2014高考总复习单元检测解析几何 25页

第九章 单元测试 一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．每小题中只有一项符合题目要求) 1．(2019·浙江)设 a∈R，则“a＝1”是“直线 l1：ax＋2y－1＝0 与直线 l2：x＋(a＋1)y＋4＝0 平行” 的 ( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由 a＝1 可得 l1∥l2，反之，由 l1∥l2 可得 a＝1 或 a＝－2，故选 A. 2．(2019·湖北)过点 P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4|}分为两部分，使得这两部分的 面积之差最大，则该直线的方程为 ( ) A．x＋y－2＝0 B．y－1＝0 C．x－y＝0 D．x＋3y－4＝0 答案 A 解析 两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．因为过点 P(1,1)的直径所 在直线的斜率为 1，所以所求直线的斜率为－1，方程为 x＋y－2＝0. 3．经过抛物线 y2＝4x 的焦点且平行于直线 3x－2y＝0 的直线 l 的方程是 A．3x－2y－3＝0 B．6x－4y－3＝0[来源:学|科|网 Z|X|X|K] C．2x＋3y－2＝0 D．2x＋3y－1＝0 答案 A 解析 ∵抛物线 y2＝4x 的焦点是(1,0)，直线 3x－2y＝0 的斜率是3 2 ，∴直线 l 的方程是 y＝3 2 (x－1)， 即 3x－2y－3＝0，故选 A. 4．已知圆 C 的半径为 2，圆心在 x 轴的正半轴上，直线 3x＋4y＋4＝0 与圆 C 相切，则圆 C 的方程为 ( ) A．x2＋y2－2x－3＝0 B．x2＋y2＋4x＝0 C．x2＋y2＋2x－3＝0 D．x2＋y2－4x＝0 答案 D 解析 设圆心 C(a,0)(a>0)，由3a＋4 5 ＝2 得，a＝2，故圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，即 x2＋y2－4x＝0. 5．(2019·江西)椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是 A，B，左、右焦点分别是 F1，F2.若|AF1|， |F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为( ) A.1 4 B. 5 5 C.1 2 D. 5－2 答案 B 解析 由等比中项的性质得到 a，c 的一个方程，再进一步转化为关于 e 的方程，解之即得所求．依 题意得|F1F2|2＝|AF1|·|F1B|，即 4c2＝(a－c)(a＋c)＝a2－c2，整理得 5c2＝a2，∴e＝c a ＝ 5 5 . 6．(2019·浙江)如图，中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N 是双曲线的两顶点．若 M， O，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是 ( ) A．3 B．2 C. 3 D. 2 答案 B 解析 设焦点为 F(±c,0)，双曲线的实半轴长为 a，则双曲线的离心率 e1＝c a ，椭圆的离心率 e2＝ c 2a ， 所以e1 e2 ＝2.选 B. 7．设 F1、F2 分别是双曲线 x2－y2 9 ＝1 的左、右焦点．若点 P 在双曲线上，且PF1 → ·PF2 → ＝0，则|PF1 → ＋PF2 → | 等于 ( ) A. 10 B．2 10 C. 5 D．2 5 答案 B 解析 F1(－ 10，0)，F2( 10，0)，2c＝2 10，2a＝2. ∵PF1 → ·PF2 → ＝0，∴|PF1 → |2＋|PF2 → |2＝|F1F2|2＝4c2＝40. ∴(PF1 → ＋PF2 → )2＝|PF1 → |2＋|PF2 → |2＋2PF1 → ·PF2 → ＝40. ∴|PF1 → ＋PF2 → |＝2 10. 8．过抛物线 y＝1 4 x2 准线上任一点作抛物线的两条切线，若切点分别为 M，N，则直线 MN 过定点 ( ) A．(0,1) B．(1,0) C．(0，－1) D．(－1,0) 答案 A 解析 特殊值法，取准线上一点(0，－1)．设 M(x1，1 4 x2 1)，N(x2，1 4 x2 2)，则过 M、N 的切线方程分别为 y－1 4 x2 1＝1 2 x1(x－x1)，y－1 4 x2 2＝1 2 x2(x－x2)．将(0，－1)代入得 x2 1＝x2 2＝4，∴MN 的方程为 y＝1，恒过(0,1) 点． 9．如图，过抛物线 x2＝4py(p>0)焦点的直线依次交抛物线与圆 x2＋(y－p)2＝p2 于点 A、B、C、D，则AB → ·CD → 的值是 ( ) A．8p2 B．4p2 C．2p2 D．p2 答案 D 解析 |AB → |＝|AF|－p＝yA，|CD → |＝|DF|－p＝yB，|AB → |·|CD → |＝yAyB＝p2.因为AB → ，CD → 的方向相同，所以 AB → ·CD → ＝|AB → |·|CD → |＝yAyB＝p2. 10．已知抛物线 y＝x2 上有一定点 A(－1,1)和两动点 P、Q，当 PA⊥PQ 时，点 Q 的横坐标取值范围是 ( ) A．(－∞，－3] B．[1，＋∞) C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 答案 D 解析 设 P(x1，x2 1)，Q(x2，x2 2)， ∴kAP＝x2 1－1 x1＋1 ＝x1－1，kPQ＝x2 2－x2 1 x2－x1 ＝x2＋x1. 