高考数学140分难点突破训练——圆锥曲线含详解 16页

高考数学140分难点突破训练——圆锥曲线 ‎1. 已知椭圆C的焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率为。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）设A、B为椭圆上的两个动点，，过原点O作直线AB的垂线OD，垂足为D，求点D的轨迹方程．‎ ‎2. 设直线与双曲线相交于A,B两点，O为坐标原点.‎ ‎（I）为何值时，以AB为直径的圆过原点.‎ ‎（II）是否存在实数，使且，若存在，求的值，若不存在，说明理由.‎ ‎3. （理）设双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为e，若准线l与两条渐近线相交于P、Q两点，F为右焦点，△FPQ为等边三角形．‎ ‎　　（1）求双曲线C的离心率e的值；‎ ‎　　（2）若双曲线C被直线y＝ax＋b截得的弦长为求双曲线c的方程．‎ ‎　　（文）在△ABC中，A点的坐标为（3，0），BC边长为2，且BC在y轴上的区间[-3，3]上滑动．‎ ‎　　（1）求△ABC外心的轨迹方程；‎ ‎　　（2）设直线l∶y＝3x＋b与（1）的轨迹交于E，F两点，原点到直线l的距离为d，求的最大值．并求出此时b的值．‎ ‎4. 已知点N（1，2），过点N的直线交双曲线于A、B两点，且 ‎ （1）求直线AB的方程；‎ ‎ （2）若过N的直线l交双曲线于C、D两点，且，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？‎ ‎5. 设（为常数），若，且只有唯一实数根 ‎（1）求的解析式 ‎（2）令求数列的通项公式。‎ ‎6. 已知点C（-3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足 ‎（1）当点P在y轴上运动时，求点M的轨迹C的方程；‎ ‎（2）是否存在一个点H，使得以过H点的动直线L被轨迹C截得的线段AB为直径的圆始终过原点O。若存在，求出这个点的坐标，若不存在说明理由。‎ ‎7. 设为直角坐标平面内x,y轴正方向上的单位向量，若向量.‎ ‎ (1)求点M（x,y）的轨迹C的方程；‎ ‎(2)过点(0,3)作直线与曲线C 的交于A、B两点，设，是否存在这样的直线，使得四边形OAPB为矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.‎ ‎8. 已知倾斜角为的直线过点和点，点在第一象限，。‎ ‎（1）求点的坐标；‎ ‎（2）若直线与双曲线相交于两点，且线段的中点坐标为，求的值；‎ ‎（3）对于平面上任一点，当点在线段上运动时，称的最小值为与线段的距离。已知在轴上运动，写出点到线段的距离关于的函数关系式。‎ ‎9. 如图，已知定点，动点P在y轴上运动，过点P作交x轴于点M，延长MP到N，使 ‎⑴求动点N的轨迹C的方程；‎ ‎⑵设直线与动点N的轨迹C交于A，B两点，若若线段AB的长度满足：‎ ‎，求直线的斜率的取值范围。‎ ‎10. 在中,点分线段所成的比为,以、所在的直线为渐近线且离心率为的双曲线恰好经过点.‎ ‎⑴求双曲线的标准方程;‎ ‎⑵若直线与双曲线交 于不同的两点、,且、两点都在以点 为圆心的同一圆上,求实数的取值范围.‎ ‎11. 经过抛物线y的焦点F的直线L与该抛物线交于A,B两点.‎ （1） 若线段AB的斜率为k，试求中点M的轨迹方程；‎ （2） 若直线的斜率k＞2，且点M到直线3 x+4y+m=0的距离为，试确定m的取值范围。‎ ‎12. 一束光线从点出发，经直线上一点反射后，恰好穿过点．‎ ‎（Ⅰ）求点关于直线的对称点的坐标；‎ ‎（Ⅱ）求以、为焦点且过点的椭圆的方程；‎ ‎（Ⅲ）设直线与椭圆的两条准线分别交于、两点，点为线段上的动点，求点 到的距离与到椭圆右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点的坐标．‎ ‎13. 