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  • 2021-05-13 发布

2014高考总复习单元检测解析几何

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第九章 单元测试 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题中只有一项符合题目要求) 1.(2019·浙江)设 a∈R,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y-1=0 与直线 l2:x+(a+1)y+4=0 平行” 的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由 a=1 可得 l1∥l2,反之,由 l1∥l2 可得 a=1 或 a=-2,故选 A. 2.(2019·湖北)过点 P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x2+y2≤4|}分为两部分,使得这两部分的 面积之差最大,则该直线的方程为 ( ) A.x+y-2=0 B.y-1=0 C.x-y=0 D.x+3y-4=0 答案 A 解析 两部分面积之差最大,即弦长最短,此时直线垂直于过该点的直径.因为过点 P(1,1)的直径所 在直线的斜率为 1,所以所求直线的斜率为-1,方程为 x+y-2=0. 3.经过抛物线 y2=4x 的焦点且平行于直线 3x-2y=0 的直线 l 的方程是 A.3x-2y-3=0 B.6x-4y-3=0[来源:学|科|网 Z|X|X|K] C.2x+3y-2=0 D.2x+3y-1=0 答案 A 解析 ∵抛物线 y2=4x 的焦点是(1,0),直线 3x-2y=0 的斜率是3 2 ,∴直线 l 的方程是 y=3 2 (x-1), 即 3x-2y-3=0,故选 A. 4.已知圆 C 的半径为 2,圆心在 x 轴的正半轴上,直线 3x+4y+4=0 与圆 C 相切,则圆 C 的方程为 ( ) A.x2+y2-2x-3=0 B.x2+y2+4x=0 C.x2+y2+2x-3=0 D.x2+y2-4x=0 答案 D 解析 设圆心 C(a,0)(a>0),由3a+4 5 =2 得,a=2,故圆的方程为(x-2)2+y2=4,即 x2+y2-4x=0. 5.(2019·江西)椭圆x2 a2+y2 b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别是 A,B,左、右焦点分别是 F1,F2.若|AF1|, |F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为( ) A.1 4 B. 5 5 C.1 2 D. 5-2 答案 B 解析 由等比中项的性质得到 a,c 的一个方程,再进一步转化为关于 e 的方程,解之即得所求.依 题意得|F1F2|2=|AF1|·|F1B|,即 4c2=(a-c)(a+c)=a2-c2,整理得 5c2=a2,∴e=c a = 5 5 . 6.(2019·浙江)如图,中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N 是双曲线的两顶点.若 M, O,N 将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是 ( ) A.3 B.2 C. 3 D. 2 答案 B 解析 设焦点为 F(±c,0),双曲线的实半轴长为 a,则双曲线的离心率 e1=c a ,椭圆的离心率 e2= c 2a , 所以e1 e2 =2.选 B. 7.设 F1、F2 分别是双曲线 x2-y2 9 =1 的左、右焦点.若点 P 在双曲线上,且PF1 → ·PF2 → =0,则|PF1 → +PF2 → | 等于 ( ) A. 10 B.2 10 C. 5 D.2 5 答案 B 解析 F1(- 10,0),F2( 10,0),2c=2 10,2a=2. ∵PF1 → ·PF2 → =0,∴|PF1 → |2+|PF2 → |2=|F1F2|2=4c2=40. ∴(PF1 → +PF2 → )2=|PF1 → |2+|PF2 → |2+2PF1 → ·PF2 → =40. ∴|PF1 → +PF2 → |=2 10. 8.过抛物线 y=1 4 x2 准线上任一点作抛物线的两条切线,若切点分别为 M,N,则直线 MN 过定点 ( ) A.(0,1) B.(1,0) C.(0,-1) D.(-1,0) 答案 A 解析 特殊值法,取准线上一点(0,-1).设 M(x1,1 4 x2 1),N(x2,1 4 x2 2),则过 M、N 的切线方程分别为 y-1 4 x2 1=1 2 x1(x-x1),y-1 4 x2 2=1 2 x2(x-x2).将(0,-1)代入得 x2 1=x2 2=4,∴MN 的方程为 y=1,恒过(0,1) 点. 9.如图,过抛物线 x2=4py(p>0)焦点的直线依次交抛物线与圆 x2+(y-p)2=p2 于点 A、B、C、D,则AB → ·CD → 的值是 ( ) A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p2 答案 D 解析 |AB → |=|AF|-p=yA,|CD → |=|DF|-p=yB,|AB → |·|CD → |=yAyB=p2.因为AB → ,CD → 的方向相同,所以 AB → ·CD → =|AB → |·|CD → |=yAyB=p2. 10.