非常好高考立体几何专题复习 15页

立体几何综合习题 一、考点分析 基本图形 ‎1．棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。‎ ①★‎ ②四棱柱 底面为平行四边形 平行六面体 侧棱垂直于底面 直平行六面体 底面为矩形 ‎ 长方体 底面为正方形 正四棱柱 侧棱与底面边长相等 正方体 ‎2. 棱锥 棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。‎ ‎ ★正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。‎ ‎3．球 球的性质：‎ ①球心与截面圆心的连线垂直于截面；‎ ‎★②（其中，球心到截面的距离为d、球的半径为R、截面的半径为r）‎ ‎★球与多面体的组合体：球与正四面体，球与长方体，球与正方体等的内接与外切.‎ 注：球的有关问题转化为圆的问题解决.‎ 平行垂直基础知识网络★★★‎ 平行关系 平面几何知识 线线平行 线面平行 面面平行 垂直关系 平面几何知识 线线垂直 线面垂直 面面垂直 判定 性质 判定推论 性质 判定 判定 性质 判定 面面垂直定义 ‎1.‎ ‎2.‎ ‎3.‎ ‎4.‎ ‎5.‎ 平行与垂直关系可互相转化 异面直线所成的角，线面角，二面角的求法★★★‎ ‎1．求异面直线所成的角：‎ 解题步骤：一找（作）：利用平移法找出异面直线所成的角；（1）可固定一条直线平移 另一条与其相交；（2）可将两条一面直线同时平移至某一特殊位置。常用中位线平移法 二证：证明所找（作）的角就是异面直线所成的角（或其补角）。常需要证明线线平行；‎ 三计算：通过解三角形，求出异面直线所成的角；‎ ‎2求直线与平面所成的角：关键找“两足”：垂足与斜足 解题步骤：一找：找（作）出斜线与其在平面内的射影的夹角（注意三垂线定理的应用）；‎ 二证：证明所找（作）的角就是直线与平面所成的角（或其补角）（常需证明线面垂直）；三计算：常通过解直角三角形，求出线面角。‎ ‎3求二面角的平面角 解题步骤：一找：根据二面角的平面角的定义，找（作）出二面角的平面角； 二证：‎ 证明所找（作）的平面角就是二面角的平面角（常用定义法，三垂线法，垂面法）； 三计算：‎ 通过解三角形，求出二面角的平面角。‎ 二、典型例题 考点一：三视图 ‎2 ‎ ‎2 ‎ 侧(左)视图 ‎ ‎2 ‎ ‎2 ‎ ‎2 ‎ 正(主)视图 ‎ ‎1．一空间几何体的三视图如图1所示,则该几何体的体积为_________________.‎ 俯视图 ‎ ‎ 第1题 ‎2.若某空间几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积是________________.‎ 第2题 第3题 ‎3．一个几何体的三视图如图3所示，则这个几何体的体积为 .‎ ‎4．若某几何体的三视图（单位：cm）如图4所示，则此几何体的体积是 .‎ ‎3‎ 正视图 俯视图 ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ 左视图 a ‎ 第4题 第5题 ‎5．如图5是一个几何体的三视图，若它的体积是，则 .‎ ‎6．已知某个几何体的三视图如图6，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是 .‎ ‎20 ‎ ‎20 ‎ 正视图 ‎20 ‎ 侧视图 ‎10‎ ‎10‎ ‎20 ‎ 俯视图 ‎ 第6题 第7题 ‎7.若某几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的体积是 ‎ ‎8.设某几何体的三视图如图8（尺寸的长度单位为m），则该几何体的体积为_________m3。 ‎ 俯视图 正(主)视图 侧(左)视图 ‎2‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎2‎ 第7题 第8题 ‎9．一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为_________________.‎ 图9‎ ‎10.一个三棱柱的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图及其尺寸如图10所示（单位cm），则该三棱柱的表面积为_____________.‎ 俯视图 正视图 ‎ ‎ 图10‎ ‎11. 如图11所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为_____________.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 图 图11 图12 图13‎ ‎12. 如图12，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么几何体的侧面积为_____________. ‎ ‎13.已知某几何体的俯视图是如图13所示的边长为的正方形，主视图与左视图是边长为的正三角形，则其表面积是_____________.‎ ‎14.如果一个几何体的三视图如图14所示(单位长度: ), 则此几何体的表面积是_____________.