由题意得 kPA·kPQ＝(x1－1)(x2＋x1)＝－1， ∴x2＝ 1 1－x1 －x1＝ 1 1－x1 ＋(1－x1)－1.利用函数性质知 x2∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)，故选 D. 二、填空题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分，把答案填在题中横线上) 11．设 l1 的倾斜角为α，α∈(0，π 2 )，l1 绕其上一点 P 逆时针方向旋转α角得直线 l2，l2 的纵截距为 －2，l2 绕点 P 逆时针方向旋转π 2 －α角得直线 l3：x＋2y－1＝0，则 l1 的方程为________． 答案 2x－y＋8＝0 解析 ∵l1⊥l3， ∴k1＝tanα＝2，k2＝tan2α＝ 2tanα 1－tan2α ＝－4 3 . ∵l2 的纵截距为－2，∴l2 的方程为 y＝－4 3 x－2. 由 y＝－4 3 x－2， x＋2y－1＝0， ∴P(－3,2)，l1 过 P 点． ∴l1 的方程为 2x－y＋8＝0. 12．过直线 2x＋y＋4＝0 和圆 x2＋y2＋2x－4y＋1＝0 的交点且面积最小的圆的方程是________． 答案 (x＋13 5 )2＋(y－6 5 )2＝4 5 解析 因为通过两个定点的动圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆，于是解方程组 2x＋y＋4＝0， x2＋y2＋2x－4y＋1＝0， 得交点 A(－11 5 ，2 5 )，B(－3,2)． 因为 AB 为直径，其中点为圆心，即为(－13 5 ，6 5 )， r＝1 2 |AB|＝2 5 5， 所以圆的方程为(x＋13 5 )2＋(y－6 5 )2＝4 5 . 13．(2019·江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x2＋y2－8x＋15＝0，若直线 y＝kx－2 上 至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点，则 k 的最大值是________． 答案 4 3 解析 设圆心 C(4,0)到直线 y＝kx－2 的距离为 d，则 d＝|4k－2| k2＋1 ，由题意知问题转化为 d≤2，即 d ＝|4k－2| k2＋1 ≤2，得 0≤k≤4 3 ，所以 kmax＝4 3 . 14．若椭圆x2 a2＋y2 b2＝1 过抛物线 y2＝8x 的焦点，且与双曲线 x2－y2＝1 有相同的焦点，则该椭圆的方程 是________． 答案 x2 4 ＋y2 2 ＝1 解析 抛物线 y2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线 x2－y2＝1 有相同的焦点，∴a＝2，c＝ 2.∵b2＝a2－c2，∴b2＝2，∴椭圆的方程为x2 4 ＋y2 2 ＝1. 15．已知两点 M(－3,0)，N(3,0)，点 P 为坐标平面内一动点，且|MN → |·|MP → |＋MN → ·NP → ＝0，则动点 P(x， y)到点 A(－3,0)的距离的最小值为________． 答案 3 解析 因为 M(－3,0)，N(3,0)，所以MN → ＝(6,0)，|MN → |＝6，MP → ＝(x＋3，y)，NP → ＝(x－3，y)． 由|MN → |·|MP → |＋MN → ·NP → ＝0，得 6 x＋3 2＋y2＋6(x－3)＝0，化简整理得 y2＝－12x. 所以点 A 是抛物线 y2＝－12x 的焦点，所以点 P 到 A 的距离的最小值就是原点到 A(－3,0)的距离，所 以 d＝3. 16．已知以 y＝± 3x 为渐近线的双曲线 D：x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为 F1，F2，若 P 为 双曲线 D 右支上任意一点，则|PF1|－|PF2| |PF1|＋|PF2| 的取值范围是________． 答案 0，1 2 解析 依题意，|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|＋|PF2|≥2c， 所以 0<|PF1|－|PF2| |PF1|＋|PF2| ≤a c ＝1 e .又双曲线的渐近线方程 y＝± 3x，则b a ＝ 3. 因此 e＝c a ＝2，故 0<|PF1|－|PF2| |PF1|＋|PF2| ≤1 2 . 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分 10 分)已知 O 为平面直角坐标系的原点，过点 M(－2,0)的直线 l 与圆 x2＋y2＝1 交于 P， Q 两点． (1)若OP → ·OQ → ＝－1 2 ，求直线 l 的方程； (2)若△OMP 与△OPQ 的面积相等，求直线 l 的斜率． 解析 (1)依题意知直线 l 的斜率存在， 因为直线 l 过点 M(－2,0)， 故可设直线 l 的方程为 y＝k(x＋2)． 因为 P，Q 两点在圆 x2＋y2＝1 上，所以|OP → |＝|OQ → |＝1. 因为OP → ·OQ → ＝－1 2 ，即|OP → |·|OQ → |·cos∠POQ＝－1 2 .[来源:1ZXXK] 所以∠POQ＝120°，所以点 O 到直线 l 的距离等于1 2 . 所以 |2k| k2＋1 ＝1 2 ，解得 k＝± 15 15 . 所以直线 l 的方程为 x－ 15y＋2＝0 或 x＋ 15y＋2＝0. (2)因为△OMP 与△OPQ 的面积相等，所以 MP＝PQ，即 P 为 MQ 的中点，所以MQ → ＝2MP → . 