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  • 2021-05-13 发布

高考文科数学试题汇编解析几何教师用

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解析几何 ‎1. (天津文)18.(本小题满分13分)‎ ‎ 设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2。点满足 ‎ (Ⅰ)求椭圆的离心率;‎ ‎ (Ⅱ)设直线PF2与椭圆相交于A,B两点,若直线PF2与圆相交于M,N两点,且,求椭圆的方程。‎ ‎【解析】(18)本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想,考查解决问题能力与运算能力,满分13分。‎ ‎ (Ⅰ)解:设,因为,‎ ‎ 所以,整理得(舍)‎ ‎ 或 ‎ (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,可得椭圆方程为,直线FF2的方程为 ‎ A,B两点的坐标满足方程组消去并整理,得。解得,得方程组的解 ‎ 不妨设,,‎ ‎ 所以 ‎ 于是 ‎ 圆心到直线PF2的距离 ‎ 因为,所以 ‎ 整理得,得(舍),或 ‎ 所以椭圆方程为 ‎2. (北京文)19.(本小题共14分)‎ ‎ 已知椭圆的离心率为,右焦点为(,0),斜率为I的直线与椭圆G交与A、B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P(-3,2).‎ ‎ (I)求椭圆G的方程;‎ ‎ (II)求的面积.‎ ‎【解析】(19)(共14分)‎ ‎ 解:(Ⅰ)由已知得 ‎ 解得 ‎ 又 所以椭圆G的方程为 ‎(Ⅱ)设直线l的方程为 由得 设A、B的坐标分别为AB中点为E,‎ 则 因为AB是等腰△PAB的底边,‎ 所以PE⊥AB.‎ 所以PE的斜率 解得m=2。‎ 此时方程①为 解得 所以 所以|AB|=.‎ 此时,点P(—3,2)到直线AB:的距离 所以△PAB的面积S=‎ ‎3. (全国大纲文)22.(本小题满分l2分)(注意:在试题卷上作答无效)‎ 已知O为坐标原点,F为椭圆在y轴正半轴上的焦点,过F且斜率为的直线与C交与A、B两点,点P满足 ‎(Ⅰ)证明:点P在C上;‎ ‎ (II)设点P关于O的对称点为Q,证明:A、P、B、Q四点在同一圆上。‎ ‎【解析】22.解:(I)F(0,1),的方程为,‎ 代入并化简得 ‎ …………2分 设 则 由题意得 所以点P的坐标为 经验证,点P的坐标为满足方程 故点P在椭圆C上。 …………6分 ‎ (II)由和题设知, ‎ PQ的垂直一部分线的方程为 ‎ ①‎ 设AB的中点为M,则,AB的垂直平分线为的方程为 ‎ ②‎ 由①、②得的交点为。 …………9分 故|NP|=|NA|。‎ 又|NP|=|NQ|,|NA|=|NB|,‎ 所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|,‎ 由此知A、P、B、Q四点在以N为圆心,NA为半径的圆上 …………12分 ‎4. (全国新文)20.(本小题满分12分)‎ ‎ 在平面直角坐标系xOy中,曲线与坐标轴的交点都在圆C上.‎ ‎ (I)求圆C的方程;‎ ‎ (II)若圆C与直线交于A,B两点,且求a的值.‎ ‎【解析】(20)解:‎ ‎ (Ⅰ)曲线与y轴的交点为(0,1),与x轴的交点为(‎ 故可设C的圆心为(3,t),则有解得t=1.‎ 则圆C的半径为 所以圆C的方程为 ‎(Ⅱ)设A(),B(),其坐标满足方程组:‎ ‎ 消去y,得到方程 ‎ 由已知可得,判别式 因此,从而 ‎ ①‎ 由于OA⊥OB,可得 又所以 ‎ ②‎ 由①,②得,满足故 ‎5. (辽宁文)21.(本小题满分12分)‎ 如图,已知椭圆C1的中心在原点O,长轴左、右端点M,N在x轴上,椭圆C2的短轴为MN,且C1,C2的离心率都为e,直线l⊥MN,l与C1交于两点,与C2交于两点,这四点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D.