 代入C的方程，得。‎ 将①及代入②得 解得，‎ 故.‎ ‎（21）解：‎ ‎（I）=，.‎ 曲线在点（0,2）处的切线方程为。‎ 由题设得，所以a=1.‎ ‎ ‎ ‎ （Ⅱ）由（I）知，‎ ‎ 设 由题设知.‎ ‎ 当≤0时，，单调递增，，所以=0在有唯一实根。‎ 当时，令，则。 ‎ ‎ ，在单调递减，在单调递增，所以 ‎ ‎ 所以在没有实根.‎ 综上，=0在R有唯一实根，即曲线与直线只有一个交点。‎ ‎（22）解：‎ （I） 连结AB,AC.由题设知PA=PD,故∠PAD=∠PDA.‎ 因为∠PDA=∠DAC+∠DCA ‎∠PAD=∠BAD+∠PAB ‎∠DCA=∠PAB,‎ ‎ 所以∠DAC=∠BAD，从而。‎ 因此BE=EC.‎ ‎ （Ⅱ）由切割线定理得。‎ ‎ 因为PA=PD=DC，所以DC=2PB,BD=PB。‎ 由相交弦定理得，‎ 所以.‎ ‎（23）解：‎ ‎ （I）C的普通方程为.‎ ‎ ‎ 可得C的参数方程为 ‎（t为参数，）‎ ‎ （Ⅱ）设D.由（I）知C是以G（1,0）为圆心，1为半径的上半圆。‎ 因为C在点D处的切线与t垂直，所以直线GD与t的斜率相同，‎ ‎ .‎ ‎ 故D的直角坐标为，即。‎ ‎（24）解：‎ ‎（I）由，有.‎ ‎ 所以≥2.‎ ‎（Ⅱ）.‎ 当时a＞3时，=，由＜5得3＜a＜。‎ 当0＜a≤3时，=，由＜5得＜a≤3.‎ ‎ 综上，a的取值范围是（，）.‎ ‎ ‎