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，所以MQ → ＝(x2＋2，y2)，MP → ＝(x1＋2，y1)． 所以 x2＋2＝2 x1＋2 ， y2＝2y1， 即 x2＝2 x1＋1 ， y2＝2y1. ① 因为 P，Q 两点在圆 x2＋y2＝1 上，所以 x2 1＋y2 1＝1， x2 2＋y2 2＝1. ② 由①及②得 x2 1＋y2 1＝1， 4 x1＋1 2＋4y2 1＝1， 解得 x1＝－7 8 ， y1＝± 15 8 . 故直线 l 的斜率 k＝kMP＝± 15 9 . 18．(本题满分 12 分)(2019·北京文)已知椭圆 C：x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的一个顶点为 A(2,0)，离心率为 2 2 .直线 y＝k(x－1)与椭圆 C 交于不同的两点 M，N. (1)求椭圆 C 的方程； (2)当△AMN 的面积为 10 3 时，求 k 的值． 解析 (1)由题意得 a＝2， c a ＝ 2 2 ， a2＝b2＋c2， 解得 b＝ 2. 所以椭圆 C 的方程为x2 4 ＋y2 2 ＝1. (2)由 y＝k x－1 ， x2 4 ＋y2 2 ＝1， 得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0. 设点 M，N 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则 y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，x1＋x2＝ 4k2 1＋2k2，x1x2＝2k2－4 1＋2k2. 所以|MN|＝ x2－x1 2＋ y2－y1 2 ＝ 1＋k2 [ x1＋x2 2－4x1x2] ＝2 1＋k2 4＋6k2 1＋2k2 . 又因为点 A(2,0)到直线 y＝k(x－1)的距离 d＝ |k| 1＋k2 ， 所以△AMN 的面积为 S＝1 2 |MN|·d＝|k| 4＋6k2 1＋2k2 . 由|k| 4＋6k2 1＋2k2 ＝ 10 3 ，化简得 7k4－2k2－5＝0，解得 k＝±1. 19．(本题满分 12 分)(2019·天津理)设椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为 A、B，点 P 在椭圆 上且异于 A，B 两点，O 为坐标原点． (1)若直线 AP 与 BP 的斜率之积为－1 2 ，求椭圆的离心率； (2)若|AP|＝|OA|，证明直线 OP 的斜率 k 满足|k|> 3. 解析 (1)设点 P 的坐标为(x0，y0)． 由题意，有x2 0 a2＋y2 0 b2＝1.① 由 A(－a,0)，B(a,0)，得 kAP＝ y0 x0＋a ，kBP＝ y0 x0－a . 由 kAP·kBP＝－1 2 ，可得 x2 0＝a2－2y2 0，代入①并整理得(a2－2b2)y2 0＝0.由于 y0≠0，故 a2＝2b2.于是 e2＝ a2－b2 a2 ＝1 2 ，所以椭圆的离心率 e＝ 2 2 . (2)方法一 依题意，直线 OP 的方程为 y＝kx，设点 P 的坐标为(x0，y0)．由条件得 y0＝kx0， x2 0 a2＋y2 0 b2＝1. 消去 y0 并整理得 x2 0＝ a2b2 k2a2＋b2.② 由|AP|＝|OA|，A(－a,0)及 y0＝kx0，得(x0＋a)2＋k2x2 0＝a2.整理得(1＋k2)x2 0＋2ax0＝0. 而 x0≠0，于是 x0＝－2a 1＋k2，代入②，整理得 (1＋k2)2＝4k2(a b )2＋4.由 a>b>0，故(1＋k2)2>4k2＋4，即 k2＋1>4.因此 k2>3，所以|k|> 3. 方法二 依题意，直线 OP 的方程为 y＝kx，可设点 P 的坐标为(x0，kx0)．由点 P 在椭圆上，有x2 0 a2＋k2x2 0 b2 ＝1.因为 a>b>0，kx0≠0，所以x2 0 a2＋k2x2 0 a2 <1，即(1＋k2)x2 03，所以|k|> 3. 20. (本题满分 12 分)如图，点 A，B 分别是椭圆x2 36 ＋y2 20 ＝1 长轴的左，右端点，点 F 是椭圆的右焦点， 点 P 在椭圆上，且位于 x 轴上方，PA⊥PF. (1)求点 P 的坐标； (2)设 M 是椭圆长轴 AB 的一点，M 到直线 AP 的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小值．[来 源:1ZXXK] 解析 (1)由已知可得点 A(－6,0)，F(4,0)， 设点 P 的坐标是(x，y)， 则AP → ＝(x＋6，y)，FP → ＝(x－4，y)． 由已知得 x2 36 ＋y2 20 ＝1， x＋6 x－4 ＋y2＝0， 则 2x2＋9x－18＝0，x＝3 2 或 x＝－6. ∵点 P 位于 x 轴上方，∴x＝－6 舍去， 只能取 x＝3 2 .由于 y>0，于是 y＝5 2 3. ∴点 P 的坐标是(3 2 ，5 2 3)． (2)直线 AP 的方程是 x－ 3y＋6＝0. 设点 M 的坐标是(m,0)(－6≤m≤6)， 则 M 到直线 AP 的距离是m＋6 2 . 于是m＋6 2 ＝6－m，解得 m＝2. 椭圆上的点(x，y)到点 M 的距离 d 有 d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－5 9 x2 ＝4 9 (x－9 2 )2＋15. 由于－6≤x≤6， ∴当 x＝9 2 时，d 取得最小值 15. 21．