已知椭圆E：，点P是椭圆上一点。‎ ‎（1）求的最值。‎ ‎（2）若四边形ABCD内接于椭圆E，点A的横坐标为5，点C的纵坐标为4，求四边形面积的最大值。‎ ‎14. 已知椭圆的一个焦点，对应的准线方程为，且离心率满足，，成等比数列.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)试问是否存在直线，使与椭圆交于不同的两点、，且线段恰被直线平分？若存在，求出的倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由.‎ ‎15. 已知向量.‎ ‎（Ⅰ）求点的轨迹C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设曲线C与直线相交于不同的两点M、N，又点，当时，求实数的取值范围。‎ ‎16. 设直线与椭圆相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点.‎ ‎ （I）证明：；‎ ‎ （II）若的面积取得最大值时的椭圆方程.‎ ‎17. 如图，已知⊙：及点A，在 ⊙上任取一点A′，连AA′并作AA′的中垂线l，设l与直线A′交于点P，若点A′取遍⊙上的点.‎ ‎（1）求点P的轨迹C的方程；‎ ‎（2）若过点的直线与曲线交于、两点,且,则当时,求直线的斜率的取值范围.‎ ‎18. 如图，已知⊙：及点 ，在 ⊙上任取一点′，连′，并作′的中垂线l，设l与′交于点P， 若点′取遍⊙上的点.‎ ‎（1）求点P的轨迹C的方程；‎ ‎（2）设直线与轨迹C相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点D.若的面积取得最大值时的椭圆方程．‎ ‎19. 点A、B分别是以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆C长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆C上，且位于x轴上方， ‎ ‎（1）求椭圆C的的方程；‎ ‎（2）求点P的坐标；‎ ‎（3）设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到M的距离d的最小值。‎ ‎20. 已知正方形的外接圆方程为，A、B、C、D按逆时针方向排列，正方形一边CD所在直线的方向向量为(3，1)．‎ ‎（1）求正方形对角线AC与BD所在直线的方程；‎ ‎（2）若顶点在原点，焦点在轴上的抛物线E经过正方形在x轴上方的两个顶点A、B，求抛物线E的方程．‎ 答案：‎ ‎1. （1）设椭圆C的方程为．‎ 由题意可得：，， ‎ ‎（2）（1）当直线AB的斜率存在时，‎ 设直线AB的方程为 ‎，‎ ‎ ‎ ‎， ‎ 即，‎ ‎ ① ‎ 又， ②‎ 又点在直线AB上，‎ ‎ ③ ‎ 把②③代入①得，‎ 点D的轨迹方程为 ‎ ‎（2）当直线AB的斜率不存在时，，满足 点D的轨迹方程为 ‎ ‎2. 解（I）设 由 ‎ 且，‎ 又以AB为直径的圆过原点.既 ‎ ‎ ‎（II）‎ ‎ ‎ 右准线l的方程为：x＝，两条渐近线方程为：．‎ ‎　　∴　两交点坐标为　，、，．‎ ‎　　∵　△PFQ为等边三角形，则有（如图）．‎ ‎　　∴　，即．‎ ‎　　解得　，c＝2a．∴　．‎ ‎　　（2）由（1）得双曲线C的方程为把．‎ ‎　　把代入得．‎ ‎　　依题意　　∴　，且．‎ ‎　　∴　双曲线C被直线y＝ax＋b截得的弦长为 ‎　　‎ ‎　　 ‎ ‎　　∵　．‎ ‎　　∴　．‎ ‎　　整理得　．‎ ‎　　∴　或．‎ ‎　　∴　双曲线C的方程为：或．‎ ‎　　（文）（1）设B点的坐标为（0，），则C点坐标为（0，＋2）（-3≤≤1），‎ ‎　　则BC边的垂直平分线为y＝＋1　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①‎ ‎　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 ②‎ ‎　　由①②消去，得．