‎ ‎(I)设,求与的比值;‎ ‎(II)当e变化时,是否存在直线l,使得BO∥AN,并说明理由.‎ ‎【解析】21.解:(I)因为C1,C2的离心率相同,故依题意可设 设直线,分别与C1,C2的方程联立,求得 ‎ ………………4分 当表示A,B的纵坐标,可知 ‎ ………………6分 ‎ (II)t=0时的l不符合题意.时,BO//AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等,即 ‎ 解得 因为 所以当时,不存在直线l,使得BO//AN;‎ 当时,存在直线l使得BO//AN. ………………12分 ‎6. (江西文)19.(本小题满分12分)‎ 已知过抛物线的焦点,斜率为的直线交抛物线于和 两点,且,‎ ‎(1)求该抛物线的方程;‎ ‎(2)为坐标原点,为抛物线上一点,若,求的值.‎ ‎【解析】19.(本小题满分12分)‎ ‎ (1)直线AB的方程是,‎ 与联立,从而有 所以: 由抛物线定义得:‎ 所以p=4,从而抛物线方程是 ‎ (2)由可简化为 ‎ ‎ 从而 设 又 即 解得 ‎7. (山东文)22.(本小题满分14分)‎ 在平面直角坐标系中,已知椭圆.如图所示,斜率为且不过原点的直线交椭圆于,两点,线段 的中点为,射线交椭圆于点,交直线于点.‎ ‎(Ⅰ)求的最小值;‎ ‎(Ⅱ)若∙,‎ ‎(i)求证:直线过定点;‎ ‎(ii)试问点,能否关于轴对称?若能,求出此时的外接圆方程;若不能,请说明理由.‎ ‎【解析】22.(I)解:设直线,‎ 由题意,‎ 由方程组得 ‎, 由题意, 所以 设,‎ 由韦达定理得所以 由于E为线段AB的中点,因此 此时所以OE所在直线方程为 又由题设知D(-3,m),令x=-3,得,即mk=1,‎ 所以当且仅当m=k=1时上式等号成立,‎ 此时 由得因此 当时,‎ 取最小值2。‎ ‎ (II)(i)由(I)知OD所在直线的方程为 将其代入椭圆C的方程,并由 解得,又,‎ 由距离公式及得 由 因此,直线的方程为 所以,直线 ‎(ii)由(i)得 若B,G关于x轴对称,‎ 则 代入 即, 解得(舍去)或 所以k=1,‎ 此时关于x轴对称。 又由(I)得所以A(0,1)。‎ 由于的外接圆的圆心在x轴上,可设的外接圆的圆心为(d,0),‎ 因此 故的外接圆的半径为,‎ 所以的外接圆方程为 ‎8. (陕西文)17.(本小题满分12分)‎ 设椭圆C: 过点(0,4),离心率为 ‎(Ⅰ)求C的方程;‎ ‎(Ⅱ)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标。‎ ‎【解析】17.解(Ⅰ)将(0,4)代入C的方程得  ∴b=4‎ 又 得 即,  ∴a=5  ∴C的方程为 ‎( Ⅱ)过点且斜率为的直线方程为,‎ 设直线与C的交点为A,B,‎ 将直线方程代入C的方程,得 ,‎ 即,解得 ,,‎ ‎ AB的中点坐标, ,‎ ‎ 即中点为。‎ ‎ 注:用韦达定理正确求得结果,同样给分。‎ ‎9. (上海文)22.(16分)已知椭圆(常数),点是上的动点,是右顶点,定点的坐标为。‎ ‎(1)若与重合,求的焦点坐标;‎ ‎(2)若,求的最大值与最小值;‎ ‎(3)若的最小值为,求的取值范围。‎ ‎【解析】22.解:⑴ ,椭圆方程为,‎ ‎∴ 左.右焦点坐标为。‎ ‎⑵ ,椭圆方程为,设,则 ‎∴ 时; 时。‎ ‎⑶ 设动点,则 ‎∵ 当时,取最小值,且,∴ 且 解得。‎ ‎10. (四川文)21.(本小题共l2分)‎ 过点C(0,1)的椭圆的离心率为,椭圆与x轴交于两点、,过点C的直线l与椭圆交于另一点D,并与x轴交于点P,直线AC与直线BD交于点Q.‎ ‎(I)当直线l过椭圆右焦点时,求线段CD的长;‎ ‎(Ⅱ)当点P异于点B时,求证:为定值.‎ 本小题主要考查直线、椭圆的标准方程及基本性质等基本知识,考查平面解析几何的思想方法及推理运算能力.‎ 解:(Ⅰ)由已知得,解得,所以椭圆方程为.‎ 椭圆的右焦点为,此时直线的方程为 ,代入椭圆方程得 ‎,解得,代入直线的方程得 ,所以,‎ 故.‎ ‎(Ⅱ)当直线与轴垂直时与题意不符.‎ 设直线的方程为.代入椭圆方程得.‎ 解得,代入直线的方程得,‎ 所以D点的坐标为.