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  • 2021-05-13 发布

浙江高考历年真题之函数与导数大题理科

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浙江高考历年真题之函数与导数大题 ‎(教师版)‎ ‎1、(2005年)已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称,且f(x)=x2=2x.‎ ‎ (Ⅰ)求函数g(x)的解析式;  (Ⅱ)解不等式g(x)≥f(x)-|x-1|.‎ 解析:(Ⅰ)设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为,则 ‎,∵点在函数的图象上 ‎∴‎ ‎(Ⅱ)由 当时,,此时不等式无解 当时,,解得 因此,原不等式的解集为 ‎2、(2006年)设,f(0)>0,f(1)>0,求证:‎ ‎(Ⅰ)a>0且-2<<-1;‎ ‎(Ⅱ)方程在(0,1)内有两个实根.‎ 解析:(I)证明:因为f (0) >0,f (1) >0,所以c > 0,‎3a + 2b + c > 0‎ 由条件a + b + c = 0,消去b,得a > c >0‎ 由条件a + b + c = 0,消去c,得a + b < 0,2a + b > 0,故 ‎(II)抛物线的顶点坐标为 在的两端乖以,得 又因为f (0) >0,f (1) >0,而,‎ 所以方程在区间内分别有一实根。‎ 故方程在(0,1)内有两个实根。‎ ‎3、(2007年)设,对任意实数,记.‎ ‎(I)求函数的单调区间;‎ ‎(II)求证:(ⅰ)当时,对任意正实数成立;‎ ‎(ⅱ)有且仅有一个正实数,使得对任意正实数成立.‎ 解析:(I)解:.‎ 由,得.‎ 因为当时,,‎ 当时,,‎ 当时,,‎ 故所求函数的单调递增区间是,,单调递减区间是.‎ ‎(II)证明:(i)方法一:‎ 令,则,‎ 当时,由,得,‎ 当时,,‎ 所以在内的最小值是.故当时,对任意正实数成立.‎ 方法二:‎ 对任意固定的,令,则,‎ 由,得.‎ 当时,.‎ 当时,,‎ 所以当时,取得最大值.‎ 因此当时,对任意正实数成立.‎ ‎(ii)方法一:.‎ 由(i)得,对任意正实数成立.‎ 即存在正实数,使得对任意正实数成立.‎ 下面证明的唯一性:‎ 当,,时,,,‎ 由(i)得,,‎ 再取,得,‎ 所以,即时,不满足对任意都成立.‎ 故有且仅有一个正实数,使得对任意正实数成立.‎ 方法二:对任意,,‎ 因为关于的最大值是,所以要使对任意正实数成立的充分必要条件是:‎ ‎,即, ‎ 又因为,不等式①成立的充分必要条件是,‎ 所以有且仅有一个正实数,使得对任意正实数成立.‎ ‎4、(2008年)已知是实数,函数。‎ ‎(Ⅰ)求函数的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)设为在区间上的最小值。‎ ‎(i)写出的表达式;‎ ‎(ii)求的取值范围,使得。‎ 解析:(Ⅰ)解:函数的定义域为,().‎ 若,则,有单调递增区间.‎ 若,令,得,当时,,‎ 当时,.有单调递减区间,单调递增区间.‎ ‎(Ⅱ)解:(i)若,在上单调递增,所以.‎ 若,在上单调递减,在上单调递增,‎ 所以.若,在上单调递减,‎ 所以.综上所述, ‎ ‎(ii)令.若,无解.若,解得.‎ 若,解得.故的取值范围为.‎ ‎5、(2009年)已知函数,,‎ 其中.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ (I)设函数.若在区间上不单调,求的取值范围;‎ ‎ (II)设函数 是否存在,对任意给定的非零实数,存在惟一 的非零实数(),使得成立?若存在,求的值;若不存 在,请说明理由.‎ 解析:(Ⅰ)解:,‎ ‎.‎ 因为在上不单调,所以在上有实数解,且无重根.