高考文科数学试题汇编数列教师用 13页

数列 一、选择题:‎ ‎(2011年高考安徽卷文科7)若数列的通项公式是,则 ‎（A） 15 (B) 12 (C ) (D) ‎ ‎【答案】A ‎ （2011年高考四川卷文科9)数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1, an+1 =3Sn(n ≥1),则a6=‎ ‎（A）3 ×44 （B）3 ×  44+1‎ ‎ (C) 44 （D）44+1‎ 答案： A 解析：由题意，得a2=‎3a1=3.当n ≥1时，an+1 =3Sn(n ≥1) ①，所以an+2 =3Sn+1 ②，‎ ‎②-①得an+2 = 4an+1 ，故从第二项起数列等比数列，则a6=3 ×44.‎ ‎5. （2011年高考陕西卷文科10)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距‎10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为（ ）‎ ‎（A）(1)和（20） （B）(9)和（10） (C) （9）和（11） (D) （10）和（11）‎ 答案：D ‎（2011年高考全国卷文科6)设为等差数列的前项和，若，公差，，则 ‎ ‎（A）8 （B）7 （C）6 （D）5‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 故选D。‎ ‎（2011年高考重庆卷文科1)在等差数列中，，＝‎ ‎ A．12 B．‎14 ‎C．16 D．18‎ ‎【答案】D 二、填空题:‎ ‎8.（2011年高考浙江卷文科17)若数列中的最大项是第项，则=_______。‎ ‎【答案】4‎ ‎(2011年高考江苏卷13)设，其中成公比为q的等比数列，成公差为1的等差数列，则q的最小值是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】考察综合运用等差、等比的概念及通项公式，不等式的性质解决问题的能力，难题。‎ 由题意：，‎ ‎，而的最小值分别为1，2，3；。‎ ‎（2011年高考辽宁卷文科15)Sn为等差数列{an}的前n项和，S2=S6，a4=1，则a5=____________。‎ 答案： -1‎ 解析：设等差数列的公差为d，解方程组得d=-2，a5=a4+d=-1.‎ 三、解答题:‎ ‎（2011年高考江西卷文科21) (本小题满分14分）‎ ‎ （1）已知两个等比数列，满足，‎ ‎ 若数列唯一，求的值；‎ ‎ （2）是否存在两个等比数列，使得成公差为 ‎ 的等差数列？若存在，求 的通项公式；若存在，说明理由．‎ ‎（2）假设存在这样的等比数列，则由等差数列的性质可得：，整理得：‎ 要使该式成立，则=或此时数列，公差为0与题意不符，所以不存在这样的等比数列.‎ ‎（2011年高考福建卷文科17)（本小题满分12分）‎ 已知等差数列{an}中，a1=1，a3=-3.‎ ‎（I）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（II）若数列{an}的前k项和Sk=-35，求k的值.‎ ‎1（2011年高考湖南卷文科20)（本题满分13分）‎ 某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%．‎ ‎（I）求第n年初M的价值的表达式；‎ ‎（II）设若大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新，证明：须在第9年初对M更新．‎ 解析：（I）当时，数列是首项为120，公差为的等差数列．‎ ‎ ‎ 当时，数列是以为首项，公比为为等比数列，又，所以 ‎ ‎ 因此，第年初，M的价值的表达式为 ‎(II)设表示数列的前项和，由等差及等比数列的求和公式得 当时，‎ 当时，‎ 因为是递减数列，所以是递减数列，又 所以须在第9年初对M更新．‎ ‎（2011年高考四川卷文科20)（本小题共12分）‎ 已知﹛﹜是以为首项，q为公比的等比数列，为它的前项和.‎ ‎（Ⅰ）当成等差数列时，求q的值；‎ ‎(Ⅱ)当，，成等差数列时，求证：对任意自然数也成等差数列. ‎ ‎ (Ⅱ)当成等差数列，则.‎ 当时，由，得，即.‎ ‎；‎ 当时，由，得，‎ 化简得.‎ ‎，‎ 综上，对任意自然数也成等差数列.‎ ‎（2011年高考湖北卷文科17)（本小题满分12分）‎ 成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列 中的 ‎(Ⅰ)求数列的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)数列的前n项和为，求证：数列是等比数列.‎ 本小题主要考查等差数列、等比数列及其求和公式等基础知识，同时考查基本运算能力.‎ 解析：‎ ‎（1）设成等差数列的三个正数分别为a-d，a, a+d.‎ ‎ 依题意，得a-d+a+a+d=15,解得a=5. 所以中的依次为7-d，10，18+d.‎ 依题意，有（7-d）（18+d）=100，解得d=2或d=-13（舍去）.