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- 2021-05-13 发布
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2014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标1
理科数学
注意事项:
1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答第Ⅰ卷时,选出每个小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮搽干净后,再选涂其他答案标号,写在本试卷上无效.
3. 回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,答在本试题上无效.
4. 考试结束,将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一.选择题:共12小题,每小题5分,共60分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项。
1.已知集合,则
A. B. C. D.
解析:
,,故选A
2.
A. B. C. D.
解析:,故选D
3.设函数的定义域都为R,且是奇函数,是偶函数,则下列结论中正确的是
A.是偶函数 B.是奇函数
C.是奇函数 D.是奇函数
解析:是奇函数,是偶函数,则是奇函数,排除A
是奇函数,是偶函数,是偶函数,则是偶函数,排除B
是奇函数,是偶函数,则是奇函数,C正确
是奇函数,是偶函数,是奇函数,则是偶函数,排除D,故选C
4.已知为双曲线的一个焦点,则点到的一条渐近线的距离为
A. B. C. D.
解析:双曲线的焦点到渐近线的距离为虚半轴长b,故距离,选A
5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为
A. B. C. D.
解析:周六没有同学的方法数为1,周日没有同学的方法数为1,所以周六、周日都有同学参加公益活动的概率为,故选D
6.如图,圆的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示为x的函数 ,则在的图像大致为
解析:由已知,又,所以,故选C
7.执行右面的程序框图,若输入的分别为1,2,3,则输出的
A. B. C. D.
解析:当时,;
当时,;当时,;
此时运算终止,,故选D
8.设 且,则
A. B. C. D.
解析: 由得
即,所以,由已知 所以 ,在上单调递增,所以,故选C
9.不等式组的解集记为D,有下面四个命题
其中的真命题是
A. B. C. D.
解析:令,所以
,解得,所以,因而可以判断为真,故选B
10.已知抛物线的焦点为,准线为,是上一点,是直线与
的一个交点,若,则
A. B. C. D.
解析:由已知又,则,,过Q作QD垂直于l,垂足为D,
所以,故选B
11.已知函数,若存在唯一的零点,且,则的取值范围是
A. B. C. D.
解析:当时, 有两个零点,不满足条件
当时,,令,
解得,当时,在,为极小值,为极大值,若存在唯一的零点,且,只需,当时,在,为极大值,为极小值,不可能有满足条件的极值,故选C
12.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的个条棱中,最长的棱的长度为
. .6 . .4
解析:几何体为如图所示的一个三棱锥,底面ABC为等
腰三角形, 顶点B到AC的距离为4,面,且三角形为以A为直角的等腰直角三角形,所以
棱最长,长度为6,故选B
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两个部分。第(13)题-第(21)题为必考题,每个考生都必须作答。第(22)题-第(24)题为选考题,考生根据要求作答。
二.填空题:本大题共四小题,每小题5分。
13.的展开式中的系数为 .(用数字填写答案)
解析:,故展开式中的系数为
14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,
甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;
乙说:我没去过C城市;
丙说:我们三人去过同一个城市.
由此可判断乙去过的城市为 .
解析:乙没去过C城市,甲没去过B城市,但去过的城市比乙多,所以甲去过A,C,三人都去过同一个城市,一定是A,所以填A
15.已知A,B,C是圆O上的三点,若,则与的夹角为 .
解析:,如图所示,O为中点,即
为圆O的直径,所以与的夹角为
16.已知分别为的三个内角的对边,=2,且,则面积的最大值为 .
解析:,因为=2,所以
面积,而
三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分12分)已知数列{}的前项和为,=1,,,其中为常数.
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)是否存在,使得{}为等差数列?并说明理由.
解析: (Ⅰ)证明:当时,,①-②得(Ⅱ)存在,证明如下:假设存在,使得{}为等差数列,则有,而=1,,所以,此时{}为首项是1,公差为4的等差数列
18. (本小题满分12分)从某企业的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:
(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差(同一组数据用该区间的中点值作代表);
(Ⅱ)由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值服从正态分布,其中近似为样本平均数,近似为样本方差.
(i)利用该正态分布,求;
(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品,记表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数,利用(i)的结果,求.
附:≈12.2.
若~,则=0.6826,=0.9544.
解析:
(Ⅰ)
(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)知, ==150,所以,
(ii)100件产品中质量指标值为于区间(187.8,212.2)的产品件数服从二项分布 ,所以
19. (本小题满分12分)如图三棱柱中,侧面为菱形,.
(Ⅰ) 证明:;
(Ⅱ)若,,AB=BC,求二面角的余弦值.
解析: (Ⅰ) 证明: 侧面为菱形,令又,
,又O为中点,所以三角形
为等腰三角形,所以
(Ⅱ),,AB=BC,令,
又由已知可求
如图所示建立空间直角坐标系
,
,
设为平面的一个法向量,则
设为平面的一个法向量,则
则 ,所以二面角的余弦值为
20. (本小题满分12分) 已知点(0,-2),椭圆:的离心率为,是椭圆的右焦点,直线的斜率为,为坐标原点.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)设过点的直线与相交于两点,当的面积最大时,求的方程.
解析: (Ⅰ)由已知得
(Ⅱ)当直线垂直于x轴时,不存在
令直线的方程为与联立消去y有:
令
整理得,令点O到直线l的距离为d,则
所以的面积 ,令
此时直线l的方程为或
21. (本小题满分12分)设函数,曲线在点(1,)处的切线为. (Ⅰ)求; (Ⅱ)证明:.
解析:(Ⅰ)
因为曲线在点(1,)处的切线为,所以
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知,欲证,只需证
,即证,即证
令
当
所以成立,所以
请考生从第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。
22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲
如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CB=CE
.(Ⅰ)证明:∠D=∠E;
(Ⅱ)设AD不是⊙O的直径,AD的中点为M,且MB=MC,证明:△ADE为等边三角形.
解析:.(Ⅰ)证明:四边形ABCD是⊙O的内接四边形,
(Ⅱ)证明:取中点,连接,由MB=MC得
,由AD的中点为M得
△ADE为等边三角形.
23. (本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程
已知曲线:,直线:(为参数).
(Ⅰ)写出曲线的参数方程,直线的普通方程;
(Ⅱ)过曲线上任一点作与夹角为的直线,交于点,求的最大值与最小值.
解析:(Ⅰ)曲线的参数方程为 ,直线的普通方程为;
(Ⅱ)令点坐标为,点P到直线l的距离为d
,所以
24. (本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲
若,且.
(Ⅰ) 求的最小值;
(Ⅱ)是否存在,使得?并说明理由.
解析:(Ⅰ)
法一:
法二:
令,
,所以
(Ⅱ)不存在,使得
因为,所以不存在