已知抛物线 y=x2 上有一定点 A(-1,1)和两动点 P、Q,当 PA⊥PQ 时,点 Q 的横坐标取值范围是 ( ) A.(-∞,-3] B.[1,+∞) C.[-3,1] D.(-∞,-3]∪[1,+∞) 答案 D 解析 设 P(x1,x2 1),Q(x2,x2 2), ∴kAP=x2 1-1 x1+1 =x1-1,kPQ=x2 2-x2 1 x2-x1 =x2+x1. 由题意得 kPA·kPQ=(x1-1)(x2+x1)=-1, ∴x2= 1 1-x1 -x1= 1 1-x1 +(1-x1)-1.利用函数性质知 x2∈(-∞,-3]∪[1,+∞),故选 D. 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在题中横线上) 11.设 l1 的倾斜角为α,α∈(0,π 2 ),l1 绕其上一点 P 逆时针方向旋转α角得直线 l2,l2 的纵截距为 -2,l2 绕点 P 逆时针方向旋转π 2 -α角得直线 l3:x+2y-1=0,则 l1 的方程为________. 答案 2x-y+8=0 解析 ∵l1⊥l3, ∴k1=tanα=2,k2=tan2α= 2tanα 1-tan2α =-4 3 . ∵l2 的纵截距为-2,∴l2 的方程为 y=-4 3 x-2. 由 y=-4 3 x-2, x+2y-1=0, ∴P(-3,2),l1 过 P 点. ∴l1 的方程为 2x-y+8=0. 12.过直线 2x+y+4=0 和圆 x2+y2+2x-4y+1=0 的交点且面积最小的圆的方程是________. 答案 (x+13 5 )2+(y-6 5 )2=4 5 解析 因为通过两个定点的动圆中,面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆,于是解方程组 2x+y+4=0, x2+y2+2x-4y+1=0, 得交点 A(-11 5 ,2 5 ),B(-3,2). 因为 AB 为直径,其中点为圆心,即为(-13 5 ,6 5 ), r=1 2 |AB|=2 5 5, 所以圆的方程为(x+13 5 )2+(y-6 5 )2=4 5 . 13.(2019·江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2+y2-8x+15=0,若直线 y=kx-2 上 至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是________. 答案 4 3 解析 设圆心 C(4,0)到直线 y=kx-2 的距离为 d,则 d=|4k-2| k2+1 ,由题意知问题转化为 d≤2,即 d =|4k-2| k2+1 ≤2,得 0≤k≤4 3 ,所以 kmax=4 3 . 14.若椭圆x2 a2+y2 b2=1 过抛物线 y2=8x 的焦点,且与双曲线 x2-y2=1 有相同的焦点,则该椭圆的方程 是________. 答案 x2 4 +y2 2 =1 解析 抛物线 y2=8x 的焦点坐标为(2,0),则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0),又椭圆与双曲线 x2-y2=1 有相同的焦点,∴a=2,c= 2.∵b2=a2-c2,∴b2=2,∴椭圆的方程为x2 4 +y2 2 =1. 15.已知两点 M(-3,0),N(3,0),点 P 为坐标平面内一动点,且|MN → |·|MP → |+MN → ·NP → =0,则动点 P(x, y)到点 A(-3,0)的距离的最小值为________. 答案 3 解析 因为 M(-3,0),N(3,0),所以MN → =(6,0),|MN → |=6,MP → =(x+3,y),NP → =(x-3,y). 由|MN → |·|MP → |+MN → ·NP → =0,得 6 x+3 2+y2+6(x-3)=0,化简整理得 y2=-12x. 所以点 A 是抛物线 y2=-12x 的焦点,所以点 P 到 A 的距离的最小值就是原点到 A(-3,0)的距离,所 以 d=3. 16.已知以 y=± 3x 为渐近线的双曲线 D:x2 a2-y2 b2=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2,若 P 为 双曲线 D 右支上任意一点,则|PF1|-|PF2| |PF1|+|PF2| 的取值范围是________. 答案 0,1 2 解析 依题意,|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|+|PF2|≥2c, 所以 0<|PF1|-|PF2| |PF1|+|PF2| ≤a c =1 e .又双曲线的渐近线方程 y=± 3x,则b a = 3. 因此 e=c a =2,故 0<|PF1|-|PF2| |PF1|+|PF2| ≤1 2 . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 10 分)已知 O 为平面直角坐标系的原点,过点 M(-2,0)的直线 l 与圆 x2+y2=1 交于 P, Q 两点. (1)若OP → ·OQ → =-1 2 ,求直线 l 的方程; (2)若△OMP 与△OPQ 的面积相等,求直线 l 的斜率. 解析 (1)依题意知直线 l 的斜率存在, 因为直线 l 过点 M(-2,0), 故可设直线 l 的方程为 y=k(x+2). 因为 P,Q 两点在圆 x2+y2=1 上,所以|OP → |=|OQ → |=1. 因为OP → ·OQ → =-1 2 ,即|OP → |·|OQ → |·cos∠POQ=-1 2 .