‎ 故的第3项为5，公比为2.‎ 由，即，解得 所以是以为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为.‎ ‎（2）数列的前n项和即 所以 因此是以为首项，公比为2的等比数列.‎ ‎（2011年高考山东卷文科20)（本小题满分12分）‎ 等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列.‎ 第一列 第二列 第三列 第一行 ‎3‎ ‎2‎ ‎10‎ 第二行 ‎6‎ ‎4‎ ‎14‎ 第三行 ‎9‎ ‎8‎ ‎18‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列满足：，求数列的前项和.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题意知,因为是等比数列,所以公比为3,所以数列的通项公式.‎ ‎(2011年高考安徽卷文科21)（本小题满分13分）‎ 在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和.‎ ‎【命题意图】：本题考察等比和等差数列，指数和对数运算，两角差的正切公式等基本知识，考察灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力。‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ 又 所以数列的前项和为 ‎【解题指导】：做数列题时应优先运用数列的相关性质，本题考察的是等比数列前n项积，自然想到等比数列性质：，倒序相乘法是借鉴倒序相加法得到的，这样处理就避免了对n奇偶性的讨论。‎ 第二问的数列求和应联想常规的方法：倒序相加法，错位相减法，裂项相消法。而出现时自然应该联想正切的和角或差角公式。本题只要将这两个知识点有机结合起来就可以创造性的把问题解决。‎ ‎(2011年高考广东卷文科20)（本小题满分14分）‎ ‎ 设b>0,数列满足,．‎ （1） 求数列的通项公式；‎ （2） 证明：对于一切正整数,．‎ ‎【解析】‎ ‎（2011年高考全国新课标卷文科17)（本小题满分12分）‎ 已知等比数列中，，‎ ‎（1）为数列前项的和，证明： ‎ ‎（2）设，求数列的通项公式；‎ ‎17.分析：（1）直接用等比数列通项公式与求和公式；（2）代人化简得到等差数列在求其和。‎ 解：（1）‎ 点评：本题考查等比、等差数列的通项公式与求和公式。注意正确用公式计算。‎ ‎（2011年高考浙江卷文科19)（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列的首项 为 (),且，，成等比数列（Ⅰ）求数列的通项公式（Ⅱ）对，试比较 与的大小.‎ ‎【解析】：（Ⅰ）‎ ‎ 数列的通项公式 ‎（Ⅱ）记因为，所以 从而当时，；当时，‎ ‎ (2011年高考天津卷文科20)（本小题满分14分）‎ 已知数列与满足,,且.‎ ‎（Ⅰ）求的值;‎ ‎(Ⅱ)设,,证明是等比数列;‎ ‎(Ⅲ)设为的前n项和,证明.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由,可得,,‎ 当n=1时,由,得; 当n=2时,可得.‎ ‎(Ⅱ)证明:对任意,--------①‎ ‎---------------②‎ ‎②-①得: ,即,于是,所以是等比数列.‎ ‎(Ⅲ)证明:,由(Ⅱ)知,当且时,‎ ‎=2+3(2+)=2+,故对任意, ,‎ 由①得所以,,‎ 因此,,于是,‎ 故=,‎ 所以.‎ ‎【命题意图】本小题主要等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.‎ ‎(2011年高考江苏卷20)设M为部分正整数组成的集合，数列的首项，前n项和为，已知对任意整数k属于M，当n>k时，都成立 ‎（1）设M=｛1｝，，求的值；‎ ‎（2）设M=｛3，4｝，求数列的通项公式 由（5）（6）得：‎ 由（9）（10）得：成等差，设公差为d,‎ 在（1）（2）中分别取n=4,n=5得：‎ ‎(2011年高考江苏卷23)（本小题满分10分）‎ ‎ 设整数，是平面直角坐标系中的点，其中 ‎ （1）记为满足的点的个数，求；‎ ‎（2）记为满足是整数的点的个数，求 ‎（2011年高考全国卷文科17) (本小题满分l0分)(注意：在试题卷上作答无效)‎ ‎ 设数列的前N项和为,已知求和 ‎【解析】设等比数列的公比为，由题解得 所以则 则 ‎（2011年高考重庆卷文科16)（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）‎ 设是公比为正数的等比数列，，。‎ ‎ （Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎ （Ⅱ）设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前项和。‎ 解：（I）设q为等比数列的公比，则由，‎ 即，解得（舍去），因此 所以的通项为 ‎ （II）‎ ‎ ‎