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- 2021-05-13 发布
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考点10 导数的应用(单调性、最值、极值)
【高考再现】
热点一 利用导数研究函数的单调性
1.(2012年高考(辽宁文))函数y=x2㏑x的单调递减区间为( )
A.(1,1]B.(0,1]C.[1,+∞)D.(0,+∞)
【答案】B
【解析】
故选B
2.(2012年高考(浙江理))设a>0,b>0.
A.若,则a>b B.若,则a<b
C.若,则a>b D.若,则a<b
3.(2012年高考(浙江文))已知a∈R,函数
(1)求f(x)的单调区间。
(2)证明:当0≤x≤1时, 。
【解析】(1)由题意得,
当时,恒成立,此时的单调递增区间为.
当时,,此时函数的单调递增区间为.
(2)由于,当时,.
当时,.
设,则.
则有
0
1
-
0
+
1
减
极小值
增
1
所以.
当时,.
故.
4.(2012年高考(新课标理))已知函数满足满足;
(1)求的解析式及单调区间;
(2)若,求的最大值.
得:当时,
令;则
当时,
当时,的最大值为
5.(2012年高考(陕西理))设函数,则( )
A.为的极大值点B.为的极小值点
C.为的极大值点D.为的极小值点
【答案】D
【解析】,令得,时,,为减函数;时,,为增函数,所以为的极小值点,选D.
6.(2012年高考(重庆理))设函数在R上可导,其导函数为,且函数
的图像如题(8)图所示,则下列结论中一定成立的是( )
A.函数有极大值和极小值
B.函数有极大值和极小值
C.函数有极大值和极小值
D.函数有极大值和极小值
7.(2012年高考(重庆文))已知函数在处取得极值为
(1)求a、b的值;(2)若有极大值28,求在上的最大值.
【解析】::(Ⅰ)因 故 由于 在点 处取得极值
故有即 ,化简得解得
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
令 ,得当时,故在上为增函数;
当 时, 故在 上为减函数
当 时 ,故在 上为增函数.
由此可知 在 处取得极大值, 在 处取得极小值由题设条件知 得此时,因此 上的最小值为
8.(2012年高考(广东文))
设,集合,,.
(Ⅰ)求集合(用区间表示);
(Ⅱ)求函数在内的极值点.
综上所述,当时,;当时,;当时,;当时,.其中,.
(Ⅱ),令可得.因为,所以有两根和,且.
①当时,,此时在内有两根和,列表可得
1
+
0
-
0
+
递增
极小值
递减
极大值
递增
所以在内有极大值点1,极小值点.
②当时,,此时在内只有一根,列表可得
+
0
-
+
递增
极小值
递减
递增
所以在内只有极小值点,没有极大值点.
③当时,,此时(可用分析法证明),于是在内只有一根,列表可得
+
0
-
+
递增
极小值
递减
递增
所以在内只有极小值点,没有极大值点.
9.(2012年高考(江西文))已知函数在上单调递减且满足.
(1)求的取值范围;
(2)设,求在上的最大值和最小值.
【解析】(1)由,,则
,,依题意须对于任意
,有,当时,因为二次函数的图像开口向上,而,所以须,即,当时,对任意,有,符合条件;当时,对任意,,符合要求,当时,因,不符合条件,故的取值范围为.
(2)因
当时,,在上取得最小值,在上取得最大值;
当时,对于任意,有,在上取得最大值,在上取得最小值;
当时,由,
10.(2012年高考(江苏))若函数在处取得极大值或极小值,则称为函数的极值点.
已知是实数,1和是函数的两个极值点.
(1)求和的值;
(2)设函数的导函数,求的极值点;
(3)设,其中,求函数的零点个数.
【解析】(1)由,得.
∵1和是函数的两个极值点,
∴ ,,解得.
(3)令,则.
先讨论关于 的方程 根的情况:
当时,由(2 )可知,的两个不同的根为I 和一2 ,注意到是奇函数,∴的两个不同的根为一和2.
当时,∵, ,
∴一2 , -1,1 ,2 都不是的根.
由(1)知.
① 当时, ,于是是单调增函数,从而.
此时在无实根.
② 当时.,于是是单调增函数.
又∵,,的图象不间断,
∴ 在(1 , 2 )内有唯一实根.
同理,在(一2 ,一I )内有唯一实根.
③ 当时,,于是是单调减两数.
又∵, ,的图象不间断,
∴在(一1,1 )内有唯一实根.
因此,当时,有两个不同的根满足;当 时
有三个不同的根,满足.
现考虑函数的零点:
( i )当时,有两个根,满足.
而有三个不同的根,有两个不同的根,故有5 个零点.
( 11 )当时,有三个不同的根,满足.
而有三个不同的根,故有9 个零点.
综上所述,当时,函数有5 个零点;当时,函数有9 个零点.
11.(2012年高考(湖南理))已知函数=,其中a≠0.
(1) 若对一切x∈R,≥1恒成立,求a的取值集合.