[来源:1ZXXK] 所以∠POQ=120°,所以点 O 到直线 l 的距离等于1 2 . 所以 |2k| k2+1 =1 2 ,解得 k=± 15 15 . 所以直线 l 的方程为 x- 15y+2=0 或 x+ 15y+2=0. (2)因为△OMP 与△OPQ 的面积相等,所以 MP=PQ,即 P 为 MQ 的中点,所以MQ → =2MP → . 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),所以MQ → =(x2+2,y2),MP → =(x1+2,y1). 所以 x2+2=2 x1+2 , y2=2y1, 即 x2=2 x1+1 , y2=2y1. ① 因为 P,Q 两点在圆 x2+y2=1 上,所以 x2 1+y2 1=1, x2 2+y2 2=1. ② 由①及②得 x2 1+y2 1=1, 4 x1+1 2+4y2 1=1, 解得 x1=-7 8 , y1=± 15 8 . 故直线 l 的斜率 k=kMP=± 15 9 . 18.(本题满分 12 分)(2019·北京文)已知椭圆 C:x2 a2+y2 b2=1(a>b>0)的一个顶点为 A(2,0),离心率为 2 2 .直线 y=k(x-1)与椭圆 C 交于不同的两点 M,N. (1)求椭圆 C 的方程; (2)当△AMN 的面积为 10 3 时,求 k 的值. 解析 (1)由题意得 a=2, c a = 2 2 , a2=b2+c2, 解得 b= 2. 所以椭圆 C 的方程为x2 4 +y2 2 =1. (2)由 y=k x-1 , x2 4 +y2 2 =1, 得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0. 设点 M,N 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),x1+x2= 4k2 1+2k2,x1x2=2k2-4 1+2k2. 所以|MN|= x2-x1 2+ y2-y1 2 = 1+k2 [ x1+x2 2-4x1x2] =2 1+k2 4+6k2 1+2k2 . 又因为点 A(2,0)到直线 y=k(x-1)的距离 d= |k| 1+k2 , 所以△AMN 的面积为 S=1 2 |MN|·d=|k| 4+6k2 1+2k2 . 由|k| 4+6k2 1+2k2 = 10 3 ,化简得 7k4-2k2-5=0,解得 k=±1. 19.(本题满分 12 分)(2019·天津理)设椭圆x2 a2+y2 b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为 A、B,点 P 在椭圆 上且异于 A,B 两点,O 为坐标原点. (1)若直线 AP 与 BP 的斜率之积为-1 2 ,求椭圆的离心率; (2)若|AP|=|OA|,证明直线 OP 的斜率 k 满足|k|> 3. 解析 (1)设点 P 的坐标为(x0,y0). 由题意,有x2 0 a2+y2 0 b2=1.① 由 A(-a,0),B(a,0),得 kAP= y0 x0+a ,kBP= y0 x0-a . 由 kAP·kBP=-1 2 ,可得 x2 0=a2-2y2 0,代入①并整理得(a2-2b2)y2 0=0.由于 y0≠0,故 a2=2b2.于是 e2= a2-b2 a2 =1 2 ,所以椭圆的离心率 e= 2 2 . (2)方法一 依题意,直线 OP 的方程为 y=kx,设点 P 的坐标为(x0,y0).由条件得 y0=kx0, x2 0 a2+y2 0 b2=1. 消去 y0 并整理得 x2 0= a2b2 k2a2+b2.② 由|AP|=|OA|,A(-a,0)及 y0=kx0,得(x0+a)2+k2x2 0=a2.整理得(1+k2)x2 0+2ax0=0. 而 x0≠0,于是 x0=-2a 1+k2,代入②,整理得 (1+k2)2=4k2(a b )2+4.由 a>b>0,故(1+k2)2>4k2+4,即 k2+1>4.因此 k2>3,所以|k|> 3. 方法二 依题意,直线 OP 的方程为 y=kx,可设点 P 的坐标为(x0,kx0).由点 P 在椭圆上,有x2 0 a2+k2x2 0 b2 =1.因为 a>b>0,kx0≠0,所以x2 0 a2+k2x2 0 a2 <1,即(1+k2)x2 03,所以|k|> 3. 20. (本题满分 12 分)如图,点 A,B 分别是椭圆x2 36 +y2 20 =1 长轴的左,右端点,点 F 是椭圆的右焦点, 点 P 在椭圆上,且位于 x 轴上方,PA⊥PF. (1)求点 P 的坐标; (2)设 M 是椭圆长轴 AB 的一点,M 到直线 AP 的距离等于|MB|,求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小值.[来 源:1ZXXK] 解析 (1)由已知可得点 A(-6,0),F(4,0), 设点 P 的坐标是(x,y), 则AP → =(x+6,y),FP → =(x-4,y). 由已知得 x2 36 +y2 20 =1, x+6 x-4 +y2=0, 则 2x2+9x-18=0,x=3 2 或 x=-6. ∵点 P 位于 x 轴上方,∴x=-6 舍去, 只能取 x=3 2 .由于 y>0,于是 y=5 2 3. ∴点 P 的坐标是(3 2 ,5 2 3). (2)直线 AP 的方程是 x- 3y+6=0. 设点 M 的坐标是(m,0)(-6≤m≤6), 则 M 到直线 AP 的距离是m+6 2 . 于是m+6 2 =6-m,解得 m=2. 椭圆上的点(x,y)到点 M 的距离 d 有 d2=(x-2)2+y2=x2-4x+4+20-5 9 x2 =4 9 (x-9 2 )2+15. 