‎ 由,得,‎ 即.‎ 令,有,记,则在上单调递减,在上单调递增.‎ 所以,,‎ 于是,得.‎ 而当时,在上有两个相等的实根,故舍去.‎ 所以.‎ ‎(Ⅱ)解:由题意,得 当时,;‎ 当时,.‎ 因为当时不合题意,所以.‎ 下面讨论的情形.‎ 记则 ‎(ⅰ)当时,在上单调递增,‎ 所以要使成立,只能,且,因此.‎ ‎(ⅱ)当时,在上单调递减,‎ 所以要使成立,只能,且,因此.‎ 综合(ⅰ)(ⅱ),得.‎ 当时,有.‎ 则,,即,使得成立.‎ 因为在上单调递增,所以是惟一的.‎ 同理,,存在惟一非零实数,使得成立.所以满足题意.‎ ‎6、(2010年)已知a是给定的实常数,‎ 设函数是的一个极大值点.‎ ‎ (I)求b的取值范围;‎ ‎ (II)设是的3个极值点,问是否存在实数b,可找到,使得的某种排列(其中)依次成等 差数列?若存在,示所有的b及相应的若不存在,说明理由.‎ 解析:(Ⅰ)解:‎ ‎ 令 ‎ 则 ‎ 于是可设是的两实根,且 ‎ (1)当时,则不是的极值点,此时不合题意 ‎ (2)当时,由于是的极大值点,‎ ‎ 故即 ‎ 即,所以 ‎ 所以的取值范围是(-∞,)‎ ‎ (Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知,假设存了及满足题意,则 ‎ (1)当时,则 ‎ 于是 即 ‎ 此时 ‎ 或 ‎ (2)当时,则 ‎ ①若 ‎ 于是 ‎ 即 ‎ 于是 ‎ 此时 ‎ ②若 ‎ 于是 ‎ 即,于是 ‎ 此时 ‎ 综上所述,存在满足题意 ‎ 当 ‎ 当 ‎ 当 ‎7、(2011年)设函数=,∈R ‎(Ⅰ)若=为的极值点,求实数;‎ ‎(Ⅱ)求实数的取值范围,使得对任意的∈(0,3],恒有≤4成立.‎ 注:为自然对数的底数。‎ 解析:‎ ‎8、(2012年)已知,函数。‎ ‎(Ⅰ)证明:当时,‎ ‎(i)函数的最大值为;‎ ‎(ii);‎ ‎(Ⅱ)若对x∈恒成立,求的取值范围。‎ 解析:‎ 浙江高考历年真题之函数与导数大题 ‎1、(2005年)已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称,且f(x)=x2=2x.‎ ‎ (Ⅰ)求函数g(x)的解析式;  (Ⅱ)解不等式g(x)≥f(x)-|x-1|.‎ ‎2、(2006年)设,f(0)>0,f(1)>0,求证:‎ ‎(Ⅰ)a>0且-2<<-1;‎ ‎(Ⅱ)方程在(0,1)内有两个实根.‎ ‎3、(2007年)设,对任意实数,记.‎ ‎(I)求函数的单调区间;‎ ‎(II)求证:(ⅰ)当时,对任意正实数成立;‎ ‎(ⅱ)有且仅有一个正实数,使得对任意正实数成立.‎ ‎4、(2008年)已知是实数,函数。‎ ‎(Ⅰ)求函数的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)设为在区间上的最小值。‎ ‎(i)写出的表达式; (ii)求的取值范围,使得。‎ ‎5、(2009年)已知函数,,‎ 其中.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ (I)设函数.若在区间上不单调,求的取值范围;‎ ‎ (II)设函数 是否存在,对任意给定的非零实数,存在惟一 的非零实数(),使得成立?若存在,求的值;若不存 在,请说明理由.‎ ‎6、(2010年)已知a是给定的实常数,‎ 设函数是的一个极大值点.‎ ‎ (I)求b的取值范围;‎ ‎ (II)设是的3个极值点,问是否存在实数b,可找到,使得的某种排列(其中)依次成等 差数列?若存在,示所有的b及相应的若不存在,说明理由.‎ ‎7、(2011年)设函数=,∈R ‎(Ⅰ)若=为的极值点,求实数;‎ ‎(Ⅱ)求实数的取值范围,使得对任意的∈(0,3],恒有≤4成立.注:为自然对数的底数。‎ ‎8、(2012年)已知,函数。‎ ‎(Ⅰ)证明:当时,‎ ‎(i)函数的最大值为; (ii);‎ ‎(Ⅱ)若对x∈恒成立,求的取值范围。‎