‎ 图14‎ ‎15．一个棱锥的三视图如图图‎9-3-7‎，则该棱锥的全面积（单位：）_____________.‎ ‎ 正视图 左视图 俯视图 图15‎ ‎16．图16是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是_____________.‎ 俯视图 正(主)视图 侧(左)视图 ‎2‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎2‎ 图16 图17‎ ‎17.如图17，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为______________.‎ ‎18.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如图‎9-3-14‎所示，则这个棱柱的体积为______________.‎ 图18‎ 考点二 体积、表面积、距离、角 注：1-6体积表面积 7-11 异面直线所成角 12-15线面角 ‎1. 将一个边长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了___________.‎ ‎2. 在正方体的八个顶点中，有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与此正四面体的表面积的比值为___________.‎ ‎3．设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为_______________.‎ ‎4．正棱锥的高和底面边长都缩小原来的，则它的体积是原来的______________.‎ ‎5．已知圆锥的母线长为8，底面周长为6π，则它的体积是 .‎ ‎6.平行六面体的体积为30，则四面体的体积等于 .‎ ‎7．如图7，在正方体中，分别是，中点，求异面直线与所成角的角______________.‎ ‎8. 如图8所示，已知正四棱锥S—ABCD侧棱长为，底面边长为，E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成角的大小为_____________.‎ ‎ 第8题 第7题 ‎9.正方体中,异面直线和所成的角的度数是_________________.‎ ‎ ‎ ‎10．如图‎9-1-3‎，在长方体中，已知，则异面直线与所成的角是_________，异面直线与所成的角的度数是______________‎ ‎ 图13 ‎ ‎ ‎ ‎11. 如图‎9-1-4‎，在空间四边形中， ,分别是AB、CD的中点，则 与所成角的大小为_____________.‎ ‎12. 正方体中，与平面所成的角为 .‎ ‎13．如图13在正三棱柱中，，则直线与平面所成角的正弦值为_______________.‎ ‎14. 如图‎9-3-6‎，在正方体ABCD—A1B‎1C1D1中，对角线BD1与平面ABCD所成的角的正切值为_______________.‎ A1‎ C B A B1‎ C1‎ D1‎ D O ‎ ‎ ‎ 图‎9-3-6‎ ‎ ‎15．如图‎9-3-1‎，已知为等腰直角三角形,为空间一点，且，，，的中点为，则与平面所成的角为 ‎ ‎16．如图7，正方体ABCD－A1B‎1C1D1的棱长为1，O是底面A1B‎1C1D1的中心，则O到平面AB C1D1的距离为__________________.‎ ‎17.一平面截一球得到直径是‎6cm的圆面，球心到这个平面的距离是‎4cm，则该球的体积是______________.‎ ‎18．长方体的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=， ，则顶点A、B间的球面距离是_________________.‎ ‎19.已知点在同一个球面上，若，则两点间的球面距离是 .‎ ‎20. 在正方体ABCD—A1B‎1C1D1中，M为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角是_________________.‎ ‎21．△ABC的顶点B在平面a内， A、C在a的同一侧，AB、BC与a所成的角分别是30°和45°，若AB=3，BC= ，AC=5，则AC与a所成的角为_________.‎ ‎22．矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B－AC－D，‎ 则四面体ABCD的外接球的体积为_____________.‎ ‎23．已知点在同一个球面上，若，则两点间的球面距离是 .‎ ‎24．正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为2∶3，则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为________ .‎ ‎25.已知是球表面上的点，，，，‎ ‎，则球表面积等于____________.‎ ‎26．已知正方体的八个顶点都在球面上，且球的体积为，则正方体的棱长为_________.‎ ‎27. 一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为_________.