由于-6≤x≤6, ∴当 x=9 2 时,d 取得最小值 15. 21.(本题满分 12 分)已知椭圆 x2 m+1 +y2=1 的两个焦点是 F1(-c,0),F2(c,0)(c>0). (1)设 E 是直线 y=x+2 与椭圆的一个公共点,求|EF1|+|EF2|取得最小值时椭圆的方程; (2)已知点 N(0,-1),斜率为 k(k≠0)的直线 l 与条件(1)下的椭圆交于不同的两点 A,B,点 Q 满足AQ → =QB → ,且NQ → ·AB → =0,求直线 l 在 y 轴上的截距的取值范围. 解析 (1)由题意,知 m+1>1,即 m>0. 由 y=x+2, x2 m+1 +y2=1, 得(m+2)x2+4(m+1)x+3(m+1)=0. 又由Δ=16(m+1)2-12(m+2)(m+1)=4(m+1)(m-2)≥0, 解得 m≥2 或 m≤-1(舍去),∴m≥2. 此时|EF1|+|EF2|=2 m+1≥2 3. 当且仅当 m=2 时,|EF1|+|EF2|取得最小值 2 3, 此时椭圆的方程为x2 3 +y2=1. (2)设直线 l 的方程为 y=kx+t.由方程组 x2+3y2=3, y=kx+t, 消去 y 得(1+3k2)x2+6ktx+3t2-3=0. ∵直线 l 与椭圆交于不同的两点 A,B, ∴Δ=(6kt)2-4(1+3k2)(3t2-3)>0, 即 t2<1+3k2.① 设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(xQ,yQ),则 x1+x2=- 6kt 1+3k2. 由AQ → =QB → ,得 Q 为线段的 AB 的中点, 则 xQ=x1+x2 2 =- 3kt 1+3k2,yQ=kxQ+t= t 1+3k2. ∵NQ → ·AB → =0,∴直线 AB 的斜率 kAB 与直线 QN 的斜率kQN 乘积为-1,即 kQN·kAB=-1,∴ t 1+3k2+1 - 3kt 1+3k2 ·k =-1. 化简得 1+3k2=2t,代入①式得 t2<2t, 解得 00,故 2t=1+3k2>1,得 t>1 2 . 综上,直线 l 在 y 轴上的截距 t 的取值范围是(1 2 ,2). 22.(本题满分 12 分)(2019·浙江文) 如图,在直角坐标系 xOy 中,点 P(1,1 2 )到抛物线 C:y2=2px(p>0)的准线的距离为5 4 .点 M(t,1)是 C 上的定点,A,B 是 C 上的两动点,且线段 AB 被直线 OM 平分. (1)求 p,t 的值; (2)求△ABP 面积的最大值. 解析 (1)由题意知 2pt=1, 1+p 2 =5 4 , 得 p=1 2 , t=1. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),线段 AB 的中点为 Q(m,m). 由题意知,设直线 AB 的斜率为 k(k≠0). 由 y2 1=x1, y2 2=x2, 得(y1-y2)(y1+y2)=x1-x2. 故 k·2m=1. 所以直线 AB 的方程为 y-m= 1 2m (x-m). 即 x-2my+2m2-m=0. 由 x-2my+2m2-m=0, y2=x, 消去 x,整理得 y2-2my+ 2m2-m=0. 所以Δ=4m-4m2>0,y1+y2=2m,y1·y2=2m2-m. 从而|AB|= 1+1 k2·|y1-y2|= 1+4m2· 4m-4m2. 设点 P 到直线 AB 的距离为 d,则 d=|1-2m+2m2| 1+4m2 . 设△ABP 的面积为 S,则 S=1 2 |AB|·d=|1-2(m-m2)|· m-m2. 由Δ=4m-4m2>0,得 0b>0)与双曲线x2 m2-y2 n2=1(m>0,n>0)有相同的焦点(-c,0)和(c,0).若 c 是 a 与 m 的等比中项,n2 是 m2 与 c2 的等差中项,则椭圆的离心率等于 ( ) A.1 3 B. 3 3 C.1 2 D. 2 2 答案 B 解析 ∵c2=am,2n2=c2+m2,又 n2=c2-m2, ∴m2=1 3 c2,即 m= 3 3 c.∴c2= 3 3 ac,则 e=c a = 3 3 . 6.椭圆x2 4 +y2 3 =1 离心率为 e,点(1,e)是圆 x2+y2-4x-4y+4=0 的一条弦的中点,则此弦所在直 线的方程是 ( ) A.3x+2y-4=0 B.4x+6y-7=0 C.3x-2y-2=0 D.4x-6y-1=0 答案 B 解析 依题意得 e=1 2 ,圆心坐标为(2,2),圆心(2,2)与点(1,1 2 )的连线的斜率为 2-1 2 2-1 =3 2 ,所求直线 的斜率等于-2 3 ,所以所求直线方程是 y-1 2 =-2 3 (x-1),即 4x+6y-7=0,选 B. 7.已知圆 x2+y2=1 与 x 轴的两个交点为 A、B,若圆内的动点 P 使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列,则 PA → ·PB → 的取值范围为 ( ) A. 0,1 2 B. -1 2 ,0 C.(-1 2 ,0) D.[-1,0) 答案 C 解析 设 P(x,y),∴|PO|2=|PA||PB|, 即 x2+y2= x-1 2+y2· x+1 2+y2, 整理得 2x2-2y2=1. ∴PA → ·PB → =(1-x,-y)·(-1-x,-y)=x2+y2-1 =2x2-3 2 . ∴P 为圆内动点且满足 x2-y2=1 2 . ∴ 2 2 <|x|< 3 2 ,∴1<2x2<3 2 . ∴-1 2 <2x2-3 2 <0,选 C. 8.