高考数学理一轮复习配套讲义双曲线1 9页

第6讲　双曲线 ‎[最新考纲]‎ ‎1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．‎ ‎2．了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用．‎ ‎3．理解数形结合的思想.‎ 知 识 梳 理 ‎1．双曲线的定义 平面内动点P与两个定点F1，F2(|F‎1F2|＝‎2c＞0)的距离之差的绝对值为常数‎2a(‎2a＜‎2c)，则点P的轨迹叫双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距．‎ ‎2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0)‎ －＝1(a>0，b>0)‎ 性　　质 范　围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)‎ A1(0，－a)，A2(0，a)‎ 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 实虚轴 线段A‎1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A‎1A2|＝‎2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，‎ 它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长 a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)‎ 辨 析 感 悟 ‎1．对双曲线定义的认识 ‎(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．(×)‎ ‎(2)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(×)‎ ‎2．对双曲线的标准方程和几何性质的理解 ‎(3)方程－＝1(mn＜0)表示焦点在x轴上的双曲线．(×)‎ ‎(4)(2013·新课标全国Ⅰ卷改编)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为y＝±x.(×)‎ ‎(5)(2013·陕西卷改编)双曲线－＝1的离心率为，则m等于9. (√)‎ ‎(6)若直线与双曲线交于一点，则直线与双曲线相切．(×)‎ ‎[感悟·提升]‎ ‎1．一点提醒　双曲线定义中的“差”必须是“绝对值的差”，常数必须小于|F‎1F2|且大于零，如(1)中应为双曲线的一支；如(2)中应为两条射线．‎ ‎2．二个防范　一是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，而双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，应注意其区别与联系，如(4)；‎ 二是直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时， 直线与双曲线仅有一个交点，如(6)．‎ 考点一　双曲线的定义及应用 ‎【例1】 (1)若双曲线－＝1上的一点P到它的右焦点的距离为8，则点P到它的左焦点的距离是 (　　)．‎ ‎ A．4 B．‎12 ‎‎ C．4或12 D．6‎ ‎(2)已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，‎ 则△ PQF的周长为________．‎ 规律方法 (1)双曲线定义的集合语言：P＝{M|||MF1|－|MF2||＝‎2a,0＜‎2a＜|F‎1F2‎ ‎|}是解决与焦点三角形有关的计算问题的关键，切记对所求结果进行必要的检验．‎ ‎(2)利用定义解决双曲线上的点与焦点的距离有关问题时，弄清点在双曲线的哪支上．‎ ‎【训练1】 (1)(2014·大连模拟)设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝‎ ‎(　　)．‎ ‎ A．1 B．‎17 ‎‎ C．1或17 D．以上答案均不对 ‎ (2)已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右 支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为 (　　)． ‎ ‎ A．5 B．5＋‎4 ‎ C．7 D．9‎ 考点二　求双曲线的标准方程 ‎【例2】 (1)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．‎ ‎ (2)与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程为________．‎ 规律方法 求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可.‎ ‎【训练2】 根据下列条件，求双曲线的标准方程．‎ ‎(1)虚轴长为12，离心率为；‎ ‎(2)焦距为26，且经过点M(0,12)．‎ ‎(3)经过两点P(－3,2)和Q(－6，－7)．‎ 考点三　双曲线的几何性质 ‎【例3】 (1)(2013·湖南卷)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点．若在C上存在一点P，使PF1⊥PF2，且∠PF‎1F2＝30°，则C的离心率为________．‎ ‎ (2)设F1，F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F‎1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为(　　)．‎ ‎ A．3x±4y＝0 B．3x±5y＝0‎ ‎ C．4x±3y＝0 D．5x＋4y＝0‎ 规律方法 在双曲线的几何性质中，涉及较多的为离心率和渐近线方程．‎ ‎(1)求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立e的关系式求e或e的范围；另一种是建立a，b，c的齐次关系式，将b用a，e表示，令两边同除以a或a2化为e的关系式，进而求解．‎ ‎(2)求曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线的方法是令－＝0，即得两渐近线方程 ‎±＝0.