‎ 考点四 平行与垂直的证明 ‎1. 正方体，，E为棱的中点．‎ ‎(Ⅰ) 求证：；‎ ‎(Ⅱ) 求证：平面；‎ ‎（Ⅲ）求三棱锥的体积．‎ ‎2.已知正方体，是底对角线的交点.求证：(１) C1O∥面；(2)面．‎ ‎3．如图，矩形所在平面，、分别是和的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：∥平面；‎ ‎（Ⅱ）求证：；‎ ‎（Ⅲ）若，求证：平面.‎ ‎4. 如图（1），ABCD为非直角梯形，点E，F分别为上下底AB，CD上的动点，且。现将梯形AEFD沿EF折起，得到图（2）‎ ‎（1）若折起后形成的空间图形满足，求证：；‎ E B C F D A 图（2）‎ ‎（2）若折起后形成的空间图形满足四点共面，求证：平面；‎ A B C D E F 图（1）‎ A F E B C D M N ‎5．如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD,‎ ‎ AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点，‎ N为AE的中点，AF=AB=BC=FE=AD ‎(I) 证明平面AMD平面CDE；‎ ‎(II) 证明平面CDE；‎ ‎6．在四棱锥P－ABCD中,侧面PCD是正三角形,‎ 且与底面ABCD垂直,已知菱形ABCD中∠ADC＝60°,‎ P D A B C O M M是PA的中点，O是DC中点.‎ ‎（1）求证：OM // 平面PCB；‎ ‎（2）求证:PA⊥CD；‎ ‎（3）求证:平面PAB⊥平面COM.‎ ‎7．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.‎ ‎（1）证明PA//平面EDB；（2）证明PB⊥平面EFD ‎8.正四棱柱ABCD-A1B‎1C1D1的底面边长是，侧棱长是3，点E，F分别在BB1，‎ DD1上，且AE⊥A1B，AF⊥A1D．‎ ‎(1)求证：A‎1C⊥面AEF；‎ ‎(2)求二面角A-EF-B的大小；‎ ‎(3)点B1到面AEF的距离.‎ 考点五 异面直线所成的角，线面角，二面角 1. 如图,四棱锥P—ABCD的底面ABCD为正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD.‎ 求证：（1）平面PAC⊥平面PBD；‎ ‎（2）求PC与平面PBD所成的角；‎ ‎2.如图所示，已知正四棱锥S—ABCD侧棱长为，底面边长为，E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成角的大小为 _____________.‎ ‎ ‎ ‎3．正六棱柱ABCDEF－A1B‎1C1D1E‎1F1底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角是___________________.‎ ‎4. 若正四棱锥的底面边长为‎2‎cm，体积为‎4cm3，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是________.‎ ‎5. 如图，在底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD中，平面ABCD，且PA＝AB，点E是PD的中点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：平面AEC；‎ ‎（3）若，求三棱锥E－ACD的体积；‎ ‎（4）求二面角E－AC－D的大小. ‎ 考点六 线面、面面关系判断题 ‎1．已知直线l、m、平面α、β，且l⊥α，mβ，给出下列四个命题：‎ ‎（1）α∥β，则l⊥m （2）若l⊥m，则α∥β ‎（3）若α⊥β，则l∥m （4）若l∥m，则α⊥β 其中正确的是__________________.‎ ‎2. 是空间两条不同直线，是空间两条不同平面，下面有四个命题：‎ ‎① ②‎ ‎③ ④‎ 其中真命题的编号是________（写出所有真命题的编号）。‎ ‎3. 为一条直线，为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：‎ ‎①；②；③．‎ 其中正确的命题有_________________.‎ ‎4. 对于平面和共面的直线、 ‎ ‎(1)若则　　　　(2)若则 ‎(3)若则　　　 (4)若、与所成的角相等，则 其中真命题的序号是_____________.‎ ‎5. 关于直线m、n与平面与，有下列四个命题：‎ ‎①若且，则； ②若且，则；‎ ‎③若且，则； ④若且，则；‎ 其中真命题的序号是_________________.‎ ‎6. 已知两条直线，两个平面，给出下面四个命题：‎ ‎① ②‎ ‎③ ④‎ 其中正确命题的序号是_______________.‎ ‎7.给出下列四个命题, 其中假命题的个数是______________.‎ ‎ ①垂直于同一直线的两条直线互相平行; ②垂直于同一平面的两个平面互相平行.‎ ‎③若直线与同一平面所成的角相等,则互相平行.‎ ‎④若直线是异面直线,则与都相交的两条直线是异面直线. ‎