(2019·新课标全国)等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y2=16x 的准线交于 A,B 两点,|AB|=4 3,则 C 的实轴长为 ( ) A. 2 B.2 2 C.4 D.8 答案 C 解析 抛物线 y2=16x 的准线方程是 x=-4,所以点 A(-4,2 3)在等轴双曲线 C:x2-y2=a2(a>0)上, 将点 A 的坐标代入得 a=2,所以 C 的实轴长为 4. 9.已知正方形 ABCD,则以 A、B 为焦点,且过 C、D 两点的椭圆的离心率为________. 答案 2-1 解析 令 AB=2,则 AC=2 2. ∴椭圆中 c=1,2a=2+2 2⇒a=1+ 2. 可得 e=c a = 1 2+1 = 2-1. 10.(2019·北京理)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 过抛物线 y2=4x 的焦点 F,且与该抛物线相交于 A, B 两点,其中点 A 在 x 轴上方.若直线 l 的倾斜角为 60°,则△OAF 的面积为________. 答案 3 解析 直线 l 的方程为 y= 3(x-1),即 x= 3 3 y+1,代入抛物线方程得 y2-4 3 3 y-4=0,解得 yA = 4 3 3 + 16 3 +16 2 =2 3(yB<0,舍去),故△OAF 的面积为1 2 ×1×2 3= 3. 11.设椭圆 C:x2 a2+y2 2 =1(a>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,A 是椭圆 C 上的一点,且AF2 → ·F1F2 → =0,坐 标原点 O 到直线 AF1 的距离为1 3 |OF1|. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 Q 是椭圆 C 上的一点,过点 Q 的直线 l 交 x 轴于点 P(-1,0),交 y 轴于点 M,若MQ → =2QP → ,求直 线 l 的方程. 解析 (1)由题设知 F1(- a2-2,0),F2( a2-2,0). 由于AF2 → ·F1F2 → =0,则有AF2 → ⊥F1F2 → ,所以点 A 的坐标为( a2-2,±2 a ),故AF1 → 所在直线方程为 y=±( x a a2-2 +1 a ). 所以坐标原点 O 到直线 AF1 的距离为 a2-2 a2-1 (a> 2). 又|OF1|= a2-2,所以 a2-2 a2-1 =1 3 a2-2, 解得 a=2(a> 2). 所求椭圆的方程为x2 4 +y2 2 =1. (2)由题意可知直线 l 的斜率存在,设直线 l 斜率为 k, 直线 l 的方程为 y=k(x+1),则有 M(0,k). 设 Q(x1,y1),∵MQ → =2QP → , ∴(x1,y1-k)=2(-1-x1,-y1). ∴ x1=-2 3 , y1=k 3 . 又 Q 在椭圆 C 上,得 -2 3 2 4 + k 3 2 2 =1, 解得 k=±4. 故直线 l 的方程为 y=4(x+1)或 y=-4(x+1), 即 4x-y+4=0 或 4x+y+4=0. 12.椭圆x2 a2+y2 b2=1(a>b>0)的左、右焦点为 F1、F2,过 F1 的直线 l 与椭圆交于 A、B 两点. (1)如果点 A 在圆 x2+y2=c2(c 为椭圆的半焦距)上,且|F1A|=c,求椭圆的离心率; (2)若函数 y= 2+logmx(m>0 且 m≠1)的图像,无论 m 为何值时恒过定点(b,a),求F2B → ·F2A → 的取值范 围. 解析 (1)∵点 A 在圆 x2+y2=c2 上, ∴△AF1F2 为一直角三角形. ∵|F1A|=c,|F1F2|=2c, ∴|F2A|= |F1F2|2-|AF1|2= 3c. 由椭圆的定义,知|AF1|+|AF2|=2a, ∴c+ 3c=2a.∴e=c a = 2 1+ 3 = 3-1. (2)∵函数 y= 2+logmx 的图像恒过点(1, 2),由已知条件知还恒过点(b,a),∴a= 2,b=1,c =1. 点 F1(-1,0),F2(1,0), ①若 AB⊥x 轴,则 A(-1, 2 2 ),B(-1,- 2 2 ). ∴F2A → =(-2, 2 2 ),F2B → =(-2,- 2 2 ). ∴F2A → ·F2B → =4-1 2 =7 2 . ②若 AB 与 x 轴不垂直,设直线 AB 的斜率为 k,则 AB 的方程为 y=k(x+1). 由 y=k x+1 , x2+2y2-2=0, 消去 y,得(1+2k2)x2+4k2x+2(k2-1)=0.(*) ∵Δ=8k2+8>0,∴方程(*)有两个不同的实根. 设点 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1,x2 是方程(*)的两个根. x1+x2=- 4k2 1+2k2,x1x2=2 k2-1 1+2k2 . ∴F2A → =(x1-1,y1),F2B → =(x2-1,y2). ∴F2A → ·F2B → =(x1-1)(x2-1)+y1y2 =(1+k2)x1x2+(k2-1)(x1+x2)+1+k2 =(1+k2)2 k2-1 1+2k2 +(k2-1)(- 4k2 1+2k2)+1+k2 =7k2-1 1+2k2=7 2 - 9 2 1+2k2 . ∵1+2k2≥1, ∴0< 1 1+2k2≤1,0< 9 2 1+2k2 ≤9 2 . ∴-1≤F2A → ·F2B → =7 2 - 9 2 1+2k2 <7 2 . 综上,由①②,知-1≤F2A → ·F2B → ≤7 2 . 13.