‎ ‎　　∵　，∴　．‎ ‎　　故所求的△ABC外心的轨迹方程为：．‎ ‎　　（2）将代入得．‎ ‎　　由及，得．‎ ‎　　所以方程①在区间，2有两个实根．‎ ‎　　设，则方程③在，2上有两个不等实根的充要条件是：‎ ‎　　‎ ‎　　之得．‎ ‎　　∵　‎ ‎　　∴　由弦长公式，得 ‎　　又原点到直线l的距离为，‎ ‎　　∴　‎ ‎　　∵　，∴　．‎ ‎　　∴　当，即时，．‎ ‎4. （1）设直线AB：代入得 ‎ （＊）‎ ‎ 令A（x1，y1），B（x2，y2），则x1、x2是方程的两根 ‎ ∴ 且 ‎ ‎ ∵ ∴ N是AB的中点 ∴ ‎ ‎ ∴ k = 1 ∴AB方程为：y = x + 1 ‎ ‎ （2）将k = 1代入方程（＊）得 或 ‎ ‎ 由得，‎ ‎ ∴ ， ‎ ‎ ∵ ∴ CD垂直平分AB ∴ CD所在直线方程为 ‎ 即代入双曲线方程整理得 ‎ 令，及CD中点 ‎ 则，， ∴， ‎ ‎ |CD| =，‎ ‎ ，即A、B、C、D到M距离相等 ‎ ∴ A、B、C、D四点共圆 12分 ‎5. （1）直线方程为代入得 ‎，设则 ‎ ‎ ‎ 点的坐标为 ‎ 在椭圆上即 ‎ ‎ ‎（2）‎ 已知 椭圆方程为 ‎22．（1），又 令得 当时得方程的实数根和 于是 当时方程有唯一实数根 或 ‎（2）当时，，令则，‎ 当时， 为等比数列，‎ 或 ‎6. （1）设M(x,y), P(0, t), Q(s, 0)‎ 则 由得3s—t2=0……………………………………………………①‎ 又由得 ‎， ……………………………………②‎ 把②代入①得=0，即y2=4x，又x≠0‎ ‎∴点M的轨迹方程为：y2=4x（x≠0）‎ ‎（2）如图示，假设存在点H，满足题意，则 设，则由可得 解得 又 则直线AB的方程为：‎ 即把代入，化简得 令y=0代入得x=4，∴动直线AB过定点（4，0）‎ 答，存在点H（4，0），满足题意。‎ ‎7. (1)‎ 即点M(x,y)到两个定点F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为8,‎ 点M（x,y）的轨迹C为以F1(0,-2)、F2(0,2)为焦点的椭圆，其方程为 ‎.‎ ‎ (2)由题意可设直线方程为，‎ 由消去y得：(4+3k)x2 +18kx-21=0. ‎ 此时，△=(18k)2-4(4+3k2 (-21)>0恒成立，且 ‎ 由知：四边形OAPB为平行四边形.‎ 假设存在直线，使得四边形OAPB为矩形，则 .‎ 因为，所以，‎ 而，‎ 故，即.‎ 所以，存在直线：，使得四边形OAPB为矩形.‎ ‎8. （1）设，‎ ‎ ， ‎ ‎ ‎ ‎（2）设 由 得，‎ ‎ ‎ ‎ ， ‎ ‎（3）设线段上任意一点 ‎ ‎ 当时，即时，当时，；‎ 当时，即时，当时，；‎ 当时，即时，当时，。‎ ‎ ‎ ‎9. (1) 设动点则直线的方程为，令。是MN的中点，，故，消去得N的轨迹C的方程为.‎ ‎(2) 直线的方程为，直线与抛物线的交点坐标分别为,由得，‎ ‎ 又由得 ‎ 由可得，解得的取值范围是 ‎10. (1)由已知得即,∴, ‎ ‎∴‎ ‎(2)当时,,‎ ‎∴,‎ ‎∴……‎ ‎(3) （）,假设存在符合条件的使命题成立,则 ‎①当为偶数时,为奇数,则,由得.‎ ‎②当为奇数时,是偶数,则,‎ 由得矛盾.‎ 综合以上知,存在使得.‎ ‎20.解:(1)因为双曲线离心率为,所以可设双曲线的标准方程 由此可得渐近线的斜率从而,又因为点分线段所成的比为,所以,将点的坐标代入双曲线方程的,‎ 所以双曲线的方程为.‎ ‎(2)设线段的中点为.‎ 由 则且 ①‎ 由韦达定理的由题意知,‎ 所以 ②‎ 由①、②得 或 ‎11. .(1)设A(直线AB的方程为y=k(x-1) (k≠0),代入,得 ‎ kx-(2k+4)x+k=0‎ 设M(x ,y).则 ‎ ‎∴点M的坐标为(‎ 消去k可得M的轨迹方程为 ‎ (2)由 d= ‎ 得 ‎ 即 0＜＜,得 ‎0＜,‎ 即 或 ‎ ‎ 故的取值范围为 (-‎ ‎12. （Ⅰ）设的坐标为，则且．