(本题满分 12 分)已知椭圆 x2 m＋1 ＋y2＝1 的两个焦点是 F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)． (1)设 E 是直线 y＝x＋2 与椭圆的一个公共点，求|EF1|＋|EF2|取得最小值时椭圆的方程； (2)已知点 N(0，－1)，斜率为 k(k≠0)的直线 l 与条件(1)下的椭圆交于不同的两点 A，B，点 Q 满足AQ → ＝QB → ，且NQ → ·AB → ＝0，求直线 l 在 y 轴上的截距的取值范围． 解析 (1)由题意，知 m＋1>1，即 m>0. 由 y＝x＋2， x2 m＋1 ＋y2＝1， 得(m＋2)x2＋4(m＋1)x＋3(m＋1)＝0. 又由Δ＝16(m＋1)2－12(m＋2)(m＋1)＝4(m＋1)(m－2)≥0， 解得 m≥2 或 m≤－1(舍去)，∴m≥2. 此时|EF1|＋|EF2|＝2 m＋1≥2 3. 当且仅当 m＝2 时，|EF1|＋|EF2|取得最小值 2 3， 此时椭圆的方程为x2 3 ＋y2＝1. (2)设直线 l 的方程为 y＝kx＋t.由方程组 x2＋3y2＝3， y＝kx＋t， 消去 y 得(1＋3k2)x2＋6ktx＋3t2－3＝0. ∵直线 l 与椭圆交于不同的两点 A，B， ∴Δ＝(6kt)2－4(1＋3k2)(3t2－3)>0， 即 t2<1＋3k2.① 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，Q(xQ，yQ)，则 x1＋x2＝－ 6kt 1＋3k2. 由AQ → ＝QB → ，得 Q 为线段的 AB 的中点， 则 xQ＝x1＋x2 2 ＝－ 3kt 1＋3k2，yQ＝kxQ＋t＝ t 1＋3k2. ∵NQ → ·AB → ＝0，∴直线 AB 的斜率 kAB 与直线 QN 的斜率kQN 乘积为－1，即 kQN·kAB＝－1，∴ t 1＋3k2＋1 － 3kt 1＋3k2 ·k ＝－1. 化简得 1＋3k2＝2t，代入①式得 t2<2t， 解得 00，故 2t＝1＋3k2>1，得 t>1 2 . 综上，直线 l 在 y 轴上的截距 t 的取值范围是(1 2 ，2)． 22．(本题满分 12 分)(2019·浙江文) 如图，在直角坐标系 xOy 中，点 P(1，1 2 )到抛物线 C：y2＝2px(p>0)的准线的距离为5 4 .点 M(t,1)是 C 上的定点，A，B 是 C 上的两动点，且线段 AB 被直线 OM 平分． (1)求 p，t 的值； (2)求△ABP 面积的最大值． 解析 (1)由题意知 2pt＝1， 1＋p 2 ＝5 4 ， 得 p＝1 2 ， t＝1. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段 AB 的中点为 Q(m，m)． 由题意知，设直线 AB 的斜率为 k(k≠0)． 由 y2 1＝x1， y2 2＝x2， 得(y1－y2)(y1＋y2)＝x1－x2. 故 k·2m＝1. 所以直线 AB 的方程为 y－m＝ 1 2m (x－m)． 即 x－2my＋2m2－m＝0. 由 x－2my＋2m2－m＝0， y2＝x， 消去 x，整理得 y2－2my＋ 2m2－m＝0. 所以Δ＝4m－4m2>0，y1＋y2＝2m，y1·y2＝2m2－m. 从而|AB|＝ 1＋1 k2·|y1－y2|＝ 1＋4m2· 4m－4m2. 设点 P 到直线 AB 的距离为 d，则 d＝|1－2m＋2m2| 1＋4m2 . 设△ABP 的面积为 S，则 S＝1 2 |AB|·d＝|1－2(m－m2)|· m－m2. 由Δ＝4m－4m2>0，得 0b>0)与双曲线x2 m2－y2 n2＝1(m>0，n>0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)．若 c 是 a 与 m 的等比中项，n2 是 m2 与 c2 的等差中项，则椭圆的离心率等于 ( ) A.1 3 B. 3 3 C.1 2 D. 2 2 答案 B 解析 ∵c2＝am,2n2＝c2＋m2，又 n2＝c2－m2， ∴m2＝1 3 c2，即 m＝ 3 3 c.∴c2＝ 3 3 ac，则 e＝c a ＝ 3 3 . 6．椭圆x2 4 ＋y2 3 ＝1 离心率为 e，点(1，e)是圆 x2＋y2－4x－4y＋4＝0 的一条弦的中点，则此弦所在直 线的方程是 ( ) A．3x＋2y－4＝0 B．4x＋6y－7＝0 C．3x－2y－2＝0 D．4x－6y－1＝0 答案 B 解析 依题意得 e＝1 2 ，圆心坐标为(2,2)，圆心(2,2)与点(1，1 2 )的连线的斜率为 2－1 2 2－1 ＝3 2 ，所求直线 的斜率等于－2 3 ，所以所求直线方程是 y－1 2 ＝－2 3 (x－1)，即 4x＋6y－7＝0，选 B. 7．已知圆 x2＋y2＝1 与 x 轴的两个交点为 A、B，若圆内的动点 P 使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，则 PA → ·PB → 的取值范围为 ( ) A. 0，1 2 B. －1 2 ，0 C．(－1 2 ，0) D．[－1,0) 答案 C 解析 设 P(x，y)，∴|PO|2＝|PA||PB|， 即 x2＋y2＝ x－1 2＋y2· x＋1 2＋y2， 整理得 2x2－2y2＝1. ∴PA → ·PB → ＝(1－x，－y)·(－1－x，－y)＝x2＋y2－1 ＝2x2－3 2 . ∴P 为圆内动点且满足 x2－y2＝1 2 . ∴ 2 2 <|x|< 3 2 ，∴1<2x2<3 2 . ∴－1 2 <2x2－3 2 <0，选 C. 8．