(2019·衡水调研)已知椭圆 C:x2 a2+y2 b2=1(a>b>0)的一个焦点是 F(1,0),且离心率为1 2 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)设经过点 F 的直线交椭圆 C 于 M,N 两点,线段 MN 的垂直平分线交 y 轴于点 P(0,y0),求 y0 的取 值范围. 解析 (1)设椭圆 C 的半焦距是 c.依题意,得 c=1. 因为椭圆 C 的离心率为1 2 , 所以 a=2c=2,b2=a2-c2=3. 故椭圆 C 的方程为x2 4 +y2 3 =1. (2)当 MN⊥x 轴时,显然 y0=0. 当 MN 与 x 轴不垂直时,可设直线 MN 的方程为 y=k(x-1)(k≠0). 由 y=k x-1 , x2 4 +y2 3 =1, 消去 y 并整理得 (3+4k2)x2-8k2x+4(k2-3)=0. 设M(x1,y1),N(x2,y2),线段 MN 的中点为 Q(x3,y3), 则 x1+x2= 8k2 3+4k2. 所以 x3=x1+x2 2 = 4k2 3+4k2,y3=k(x3-1)= -3k 3+4k2. 线段 MN 的垂直平分线的方程为 y+ 3k 3+4k2=-1 k (x- 4k2 3+4k2). 在上述方程中,令 x=0,得 y0= k 3+4k2= 1 3 k +4k . 当 k<0 时,3 k +4k≤-4 3;当 k>0 时,3 k +4k≥4 3. 所以- 3 12 ≤y0<0 或 0b>0),且 a2=b2+c2. 由题意可知:b=1,c a = 3 2 . 解得 a2=4,所以椭圆 C 的标准方程为x2 4 +y2=1. (2)由(1)得 Q(-2,0).设 A(x1,y1),B(x2,y2). ①当直线 l 垂直于 x 轴时,直线 l 的方程为 x=-6 5 . 由 x=-6 5 , x2 4 +y2=1, 解得 x=-6 5 , y=4 5 或 x=-6 5 , y=-4 5 . 即 A(-6 5 ,4 5 ),B(-6 5 ,-4 5 )(不妨设点 A 在 x 轴上方), 则 kAQ= 4 5 -0 -6 5 - -2 =1,kBQ= -4 5 -0 -6 5 - -2 =-1. 因为 kAQ·kBQ=-1,所以 AQ⊥BQ. 所以∠AQB=π 2 ,即∠AQB 的大小为π 2 . ②当直线 l 与 x 轴不垂直时,由题意可设直线 AB 的方程为 y=k(x+6 5 )(k≠0). 由 y=k x+6 5 , x2 4 +y2=1, 消去 y 得(25+100k2)x2+240k2x+144k2-100=0. 因为点(-6 5 ,0)在椭圆 C 的内部,显然Δ>0. x1+x2=- 240k2 25+100k2, x1x2=144k2-100 25+100k2 . 因为QA → =(x1+2,y1),QB → =(x2+2,y2),y1=k(x1+6 5 ),y2=k(x2+6 5 ), 所以QA → ·QB → =(x1+2)(x2+2)+y1y2 =(x1+2)(x2+2)+k(x1+6 5 )·k(x2+6 5 ) =(1+k2)x1x2+(2+6 5 k2)(x1+x2)+4+36 25 k2 =(1+k2)144k2-100 25+100k2 +(2+6 5 k2)(- 240k2 25+100k2)+4+36 25 k2=0. 所以QA → ⊥QB → .所以△QAB 为直角三角形. 假设存在直线 l 使得△QAB 为等腰三角形,则|QA|=|QB|. 如图,取 AB 的中点 M,连接 QM,则 QM⊥AB. 记点(-6 5 ,0)为 N. 因为 xM=x1+x2 2 =- 120k2 25+100k2=- 24k2 5+20k2, 所以 yM=k(xM+6 5 )= 6k 5+20k2, 即 M( -24k2 5+20k2, 6k 5+20k2). 所以QM → =(10+16k2 5+20k2 , 6k 5+20k2),NM → =( 6 5+20k2, 6k 5+20k2). 所以QM → ·NM → =10+16k2 5+20k2 × 6 5+20k2+ 6k 5+20k2× 6k 5+20k2= 60+132k2 5+20k2 2≠0. 所以QM → 与NM → 不垂直,即QM → 与AB → 不垂直,矛盾. 所以假设不成立,故当直线 l 与 x 轴不垂直时,不存在直线 l 使得△QAB 为等腰三角形. 15.设椭圆 M:y2 a2+x2 b2=1(a>b>0)的离心率与双曲线 x2-y2=1 的离心率互为倒数,且内切于圆 x2+y2 =4. (1)求椭圆 M 的方程; (2)若直线 y= 2x+m 交椭圆于 A、B 两点,椭圆上一点 P(1, 2),求△PAB 面积的最大值. 解析 (1)双曲线的离心率为 2,则椭圆的离心率为 e=c a = 2 2 ,圆 x2+y2=4 的直径为 4,则 2a=4, 得 2a=4, c a = 2 2 , b2=a2-c2 ⇒ a=2, c= 2, b= 2. 所求椭圆 M 的方程为y2 4 +x2 2 =1. (2)直线 AB 的直线方程为 y= 2x+m. 由 y= 2x+m, x2 2 +y2 4 =1, 得 4x2+2 2mx+m2-4=0. 由Δ=(2 2m)2-16(m2-4)>0,得-2 20)的左,右焦点分别为 F1,F2,M,N 是直线 l:x=2b 上的两个动 点,F1M → ·F2N → =0. (1)若|F1M → |=|F2N → |=2 5,求 b 的值; (2)求|MN|的最小值. 解析 设 M(2b,y1),N(b,y2), 则F1M → =(3b,y1),F2N → =(b,y2). 