‎ 又直线AC的方程为,又直线BD的方程为,联立得 因此,又.‎ 所以.‎ 故为定值.‎ ‎11. (浙江文)(22)(本小题满分15分)如图,设P是抛物线:上的动点。过点做圆的两条切线,交直线:于两点。‎ ‎ (Ⅰ)求的圆心到抛物线 准线的距离。‎ ‎(Ⅱ)是否存在点,使线段被抛物线在点处得切线平分,若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由。‎ ‎【解析】(22)本题主要考查抛物线几何性质,直线与抛物线、直线与圆的位置关系,同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。满分15分。‎ ‎ (Ⅰ)解:因为抛物线C1的准线方程为:‎ ‎ 所以圆心M到抛物线C1准线的距离为:‎ ‎ (Ⅱ)解:设点P的坐标为,抛物线C1在点P处的切线交直线于点D。‎ ‎ 再设A,B,D的横坐标分别为 ‎ 过点的抛物线C1的切线方程为:‎ ‎ (1)‎ ‎ 当时,过点P(1,1)与圆C2的切线PA为:‎ ‎ 可得 ‎ 当时,过点P(—1,1)与圆C2的切线PA为:‎ ‎ 可得 ‎ ‎ ‎ 所以 ‎ 设切线PA,PB的斜率为,则 ‎ (2)‎ ‎ (3)‎ ‎ 将分别代入(1),(2),(3)得 ‎ ‎ ‎ 从而 ‎ 又 ‎ 即 ‎ 同理,‎ ‎ 所以是方程的两个不相等的根,从而 ‎ 因为 ‎ 所以 ‎ 从而 ‎ 进而得 ‎ 综上所述,存在点P满足题意,点P的坐标为 ‎12. (重庆文)21.(本小题满分12分。(Ⅰ)小问4分,(Ⅱ)小问8分)‎ 如题(21)图,椭圆的中心为原点0,离心率e=,一条准线的方程是 ‎ (Ⅰ)求该椭圆的标准方程;‎ ‎ (Ⅱ)设动点P满足:,其中M、N是椭圆上的点,直线OM与ON的斜率之积为,问:是否存在定点F,使得与点P到直线l:的距离之比为定值;若存在,求F的坐标,若不存在,说明理由。‎ ‎【解析】21.(本题12分)‎ 解:(I)由 解得,故椭圆的标准方程为 ‎ (II)设,则由 得 因为点M,N在椭圆上,所以 ‎,‎ 故 ‎ ‎ 设分别为直线OM,ON的斜率,由题设条件知 因此 所以 所以P点是椭圆上的点,该椭圆的右焦点为,离心率是该椭圆的右准线,故根据椭圆的第二定义,存在定点,使得|PF|与P点到直线l的距离之比为定值。‎ ‎13. (安徽文)(17)(本小题满分13分)‎ 设直线 ‎(I)证明与相交;‎ ‎(II)证明与的交点在椭圆 ‎【解析】(17)(本小题满分13分)本题考查直线与直线的位置关系,线线相交的判断与证明,点在曲线上的判断与证明,椭圆方程等基本知识,考查推理论证能力和运算求解能力.‎ ‎ 证明:(I)反证法,假设是l1与l2不相交,则l1与l2平行,有k1=k2,代入k1k2+2=0,得 ‎ ‎ ‎ 此与k1为实数的事实相矛盾. 从而相交.‎ ‎ (II)(方法一)由方程组 ‎ 解得交点P的坐标为 ‎ 而 ‎ ‎ ‎ 此即表明交点 ‎ (方法二)交点P的坐标满足 ‎ ‎ ‎ 整理后,得 ‎ 所以交点P在椭圆 ‎14. (福建文)18.(本小题满分12分)‎ 如图,直线l:y=x+b与抛物线C:x2=4y相切于点A。‎ ‎(I)求实数b的值;‎ ‎(11)求以点A为圆心,且与抛物线C的准线相切的圆的方程.‎ ‎。【解析】18.本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想、数形结合思想,满分12分。‎ 解:(I)由,(*)‎ 因为直线与抛物线C相切,所以 解得b=-1。‎ ‎(II)由(I)可知,‎ 解得x=2,代入 故点A(2,1),‎ 因为圆A与抛物线C的准线相切,‎ 所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=-1的距离,‎ 即 所以圆A的方程为 ‎15. (湖北文)21.(本小题满分14分)平面内与两定点、(‎ ‎)连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹,加上、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线。