(2)在函数的图像上取定两点,,记直线AB的斜率为K,问:是否存在x0∈(x1,x2),使成立?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由.
(Ⅱ)由题意知,
令则
【方法总结】1.求函数极值的步骤
(1)确定函数的定义域.
(2)求方程f′(x)=0的根.
(3)用方程f′(x)=0的根和不可导点的x的值顺次将函数的定义域分成若干个小开区间,并形成表格.
(4)由f′(x)=0的根左右的符号以及f′(x)在不可导点左右的符号来判断f′(x)在这个根或不可导点处取极值的情况.
2.函数的最大(小)值是在函数极大(小)值基础上的发展.从函数图象上可以直观地看出:如果在闭区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值,只要把函数y=f(x)的所有极值连同端点处的函数值进行比较,就可以求出函数的最大(小)值.
热点三 利用导数研究综合问题
12.(2012年高考(天津文))已知函数
(I)求函数的单调区间;
(II)若函数在区间内恰有两个零点,求的取值范围;
(III)当时,设函数在区间上的最大值为,最小值为,记,求函数在区间上的最小值.
13.(2012年高考(陕西文))设函数
(1)设,,证明:在区间内存在唯一的零点;
(2)设n为偶数,,,求b+3c的最小值和最大值;
(3)设,若对任意,有,求的取值范围;
【解析】(Ⅰ)当
.
又当,
.
解法三:由题意,知
解得,.
∴.
又∵,,∴.
当时,;当,.
∴的最小值是-6,最大值是0.
(2)当时,.
对任意上的最大值
与最小值之差,据此分类讨论如下:
14.(2012年高考(天津理))已知函数的最小值为,其中.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若对任意的,有成立,求实数的最小值;
(Ⅲ)证明.
【解析】(1)的定义域为
得:时,
(2)设
则在上恒成立(*)
15.(2012年高考(陕西理))设函数
(1)设,,证明:在区间内存在唯一的零点;
(2)设,若对任意,有,求的取值范围;
(3)在(1)的条件下,设是在内的零点,判断数列的增减性.
【解析】(1),时,
∵,∴在内存在零点.
又当时,
∴ 在上是单调递增的,所以在内存在唯一零点.
注:(ⅱ)(ⅲ)也可合并证明如下:
用表示中的较大者.当,即时,
恒成立
(3)证法一 设是在内的唯一零点
,,
于是有
又由(1)知在上是递增的,故,
所以,数列是递增数列.
证法二 设是在内的唯一零点
则的零点在内,故,
所以,数列是递增数列.
【考点剖析】
一.明确要求
1.了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(对多项式函数不超过三次).
2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数不超过三次).
3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(对多项式函数不超过三次).
4.会利用导数解决某些实际问题.
二.命题方向
1.利用导数研究函数的单调性、极值是近几年高考的热点.
2.选择题、填空题侧重于利1用导数确定函数的单调性和极值.解答题侧重于导数与函数、解析几何、不等式、数列的综合应用,一般难度较大,属中高档题.
3.利用导数研究函数的最值以及解决生活中的优化问题,已成为近几年高考的考点且每年必考!
4.选择题、填空题主要考查函数的最值,而解答题则考查函数综合问题,一般难度较大.
三.规律总结
两个注意
(1)注意函数定义域的确定.
(2)在实际问题中,如果函数在区间内只有一个极值点,那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值比较.
两个条件
(1)f′(x)>0在(a,b)上成立是f(x)在(a,b)上单调递增的充分条件.
(2)对于可导函数f(x),f′(x0)=0是函数f(x)在x=x0处有极值的必要不充分条件.
三个防范
【基础练习】
1.(教材习题改编)函数f(x)=1+x-sin x在(0,2π)上是()
A.增函数
B.减函数
C.在(0,π)上增,在(π,2π)上减
D.在(0,π)上减,在(π,2π)上增
答案:A
解析:f′(x)=1-cos x>0,∴f(x)在(0,2π)上递增.
2.(教材习题改编)函数f(x)=12x-x3在区间[-3,3]上的最小值是 ()
A.-9B.-16
C.-12 D.-11
答案: B
解析:由f′(x)=12-3x2=0,得x=-2或x=2.又f(-3)=-9,f(-2)=-16,f(2)=16,f(3)=9,∴函数f(x)在[-3,3]上的最小值为-16.
3.(经典习题)已知函数f(x)=x3+mx2+(m+6)x+1既存在极大值又存在极小值,则实数m的取值范围是________.
答案:(-∞,-3)∪(6,+∞)
解析:f′(x)=3x2+2mx+m+6=0有两个不等实根,即Δ=4m2-12×(m+6)>0.∴m>6或m<-3.
4. (经典习题)若a>3,则方程x3-ax2+1=0在(0,2)上恰有________个实根.