由F1M → ·F2N → =0,得 y1y2=-3b2.① (1)由|F1M → |=|F2N → |=2 5,得 3b 2+y2 1=2 5.② b2+y2 2=2 5.③ 由①、②、③三式,消去 y1,y2,并求得 b= 2. (2)易求椭圆 C 的标准方程为x2 4 +y2 2 =1. 方法一 |MN|2=(y1-y2)2=y2 1+y2 2-2y1y2≥ -2y1y2-2y1y2=-4y1y2=12b2, 所以,当且仅当 y1=-y2= 3b 或 y2=-y1= 3b,|MN|取最小值 2 3b. 方法二 |MN|2=(y1-y2)2=y2 1+9b4 y2 1 +6b2≥12b2, 所以,当且仅当 y1=-y2= 3b 或 y2=-y1= 3b 时,|MN|取最小值 2 3b. 17.(2019·武汉)如图,DP⊥x 轴,点 M 在 DP 的延长线上,且|DM|=2|DP|.当点 P 在圆 x2+y2=1 上 运动时. (1)求点 M 的轨迹 C 的方程; (2)过点 T(0,t)作圆 x2+y2=1 的切线 l 交曲线 C 于 A,B 两点,求△AOB 面积 S 的最大值和相应的点 T 的坐标. 解析 (1)设点 M 的坐标为(x,y),点 P 的坐标为(x0,y0),则 x=x0,y=2y0,所以 x0=x,y0=y 2 .① 因为 P(x0,y0)在圆 x2+y2=1 上,所以 x2 0+y2 0=1.② 将①代入②,得点 M 的轨迹 C 的方程为 x2+y2 4 =1. (2)由题意知,|t|≥1.当 t=1 时,切线 l 的方程为 y=1,点 A、B 的坐标分别为(- 3 2 ,1)、( 3 2 , 1),此时|AB|= 3,当 t=-1 时,同理可得|AB|= 3;当|t|>1 时,设切线 l 的方程为 y=kx+t,k∈ R. 由 y=kx+t, x2+y2 4 =1, 得(4+k2)x2+2ktx+t2-4=0.③ 设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则由③得 x1+x2=- 2kt 4+k2,x1x2=t2-4 4+k2. 又由 l 与圆 x2+y2=1 相切,得 |t| k2+1 =1,即 t2=k2+1. 所以|AB|= x2-x1 2+ y2-y1 2 = 1+k2 [ 4k2t2 4+k2 2-4 t2-4 4+k2 ]=4 3|t| t2+3 . 因为|AB|=4 3|t| t2+3 = 4 3 |t|+ 3 |t| ≤2,且当 t=± 3时,|AB|=2,所以|AB|的最大值为 2. 依题意,圆心 O 到直线 AB 的距离为圆 x2+y2=1 的半径,所以△AOB 面积 S=1 2 |AB|×1≤1,当且仅当 t=± 3时,△AOB 面积 S 的最大值为 1,相应的 T 的坐标为(0,- 3)或(0, 3). 18.已知焦点在 y 轴上的椭圆 C1:y2 a2+x2 b2=1 经过 A(1,0)点,且离心率为 3 2 . (1)求椭圆 C1 的方程; (2)过抛物线 C2:y=x2+h(h∈R)上 P 点的切线与椭圆 C1 交于两点 M、N,记线段 MN 与 PA 的中点分别 为 G、H,当 GH 与 y 轴平行时,求 h 的最小值. 解析 (1)由题意可得 1 b2=1, c a = 3 2 , a2=b2+c2. 解得 a=2,b=1,所以椭圆 C1 的方程为 x2+y2 4 =1. (2)设 P(t,t2+h),由 y′=2x,抛物线 C2 在点 P 处的切线的斜率为 k=y′|x=t =2t, 所以 MN 的方程为 y=2tx-t2+h. 代入椭圆方程得 4x2+(2tx-t2+h)2-4=0, 化简得 4(1+t2)x2-4t(t2-h)x+(t2-h)2-4=0. 又 MN 与椭圆 C1 有两个交点, 故Δ=16[-t4-2(h+2)t2-h2+4]>0.① 设 M(x1,y1),N(x2,y2),MN 中点横坐标为 x0,则 x0=x1+x2 2 =t t2-h 2 1+t2 . 设线段 PA 的中点横坐标为 x3=1+t 2 . 由已知得 x0=x3,即t t2-h 2 1+t2 =1+t 2 .② 显然 t≠0,h=-(t+1 t +1).③ 当 t>0 时,t+1 t ≥2,当且仅当 t=1 时取得等号,此时 h≤-3 不符合①式,故舍去; 当 t<0 时,(-t)+(-1 t )≥2,当且仅当 t=-1 时取得等号,此时 h≥1,满足①式.综上,h 的最小 值为 1. 19.已知△ABC 中,点 A、B 的坐标分别为(- 2,0),B( 2,0),点 C 在 x 轴上方. (1)若点 C 坐标为( 2,1),求以 A、B 为焦点且经过点 C 的椭圆的方程; (2)过点 P(m,0)作倾斜角为3 4 π的直线 l 交(1)中曲线于 M、N 两点,若点 Q(1,0)恰在以线段 MN 为直径 的圆上,求实数 m 的值. 解析 (1)设椭圆方程为x2 a2+y2 b2=1,c= 2,2a=|AC|+|BC|=4,b= 2,所以椭圆方程为x2 4 +y2 2 =1. (2)直线 l 的方程为 y=-(x-m),令 M(x1,y1),N(x2,y2),联立方程解得 3x2-4mx+2m2-4=0, x1+x2=4m 3 , x1x2=2m2-4 3 若 Q 恰在以 MN 为直径的圆上, 则 y1 x1-1 · y2 x2-1 =-1,即 m2+1-(m+1)(x1+x2)+2x1x2=0,3m2-4m-5=0,解得 m=2± 19 3 . 20.