‎ ‎(Ⅰ)求曲线C的方程,并讨论C的形状与m值的关系;‎ ‎(Ⅱ)当时,对应的曲线为;对给定的,对应的曲线为,设、是的两个焦点。试问:在上,是否存在点,使得△的面积。若存在,求的值;若不存在,请说明理由。‎ ‎【解析】21.本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识,同时考查推理运算的能力,以及分类与整合和数形结合的思想。(满分14分)‎ ‎ 解:(I)设动点为M,其坐标为,‎ ‎ 当时,由条件可得 即,‎ 又的坐标满足 故依题意,曲线C的方程为 当曲线C的方程为是焦点在y轴上的椭圆;‎ 当时,曲线C的方程为,C是圆心在原点的圆;‎ 当时,曲线C的方程为,C是焦点在x轴上的椭圆;‎ 当时,曲线C的方程为C是焦点在x轴上的双曲线。‎ ‎(II)由(I)知,当m=-1时,C1的方程为 当时,‎ C2的两个焦点分别为 对于给定的,‎ C1上存在点使得的充要条件是 ‎②‎ ‎①‎ 由①得由②得 当 或时,‎ 存在点N,使S=|m|a2;‎ 当 或时,‎ 不存在满足条件的点N,‎ 当时,‎ 由,‎ 可得 令,‎ 则由,‎ 从而,‎ 于是由,‎ 可得 综上可得:‎ 当时,在C1上,存在点N,使得 当时,在C1上,存在点N,使得 当时,在C1上,不存在满足条件的点N。‎ ‎16. (湖南文)21.(本小题满分13分)‎ 已知平面内一动点到点的距离与点到轴的距离的差等于1.‎ ‎ (Ⅰ)求动点的轨迹的方程;‎ ‎ (Ⅱ)过点作两条斜率存在且互相垂直的直线,设与轨迹相交于点,与轨迹相交于点,求的最小值.‎ ‎【解析】21.解析:(I)设动点的坐标为,‎ 由题意为 化简得 当、‎ 所以动点P的轨迹C的方程为 ‎ (II)由题意知,直线的斜率存在且不为0,设为,则的方程为.‎ 由,得 设则是上述方程的两个实根,于是 ‎ .‎ 因为,所以的斜率为.‎ 设则同理可得 故 当且仅当即时,取最小值16.‎ ‎17. (广东文)21.(本小题满分14分)‎ ‎ 在平面直角坐标系中,直线交轴于点A,设是上一点,M是线段OP的垂直平分线上一点,且满足∠MPO=∠AOP ‎(1)当点P在上运动时,求点M的轨迹E的方程;‎ ‎(2)已知T(1,-1),设H是E 上动点,求+的最小值,并给出此时点H的坐标;‎ ‎(3)过点T(1,-1)且不平行与y轴的直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点,求直线的斜率k的取值范围。‎ ‎【解析】21.(本小题满分14分)‎ ‎ 解:(1)如图1,设MQ为线段OP的垂直平分线,交OP于点Q,‎ ‎ ‎ ‎ 因此即 ‎ ①‎ ‎ 另一种情况,见图2(即点M和A位于直线OP的同侧)。‎ ‎ MQ为线段OP的垂直平分线,‎ ‎ ‎ ‎ 又 ‎ 因此M在轴上,此时,记M的坐标为 ‎ 为分析的变化范围,设为上任意点 ‎ 由 ‎ (即)得,‎ ‎ ‎ ‎ 故的轨迹方程为 ‎ ②‎ ‎ 综合①和②得,点M轨迹E的方程为 ‎ ‎ ‎18. (江苏)18.如图,在平面直角坐标系中,M、N分别是椭圆的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点,其中P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B,设直线PA的斜率为k ‎(1)当直线PA平分线段MN,求k的值;‎ ‎(2)当k=2时,求点P到直线AB的距离d;‎ ‎(3)对任意k>0,求证:PA⊥PB ‎【解析】18.本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力,满分16分.‎ 解:(1)由题设知,所以线段MN中点的坐标为,由于直线PA平分线段MN,故直线PA过线段MN的中点,又直线PA过坐标原点,所以 ‎ ‎(2)直线PA的方程 解得 于是直线AC的斜率为 ‎(3)解法一:‎ 将直线PA的方程代入 则 故直线AB的斜率为 其方程为 解得.‎ 于是直线PB的斜率 因此 解法二:‎ 设.‎ 设直线PB,AB的斜率分别为因为C在直线AB上,所以 从而 因此 www.zxsx.com