答案:1
解析:设f(x)=x3-ax2+1,则f′(x)=3x2-2ax=x(3x-2a),
由于a>3,则在(0,2)上f′(x)<0,f(x)为减函数,
而f(0)=1>0,f(2)=9-4a<0,
则方程x3-ax2+1=0在(0,2)上恰有1个实根.
5. (教材习题改编)函数f(x)=x3-15x2-33x+6的单调减区间为________.
【答案】 (-1,11)
【解析】f′(x)=3x2-30x-33=3(x-11)(x+1),当-10 时,设的图象C1与的图象C2相交于两个不同的点P、Q,过线段PQ的中点作x轴的垂线交C1于点,求证.
法二:等价于在R上有解,即
三.提升自我
22. (2012年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试理)
已知点P在曲线y=ex(e自然对数的底数)上,点Q在曲线y=lnx上,则丨PQ丨的最小值是
A.B. 2eC.D. e
【答案】A
【解析】:∵曲线y=ex(e自然对数的底数)与曲线y=lnx互为反函数,其图象关于y=x对称,故可先求点P到直线y=x的最近距离d,设曲线y=ex上斜率为1的切线为y=x+b,
∵y′=ex,由ex=1,得x=0,故切点坐标为(0,1),即b=1,∴d=∴丨PQ丨的最小值为2d= ,故选 A
23.(湖北省八校2012届高三第一次联考理)定义在R上的函数,则
( )
A. B.
C. D.
24.(海南省2012洋浦中学高三第三次月考)已知函数f (x)=f (p-x),且当时,f (x)=x+sinx,设a=f (1),b=f (2),c=f (3),则( )
A.a0.
所以. ……………………………………13分
所以的最小值为.
所以使得恒成立的的最大值为.
……………………………………14分
27.(2012东城区普通高中示范校高三综合练习(二)理)
(本小题满分13分)
已知函数: ,
(1) 当时,求的最小值;
(2)当时,若存在,使得对任意的恒成立,
求的取值范围.
(2) 若存在,使得对任意的恒成立,
即
当时,由(1)可知,, 为增函数,
,
,当时为减函数,
……………………13分
28.(2012年大连沈阳联合考试第二次模拟试题理) (本小题满分12分)
已知函数.
(Ⅰ)讨论函数在定义域内的极值点的个数;
(Ⅱ)若函数在处取得极值,对,恒成立,
求实数的取值范围;
(Ⅲ)当,证明:(沈阳)
(Ⅲ)当且时,试比较的大小.(大连)
(Ⅲ)证明:, 8分
令,则只要证明在上单调递增,
又∵,
显然函数在上单调递增. 10分
∴,即,
∴在上单调递增,即,
∴当时,有. 12分
29.(2012年河南豫东、豫北十所名校阶段性测试(三)理) (本小题满分12分)
已知函数,其中常数a>0.
(I )当a>2时,求函数f(x)的单调递增区间;
(II)当a=4时,给出两类直线:与,其中m,n为常数.判断这两类直线中是否存在的切线?若存在,求出相应的m或n的值;若不存在,说明理由;
(III)设定义在D上的函数在点处的切线方程为,当时,若在D内恒成立,则称P为函数的“类对称点”.当a=4时,试问是否存在“类对称点”?若存在,请至少求出一个“类对称点”的横坐标;若不存在,说明理由.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当时,函数在其图象上一点
处的切线方程为,
设,
则………………………………………………(8分)
,
若,在上单调递减,所以当时,,此时;
若,在上单调递减,所以当时,,此时.
30.(中原六校联谊2012年高三第一次联考理)(本小题满分12分)
己知函数
(1)求函数的单调区间;
(2)设函数,是否存在实数a、b、c∈[0,1],使得若存在,求出t的取值范围;若不存在,说明理由.
【解析】
(1),当时,,在区间上为减函数.
当时,,在区间上为增函数.
的单调增区间为,的单调减区间为……3分
(2)假设存在,使得,
则. ……5分
, ……6分
31.(仙桃市2012年五月高考仿真模拟试题理)(本题满分14分)
已知函数;
(I)求证:对;
(II)证明:;
(III)求证:对
解(I)只需证明的最大值为O,即可
当
是唯一的极大值点,故
从而 (4分)
(II)由(I)当时,,即
令 得
……
上面个不等式相加,得 (9分)
(III)由(I)得时 即
=
(14分)
【原创预测】
1.已知有两个极值点,且,则的取值范围是 ( )
A、 B、 C、 D、
再取同理可得控制不等式组也有解,故可排除C。
因此选“B”
2(本小题满分12分)
已知函数。
(1)讨论函数的单调性;
(2)证明:
解:
(Ⅰ)f¢(x)=. …2分
设g(x)=-2lnx+x-,
则g(1)=0,且g¢(x)=≥0,g(x)在(0,+∞)单调递增.
当x∈(0,1)时,g(x)<0,从而f¢(x)<0,f(x)单调递减;
当x∈(1,+∞)时,g(x)>0,从而f¢(x)>0,f(x)单调递增.