全国高考数学试题分类汇编——圆锥曲线 17页

全国高考数学试题分类汇编——圆锥曲线 参考答案（续）‎ ‎35．（2005广东卷第17题）‎ 解：（I）设△AOB的重心为G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则 …（1）‎ ‎∵OA⊥OB ∴,即，……(2)‎ 又点A，B在抛物线上，有，代入（2）化简得 ‎∴‎ 所以重心为G的轨迹方程为 ‎（II）‎ 由（I）得 当且仅当即时，等号成立。‎ 所以△AOB的面积存在最小值，存在时求最小值1；‎ ‎36．（2005江西卷文第21题，满分12分）‎ 解：（1）设M（y,y0），直线ME的斜率为k(l>0)‎ 则直线MF的斜率为－k，方程为 ‎∴由，消 解得 ‎∴(定值)‎ 所以直线EF的斜率为定值 ‎（2）直线ME的方程为 由得 同理可得 设重心G（x, y），则有 消去参数得 O A B P F ‎　‎ ‎37．（2005江西卷理第22题，满分14分）‎ 解：（1）设切点A、B坐标分别为，‎ ‎∴切线AP的方程为：‎ ‎ 切线BP的方程为：‎ 解得P点的坐标为：‎ 所以△APB的重心G的坐标为 ，‎ 所以，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：‎ ‎ （2）方法1：因为 由于P点在抛物线外，则 ‎∴‎ 同理有 ‎∴∠AFP=∠PFB.‎ 方法2：①当所以P点坐标为，则P点到直线AF的距离为：‎ 即 所以P点到直线BF的距离为：‎ 所以d1=d2，即得∠AFP=∠PFB.‎ ‎②当时，直线AF的方程：‎ 直线BF的方程：‎ 所以P点到直线AF的距离为：‎ 同理可得到P点到直线BF的距离，因此由d1=d2，可得到∠AFP=∠PFB.‎ ‎ ‎ ‎38. (2005重庆卷文第21题，满分12分) ‎ 解：（Ⅰ）设双曲线方程为 ‎ 由已知得 故双曲线C的方程为 ‎（Ⅱ）将 ‎ 由直线l与双曲线交于不同的两点得 即 ① 设，则 而 于是 ②‎ 由①、②得 ‎ 故k的取值范围为 ‎39. (2005重庆卷理第21题，满分12分)‎ 解：（Ⅰ）设双曲线C2的方程为，则 故C2的方程为 ‎（II）将 由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得 即 ①‎ ‎.‎ 由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A，B得 ‎ ‎ 解此不等式得 ③‎ 由①、②、③得 故k的取值范围为 ‎40. (2005浙江卷文第19题)‎ 本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆方程、两条直线的夹角等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分14分。‎ 解：(Ⅰ)设椭圆方程为，半焦距为，则 ‎(Ⅱ)‎ ‎41. (2005浙江卷理第17题) ‎ O F2‎ F1‎ A2‎ A1‎ P M 解：（Ｉ）设椭圆方程为（），半焦距为c, 则 ‎,,‎ 由题意，得 ,解得 ‎ 故椭圆方程为 ‎（II）设P(‎ 当时，‎ 当时, ‎ 只需求的最大值即可。‎ 直线的斜率，直线的斜率 当且仅当=时，最大，‎ ‎∴Q（m，±），|m|＞1．‎ ‎42. （2005天津卷理第21题，文第22题，满分14分）‎ 解：（Ⅰ）由抛物线的方程（）得，焦点坐标为，准线方程为．‎ ‎（Ⅱ）证明：设直线的方程为，直线的方程为．‎ 点和点的坐标是方程组的解．将②式代入①式得，于是，故　③‎ 又点和点的坐标是方程组的解．将⑤式代入④式得．于是，故．‎ 由已知得，，则．　　⑥‎ 设点的坐标为，由，则．‎ 将③式和⑥式代入上式得，即．‎ ‎∴线段的中点在轴上．‎ ‎（Ⅲ）因为点在抛物线上，所以，抛物线方程为．‎ 由③式知，代入得．‎ 将代入⑥式得，代入得．‎ 因此，直线、分别与抛物线的交点、的坐标为 ‎，．‎ 于是，，‎ ‎．‎ 因为钝角且、、三点互不相同，故必有．‎ 求得的取值范围是或．又点的纵坐标满足，故当时，；当时，．即 ‎43. （2005上海卷文第21题，本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分6分, ‎ 第3小题满分6分.）‎ ‎[解](1) 抛物线y2=2px的准线为x=-,于是4+=5, ∴p=2.‎ ‎ ∴抛物线方程为y2=4x.‎ ‎ (2)∵点A是坐标是(4,4), 由题意得B(0,4),M(0,2),‎ ‎ 又∵F(1,0), ∴kFA=;MN⊥FA, ∴kMN=-,‎ ‎ 则FA的方程为y=(x-1),MN的方程为y-2=-x,解方程组得x=,y=,‎ ‎ ∴N的坐标(,).‎ (1) 由题意得, ,圆M.的圆心是点(0,2), 半径为2,‎ 当m=4时, 直线AK的方程为x=4,此时,直线AK与圆M相离.