高考数学理热点题型数列含答案 7页

数列 热点一　等差数列、等比数列的综合问题 解决等差、等比数列的综合问题时，重点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n项和公式解决问题，求解这类问题要重视方程思想的应用.‎ ‎【例1】已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设Tn＝Sn－(n∈N*)，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值.‎ 解　(1)设等比数列{an}的公比为q，‎ 因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，‎ 所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即‎4a5＝a3，‎ 于是q2＝＝.‎ 又{an}不是递减数列且a1＝，所以q＝－.‎ 故等比数列{an}的通项公式为an＝× ‎＝(－1)n－1·.‎ ‎(2)由(1)得Sn＝1－＝ 当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，‎ 所以1Sn－≥S2－＝－＝－.‎ 综上，对于n∈N*，总有－≤Sn－≤.‎ 所以数列{Tn}最大项的值为，最小项的值为－.‎ ‎【类题通法】解决等差数列与等比数列的综合问题，既要善于综合运用等差数列与等比数列的相关知识求解，更要善于根据具体问题情境具体分析，寻找解题的突破口.‎ ‎【对点训练】已知数列{an}是公差不为零的等差数列，其前n项和为Sn，满足S5－‎2a2＝25，且a1，a4，a13恰为等比数列{bn}的前三项.‎ ‎(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎(2)设Tn是数列的前n项和，是否存在k∈N*，使得等式1－2Tk＝成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.‎ 解　(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，‎ ‎∴ 解得a1＝3，d＝2，∴an＝2n＋1.‎ ‎∵b1＝a1＝3，b2＝a4＝9，‎ ‎∴等比数列{bn}的公比q＝3，∴bn＝3n.‎ ‎(2)不存在.理由如下：‎ ‎∵＝＝，‎ ‎∴Tn＝ ‎＝，‎ ‎∴1－2Tk＝＋(k∈N*)，‎ 易知数列为单调递减数列，‎ ‎∴<1－2Tk≤，又＝∈，‎ ‎∴不存在k∈N*，使得等式1－2Tk＝成立.‎ 热点二　数列的通项与求和 数列的通项与求和是高考必考的热点题型，求通项属于基本问题，常涉及与等差、等比的定义、性质、基本量运算.求和问题关键在于分析通项的结构特征，选择合适的求和方法.常考求和方法有：错位相减法、裂项相消法、分组求和法等.‎ ‎【例2】设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.‎ ‎(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎(2)当d>1时，记cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.‎ ‎(1)解　由题意有 即 解得或 故或 ‎(2)解　由d>1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，‎ 故cn＝，‎ 于是Tn＝1＋＋＋＋＋…＋，①‎ Tn＝＋＋＋＋＋…＋.②‎ ‎①－②可得 Tn＝2＋＋＋…＋－ ‎＝3－，‎ 故Tn＝6－.‎ ‎【类题通法】用错位相减法解决数列求和的模板 第一步：(判断结构)‎ 若数列{an·bn}是由等差数列{an}与等比数列{bn}(公比q)的对应项之积构成的，则可用此法求和.‎ 第二步：(乘公比)‎ 设{an·bn}的前n项和为Tn，然后两边同乘以q.‎ 第三步：(错位相减)‎ 乘以公比q后，向后错开一位，使含有qk(k∈N*)的项对应，然后两边同时作差.‎ 第四步：(求和)‎ 将作差后的结果求和，从而表示出Tn.‎ ‎【对点训练】设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，a2＝2，且an＋2＝3Sn－Sn＋1＋3，n∈N*.‎ ‎(1)证明：an＋2＝3an；‎ ‎(2)求S2n.‎ ‎(1)证明　由条件，对任意n∈N*，有an＋2＝3Sn－Sn＋1＋3，‎ 因而对任意n∈N*，n≥2，有an＋1＝3Sn－1－Sn＋3.‎ 两式相减，得an＋2－an＋1＝3an－an＋1，‎ 即an＋2＝3an，n≥2.又a1＝1，a2＝2，‎ 所以a3＝3S1－S2＋3＝‎3a1－(a1＋a2)＋3＝‎3a1，‎ 故对一切n∈N*，an＋2＝3an.‎ ‎(2)解　由(1)知，an≠0，所以＝3.于是数列{a2n－1}是首项a1＝1，‎ 公比为3的等比数列；数列{a2n}是首项a2＝2，公比为3的等比数列.‎ 因此a2n－1＝3n－1，a2n＝2×3n－1.‎ 于是S2n＝a1＋a2＋…＋a2n ‎＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)‎ ‎＝(1＋3＋…＋3n－1)＋2(1＋3＋…＋3n－1)‎ ‎＝3(1＋3＋…＋3n－1)＝(3n－1).‎ 热点三　数列的综合应用 热点3.1　数列与函数的综合问题 数列是特殊的函数，以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点，该类综合题的知识综合性强，能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力，因而一直是高考命题者的首选.‎ ‎【例3－1】 设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图象上(n∈N*).‎ ‎(1)若a1＝－2，点(a8，4b7)在函数f(x)的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；‎ ‎(2)若a1＝1，函数f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－，求数列的前n项和Tn.‎ 解　(1)由已知，b7＝‎2a7，b8＝‎2a8＝4b7，‎ 有‎2a8＝4×‎2a7＝‎2a7＋2，解得d＝a8－a7＝2.‎ 所以，Sn＝na1＋d＝－2n＋n(n－1)＝n2－3n.‎ ‎(2)函数f(x)＝2x在(a2，b2)处的切线方程为y－‎2a2＝(‎2a2ln 2)(x－a2)，‎ 它在x轴上的截距为a2－.‎ 由题意知，a2－＝2－，‎ 解得a2＝2.‎ 所以，d＝a2－a1＝1.从而an＝n，bn＝2n，‎ 所以Tn＝＋＋＋…＋＋，‎ ‎2Tn＝＋＋＋…＋ 因此，2Tn－Tn＝1＋＋＋…＋－ ‎＝2－－＝.‎ 所以，Tn＝.‎ 热点3.2　数列与不等式的综合问题 数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种：一是判断数列问题中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明.在解决这些问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法等.如果是解不等式问题，要使用不等式的各种不同解法，如数轴法、因式分解法.‎ ‎【例3－2】 在等差数列{an}中，a2＝6，a3＋a6＝27.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)记数列{an}的前n项和为Sn，且Tn＝，若对于一切正整数n，总有Tn≤m成立，求实数m的取值范围.‎ 解　(1)设公差为d，由题意得：‎ 解得∴an＝3n.‎ ‎(2)∵Sn＝3(1＋2＋3＋…＋n)＝n(n＋1)，‎ ‎∴Tn＝，Tn＋1＝，‎ ‎∴Tn＋1－Tn＝－ ‎＝，‎ ‎∴当n≥3时，Tn>Tn＋1，且T1＝1