(2019·新课标全国)等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，C 与抛物线 y2＝16x 的准线交于 A，B 两点，|AB|＝4 3，则 C 的实轴长为 ( ) A. 2 B．2 2 C．4 D．8 答案 C 解析 抛物线 y2＝16x 的准线方程是 x＝－4，所以点 A(－4,2 3)在等轴双曲线 C：x2－y2＝a2(a>0)上， 将点 A 的坐标代入得 a＝2，所以 C 的实轴长为 4. 9．已知正方形 ABCD，则以 A、B 为焦点，且过 C、D 两点的椭圆的离心率为________． 答案 2－1 解析 令 AB＝2，则 AC＝2 2. ∴椭圆中 c＝1,2a＝2＋2 2⇒a＝1＋ 2. 可得 e＝c a ＝ 1 2＋1 ＝ 2－1. 10．(2019·北京理)在直角坐标系 xOy 中，直线 l 过抛物线 y2＝4x 的焦点 F，且与该抛物线相交于 A， B 两点，其中点 A 在 x 轴上方．若直线 l 的倾斜角为 60°，则△OAF 的面积为________． 答案 3 解析 直线 l 的方程为 y＝ 3(x－1)，即 x＝ 3 3 y＋1，代入抛物线方程得 y2－4 3 3 y－4＝0，解得 yA ＝ 4 3 3 ＋ 16 3 ＋16 2 ＝2 3(yB<0，舍去)，故△OAF 的面积为1 2 ×1×2 3＝ 3. 11．设椭圆 C：x2 a2＋y2 2 ＝1(a>0)的左、右焦点分别为 F1、F2，A 是椭圆 C 上的一点，且AF2 → ·F1F2 → ＝0，坐 标原点 O 到直线 AF1 的距离为1 3 |OF1|. (1)求椭圆 C 的方程； (2)设 Q 是椭圆 C 上的一点，过点 Q 的直线 l 交 x 轴于点 P(－1,0)，交 y 轴于点 M，若MQ → ＝2QP → ，求直 线 l 的方程． 解析 (1)由题设知 F1(－ a2－2，0)，F2( a2－2，0)． 由于AF2 → ·F1F2 → ＝0，则有AF2 → ⊥F1F2 → ，所以点 A 的坐标为( a2－2，±2 a )，故AF1 → 所在直线方程为 y＝±( x a a2－2 ＋1 a )． 所以坐标原点 O 到直线 AF1 的距离为 a2－2 a2－1 (a> 2)． 又|OF1|＝ a2－2，所以 a2－2 a2－1 ＝1 3 a2－2， 解得 a＝2(a> 2)． 所求椭圆的方程为x2 4 ＋y2 2 ＝1. (2)由题意可知直线 l 的斜率存在，设直线 l 斜率为 k， 直线 l 的方程为 y＝k(x＋1)，则有 M(0，k)． 设 Q(x1，y1)，∵MQ → ＝2QP → ， ∴(x1，y1－k)＝2(－1－x1，－y1)． ∴ x1＝－2 3 ， y1＝k 3 . 又 Q 在椭圆 C 上，得 －2 3 2 4 ＋ k 3 2 2 ＝1， 解得 k＝±4. 故直线 l 的方程为 y＝4(x＋1)或 y＝－4(x＋1)， 即 4x－y＋4＝0 或 4x＋y＋4＝0. 12．椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的左、右焦点为 F1、F2，过 F1 的直线 l 与椭圆交于 A、B 两点． (1)如果点 A 在圆 x2＋y2＝c2(c 为椭圆的半焦距)上，且|F1A|＝c，求椭圆的离心率； (2)若函数 y＝ 2＋logmx(m>0 且 m≠1)的图像，无论 m 为何值时恒过定点(b，a)，求F2B → ·F2A → 的取值范 围． 解析 (1)∵点 A 在圆 x2＋y2＝c2 上， ∴△AF1F2 为一直角三角形． ∵|F1A|＝c，|F1F2|＝2c， ∴|F2A|＝ |F1F2|2－|AF1|2＝ 3c. 由椭圆的定义，知|AF1|＋|AF2|＝2a， ∴c＋ 3c＝2a.∴e＝c a ＝ 2 1＋ 3 ＝ 3－1. (2)∵函数 y＝ 2＋logmx 的图像恒过点(1， 2)，由已知条件知还恒过点(b，a)，∴a＝ 2，b＝1，c ＝1. 点 F1(－1,0)，F2(1,0)， ①若 AB⊥x 轴，则 A(－1， 2 2 )，B(－1，－ 2 2 )． ∴F2A → ＝(－2， 2 2 )，F2B → ＝(－2，－ 2 2 )． ∴F2A → ·F2B → ＝4－1 2 ＝7 2 . ②若 AB 与 x 轴不垂直，设直线 AB 的斜率为 k，则 AB 的方程为 y＝k(x＋1)． 由 y＝k x＋1 ， x2＋2y2－2＝0， 消去 y，得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2(k2－1)＝0.(*) ∵Δ＝8k2＋8>0，∴方程(*)有两个不同的实根． 设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1，x2 是方程(*)的两个根． x1＋x2＝－ 4k2 1＋2k2，x1x2＝2 k2－1 1＋2k2 . ∴F2A → ＝(x1－1，y1)，F2B → ＝(x2－1，y2)． ∴F2A → ·F2B → ＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2 ＝(1＋k2)x1x2＋(k2－1)(x1＋x2)＋1＋k2 ＝(1＋k2)2 k2－1 1＋2k2 ＋(k2－1)(－ 4k2 1＋2k2)＋1＋k2 ＝7k2－1 1＋2k2＝7 2 － 9 2 1＋2k2 . ∵1＋2k2≥1， ∴0< 1 1＋2k2≤1,0< 9 2 1＋2k2 ≤9 2 . ∴－1≤F2A → ·F2B → ＝7 2 － 9 2 1＋2k2 <7 2 . 综上，由①②，知－1≤F2A → ·F2B → ≤7 2 . 13．