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- 2021-05-13 发布
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浙江高考历年真题之函数与导数大题
(教师版)
1、(2005年)已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称,且f(x)=x2=2x.
(Ⅰ)求函数g(x)的解析式; (Ⅱ)解不等式g(x)≥f(x)-|x-1|.
解析:(Ⅰ)设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为,则
,∵点在函数的图象上
∴
(Ⅱ)由
当时,,此时不等式无解
当时,,解得
因此,原不等式的解集为
2、(2006年)设,f(0)>0,f(1)>0,求证:
(Ⅰ)a>0且-2<<-1;
(Ⅱ)方程在(0,1)内有两个实根.
解析:(I)证明:因为f (0) >0,f (1) >0,所以c > 0,3a + 2b + c > 0
由条件a + b + c = 0,消去b,得a > c >0
由条件a + b + c = 0,消去c,得a + b < 0,2a + b > 0,故
(II)抛物线的顶点坐标为
在的两端乖以,得
又因为f (0) >0,f (1) >0,而,
所以方程在区间内分别有一实根。
故方程在(0,1)内有两个实根。
3、(2007年)设,对任意实数,记.
(I)求函数的单调区间;
(II)求证:(ⅰ)当时,对任意正实数成立;
(ⅱ)有且仅有一个正实数,使得对任意正实数成立.
解析:(I)解:.
由,得.
因为当时,,
当时,,
当时,,
故所求函数的单调递增区间是,,单调递减区间是.
(II)证明:(i)方法一:
令,则,
当时,由,得,
当时,,
所以在内的最小值是.故当时,对任意正实数成立.
方法二:
对任意固定的,令,则,
由,得.
当时,.
当时,,
所以当时,取得最大值.
因此当时,对任意正实数成立.
(ii)方法一:.
由(i)得,对任意正实数成立.
即存在正实数,使得对任意正实数成立.
下面证明的唯一性:
当,,时,,,
由(i)得,,
再取,得,
所以,即时,不满足对任意都成立.
故有且仅有一个正实数,使得对任意正实数成立.
方法二:对任意,,
因为关于的最大值是,所以要使对任意正实数成立的充分必要条件是:
,即,
又因为,不等式①成立的充分必要条件是,
所以有且仅有一个正实数,使得对任意正实数成立.
4、(2008年)已知是实数,函数。
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)设为在区间上的最小值。
(i)写出的表达式;
(ii)求的取值范围,使得。
解析:(Ⅰ)解:函数的定义域为,().
若,则,有单调递增区间.
若,令,得,当时,,
当时,.有单调递减区间,单调递增区间.
(Ⅱ)解:(i)若,在上单调递增,所以.
若,在上单调递减,在上单调递增,
所以.若,在上单调递减,
所以.综上所述,
(ii)令.若,无解.若,解得.
若,解得.故的取值范围为.
5、(2009年)已知函数,,
其中.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(I)设函数.若在区间上不单调,求的取值范围;
(II)设函数 是否存在,对任意给定的非零实数,存在惟一
的非零实数(),使得成立?若存在,求的值;若不存
在,请说明理由.
解析:(Ⅰ)解:,
.
因为在上不单调,所以在上有实数解,且无重根.
由,得,
即.
令,有,记,则在上单调递减,在上单调递增.
所以,,
于是,得.
而当时,在上有两个相等的实根,故舍去.
所以.
(Ⅱ)解:由题意,得
当时,;
当时,.
因为当时不合题意,所以.
下面讨论的情形.
记则
(ⅰ)当时,在上单调递增,
所以要使成立,只能,且,因此.
(ⅱ)当时,在上单调递减,
所以要使成立,只能,且,因此.
综合(ⅰ)(ⅱ),得.
当时,有.
则,,即,使得成立.
因为在上单调递增,所以是惟一的.
同理,,存在惟一非零实数,使得成立.所以满足题意.
6、(2010年)已知a是给定的实常数,
设函数是的一个极大值点.
(I)求b的取值范围;
(II)设是的3个极值点,问是否存在实数b,可找到,使得的某种排列(其中)依次成等 差数列?若存在,示所有的b及相应的若不存在,说明理由.
解析:(Ⅰ)解:
令
则
于是可设是的两实根,且
(1)当时,则不是的极值点,此时不合题意
(2)当时,由于是的极大值点,
故即
即,所以
所以的取值范围是(-∞,)
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知,假设存了及满足题意,则
(1)当时,则
于是 即
此时
或
(2)当时,则
①若
于是
即
于是
此时
②若
于是
即,于是
此时
综上所述,存在满足题意
当
当
当
7、(2011年)设函数=,∈R
(Ⅰ)若=为的极值点,求实数;
(Ⅱ)求实数的取值范围,使得对任意的∈(0,3],恒有≤4成立.
注:为自然对数的底数。
解析:
8、(2012年)已知,函数。
(Ⅰ)证明:当时,
(i)函数的最大值为;
(ii);
(Ⅱ)若对x∈恒成立,求的取值范围。
解析:
浙江高考历年真题之函数与导数大题
1、(2005年)已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称,且f(x)=x2=2x.
(Ⅰ)求函数g(x)的解析式; (Ⅱ)解不等式g(x)≥f(x)-|x-1|.
2、(2006年)设,f(0)>0,f(1)>0,求证:
(Ⅰ)a>0且-2<<-1;
(Ⅱ)方程在(0,1)内有两个实根.
3、(2007年)设,对任意实数,记.
(I)求函数的单调区间;
(II)求证:(ⅰ)当时,对任意正实数成立;
(ⅱ)有且仅有一个正实数,使得对任意正实数成立.
4、(2008年)已知是实数,函数。
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)设为在区间上的最小值。
(i)写出的表达式; (ii)求的取值范围,使得。
5、(2009年)已知函数,,
其中.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(I)设函数.若在区间上不单调,求的取值范围;
(II)设函数 是否存在,对任意给定的非零实数,存在惟一
的非零实数(),使得成立?若存在,求的值;若不存
在,请说明理由.
6、(2010年)已知a是给定的实常数,
设函数是的一个极大值点.
(I)求b的取值范围;
(II)设是的3个极值点,问是否存在实数b,可找到,使得的某种排列(其中)依次成等 差数列?若存在,示所有的b及相应的若不存在,说明理由.
7、(2011年)设函数=,∈R
(Ⅰ)若=为的极值点,求实数;
(Ⅱ)求实数的取值范围,使得对任意的∈(0,3],恒有≤4成立.注:为自然对数的底数。
8、(2012年)已知,函数。
(Ⅰ)证明:当时,
(i)函数的最大值为; (ii);
(Ⅱ)若对x∈恒成立,求的取值范围。
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