2015高考数学人教A版本（4-7解三角形应用举例）一轮复习学案 13页

‎【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 4-7解三角形应用举例课后强化作业 新人教A版 基础巩固强化 一、选择题 ‎1．(文)已知两座灯塔A、B与C的距离都是a，灯塔A在C的北偏东20°，灯塔B在C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为(　　)‎ A．a　　　　　　　　　　 B.a C.a D．‎‎2a ‎[答案]　B ‎[解析]　由余弦定理可知，AB2＝a2＋a2－‎2a·a·cos120°＝‎3a2，得AB＝a，故选B.‎ ‎(理)某人向正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走‎3 km，结果他离出发点恰好 km，那么x的值为(　　)‎ A.　　　　　　 　　　 B．2 C．2或 D．3‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　如图，△ABC中，AC＝，BC＝3，∠ABC＝30°，‎ 由余弦定理得， AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，‎ ‎∴3＝x2＋9－6x·cos30°，∴x＝或2.‎ ‎2．一艘海轮从A处出发，以每小时40n mile的速度沿东偏南50°方向直线航行，30min后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是(　　)‎ A．10n mile B．10n mile C．20n mile D．20n mile ‎[答案]　A ‎[解析]　如图，由条件可知△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，AB＝20，∠ACB＝45°，‎ 由正弦定理得＝，∴BC＝10，故选A.‎ ‎3．海上有A、B两个小岛相距10n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C的距离是(　　)‎ A．10n mile B.n mile C．5n mile D．5n mile ‎[答案]　D ‎[解析]　在△ABC中由正弦定理得＝，‎ ‎∴BC＝5.‎ ‎4．有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为(　　)‎ A．1 B．2sin10°‎ C．2cos10° D．cos20°‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　如图，BD＝1，∠DBC＝20°，∠DAC＝10°，‎ 在△ABD中，由正弦定理得＝，‎ ‎∴AD＝2cos10°.‎ ‎5.‎ ‎(2012·厦门质检)如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进‎100m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝‎50m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cosθ＝(　　)‎ A. B．2－ C.－1 D. ‎[答案]　C ‎[解析]　在△ABC中，由正弦定理可知，‎ BC＝＝＝50(－)，‎ 在△BCD中，sin∠BDC＝ ‎＝＝－1.‎ 由题图知，cosθ＝sin∠ADE＝sin∠BDC＝－1.‎ ‎6．如图，海岸线上有相距5n mile的两座灯塔A、B，灯塔B位于灯塔A的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A的北偏西75°方向，与A相距3n mile的D处；乙船位于灯塔B的北偏西60°方向，与B相距5n mile的C处，则两艘轮船之间的距离为(　　)‎ A．5n mile B．2n mile C.n mile D．3n mile ‎[答案]　C ‎[解析]　连接AC，∠ABC＝60°，BC＝AB＝5，则AC＝5.在△ACD中，AD＝3，AC＝5，∠DAC＝45°，由余弦定理得CD＝.‎ ‎7．在地面上一点D测得一电视塔尖的仰角为45°，再向塔底方向前进‎100m，又测得塔尖的仰角为60°，则此电视塔高约为________m．(　　)‎ A．237 B．227‎ C．247 D．257‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　‎ 解法1：如图，∠D＝45°，∠ACB＝60°，DC＝100，∠DAC＝15°，‎ ‎∵AC＝，‎ ‎∴AB＝AC·sin60°‎ ‎＝ ‎＝≈237.∴选A.‎ 解法2：在Rt△ABD中，∠ADB＝45°，∴AB＝BD，‎ ‎∴BC＝AB－100.在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，‎ ‎∴＝，∴AB＝150＋50≈237.‎ 二、填空题 ‎8．(2014·镇江月考)一船以每小时‎15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km.