(2019·衡水调研)已知椭圆 C：x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的一个焦点是 F(1,0)，且离心率为1 2 . (1)求椭圆 C 的方程； (2)设经过点 F 的直线交椭圆 C 于 M，N 两点，线段 MN 的垂直平分线交 y 轴于点 P(0，y0)，求 y0 的取 值范围． 解析 (1)设椭圆 C 的半焦距是 c.依题意，得 c＝1. 因为椭圆 C 的离心率为1 2 ， 所以 a＝2c＝2，b2＝a2－c2＝3. 故椭圆 C 的方程为x2 4 ＋y2 3 ＝1. (2)当 MN⊥x 轴时，显然 y0＝0. 当 MN 与 x 轴不垂直时，可设直线 MN 的方程为 y＝k(x－1)(k≠0)． 由 y＝k x－1 ， x2 4 ＋y2 3 ＝1， 消去 y 并整理得 (3＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－3)＝0. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段 MN 的中点为 Q(x3，y3)， 则 x1＋x2＝ 8k2 3＋4k2. 所以 x3＝x1＋x2 2 ＝ 4k2 3＋4k2，y3＝k(x3－1)＝ －3k 3＋4k2. 线段 MN 的垂直平分线的方程为 y＋ 3k 3＋4k2＝－1 k (x－ 4k2 3＋4k2)． 在上述方程中，令 x＝0，得 y0＝ k 3＋4k2＝ 1 3 k ＋4k . 当 k<0 时，3 k ＋4k≤－4 3；当 k>0 时，3 k ＋4k≥4 3. 所以－ 3 12 ≤y0<0 或 0b>0)，且 a2＝b2＋c2. 由题意可知：b＝1，c a ＝ 3 2 . 解得 a2＝4，所以椭圆 C 的标准方程为x2 4 ＋y2＝1. (2)由(1)得 Q(－2,0)．设 A(x1，y1)，B(x2，y2)． ①当直线 l 垂直于 x 轴时，直线 l 的方程为 x＝－6 5 . 由 x＝－6 5 ， x2 4 ＋y2＝1， 解得 x＝－6 5 ， y＝4 5 或 x＝－6 5 ， y＝－4 5 . 即 A(－6 5 ，4 5 )，B(－6 5 ，－4 5 )(不妨设点 A 在 x 轴上方)， 则 kAQ＝ 4 5 －0 －6 5 － －2 ＝1，kBQ＝ －4 5 －0 －6 5 － －2 ＝－1. 因为 kAQ·kBQ＝－1，所以 AQ⊥BQ. 所以∠AQB＝π 2 ，即∠AQB 的大小为π 2 . ②当直线 l 与 x 轴不垂直时，由题意可设直线 AB 的方程为 y＝k(x＋6 5 )(k≠0)． 由 y＝k x＋6 5 ， x2 4 ＋y2＝1， 消去 y 得(25＋100k2)x2＋240k2x＋144k2－100＝0. 因为点(－6 5 ，0)在椭圆 C 的内部，显然Δ>0. x1＋x2＝－ 240k2 25＋100k2， x1x2＝144k2－100 25＋100k2 . 因为QA → ＝(x1＋2，y1)，QB → ＝(x2＋2，y2)，y1＝k(x1＋6 5 )，y2＝k(x2＋6 5 )， 所以QA → ·QB → ＝(x1＋2)(x2＋2)＋y1y2 ＝(x1＋2)(x2＋2)＋k(x1＋6 5 )·k(x2＋6 5 ) ＝(1＋k2)x1x2＋(2＋6 5 k2)(x1＋x2)＋4＋36 25 k2 ＝(1＋k2)144k2－100 25＋100k2 ＋(2＋6 5 k2)(－ 240k2 25＋100k2)＋4＋36 25 k2＝0. 所以QA → ⊥QB → .所以△QAB 为直角三角形． 假设存在直线 l 使得△QAB 为等腰三角形，则|QA|＝|QB|. 如图，取 AB 的中点 M，连接 QM，则 QM⊥AB. 记点(－6 5 ，0)为 N. 因为 xM＝x1＋x2 2 ＝－ 120k2 25＋100k2＝－ 24k2 5＋20k2， 所以 yM＝k(xM＋6 5 )＝ 6k 5＋20k2， 即 M( －24k2 5＋20k2， 6k 5＋20k2)． 所以QM → ＝(10＋16k2 5＋20k2 ， 6k 5＋20k2)，NM → ＝( 6 5＋20k2， 6k 5＋20k2)． 所以QM → ·NM → ＝10＋16k2 5＋20k2 × 6 5＋20k2＋ 6k 5＋20k2× 6k 5＋20k2＝ 60＋132k2 5＋20k2 2≠0. 所以QM → 与NM → 不垂直，即QM → 与AB → 不垂直，矛盾． 所以假设不成立，故当直线 l 与 x 轴不垂直时，不存在直线 l 使得△QAB 为等腰三角形． 15．设椭圆 M：y2 a2＋x2 b2＝1(a>b>0)的离心率与双曲线 x2－y2＝1 的离心率互为倒数，且内切于圆 x2＋y2 ＝4. (1)求椭圆 M 的方程； (2)若直线 y＝ 2x＋m 交椭圆于 A、B 两点，椭圆上一点 P(1， 2)，求△PAB 面积的最大值． 解析 (1)双曲线的离心率为 2，则椭圆的离心率为 e＝c a ＝ 2 2 ，圆 x2＋y2＝4 的直径为 4，则 2a＝4， 得 2a＝4， c a ＝ 2 2 ， b2＝a2－c2 ⇒ a＝2， c＝ 2， b＝ 2. 所求椭圆 M 的方程为y2 4 ＋x2 2 ＝1. (2)直线 AB 的直线方程为 y＝ 2x＋m. 由 y＝ 2x＋m， x2 2 ＋y2 4 ＝1， 得 4x2＋2 2mx＋m2－4＝0. 由Δ＝(2 2m)2－16(m2－4)>0，得－2 20)的左，右焦点分别为 F1，F2，M，N 是直线 l：x＝2b 上的两个动 点，F1M → ·F2N → ＝0. (1)若|F1M → |＝|F2N → |＝2 5，求 b 的值； (2)求|MN|的最小值． 解析 设 M(2b，y1)，N(b，y2)， 则F1M → ＝(3b，y1)，F2N → ＝(b，y2)． 由F1M → ·F2N → ＝0，得 y1y2＝－3b2.