已知椭圆 C:x2 a2+y2 b2=1(a>b>0)的离心率为 2 2 ,其中左焦点 F(-2,0). (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 y=x+m 与椭圆 C 交于不同的两点 A,B,且线段 AB 的中点 M 关于直线 y=x+1 的对称点在 圆 x2+y2=1 上,求 m 的值. 解析 (1) c a = 2 2 , c=2 ⇒x2 8 +y2 4 =1. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x3,y3),V(x4,y4). 由 x2 8 +y2 4 =1, y=x+m ⇒3x2+4mx+2m2-8=0. ∴Δ=96-8m2>0⇒-2 30)的焦点为 F,抛物线上一点 A 的横坐标为 x1(x1>0),过点 A 作抛物线 C 的切线 l1 交 x 轴于点 D,交 y 轴于点 Q,交直线 l:y=p 2 于点 M,当|FD|=2 时,∠AFD=60°. (1)求证:△AFQ 为等腰三角形,并求抛物线 C 的方程; (2)若 B 位于 y 轴左侧的抛物线 C 上,过点 B 作抛物线 C 的切线 l2 交直线 l1 于点 P,交直线 l 于点 N, 求△PMN 面积的最小值,并求取到最小值时的 x1 的值. 解析 (1)设 A(x1,y1),则切线 AD 的方程为 y=x1 p x-x2 1 2p . 所以 D(x1 2 ,0),Q(0,-y1),|FQ|=p 2 +y1,|FA|=p 2 +y1,所以|FQ|=|FA|. 所以△AFQ 为等腰三角形, 且 D 为 AQ 中点,所以 DF⊥AQ. ∵|DF|=2,∠AFD=60°, ∴∠QFD=60°,p 2 =1,得 p=2,抛物线方程为 x2=4y. (2)设 B(x2,y2)(x2<0), 则 B 处的切线方程为 y=x2 2 x-x2 2 4 . 由 y=x1 2 x-x2 1 4 , y=x2 2 x-x2 2 4 ⇒P(x1+x2 2 ,x1x2 4 ), y=x1 2 x-x2 1 4 , y=1 ⇒M(x1 2 +2 x1 ,1). 同理 N(x2 2 +2 x2 ,1),所以面积 S=1 2 (x1 2 +2 x1 -x2 2 -2 x2 )·(1-x1x2 4 )= x2-x1 4-x1x2 2 16x1x2 .① 设 AB 的方程为 y=kx+b,则 b>0. 由 y=kx+b, x2=4y ⇒x2-4kx-4b=0, 得 x1+x2=4k, x1x2=-4b, 代入①得 S= 16k2+16b 4+4b 2 64b = 1+b 2 k2+b b ,使面积最小,则 k=0,得到 S= 1+b 2 b b .② 令 b=t, ②得 S(t)= 1+t2 2 t =t3+2t+1 t ,S′(t)= 3t2-1 t2+1 t2 , ∴当 t∈(0, 3 3 )时 S(t)单调递减;当 t∈( 3 3 ,+∞)时 S(t)单调递增. ∴当 t= 3 3 时,S 取最小值为16 3 9 ,此时 b=t2=1 3 ,k=0, ∴y1=1 3 即 x1=2 3 3 . 22. 如图,已知 M(m,m2)、N(n,n2)是抛物线 C:y=x2 上的两个不同的点,且 m2+n2=1,m+n≠0,直线 l 是线段 MN 的垂直平分线,设椭圆 E 的方程为x2 2 +y2 a =1(a>0,a≠2). (1)当 M、N 在 C 上移动时,求直线 l 的斜率 k 的取值范围; (2)已知直线 l 与抛物线 C 交于 A、B 两点,与椭圆 E 交于 P、Q 两点,设线段 AB 的中点为 R,线段 QP 的中点为 S,若OR → ·OS → =0,求椭圆 E 的离心率的取值范围. 解析 (1)由题意知,直线 MN 的斜率 kMN=m2-n2 m-n =m+n. 又 l⊥MN,m+n≠0,∴直线 l 的斜率 k=- 1 m+n . ∵m2+n2=1,由 m2+n2≥2mn,得 2(m2+n2)≥(m+n)2, 即 2≥(m+n)2(当 m=n 时,等号成立),∴|m+n|≤ 2. ∵M、N 是不同的两点,即 m≠n,∴0<|m+n|< 2. ∴|k|> 2 2 ,即 k<- 2 2 或 k> 2 2 . (2)由题意易得,线段 MN 的中点坐标为(m+n 2 ,m2+n2 2 ). ∵直线 l 是线段 MN 的垂直平分线, ∴直线 l 的方程为 y-m2+n2 2 =k(x-m+n 2 ). 又∵m2+n2=1,k=- 1 m+n , ∴直线 l 的方程为 y=kx+1. 将直线 l 的方程代入抛物线方程和椭圆方程并分别整理,得 x2-kx-1=0, ①(a+2k2)x2+4kx+2-2a=0. ② 易知方程①的判别式Δ1=k2+4>0, 方程②的判别式Δ2=8a(2k2+a-1). 由(1)易知 k2>1 2 ,且 a>0,∴2k2+a-1>a>0,∴Δ2>0 恒成立. 设 A(xA,yA),B(xB,yB),P(xP,yP),Q(xQ,yQ),则 xA+xB=k,yA+yB=kxA+1+kxB+1=k(xA+xB)+2 =k2+2. ∴线段 AB 的中点 R 的坐标为(k 2 ,k2 2 +1). 又 xP+xQ=- 4k a+2k2,yP+yQ=kxP+1+kxQ+1 =k(xP+xQ)+2= 2a a+2k2. ∴线段 QP 的中点 S 的坐标为( -2k a+2k2, a a+2k2). ∴OR → =(k 2 ,k2 2 +1),OS → =( -2k a+2k2, a a+2k2),由OR → ·OS → =0, 得 -k2+a k2 2 +1 a+2k2 =0,即-k2+a(k2 2 +1)=0. ∴a= 2k2 k2+2 . ∵k2>1 2 ,∴a= 2k2 k2+2 = 2 1+2 k2 >2 5 ,a= 2k2 k2+2 =2- 4 k2+2 <2. ∴2 5