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- 2021-05-13 发布
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线性规划常见题型及解法
一、已知线性约束条件,探求线性目标关系最值问题
例1、设变量x、y满足约束条件,则的最大值为 。
解析:如图1,画出可行域,得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A(3,4)处,目标函数z最大值为18
点评:本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最大值.,是一道较为简单的送分题。数形结合是数学思想的重要手段之一。
习题1、若x、y满足约束条件,则z=x+2y的取值范围是 ( )
x
y
O
2
2
x=2
y =2
x + y =2
B
A
A、[2,6] B、[2,5] C、[3,6] D、(3,5]
解:如图,作出可行域,作直线l:x+2y=0,将
l向右上方平移,过点A(2,0)时,有最小值
2,过点B(2,2)时,有最大值6,故选A
二、已知线性约束条件,探求非线性目标关系最值问题
图2
例2、已知则的最小值是 .
解析:如图2,只要画出满足约束条件的可行域,而表示可行域内一点到原点的距离的平方。由图易知A(1,2)是满足条件的最优解。的最小值是为5。
点评:本题属非线性规划最优解问题。求解关键是在挖掘目标关系几何意义的前提下,作出可行域,寻求最优解。
习题2、已知x、y满足以下约束条件 ,则z=x2+y2的最大值和最小值分别是( )
2x + y - 2= 0 = 5
x – 2y + 4 = 0
3x – y – 3 = 0
O
y
x
A
A、13,1 B、13,2
C、13, D、,
解:如图,作出可行域,x2+y2是点(x,y)到原点的距离的平方,故最大值为点A(2,3)到原点的距离的平方,即|AO|2=13,最小值为原点到直线2x+y-2=0的距离的平方,即为,选C
练习2、已知x,y满足,则的最大值为___________,最小值为____________.
2,0
三、设计线性规划,探求平面区域的面积问题
例3、在平面直角坐标系中,不等式组表示的平面区域的面积是()(A) (B)4 (C) (D)2
解析:如图6,作出可行域,易知不等式组表示的平面区域是一个三角形。容易求三角形的三个顶点坐标为A(0,2),B(2,0),C(-2,0).于是三角形的面积为:从而选B。
点评:有关平面区域的面积问题,首先作出可行域,探求平面区域图形的性质;其次利用面积公式整体或部分求解是关键。
2x + y – 6= 0 = 5
x+y – 3 = 0
O
y
x
A
B
C
M
y =2
习题3、不等式组表示的平面区域的面积为 ( )
A、4 B、1 C、5 D、无穷大
解:如图,作出可行域,△ABC的面积即为所求,由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC的面积即可,选B
四、已知平面区域,逆向考查约束条件。
例4、已知双曲线的两条渐近线与直线围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是()
(A) (B) (C) (D)
解析:双曲线的两条渐近线方程为,与直线围成一个三角形区域(如图4所示)时有。
点评:本题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。验证法或排除法是最效的方法。
习题4、如图所示,表示阴影部分的二元一次不等式组是 ( )
A. B. C. D.
C
五、约束条件设计参数形式,考查目标函数最值范围问题。
例5、在约束条件下,当时,目标函数C
的最大值的变化范围是()
A. B. C. D.
解析:画出可行域如图3所示,当时, 目标函数在处取得最大值, 即;当时, 目标函数在点处取得最大值,即,故,从而选D;
点评:本题设计有新意,作出可行域,寻求最优解条件,然后转化为目标函数Z关于S的函数关系是求解的关键。
六、求约束条件中参数的取值范围
O
2x – y = 0
y
2x – y + 3 = 0
例6、已知|2x-y+m|<3表示的平面区域包含点(0,0)和(-1,1),则m的取值范围是 ( )
A、(-3,6) B、(0,6) C、(0,3) D、(-3,3)
解:|2x-y+m|<3等价于
由右图可知 ,故0<m<3,选C
习题6、不等式表示的平面区域包含点和点则的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
A
七、已知最优解成立条件,探求目标函数参数范围问题。
例7、已知变量,满足约束条件。若目标函数(其中)仅在点处取得最大值,则的取值范围为 。
解析:如图5作出可行域,由其表示为斜率为,纵截距为z的平行直线系, 要使目标函数(其中)仅在点处取得最大值。则直线过A点且在直线(不含界线)之间。即则的取值范围为。
点评:本题通过作出可行域,在挖掘的几何意义的条件下,借助用数形结合利用各直线间的斜率变化关系,建立满足题设条件的的不等式组即可求解。求解本题需要较强的基本功,同时对几何动态问题的能力要求较高。
x + y = 5
x – y + 5 = 0
O
y
x
x=3
习题7、已知x、y满足以下约束条件,使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个,则a的值为 ( )
A、-3 B、3 C、-1 D、1
解:如图,作出可行域,作直线l:x+ay=0,要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个,则将l向右上方平移后与直线x+y=5重合,故a=1,选D
八、研究线性规划中的整点最优解问题
例8、某公司招收男职员x名,女职员y名,x和y须满足约束条件则的最大值是(A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95
解析:如图7,作出可行域,由,它表示为斜率为,纵截距为的平行直线系,要使最得最大值。当直线通过
取得最大值。因为,故A点不是最优整数解。于是考虑可行域内A点附近整点B(5,4),C(4,4),经检验直线经过B点时,
点评:在解决简单线性规划中的最优整数解时,可在去掉限制条件求得的最优解的基础上,调整优解法,通过分类讨论获得最优整数解。
九、求可行域中整点个数
例9、满足|x|+|y|≤2的点(x,y)中整点(横纵坐标都是整数)有( )
A、9个 B、10个 C、13个 D、14个
x
y
O
解:|x|+|y|≤2等价于
作出可行域如右图,是正方形内部(包括边界),容易得到整点个数为13个,选C
习题9、不等式表示的平面区域内的整点个数为 ( )
A. 13个 B. 10个 C. 14个 D. 17个
A