‎ 当m≠4时, 直线AK的方程为y=(x-m),即为4x-(4-m)y-4m=0,‎ 圆心M(0,2)到直线AK的距离d=,令d>2,解得m>1‎ ‎∴当m>1时, AK与圆M相离;‎ ‎ 当m=1时, AK与圆M相切;‎ ‎ 当m<1时, AK与圆M相交.‎ ‎44. （2005上海理第19题，，本题共有3个小题,满分14分，其中第1小题满分6分, 第2小题满分8分）‎ ‎[解]（1）由已知可得点A(－6,0),F(0,4)‎ ‎ 设点P(,),则={+6, },={－4, },由已知可得 ‎ ‎ ‎ 则2+9－18=0, =或=－6.‎ ‎ 由于>0,只能=,于是=.‎ ‎ ∴点P的坐标是(,)‎ ‎ (2) 直线AP的方程是－+6=0.‎ ‎ 设点M(,0),则M到直线AP的距离是.‎ ‎ 于是=,又－6≤≤6,解得=2.‎ ‎ 椭圆上的点(,)到点M的距离有 ‎ ,‎ 由于－6≤≤6, ∴当=时,d取得最小值 ‎45. （2005山东卷理第22题，文第22题）‎ 解：（I）如图，设为动圆圆心，为记为，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，所以轨迹方程为；‎ ‎（理II）如图，设，由题意得（否则）且所以直线的斜率存在，设其方程为，显然，将与联立消去，得由韦达定理知①‎ ‎（1）当时，即时，所以，所以由①知：所以因此直线的方程可表示为，即所以直线恒过定点 ‎（2）当时，由，得==‎ 将①式代入上式整理化简可得：，所以，‎ 此时，直线的方程可表示为即 所以直线恒过定点 所以由（1）（2）知，当时，直线恒过定点，当时直线恒过定点.‎ ‎（文II）‎ 直线的方程可表示为即 所以，直线恒过定点.‎ ‎46．（2005湖南卷理第19题，文第21题，满分14分）‎ ‎（Ⅰ）证法一：因为A、B分别是直线l：与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是.‎ ‎ 所以点M的坐标是（）. 由 即 ‎ 证法二：因为A、B分别是直线l：与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是设M的坐标是 所以 因为点M在椭圆上，所以 ‎ 即 ‎ 解得 ‎ （Ⅱ）当时，，所以 由△MF1F2的周长为6，得 ‎ 所以 椭圆方程为 ‎ （Ⅲ）解法一：因为PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，即 ‎ 设点F1到l的距离为d，由 ‎ 得 所以 ‎ 即当△PF1F2为等腰三角形.‎ 解法二：因为PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，‎ 设点P的坐标是，‎ 则 由|PF1|=|F1F2|得 两边同时除以4a2，化简得 从而 于是. 即当时，△PF1F2为等腰三角形.‎ ‎47.（2005湖北卷理第21题，文第22题）‎ ‎（I）解法1：依题意，可设直线AB的方程为，整理得 ‎ ①‎ 设①的两个不同的根，‎ ‎ ②‎ 是线段AB的中点，得 解得k=-1，代入②得，>12，即的取值范围是（12，+）.‎ 于是，直线AB的方程为 解法2：设 依题意，‎ ‎（II）解法1：代入椭圆方程，整理得 ‎ ③‎ ‎③的两根，‎ 于是由弦长公式可得 ‎ ④‎ 将直线AB的方程 ‎ ⑤‎ 同理可得 ‎ ⑥‎ 假设在在>12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心.点M到直线AB的距离为 ‎ ⑦‎ 于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得 故当时，A、B、C、D四点均在以M为圆心，为半径的圆上.‎ ‎（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：‎ A、B、C、D共圆△ACD为直角三角形，A为直角 ‎ ⑧‎ 由⑥式知，⑧式左边=‎ 由④和⑦知，⑧式右边=‎ ‎ ‎ ‎∴⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆 解法2：由（II）解法1及.‎ 代入椭圆方程，整理得 ‎ ③‎ 将直线AB的方程代入椭圆方程，整理得 ‎　　　⑤‎ 解③和⑤式可得 ‎ 不妨设 ‎∴‎ 计算可得，∴A在以CD为直径的圆上.‎ 又B为A关于CD的对称点，∴A、B、C、D四点共圆.‎ ‎（注：也可用勾股定理证明AC⊥AD）‎ ‎48．（2005福建卷理第21题，文第22题）‎ ‎（I）解法一：直线， ① ‎ 过原点垂直的直线方程为， ②‎ 解①②得 ‎∵椭圆中心（0，0）关于直线的对称点在椭圆C的右准线上，‎ ‎∵直线过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）.‎ ‎ 故椭圆C的方程为 ③‎ 解法二：直线.‎ ‎ 设原点关于直线对称点为（p，q），则解得p=3.