‎ ‎【训练3】 (1)设点P在双曲线－＝1(a，b＞0)的右支上，双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，若|PF1|＝4|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是________．‎ ‎ (2)已知双曲线的渐近线方程为2x±3y＝0，则该双曲线的离心率为________．‎ ‎ ‎ ‎1．双曲线的很多问题与椭圆有相似之处，在学习中要注意应用类比的方法，但一定要把握好它们的区别和联系．‎ ‎2．双曲线是具有渐近线的曲线，画双曲线草图时，一般先画出渐近线，要熟练掌握以下两个部分：‎ ‎(1)已知双曲线方程，求它的渐近线；‎ ‎(2)求已知渐近线的双曲线的方程．‎ 如果已知渐近线方程为ax±by＝0时，可设双曲线方程为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)，再利用其他条件确定λ的值，求法的实质是待定系数法．‎ ‎3．双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”(两个焦点、两个顶点,虚轴的两个端点)，“四线”(两条对称轴、两近线)，“两形”(中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形、双曲线上的点与两焦点构成的三角形)来研究它们之间的关系．　 ‎ 教你审题8——运用双曲线的标准方程及其性质 ‎【典例】 如图，F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a，b>0)的左，右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B❶与 C的两条渐近线分别交于P，Q两点，❷线段PQ的垂直平分线❸与x轴交于点M.若|MF2|＝|F‎1F2|，❹‎ 则C的离心率是 (　　)．‎ A. B. C. D. ‎[审题]　一审：求出直线F1B的方程．‎ 二审：求出点P、Q的坐标及PQ中点坐标．‎ 三审：求出PQ的垂直平分线方程，令y＝0得M点的坐标．‎ 四审：由|MF2|＝|F‎1F2|建立关系式，求出离心率．‎ ‎ [反思感悟] 求解双曲线的离心率的关键就是找出双曲线中a，c的关系．对于本例的求解，给出的条件较多，对基础知识的考查较为全面，如双曲线的焦点、虚轴、渐近线及垂直平分线等，但都为直接、连贯的条件，直接根据已知条件就可以求解本题．‎ ‎【自主体验】‎ ‎(2013·山东卷)抛物线C1：y＝x2(p>0)的焦点与双曲线C2：－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝ (　　)．‎ ‎ A. B. C. D. 基础巩固题组 一、选择题 ‎1．(2014·郑州二模)设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF‎1F2的面积等于(　　)．‎ A．4 B．‎8 C．24 D．48‎ ‎2．(2013·湖北卷)已知0＜θ＜，则双曲线C1：－＝1与C2：－＝1的(　　)．‎ A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 ‎3．(2014·日照二模)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点与圆x2＋y2－10x＝0的圆心重合，且双曲线的离心率等于 ‎，则该双曲线的标准方程为(　　)．‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ ‎4．双曲线x2－＝1的离心率大于的充分必要条件是(　　)．‎ A．m＞ B．m≥‎1 C．m＞1 D．m＞2‎ ‎5．(2014·成都模拟)已知双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为c(其中c为双曲线的半焦距长)，则该双曲线的离心率为(　　)．‎ A. B. C. D. 二、填空题 ‎6．(2014·青岛一模)已知双曲线x2－ky2＝1的一个焦点是(，0)，则其离心率为________．‎ ‎7．(2014·广州一模)已知双曲线－＝1的右焦点为(，0)，则该双曲线的渐近线方程为________．‎ ‎8．(2014·武汉诊断)已知双曲线－＝1的一个焦点是(0,2)，椭圆－＝1的焦距等于4，则n＝________.‎ 三、解答题 ‎9．已知椭圆D：＋＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．‎ ‎10．中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F‎1F2|＝2，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为3∶7.‎ ‎(1)求这两曲线方程；‎ ‎(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．‎ 一、选择题 ‎1．(2014·焦作二模)直线y＝x与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)左右两支分别交于M、N两点，F是双曲线C的右焦点，O是坐标原点，若|FO|＝|MO|，则双曲线的离心率等于(　　)．‎ A.＋ B.＋‎1 C.＋1 D．2 ‎2．(2014·临沂联考)已知点F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是(　　)．‎ 二、填空题 ‎3.如图，双曲线－＝1(a，b＞0)的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，‎ 两焦点为F1，F2.若以A‎1A2为直径的圆内切于菱形F1B‎1F2B2，切点分别为A，B，C，D.则 ‎(1)双曲线的离心率e＝________；‎ ‎(2)菱形F1B‎1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值＝________.‎ 三、解答题 ‎4．(2014·湛江二模)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F(c,0)．‎ ‎(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；‎ ‎(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－，求双曲线的离心率．‎