‎ ‎[答案]　30 ‎[解析]　如图，依题意有AB＝15×4＝60，∠MAB＝30°，∠AMB＝45°，在三角形AMB中，由正弦定理得＝，‎ 解得BM＝30(km)．‎ ‎9．在O点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时刻物体位于P点，一分钟后，其位置在Q点，且∠POQ＝90°，再过一分钟，该物体位于R点，且∠QOR＝30°，则tan∠OPQ的值为________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　由于物体做匀速直线运动，根据题意，PQ＝QR，不妨设其长度为1.在Rt△POQ中，OQ＝sin∠OPQ，OP＝cos∠OPQ，在△OPR中，由正弦定理得＝，在△ORQ中，＝，两式两边同时相除得＝tan∠OPQ＝.‎ 三、解答题 ‎10．港口A北偏东30°方向的C处有一检查站，港口正东方向的B处有一轮船，距离检查站为31n mile，该轮船从B处沿正西方向航行20n mile后到达D处观测站，已知观测站与检查站距离21n mile，问此时轮船离港口A还有多远？‎ ‎[解析]　在△BDC中，由余弦定理知，‎ cos∠CDB＝＝－，‎ ‎∴sin∠CDB＝.‎ ‎∴sin∠ACD＝sin(∠CDB－)‎ ‎＝sin∠CDBcos－cos∠CDBsin＝.‎ 在△ACD中，由正弦定理知＝ ‎⇒AD＝×21÷＝15(n mile)．‎ ‎∴此时轮船距港口还有15n mile.‎ 能力拓展提升 一、选择题 ‎11．江岸边有一炮台高‎30m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距(　　)‎ A．‎10‎m B．‎100‎m C．‎20‎m D．‎‎30m ‎[答案]　A ‎[解析]　设炮塔顶A、底D，两船B、C，则∠BAD＝45°，∠CAD＝30°，∠BDC＝30°，AD＝30，∴DB＝30，DC＝10，BC2＝DB2＋DC2－2DB·DC·cos30°＝300，‎ ‎∴BC＝10.‎ ‎12．(2012·湖南文，8)在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　B ‎[解析]　在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB，即7＝AB2＋4－2×2AB×，AB2－2AB－3＝0，∴AB＝3或AB＝－1(舍去)，则BC边上的高AD＝ABsinB＝3×sin60°＝.‎ 二、填空题 ‎13．(2012·重庆理，13)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且cosA＝，cosB＝，b＝3，则c＝________.‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　由已知sinA＝，sinB＝.‎ ‎∴sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝×＋×＝.由正弦定理＝，∴c＝＝＝.‎ ‎14.‎ ‎(2013·湖北八市联考)如图所示，已知树顶A离地面m，树上另一点B离地面m，某人在离地面m的C处看此树，则该人离此树________m时，看A，B的视角最大．‎ ‎[答案]　6‎ ‎[解析]　过C作CF⊥AB于点F，设∠ACB＝α，∠BCF＝β，由已知得AB＝－＝5(m)，BF＝－＝4(m)，AF＝－＝9(m)．则tan(α＋β)＝＝，tanβ＝＝，∴tanα＝[(α＋β)－β]＝ ‎＝＝≤＝.当且仅当FC＝，即FC＝6时，tanα取得最大值，此时α取得最大值．‎ 三、解答题 ‎15．(2012·河北衡水中学调研)如图，在山脚A测得山顶P的仰角为α＝30°，沿倾斜角为β＝15°的斜坡向上走‎10m到B，在B处测得山顶P的仰角为γ＝60°，求山高h(单位：m)．‎ ‎[解析]　在三角形ABP中，‎ ‎∠ABP＝180°－γ＋β，‎ ‎∠BPA＝180°－(α－β)－∠ABP ‎＝180°－(α－β)－(180°－γ＋β)‎ ‎＝γ－α.‎ 在△ABP中，根据正弦定理得 ＝，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴AP＝.‎ 又γ＝60°，α＝30°，β＝15°，‎ ‎∴山高为h＝APsinα＝＝5(m)．‎ ‎16．在海岛A上有一座海拔‎1 km的山峰，山顶设有一个观察站P，有一艘轮船按一固定方向做匀速直线航行，上午11：00时，测得此船在岛北偏东15°、俯角为30°的B处，到11：10时，又测得该船在岛北偏西45°、俯角为60°的C处．‎ ‎(1)求船的航行速度；‎ ‎(2)求船从B到C行驶过程中与观察站P的最短距离．‎ ‎[解析]　(1)设船速为xkm/h，则BC＝km.‎ 在Rt△PAB中，∠PBA与俯角相等为30°，‎ ‎∴AB＝＝.‎ 同理，Rt△PCA中，AC＝＝.‎ 在△ACB中，∠CAB＝15°＋45°＝60°，‎ ‎∴由余弦定理得 BC＝＝，‎ ‎∴x＝6×＝‎2km/h，‎ ‎∴船的航行速度为‎2km/h.