‎ ‎∵椭圆中心（0，0）关于直线的对称点在椭圆C的右准线上，‎ ‎ ‎ ‎∵直线过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）.‎ ‎ 故椭圆C的方程为 ③‎ ‎（II）解法一：设M（），N（）.‎ 当直线m不垂直轴时，直线代入③，整理得 点O到直线MN的距离 ‎ 即 ‎ ‎ ‎ ‎ 即 ‎ 整理得 ‎ 当直线m垂直x轴时，也满足.‎ ‎ 故直线m的方程为 ‎ 或或 ‎ 经检验上述直线均满足.所以所求直线方程为 ‎ 或或 解法二：设M（），N（）.‎ ‎ 当直线m不垂直轴时，直线代入③，整理得 ‎ ‎ ‎ ∵E（－2，0）是椭圆C的左焦点，‎ ‎ ∴|MN|=|ME|+|NE|‎ ‎=‎ ‎ 以下与解法一相同.‎ 解法三：设M（），N（）.‎ ‎ 设直线，代入③，整理得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 即 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ∴=，整理得 ‎ ‎ 解得或 ‎ 故直线m的方程为或或 ‎ 经检验上述直线均满足 ‎ 所以所求直线方程为或或 ‎49.（2005北京卷理第18题，文第20题）‎ 解：（I）W1={(x, y)| kx0}，‎ ‎ （II）直线l1：kx－y＝0，直线l2：kx＋y＝0，由题意得 ‎ , 即，‎ ‎ 由P(x, y)∈W，知k2x2－y2>0，‎ ‎ 所以 ，即,‎ ‎ 所以动点P的轨迹C的方程为；‎ ‎ （III）当直线l与x轴垂直时，可设直线l的方程为x＝a（a≠0）．由于直线l，曲线C关于x轴对称，且l1与l2关于x轴对称，于是M1M2，M3M4的中点坐标都为（a，0），所以△OM1M2，△OM3M4的重心坐标都为（a，0），即它们的重心重合，‎ ‎ 当直线l1与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=mx+n（n≠0）．‎ ‎ 由，得 ‎ 由直线l与曲线C有两个不同交点，可知k2－m2≠0且 ‎△=>0‎ 设M1，M2的坐标分别为(x1, y1)，(x2, y2)，‎ 则, , ‎ 设M3，M4的坐标分别为(x3, y3)，(x4, y4)， ‎ 由得 从而，‎ 所以y3+y4=m(x3+x4)+2n＝m(x1+x2)+2n＝y1+y2,‎ ‎ 于是△OM1M2的重心与△OM3M4的重心也重合．‎ 选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 (按ctrl 点击打开)‎ 选校网（www.xuanxiao.com）是为高三同学和家长提 供高考选校信息的一个网站。国内目前有2000多所高校，高考过后留给考生和家长选校的时间紧、高校多、专业数量更是庞大，高考选校信息纷繁、复杂，高三 同学在面对高考选校时会不知所措。选校网就是为考生整理高考信息，这里有1517专业介绍，近2000所高校简介、图片、视频信息。选校网，力致成为您最 强有力的选校工具！‎ 产品介绍：‎ ‎1.大学搜索：介绍近2000所高校最详细的大学信息，包括招生简章，以及考生最需要的学校招生办公室联系方式及学校地址等.‎ ‎2.高校专业搜索：这里包含了中国1517个专业介绍，考生查询专业一目了然，同时包含了专业就业信息，给考生报考以就业参考。‎ ‎3.图片搜索：这里有11万张全国高校清晰图片，考生查询学校环境、校园风景可以一览无余。4视频搜索：视频搜索包含了6162个视频信息，大学视频、城市视频、访谈视频都会在考生选校时给考生很大帮助。‎ ‎5.问答：对于高考选校信息或者院校还有其他疑问将自己的问题写在这里，你会得到详尽解答。6新闻：高考新闻、大学新闻、报考信息等栏目都是为考生和家长量身定做，和同类新闻网站相比更有针对性。‎ ‎7.千校榜：把高校分成各类，让考生选校时根据类别加以区分，根据排名选择自己喜欢的高校。8选校课堂：这里全部的信息都是以考生选校、选校技巧、经验为核心，让专家为您解答高考选校的经验和技巧。‎ ‎9.阳光大厅：考生经过一年紧张的学习生活心理压力有待缓解和释放，阳光大厅给家长以心灵启示，给考生心里以阳光。‎ ‎10.港澳直通：很多考生都梦想去香港澳门读大学，港澳直通，给考生的梦想一个放飞的地方，港澳直通囊括了港澳大学的所有信息，将一切更直观的呈现给考生。‎ ‎11.选校社区：注册您真是的信息，在这里可以和大家分享您所在城市的到校信息，读到好的选校文章也可以拿到这里，让大家共同品尝，您还可以加入到不同的大学、专业、城市群组，和大家一起讨论这些话题分享信息。‎ 选校网，为你整合众多高考选校信息，只为考生、家长能够从中受益。让我们共同为考生的未来，努力！‎ 我们在不断完善，以更加符合家长和同学们的需求。‎ 陆续我们将推出城市印象频道，让大家了解学校所在城市的详细情况；预报名系统(yubaoming.com)，为您更加准确地根据高考分数填报志愿提供利器.......‎ 一切，贵在真实。‎