① (1)由|F1M → |＝|F2N → |＝2 5，得 3b 2＋y2 1＝2 5.② b2＋y2 2＝2 5.③ 由①、②、③三式，消去 y1，y2，并求得 b＝ 2. (2)易求椭圆 C 的标准方程为x2 4 ＋y2 2 ＝1. 方法一 |MN|2＝(y1－y2)2＝y2 1＋y2 2－2y1y2≥ －2y1y2－2y1y2＝－4y1y2＝12b2， 所以，当且仅当 y1＝－y2＝ 3b 或 y2＝－y1＝ 3b，|MN|取最小值 2 3b. 方法二 |MN|2＝(y1－y2)2＝y2 1＋9b4 y2 1 ＋6b2≥12b2， 所以，当且仅当 y1＝－y2＝ 3b 或 y2＝－y1＝ 3b 时，|MN|取最小值 2 3b. 17．(2019·武汉)如图，DP⊥x 轴，点 M 在 DP 的延长线上，且|DM|＝2|DP|.当点 P 在圆 x2＋y2＝1 上 运动时． (1)求点 M 的轨迹 C 的方程； (2)过点 T(0，t)作圆 x2＋y2＝1 的切线 l 交曲线 C 于 A，B 两点，求△AOB 面积 S 的最大值和相应的点 T 的坐标． 解析 (1)设点 M 的坐标为(x，y)，点 P 的坐标为(x0，y0)，则 x＝x0，y＝2y0，所以 x0＝x，y0＝y 2 .① 因为 P(x0，y0)在圆 x2＋y2＝1 上，所以 x2 0＋y2 0＝1.② 将①代入②，得点 M 的轨迹 C 的方程为 x2＋y2 4 ＝1. (2)由题意知，|t|≥1.当 t＝1 时，切线 l 的方程为 y＝1，点 A、B 的坐标分别为(－ 3 2 ，1)、( 3 2 ， 1)，此时|AB|＝ 3，当 t＝－1 时，同理可得|AB|＝ 3；当|t|>1 时，设切线 l 的方程为 y＝kx＋t，k∈ R. 由 y＝kx＋t， x2＋y2 4 ＝1， 得(4＋k2)x2＋2ktx＋t2－4＝0.③ 设 A，B 两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则由③得 x1＋x2＝－ 2kt 4＋k2，x1x2＝t2－4 4＋k2. 又由 l 与圆 x2＋y2＝1 相切，得 |t| k2＋1 ＝1，即 t2＝k2＋1. 所以|AB|＝ x2－x1 2＋ y2－y1 2 ＝ 1＋k2 [ 4k2t2 4＋k2 2－4 t2－4 4＋k2 ]＝4 3|t| t2＋3 . 因为|AB|＝4 3|t| t2＋3 ＝ 4 3 |t|＋ 3 |t| ≤2，且当 t＝± 3时，|AB|＝2，所以|AB|的最大值为 2. 依题意，圆心 O 到直线 AB 的距离为圆 x2＋y2＝1 的半径，所以△AOB 面积 S＝1 2 |AB|×1≤1，当且仅当 t＝± 3时，△AOB 面积 S 的最大值为 1，相应的 T 的坐标为(0，－ 3)或(0， 3)． 18．已知焦点在 y 轴上的椭圆 C1：y2 a2＋x2 b2＝1 经过 A(1,0)点，且离心率为 3 2 . (1)求椭圆 C1 的方程； (2)过抛物线 C2：y＝x2＋h(h∈R)上 P 点的切线与椭圆 C1 交于两点 M、N，记线段 MN 与 PA 的中点分别 为 G、H，当 GH 与 y 轴平行时，求 h 的最小值． 解析 (1)由题意可得 1 b2＝1， c a ＝ 3 2 ， a2＝b2＋c2. 解得 a＝2，b＝1，所以椭圆 C1 的方程为 x2＋y2 4 ＝1. (2)设 P(t，t2＋h)，由 y′＝2x，抛物线 C2 在点 P 处的切线的斜率为 k＝y′|x＝t ＝2t， 所以 MN 的方程为 y＝2tx－t2＋h. 代入椭圆方程得 4x2＋(2tx－t2＋h)2－4＝0， 化简得 4(1＋t2)x2－4t(t2－h)x＋(t2－h)2－4＝0. 又 MN 与椭圆 C1 有两个交点， 故Δ＝16[－t4－2(h＋2)t2－h2＋4]>0.① 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN 中点横坐标为 x0，则 x0＝x1＋x2 2 ＝t t2－h 2 1＋t2 . 设线段 PA 的中点横坐标为 x3＝1＋t 2 . 由已知得 x0＝x3，即t t2－h 2 1＋t2 ＝1＋t 2 .② 显然 t≠0，h＝－(t＋1 t ＋1)．③ 当 t>0 时，t＋1 t ≥2，当且仅当 t＝1 时取得等号，此时 h≤－3 不符合①式，故舍去； 当 t<0 时，(－t)＋(－1 t )≥2，当且仅当 t＝－1 时取得等号，此时 h≥1，满足①式．综上，h 的最小 值为 1. 19．已知△ABC 中，点 A、B 的坐标分别为(－ 2，0)，B( 2，0)，点 C 在 x 轴上方． (1)若点 C 坐标为( 2，1)，求以 A、B 为焦点且经过点 C 的椭圆的方程； (2)过点 P(m,0)作倾斜角为3 4 π的直线 l 交(1)中曲线于 M、N 两点，若点 Q(1,0)恰在以线段 MN 为直径 的圆上，求实数 m 的值． 解析 (1)设椭圆方程为x2 a2＋y2 b2＝1，c＝ 2，2a＝|AC|＋|BC|＝4，b＝ 2，所以椭圆方程为x2 4 ＋y2 2 ＝1. (2)直线 l 的方程为 y＝－(x－m)，令 M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程解得 3x2－4mx＋2m2－4＝0， x1＋x2＝4m 3 ， x1x2＝2m2－4 3 若 Q 恰在以 MN 为直径的圆上， 则 y1 x1－1 · y2 x2－1 ＝－1，即 m2＋1－(m＋1)(x1＋x2)＋2x1x2＝0,3m2－4m－5＝0，解得 m＝2± 19 3 . 20．