‎ ‎(2)作AD⊥BC于点D，连接PD，‎ ‎∴当航行驶到点D时，AD最小，从而PD最小．‎ 此时，AD＝＝＝.‎ ‎∴PD＝＝.‎ ‎∴船在行驶过程中与观察站P的最短距离为km.‎ 考纲要求 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．‎ 补充说明 ‎1．解斜三角形应用题常见题型 测量距离问题、测量高度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．‎ ‎2．根据实际问题构造三角形是应用的关键 ‎[例1]　在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A(－1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A 2n mile的C处的缉私船奉命以10n mile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？‎ ‎[解析]　如图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在D处相遇，则可先在△ABC中求出BC，再在△BCD中求∠BCD.‎ 设缉私船用th在D处追上走私船，则有CD＝10t，BD＝10t，‎ 在△ABC中，∵AB＝－1，AC＝2，∠BAC＝120°，‎ ‎∴由余弦定理得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC ‎＝(－1)2＋22－2·(－1)·2·cos120°＝6，‎ ‎∴BC＝，‎ ‎∵cos∠CBA＝＝＝，‎ ‎∴∠CBA＝45°，即B在C正东．‎ ‎∵∠CBD＝90°＋30°＝120°，‎ 在△BCD中，由正弦定理得 sin∠BCD＝＝＝，‎ ‎∴∠BCD＝30°.‎ 即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．‎ ‎[点评]　本例关键是首先应明确方向角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．‎ 备选习题 ‎1．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A到C距离为‎2km，B船在灯塔C北偏西40°，AB两船距离为‎3km，则B到C的距离为(　　)‎ A.km B．(－1)km C．(＋1)km D.km ‎[答案]　B ‎[解析]　由条件知，∠ACB＝80°＋40°＝120°，设BC＝xkm，则由余弦定理知9＝x2＋4－4xcos120°，‎ ‎∵x>0，∴x＝－1.‎ ‎2.‎ ‎(2012·西安五校二模)如图，在某港口A处获悉，其正东方向距离20n mile的B处有一艘渔船遇险等待营救，此时救援船在港口的南偏西30°距港口10n mile的C处，救援船接到救援命令立即从C处沿直线前往B处营救渔船．‎ ‎(1)求接到救援命令时救援船距渔船的距离；‎ ‎(2)试问救援船在C处应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援？(已知cos49°＝)‎ ‎[解析]　(1)由题意，在△ABC中，AB＝20，AC＝10，∠CAB＝120°，‎ ‎∵CB2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠CAB，‎ ‎∴CB2＝202＋102－2×20×10cos120°＝700，‎ ‎∴BC＝10，‎ 所以接到救援命令时救援船距渔船的距离为10n mile.‎ ‎(2)△ABC中，AB＝20，BC＝10，∠CAB＝120°，‎ 由正弦定理，得＝，‎ 即＝，∴sin∠ACB＝.‎ ‎∵cos49°＝sin41°＝，∴∠ACB＝41°，‎ 故救援船应沿北偏东71°的方向救援．‎ ‎3.‎ 如图所示，甲船由A岛出发向北偏东45°的方向做匀速直线航行，速度为15n mile/h，在甲船从A岛出发的同时，乙船从A岛正南40n mile处的B岛出发，朝北偏东θ(θ＝arctan)的方向做匀速直线航行，速度为10n mile/h.‎ ‎(1)求出发后3h两船相距多少海里？‎ ‎(2)求两船出发后多长时间相距最近？最近距离为多少海里？‎ ‎(3)两船在航行中能否相遇？试说明理由．‎ ‎[解析]　以A为原点，BA所在直线为y轴建立平面直角坐标系．‎ 设在t时刻甲、乙两船分别在P(x1，y1)，Q(x2，y2)，‎ 则x1＝15tcos45°＝15t，y1＝x1＝15t，‎ 由θ＝arctan可得，cosθ＝，sinθ＝，‎ 故x2＝10tsinθ＝10t，‎ y2＝10tcosθ－40＝20t－40，‎ ‎(1)令t＝3，则P、Q两点的坐标分别为(45,45)，(30,20)，‎ ‎|PQ|＝＝＝5.‎ 即两船出发后3h，相距5n mile.‎ ‎(2)由(1)的求解过程易知：‎ ‎|PQ|＝ ‎＝ ‎＝＝≥20，‎ ‎∴当且仅当t＝4时，|PQ|取得最小值20.‎ 即两船出发后4h，相距最近，距离为20n mile.‎ ‎(3)由(2)知两船航行过程中的最近距离为20n mile，故两船不可能相遇．‎