‎ 解得， 因此，点 的坐标为． ‎ ‎（Ⅱ），根据椭圆定义，‎ 得，‎ ‎，．‎ ‎∴所求椭圆方程为． ‎ ‎（Ⅲ），椭圆的准线方程为． ‎ 设点的坐标为,表示点到的距离，表示点到椭圆的右准线的距离．‎ 则，．‎ ‎， ‎ 令，则，‎ 当，， ，．‎ ‎ ∴ 在时取得最小值． ‎ 因此，最小值＝，此时点的坐标为．‎ 注：的最小值还可以用判别式法、换元法等其它方法求得．‎ 说明：求得的点即为切点，的最小值即为椭圆的离心率．‎ ‎13. （1）由得，则 则 所以的最大值为25，最小值为16。‎ ‎（2）如图，由及椭圆方程得A（5，0）。同理C（0，4），设为椭圆上任一点，又AC方程为，即。所以B到AC的距离为 同理得D到直线AC的距离 所以四边形ABCD最大面积。‎ ‎14. （1）∵成等比数列　∴　 ‎ 设是椭圆上任意一点，依椭圆的定义得 ‎ ‎ 即为所求的椭圆方程. ‎ ‎（2）假设存在，因与直线相交，不可能垂直轴 因此可设的方程为：由 ‎　 ①‎ 方程①有两个不等的实数根 ‎∴　②‎ 设两个交点、的坐标分别为　∴‎ ‎∵线段恰被直线平分　∴ ‎ ‎∵　∴ ③　把③代入②得 ‎ ‎∵　 ∴　∴解得或 ‎∴直线的倾斜角范围为 ‎ ‎15. 由题意得：‎ ‎（II）由得,‎ 由于直线与椭圆有两个不同的交点，，即 ①‎ ‎（1）当时，设弦MN的中点为分别为点M、N的横坐标，则 又 ②.‎ 将②代入①得，解得, 由②得 , ‎ 故所求的取值范围是 ‎（2）当时，‎ ‎16. 依题意，直线l显然不平行于坐标轴，故 将，得 ‎ ①‎ 由直线l与椭圆相交于两个不同的点，得 ‎，‎ 即 ‎ ‎ （II）解：设由①，得 因为，代入上式，得 ‎ 于是，△OAB的面积 ‎ ‎ ‎ 其中，上式取等号的条件是 由 将这两组值分别代入①，均可解出 所以，△OAB的面积取得最大值的椭圆方程是 ‎17. (1)　∵l是线段A的中垂线，∴,‎ ‎∴||PA|－|P||=||P|－|P||=||=.即点P在以、A为焦点，以4为焦距，以为实轴长的双曲线上，故轨迹C的方程为. ‎ ‎ (2)设,,则直线的方程为,则由,得 ‎ ,.由,得.∴,‎ ‎ ,.由,,,‎ ‎ 消去,得.∵,函数在上单调递增.‎ ‎ ∴,，所以 或.‎ ‎ 故斜率的取值范围为.‎ ‎18. (1)　∵l是线段的中垂线，∴,‎ ‎∴|PM|+|P|=|P|+|P|=||=2m.即点P在以、M为焦点，以为焦距，以为长轴长的椭圆上，故轨迹C的方程为，即. ‎ ‎（2）由 得 将代入消去，得 ① ‎ 由直线l与椭圆相交于两个不同的点，得 整理得，即 ‎ ‎ 设由①，得.‎ ‎∵而点, ∴，所以，‎ 代入上式，得 ‎ 于是，△OAB的面积 ‎ 其中，上式取等号的条件是即 由可得.‎ 将及这两组值分别代入①，均可解出 ‎∴△OAB的面积取得最大值的椭圆方程是 ‎19. （1）已知双曲线实半轴a1=4，虚半轴b1=2，半焦距c1=，‎ ‎∴椭圆的长半轴a2=c1=6，椭圆的半焦距c2=a1=4，椭圆的短半轴=，‎ ‎∴所求的椭圆方程为 ‎ ‎（2）由已知,，设点P的坐标为，则 由已知得 ‎ ‎ 则，解之得， ‎ 由于y>0，所以只能取，于是，所以点P的坐标为9分 ‎（3）直线，设点M是，则点M到直线AP的距离是，于是， ‎ 又∵点M在椭圆的长轴上，即 ‎ ‎∴当时，椭圆上的点到的距离 ‎ ‎ 又 ∴当时，d取最小值 ‎20. (1) 由（x－12）2+y2=144－a(a<144),可知圆心M的坐标为(12，0)， ‎ 依题意，∠ABM=∠BAM=，kAB= , 设MA、MB的斜率k.‎ 则且,‎ 解得=2，=－ ． ‎ ‎∴所求BD方程为x+2y－12=0，AC方程为2x－y－24=0．‎ ‎(2) 设MB、MA的倾斜角分别为θ1，θ2，则tanθ1＝2，tanθ2＝－，‎ 设圆半径为r，则A（12＋），B（12－，），‎ 再设抛物线方程为y2＝2px (p＞0)，由于A，B两点在抛物线上，‎ ‎∴ ∴ r=4，p=2．‎ 得抛物线方程为y2＝4x 。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m