高考数学一轮复习总教案51　任意角的三角函数的概念 3页

第五章　三角函数 高考导航 考试要求 重难点击 命题展望 ‎　　1.了解任意角的概念和弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.‎ ‎2.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.‎ ‎3.能利用单位圆中的三角函数线推导出，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y＝sin x， y＝cos x ， y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性.‎ ‎4.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在(－,)上的单调性.‎ ‎5.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1 ，＝tan x.‎ ‎6.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义，能画出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.‎ ‎7.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.‎ ‎8.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆).‎ ‎9.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题，能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.‎ 本章重点：1.角的推广，三角函数的定义，诱导公式的运用；2.三角函数的图象与性质，y＝Asin(ωx＋)‎ ‎(ω＞0)的性质、图象及变换；3.用三角函数模型解决实际问题；4.以和、差、倍角公式为依据，提高推理、运算能力；5.正、余弦定理及应用.‎ 本章难点：1.任意角的三角函数的几何表示，图象变换与函数解析式变换的内在联系；2.灵活运用三角公式化简、求值、证明； 3.三角函数的奇偶性、单调性的判断，最值的求法；4.探索两角差的余弦公式；5.把实际问题转化为三角函数问题.‎ ‎　　三角函数是基本初等函数，是描述周期现象的重要数学模型.三角函数的概念、图象和性质是高考数学必考的基础知识之一.在高考中主要考查对三角函数概念的理解；运用函数公式进行恒等变形、化简、求值、证明三角函数的图象和性质以及图象变换、作图、识图等.解三角形的问题往往与其他知识(如立体几何、解析几何、向量等)相联系，考查考生的数学应用意识，体现以能力立意的高考命题原则.‎ 知识网络 ‎5.1　任意角的三角函数的概念 典例精析 题型一　象限角与终边相同的角 ‎【例1】若α是第二象限角，试分别确定2α、的终边所在的象限.‎ ‎【解析】因为α是第二象限角，‎ 所以k360°＋90°＜α＜k360°＋180°(k∈Z).‎ 因为2k360°＋180°＜2α＜2k360°＋360°(k∈Z)，故2α是第三或第四象限角，或角的终边在y轴的负半轴上.‎ 因为k180°＋45°＜＜k180°＋90°(k∈Z)，‎ 当k＝2n(n∈Z)时，n360°＋45°＜＜n360°＋90°，‎ 当k＝2n＋1(n∈Z)时，n360°＋225°＜＜n360°＋270°.‎ 所以是第一或第三象限角.‎ ‎【点拨】已知角α所在象限，应熟练地确定所在象限.‎ 如果用α1、α2、α3、α4分别表示第一、二、三、四象限角，则、、、分布如图，即第一象限角的半角是第一或第三象限角(其余略)，熟记右图，解有关问题就方便多了.‎ ‎【变式训练1】若角2α的终边在x轴上方，那么角α是(　　)‎ A.第一象限角 B.第一或第二象限角 C.第一或第三象限角 D.第一或第四象限角 ‎【解析】由题意2kπ＜2α＜2kπ＋π，k∈Z，‎ 得kπ＜α＜kπ＋，k∈Z.‎ 当k是奇数时，α是第三象限角.‎ 当k是偶数时，α是第一象限角.故选C.‎ 题型二　弧长公式，面积公式的应用 ‎【例2】已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R.‎ ‎(1)若α＝60°，R＝‎10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；‎ ‎(2)若扇形的周长是一定值C(C＞0)，当α为多少弧度时，该扇形的面积有最大值？并求出这个最大值.‎ ‎【解析】(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，‎ 因为α＝60°＝，R＝‎10 cm，所以l＝ cm，‎ S弓＝S扇－SΔ＝×10×－×102×sin 60°＝50(－) cm2.‎ ‎(2)因为C＝2R＋l＝2R＋αR，所以R＝，‎ S扇＝αR2＝α()2＝＝≤，‎ 当且仅当α＝时，即α＝2(α＝－2舍去)时，扇形的面积有最大值为.‎ ‎【点拨】用弧长公式l＝ |α| R与扇形面积公式S＝lR＝R2|α|时，α的单位必须是弧度.‎ ‎【变式训练2】已知一扇形的面积为定值S，当圆心角α为多少弧度时，该扇形的周长C有最小值？并求出最小值.[来源:Z+xx+k.Com]‎ ‎【解析】因为S＝Rl，所以Rl＝2S，‎ 所以周长C＝l＋2R≥2＝2＝4，‎ 当且仅当l＝2R时，C＝4，‎ 所以当α＝＝2时，周长C有最小值4.‎ 题型三　三角函数的定义，三角函数线的应用 ‎【例3】(1)已知角α的终边与函数y＝2x的图象重合，求sin α；(2)求满足sin x≤的角x的集合.‎ ‎【解析】(1)由 ⇒交点为(－，－)或(，)，‎ 所以sin α＝±.‎ ‎(2)①找终边：在y轴正半轴上找出点(0，)，过该点作平行于x轴的平行线与单位圆分别交于P1、P2两点，连接OP1、OP2，则为角x的终边，并写出对应的角.‎ ‎②画区域：画出角x的终边所在位置的阴影部分.‎ ‎③写集合：所求角x的集合是{x|2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z}.‎ ‎【点拨】三角函数是用角α的终边与单位圆交点的坐标来定义的，因此，用定义求值，转化为求交点的问题.利用三角函数线证某些不等式或解某些三角不等式更简洁、直观.‎ ‎【变式训练3】函数y＝lg sin x＋的定义域为　　　　　　　　　　　　.‎ ‎【解析】‎ ‎⇒2kπ＜x≤2kπ＋，k∈Z.‎ 所以函数的定义域为{x|2kπ＜x≤2kπ＋，k∈Z}.‎ 总结提高 ‎1.确定一个角的象限位置，不仅要看角的三角函数值的符号，还要考虑它的函数值的大小.‎ ‎2.在同一个式子中所采用的量角制度必须相一致，防止出现诸如k·360°＋的错误书写.‎ ‎3.三角函数线具有较好的几何直观性，是研究和理解三角函数的一把钥匙.‎ ‎~网