湖北高考数学试卷理科答案 12页

‎2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖北A卷）‎ 数学（理工类）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 ，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎1. 方程的一个根是 A -3+2i B 3+2i C -2 + 3i D 2 + 3i ‎ ‎，所以，故选A ‎2. 命题“”的否定是 A B ‎ C D ‎ 存在性命题的否定为“”改为“”，后面结论加以否定，故为，选D ‎3. 已知二次函数的图像如图所示 ，‎ 则它与轴所围图形的面积为 ‎ A. B. C. D.‎ 由图像可知，二次函数解析式为 设面积为，则，故选B ‎4.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A. B. C. D. ‎ 此几何体为一个圆柱切去了一部分，此圆柱底面半径为 1，高为 4，现在此几何体上方补上一个和此几何体完全一样的几何体 ，从而构成一个底面半径为1，高为6的圆柱，这个圆柱的体积为，要求几何体的体积为圆柱体积的一半，为，故选B ‎5.设，且，若能被13整除，则 A.0 B‎.1 ‎‎ C.11 D.12‎ ‎，显然上式除了外，其余各个因式都能被13整除，所以能被13整除，只需，故选 D ‎6.设是正数，且，则 A. B. C. D. ‎ 由柯西不等式知，而此时恰好满足取等条件，令代入到中得 ‎，所以由合比定理得，故选C ‎7.定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数，如果对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”。现有定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①；②；③；④。‎ 则其中是“保等比数列函数”的的序号为 A.①② B.③④ C.①③ D.②④‎ 令等比数列的公比为，①，是等比数列；②，‎ 不一定是 常数，不一定是等比数列；③，‎ 是等比数列；④，举个特例，令是等差数列不是等比数列，从而选C ‎8.如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆。在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 A. B. C. D. ‎ 设大圆的半径为2，则小圆半径为1，扇形面积为，而阴影部分的面积为，在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率，故选A ‎9.函数在区间[0,4]上的零点个数为 A.4 B‎.5 C.6 D.7‎ 当时，，当，而使余弦为零的角的弧度数为，令 则时对应角分别为均满足条件，当时，不满足条件，综上零点个数为6个，故选C ‎10.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式。人们还用过一些类似的近似公式。根据=3.14159…..判断，下列近似公式中最精确的一个是 A. B. ‎5 C. D. ‎ 由球的体积公式得，由此得，经验证最精确的为D 二、填空题：本大题共6小题，考试共需作答5小题，每小题5分，共25分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上。答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。‎ ‎（一）必考题（11-14题）‎ ‎ 11.设△ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a，b，c.若，则角C=______________。‎ 由 得，所以，‎ ‎ 12.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s=___________.‎ ‎；，当时，输出 ‎13.回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数。如22，,11,3443,94249等。显然2位回文数有9个：11,22,33…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999。则 ‎（Ⅰ）4位回文数有______个；‎ ‎（Ⅱ）2n＋1（n∈N+）位回文数有______个。‎ ‎4位回文数有1001,1111,1221,1331，…，1991,2002,2112,2222,2332，…，‎ ‎2992，,9009,9119，…，9999共90个 ‎2n＋1（n∈N+）位回文数有，共有n个10，所以为个 ‎14.如图，双曲线的两顶点为，虚轴两端点为，两焦点为。若以为直径的圆内切于菱形，切点分别为A，B，C，D。则 ‎（1）双曲线的离心率e=______；‎ ‎（2）菱形的面积与矩形的面积的比值__________。‎ ‎（1）由已知 ‎，解得 ‎（2）由已知得，又直线的方程为，而直线的方程为联立解得 ‎，所以，‎ ‎（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分。）‎ ‎15.（选修4-1：几何证明选讲）‎ 如图，点D在⊙O的弦AB上移动，AB=4，连接OD，过点D作OD的垂线交⊙O于点C，则CD的最大值为_____________。‎ 设圆的半径为，由已知，又，显然 最小时，CD有最大值，而取最小值时，，此时，所以CD有最大值2‎ ‎16.（选修4-4：坐标系与参数方程）‎ 在直角坐标系中，以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线与曲线（t为参数）相较于A，B来两点，则线段AB的中点的直角坐标为_________。‎ 射线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为联立方程解得 ‎，所以线段AB的中点的直角坐标为 三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 已知向量，设函数的图像关于直线x=π对称，其中为常数，且 ‎（1）求函数的最小正周期；‎ ‎（2）若y=f（x）的图像经过点，求函数在区间上的取值范围。‎ ‎（1）函数的图像关于直线x=π对称，所以 又，所以的周期为 ‎（2）若y=f（x）的图像经过点，则有，所以 ‎，函数在区间上的取值范围为 ‎18.（本小题满分12分）‎ 已知等差数列前三项的和为-3，前三项的积为8.‎ ‎（1）求等差数列的通项公式；‎ ‎（2）若成等比数列，求数列的前n项的和。‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°（如图2所示），‎ ‎（1）当BD的长为多少时，三棱锥A-BCD的体积最大；‎ ‎（2）当三棱锥A-BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小 ‎20．（本小题满分12分）‎ 根据以往的经验，某工程施工期间的将数量X（单位：mm）对工期的影响如下表：‎ 降水量X X<300‎ ‎300≤X<700‎ ‎700≤X<900‎ X≥900‎ 工期延误天数Y ‎0‎ ‎2‎ ‎6‎ ‎10‎ 历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：‎ ‎（I）工期延误天数Y的均值与方差；‎ ‎（Ⅱ）在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率。‎ ‎21.（本小题满分13分）‎ 设是单位圆上的任意一点，是过点与轴垂直的直线，是直线与轴的交点，点在直线上，且满足.当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线.‎ ‎（1）求曲线的方程，判断曲线为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；‎ ‎（2）过原点且斜率为的直线交曲线于两点，其中在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线交曲线于另一点，是否存在，使得对任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，请说明理由。‎ ‎22.(本小题满分14分)‎ ‎（1）已知函数，其中为有理数，且.求的最小值；‎ ‎（2）试用（1）的结果证明如下命题：‎ 设为正有理数，若，则；‎ ‎（3）请将（2）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题。注：当为正有理数时，有求导公式