已知椭圆 C：x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的离心率为 2 2 ，其中左焦点 F(－2,0)． (1)求椭圆 C 的方程； (2)若直线 y＝x＋m 与椭圆 C 交于不同的两点 A，B，且线段 AB 的中点 M 关于直线 y＝x＋1 的对称点在 圆 x2＋y2＝1 上，求 m 的值． 解析 (1) c a ＝ 2 2 ， c＝2 ⇒x2 8 ＋y2 4 ＝1. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x3，y3)，V(x4，y4)． 由 x2 8 ＋y2 4 ＝1， y＝x＋m ⇒3x2＋4mx＋2m2－8＝0. ∴Δ＝96－8m2>0⇒－2 30)的焦点为 F，抛物线上一点 A 的横坐标为 x1(x1>0)，过点 A 作抛物线 C 的切线 l1 交 x 轴于点 D，交 y 轴于点 Q，交直线 l：y＝p 2 于点 M，当|FD|＝2 时，∠AFD＝60°. (1)求证：△AFQ 为等腰三角形，并求抛物线 C 的方程； (2)若 B 位于 y 轴左侧的抛物线 C 上，过点 B 作抛物线 C 的切线 l2 交直线 l1 于点 P，交直线 l 于点 N， 求△PMN 面积的最小值，并求取到最小值时的 x1 的值． 解析 (1)设 A(x1，y1)，则切线 AD 的方程为 y＝x1 p x－x2 1 2p . 所以 D(x1 2 ，0)，Q(0，－y1)，|FQ|＝p 2 ＋y1，|FA|＝p 2 ＋y1，所以|FQ|＝|FA|. 所以△AFQ 为等腰三角形， 且 D 为 AQ 中点，所以 DF⊥AQ. ∵|DF|＝2，∠AFD＝60°， ∴∠QFD＝60°，p 2 ＝1，得 p＝2，抛物线方程为 x2＝4y. (2)设 B(x2，y2)(x2<0)， 则 B 处的切线方程为 y＝x2 2 x－x2 2 4 . 由 y＝x1 2 x－x2 1 4 ， y＝x2 2 x－x2 2 4 ⇒P(x1＋x2 2 ，x1x2 4 )， y＝x1 2 x－x2 1 4 ， y＝1 ⇒M(x1 2 ＋2 x1 ，1)． 同理 N(x2 2 ＋2 x2 ，1)，所以面积 S＝1 2 (x1 2 ＋2 x1 －x2 2 －2 x2 )·(1－x1x2 4 )＝ x2－x1 4－x1x2 2 16x1x2 .① 设 AB 的方程为 y＝kx＋b，则 b>0. 由 y＝kx＋b， x2＝4y ⇒x2－4kx－4b＝0， 得 x1＋x2＝4k， x1x2＝－4b， 代入①得 S＝ 16k2＋16b 4＋4b 2 64b ＝ 1＋b 2 k2＋b b ，使面积最小，则 k＝0，得到 S＝ 1＋b 2 b b .② 令 b＝t， ②得 S(t)＝ 1＋t2 2 t ＝t3＋2t＋1 t ，S′(t)＝ 3t2－1 t2＋1 t2 ， ∴当 t∈(0， 3 3 )时 S(t)单调递减；当 t∈( 3 3 ，＋∞)时 S(t)单调递增． ∴当 t＝ 3 3 时，S 取最小值为16 3 9 ，此时 b＝t2＝1 3 ，k＝0， ∴y1＝1 3 即 x1＝2 3 3 . 22. 如图，已知 M(m，m2)、N(n，n2)是抛物线 C：y＝x2 上的两个不同的点，且 m2＋n2＝1，m＋n≠0，直线 l 是线段 MN 的垂直平分线，设椭圆 E 的方程为x2 2 ＋y2 a ＝1(a>0，a≠2)． (1)当 M、N 在 C 上移动时，求直线 l 的斜率 k 的取值范围； (2)已知直线 l 与抛物线 C 交于 A、B 两点，与椭圆 E 交于 P、Q 两点，设线段 AB 的中点为 R，线段 QP 的中点为 S，若OR → ·OS → ＝0，求椭圆 E 的离心率的取值范围． 解析 (1)由题意知，直线 MN 的斜率 kMN＝m2－n2 m－n ＝m＋n. 又 l⊥MN，m＋n≠0，∴直线 l 的斜率 k＝－ 1 m＋n . ∵m2＋n2＝1，由 m2＋n2≥2mn，得 2(m2＋n2)≥(m＋n)2， 即 2≥(m＋n)2(当 m＝n 时，等号成立)，∴|m＋n|≤ 2. ∵M、N 是不同的两点，即 m≠n，∴0<|m＋n|< 2. ∴|k|> 2 2 ，即 k<－ 2 2 或 k> 2 2 . (2)由题意易得，线段 MN 的中点坐标为(m＋n 2 ，m2＋n2 2 )． ∵直线 l 是线段 MN 的垂直平分线， ∴直线 l 的方程为 y－m2＋n2 2 ＝k(x－m＋n 2 )． 又∵m2＋n2＝1，k＝－ 1 m＋n ， ∴直线 l 的方程为 y＝kx＋1. 将直线 l 的方程代入抛物线方程和椭圆方程并分别整理，得 x2－kx－1＝0， ①(a＋2k2)x2＋4kx＋2－2a＝0. ② 易知方程①的判别式Δ1＝k2＋4>0， 方程②的判别式Δ2＝8a(2k2＋a－1)． 由(1)易知 k2>1 2 ，且 a>0，∴2k2＋a－1>a>0，∴Δ2>0 恒成立． 设 A(xA，yA)，B(xB，yB)，P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，则 xA＋xB＝k，yA＋yB＝kxA＋1＋kxB＋1＝k(xA＋xB)＋2 ＝k2＋2. ∴线段 AB 的中点 R 的坐标为(k 2 ，k2 2 ＋1)． 又 xP＋xQ＝－ 4k a＋2k2，yP＋yQ＝kxP＋1＋kxQ＋1 ＝k(xP＋xQ)＋2＝ 2a a＋2k2. ∴线段 QP 的中点 S 的坐标为( －2k a＋2k2， a a＋2k2)． ∴OR → ＝(k 2 ，k2 2 ＋1)，OS → ＝( －2k a＋2k2， a a＋2k2)，由OR → ·OS → ＝0， 得 －k2＋a k2 2 ＋1 a＋2k2 ＝0，即－k2＋a(k2 2 ＋1)＝0. ∴a＝ 2k2 k2＋2 . ∵k2>1 2 ，∴a＝ 2k2 k2＋2 ＝ 2 1＋2 k2 >2 5 ，a＝ 2k2 k2＋2 ＝2－ 4 k2＋2 <2. ∴2 5